Econometria Semestre

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1 Economeria Semesre TESTES DE RAIZ UNITÁRIA Considere o modelo: Ese processo será um processo de raiz uniária (um passeio aleaório) se ρ = +1. O modelo dado por esa equação é um AR(1) esacionário se ρ < 1. Se ρ = 1, o modelo é uma random walk. A equação pode ser reescria como: (1 ρ.b)y = u onde B é o operador de araso, BY = Y 1. O modelo descrio por (21.4.1) será uma random walk sempre que a raiz de (1 ρ.b) = 0 for a unidade (iso é, se ρ = 1). Por isso a denominação ese de raiz uniária. Os eses para raiz uniária mais comuns são apropriados para séries com, no máximo, uma raiz uniária, ou seja, supõe se que a série orna se esacionária após a primeira diferença. A idéia por rás do ese de raiz uniária é bem simples: faça a regressão de Y em Y 1 e verifique se o coeficiene esimado ρ é esaisicamene igual a +1. Se for, o processo é não esacionário. Do conrário, o processo é esacionário. Enão, um pono imporane a lembrar nos eses de raiz uniária é que a hipóese nula indica que o processo é NÃO ESTACIONÁRIO. Deseja se esar as hipóeses: H 0 : ρ = 1 (o modelo é um passeio aleaório) versus H 1 : ρ < 1 (o modelo é um AR(1) esacionário) A idéia mais direa para esar esas hipóeses seria a esimação de ρ por mínimos quadrados, seguida de um ese. No enano, se H 0 for verdadeira, o esimador de ρ em um viés negaivo, e a esaísica não em disribuição de Suden. Para conornar ese problema, Dickey e Fuller (1979) realizaram diversas simulações e enconraram a disribuição do esimador de ρ quando ρ = 1, permiindo esabelecer os níveis de significância apropriados, o que deu origem à aplicação práica dos eses de raiz uniária.

2 Economeria Semesre Por razões eóricas, os eses Dickey Fuller (DF) rabalham com a equação (21.4.1) na forma de diferenças, ou seja: Esa expressão pode ser escria de maneira alernaiva como: Onde δ = ρ 1. Enão, ao invés de esimar a equação (21.4.1) (a equação em nível), esimamos (21.9.2), a equação em 1 a. diferença e esamos a hipóese nula δ = 0, que é equivalene à hipóese nula ρ = 1 (o modelo é um passeio aleaório, a série é não esacionária). Os eses de hipóese podem ser escrios em ermos de δ como: H 0 : δ = 0 (o modelo é um passeio aleaório) versus H 1 : δ < 0 (o modelo é um AR(1) esacionário) Noe que, se δ = 0 em (21.9.2), a expressão se orna: ΔY = Y Y 1 = u, ou seja, a série de 1 a. diferença é esacionária e a série original é um passeio aleaório. Como esimar a equação (21.9.2)? Crie a série de primeiras diferenças Δ Y e faça sua regressão (sem consane) em relação à série original defasada de 1 insane, iso é, Y 1. Verifique se o coeficiene angular esimado desa regressão é zero. Se for esaisicamene igual a zero, concluímos que ρ = 1 e Y é um processo não esacionário. Se δ < 0, enão ρ 1 < 0 e enão ρ < 1 e a série Y é esacionária. Como esar as hipóeses? Infelizmene os eses usuais não funcionam (nem para grandes amosras) para verificar a significância de δ. Dickey e Fuller enconraram, aravés de simulação de Mone Carlo, a disribuição do esimador de δ. Sob a hipóese nula H 0 : δ = 0, o valor esimado para o coeficiene de Y 1 na equação (21.9.2) segue a esaísica Tau (τ), cujos valores críicos esão na abela D.7 de Gujarai, reproduzida a

3 Economeria Semesre seguir. O ese baseado nesa esaísica é chamado de ese Dickey Fuller, ou simplesmene ese DF. Noe ambém que, se rejeiamos a hipóese nula no ese DF, enão a série é esacionária, e o ese usual vola a ser válido. Já vimos que exisem diversos ipos de processos de raiz uniária. O ese DF deve ser aplicado levando em cona cada uma desas possibilidades, ou seja, deve considerar as seguines (DIFERENTES) hipóeses nulas: Y é um passeio aleaório: ΔY = δ. Y 1 + u Y é um passeio aleaório com deslocameno : ΔY = β + δ. Y Y é um passeio aleaório com deslocameno em orno de endência deerminísica : ΔY u = β + β. + δ. Y u Equações (21.9.2, e ) A meodologia empregada no ese é a mesma em qualquer uma das especificações aneriores, mas os valores críicos do ese serão diferenes. Em odos os casos a hipóese nula é δ = 0 (série não esacionária) e a hipóese alernaiva é δ < 0 (série esacionária). Rejeiar a hipóese nula significa que a série em nível Y é: É esacionária com média zero em (21.9.2) É esacionária com média β 1 /(1 ρ) em (21.9.4) É esacionária em orno de uma endência deerminísica em (21.9.5)

4 Economeria Semesre Noe que, em qualquer dos casos, o ese é unilaeral. A rejeição da hipóese nula ocorrerá, inuiivamene, se a esaísica Tau for muio pequena (abaixo do valor críico), pois o ese é para δ = 0 conra a hipóese de δ negaivo. Os valores críicos da esaísica Tau do ese DF são diferenes dependendo da hipóese nula que esá sendo esada. Como fazer o ese Dickey Fuller? Esime (21.9.2), (21.9.4) ou (21.9.5) por MQO. Enconre o coeficiene esimado de Y 1 na equação e divida o por seu desvio padrão, obendo a esaísica Tau. Consule as abelas de Dickey e Fuller. Se τ MENOR que o valor críico abelado, rejeiar a hipóese nula H 0 : δ = 0, o que indica que a série NÃO POSSUI RAIZ UNITÁRIA (é ESTACIONÁRIA). Se τ MAIOR que o valor críico abelado, NÃO REJEITAMOS A HIPÓTESE NULA H 0 : δ = 0, o que significa que a série é NÃO ESTACIONÁRIA. Exemplo série de exporações brasileiras Suponha que desejamos analisar a série rimesral de exporações em milhões de dólares mosrada no início dese capíulo. O correlograma é mosrado a seguir:

5 Economeria Semesre Já observamos no início do capíulo que o leno decaimeno da auocorrelação sugere que a série é não esacionária. Vamos esar esa conjeura aravés do ese DF em suas rês especificações (21.9.2), (21.9.4) e (21.9.5). O ese foi realizado no sofware Eviews versão ) Tese DF hipóese de passeio aleaório Equação (21.9.2) Null Hypohesis: EXPORTS has a uni roo Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(EXPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 16:53 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins EXPORTS(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa A equação esimada é: ΔY = +0, Y 1 Analogamene ao exposo em Gujarai (p.655), ese modelo deve ser descarado, pois o coeficiene de Y 1 é posiivo, ou seja, δ = 1 ρ > 0, o que indicaria que ρ > 1, e a série de exporações seria explosiva. O valor da esaísica τ é, nese caso, O valor críico ao nível 5% é 1,946. Como τ > valor críico, não rejeiamos a hipóese nula de raiz uniária, indicando que a série é não esacionária (na verdade, das considerações aneriores, o modelo indica um comporameno explosivo).

6 Economeria Semesre ) Tese DF hipóese de passeio aleaório com deslocameno Equação (21.9.4) Null Hypohesis: EXPORTS has a uni roo Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(EXPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 17:38 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins EXPORTS(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 1.07E+09 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) A equação esimada é: ΔY = 1568,81 0,0492.Y 1 O valor da esaísica Tau é 1,13, e o valor críico da esaísica Dickey Fuller ao nível 5% é 2,91. Assim, não rejeiamos a hipóese nula de raiz uniária, ou seja, a série é não esacionária. Isso ocorre ambém ao nível 1%, pois a esaísica Dickey Fuller ao nível 1% é 3,54. Nese modelo, o valor esimado de ρ é 1 0, = 0,9566.

7 Economeria Semesre ) Tese DF hipóese de passeio aleaório com deslocameno e endência Equação (21.9.4) Null Hypohesis: EXPORTS has a uni roo Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(EXPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 17:57 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins EXPORTS(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 9.39E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) A equação esimada é: ΔY = 991,33+170,79. 0,2597.Y 1 O valor da esaísica Tau é 3,025, e os valores críicos da esaísica Dickey Fuller aos níveis 1% e 5% são, respecivamene, 4,12 e 3,48. Logo, a esaísica Tau é maior que os valores críicos e não rejeiamos a hipóese nula de raiz uniária, ou seja, a série não é esacionária. Nese modelo, o valor esimado de ρ é 1 0,2597 = 0,7403, bem diferene do enconrado no modelo anerior. Noe ambém que os coeficienes da endência e de Y 1 são significanes, mas a consane não é. Assim, alvez a especificação mais correa do modelo nese caso seja: ΔY = β. +δ.y 1 É imporane ambém verificar se a série diferenciada é esacionária ou não, pois isso indicaria que o processo é I(2), e não I(1), ou seja, que a ordem de inegração da série é mais ala. Repeimos a análise com a série de 1 a. diferença das exporações.

8 Economeria Semesre ) Tese DF hipóese de passeio aleaório para a série de 1 a. diferença das exporações Veja abaixo como fazer o ese no Eviews. Indica que o ese esá sendo feio na 1 a. diferença da série Indica que esamos fazendo o ese DF (e não o ADF), ou seja, número de lags = 0 nas diferenças do lado direio da equação Na especificação mosrada acima esamos a hipóese da 1 a. diferença da série ser um processo I(2), ou seja, Y Y δ Y + u onde agora Y é a série da 1 a. diferença. é um passeio aleaório: Δ =. 1 Null Hypohesis: D(EXPORTS) has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(EXPORTS,2) Dae: 06/24/10 Time: 19:42 Sample(adjused): 1995:2 2010:1 Included observaions: 60 afer adjusing endpoins D(EXPORTS(-1)) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa O valor da esaísica Tau é 7,31, e os valores críicos da esaísica Dickey Fuller aos níveis 1% e 5% são, respecivamene, 2,60 e 1,95. Logo, a esaísica Tau é MENOR que os valores críicos e REJEITAMOS a hipóese nula de raiz uniária, ou seja, a série da 1 a. diferença é esacionária.

9 Economeria Semesre ) Tese DF hipóese de passeio aleaório com deslocameno para a série de 1 a. diferença das exporações Veja o quadro a seguir para verificar como se implemena o ese no Eviews: Null Hypohesis: D(EXPORTS) has a uni roo Exogenous: Consan Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Novamene, a esaísica Tau ( 7,35) é inferior aos valores críicos a 1 e 5%, e rejeiamos a hipóese nula. Assim a série da 1 a. diferença é esacionária. 6) Tese DF hipóese de passeio aleaório com deslocameno e endência para a série de 1 a. diferença das exporações Null Hypohesis: D(EXPORTS) has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Novamene, a esaísica Tau ( 7,28) é inferior aos valores críicos a 1 e 5%, e rejeiamos a hipóese nula. Assim a série da 1 a. diferença é esacionária.

10 Economeria Semesre Tese Dickey Fuller aumenado (ese ADF) O ese original de Dickey e Fuller supõe que o processo y é um AR(1) e pode ser esendido para incorporar ao modelo a presença de novos lags da variável Y. Isso leva aos chamados eses ADF (Augmened Dickey Fuller Tess), cuja aplicação segue, em linhas gerais, o mesmo mecanismo que o ese Dickey Fuller original. O grande problema na aplicação dos eses ADF alvez seja, exaamene, a especificação de quanas defasagens incluir na equação a ser esada, ou seja, a ordem do modelo AR(p) a ser esimado para Y. O ese ADF consise em esimar a regressão: Onde ε é um ruído branco e ΔY 1 = Y 1 Y 2 (analogamene para ouras defasagens). O número de defasagens a incluir na equação (21.9.9) é, em geral, deerminado empiricamene. A idéia é incluir um número suficiene de ermos para que o erro não apresene correlação serial. Uma esraégia é escolher um número suficienemene grande de defasagens, e usar os ermos aé a defasagem mais ala significane. Por exemplo, no caso de dados mensais, ajuse o modelo com um número de defasagens m > 12. Uma oura idéia é minimizar algum um criério de informação, como AIC ou BIC, para a escolha do número de defasagens. O Eviews usa esa esraégia. Uma regra empírica sugerida por Schwer (1989) é escolher m igual à pare ineira de 1/ 4 12 N onde N é o amanho da série. Por exemplo, se N = 100 observações, isso nos daria m 100 = 12 lags, se N=200, eríamos m = in(14,27) = 14 lags. No ese ADF, a hipóese nula é ainda H 0 : δ = 0 e os valores críicos são os mesmos do ese Dickey Fuller original.

11 Economeria Semesre Exemplo série de exporações brasileiras coninuação Já vimos que a série de exporações é I(1) e o modelo que parece mais adequado é o com endência e deslocameno, dado pela equação (21.9.5). A parir dese modelo adicionamos novos lags e execuamos o ese ADF. A especificação do número de lags será feia auomaicamene pelo Eviews (veja a figura a seguir). Null Hypohesis: EXPORTS has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 2 (Auomaic based on SIC, MAXLAG=10) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(EXPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 20:01 Sample(adjused): 1995:3 2010:1 Included observaions: 59 afer adjusing endpoins EXPORTS(-1) D(EXPORTS(-1)) D(EXPORTS(-2)) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 5.63E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic)

12 Economeria Semesre A equação esimada é: ΔY = 493, ,92. 0,1474.Y 1 + 0,1254. ΔY 1 0,5974. ΔY 2 O valor da esaísica Tau é 1,82, e os valores críicos da esaísica Dickey Fuller aos níveis 1% e 5% são, respecivamene, 4,12 e 3,48. Logo, a esaísica Tau é maior que os valores críicos e não rejeiamos a hipóese nula de raiz uniária, ou seja, a série não é esacionária. Nese modelo, o valor esimado de ρ é 1 0,1474 = 0,8526, bem diferene dos modelos aneriores. Críicas aos eses de raiz uniária Anes de discuir os problemas relaivos a eses eses, lembre se das definições de amanho e poência de um ese. Tamanho de um ese (α) O amanho de um ese (ou nível de significância do ese) é a sua probabilidade de erro do ipo I, ou seja, a probabilidade de rejeiar a hipóese nula quando ela é verdadeira. No caso dos eses ADF, é a probabilidade de dizer que a série é esacionária quando, na verdade, ela não é esacionária. Poência de um ese Para um ese de hipóeses genérico a respeio de um parâmero θ, a função poência é a probabilidade de rejeiar a hipóese nula quando o valor do parâmero é θ, escria K(θ). Um erro do ipo II é comeido quando rejeiamos a hipóese nula e ela é falsa, ou seja, é o máximo valor da função poência quando H 0 é falsa. A poência do ese, por sua vez, é definida como um menos o erro do ipo II. Assim, idealmene, gosaríamos que a poência do ese fosse a maior possível, pois ela significa rejeiar H 0 quando H 0 é falsa. No caso dos eses ADF, ala poência significa ala probabilidade de dizer que a série é esacionária (i.e, rejeiar H 0 ) quando H 0 é falsa, iso é, quando a série é realmene esacionária.

13 Economeria Semesre A maioria dos eses Dickey Fuller em baixa poência, iso é, ende a aceiar a hipóese de raiz uniária quando ela é falsa. Ou seja, os eses enconram uma raiz uniária mesmo quando a série não a em COINTEGRAÇÃO Em geral, a regressão de uma série não esacionária em oura produz uma regressão espúria. Engle e Granger (1987) mosraram que exisem siuações em que duas (ou mais) variáveis não esacionárias do ipo random walk podem ser empregadas direamene num modelo de regressão. Eles noaram que uma combinação linear de duas ou mais séries não esacionárias pode ser esacionária. Se al combinação linear esacionária exise, as séries não esacionárias são dias coinegradas, e esa combinação linear é chamada de equação de coinegração, podendo ser inerpreada como uma relação de equilíbrio de longo prazo enre as variáveis. Por exemplo, sejam Y e X dois passeios aleaórios, e suponha que exisa u = Y λ.x esacionária. Nese caso, Y e X são chamadas de coinegradas e λ é o parâmero de coinegração, que pode ser esimado por uma regressão por mínimos quadrados ordinários de Y em X. Um pono imporane é: duas séries coinegradas requerem, obrigaoriamene, a mesma ordem de diferenciação para alcançar a esacionariedade. Por exemplo, se Y é I(2) e X é um candidao a coinegrar com Y, enão obrigaoriamene X deve ser I(2). O propósio dos eses de coinegração é deerminar se um conjuno de séries não esacionárias é ou não coinegrado. Em linhas gerais, coinegração significa que exise um co movimeno enre variáveis que exibem endência. Duas variáveis coinegradas apresenam uma relação de equilíbrio de longo prazo. Considere uma série emporal Y não esacionária, que se orna esacionária após a aplicação sucessiva de d diferenças. Nese caso dizemos que Y é inegrada de ordem d, e denoamos Y ~ I(d). Séries inegradas possuem uma componene de endência esocásica, e a aplicação de choques a esas séries resula em alerações permanenes nas mesmas.

14 Economeria Semesre A idenificação do grau apropriado de diferenciação (d) é normalmene feia aravés da FAC (função de auocorrelação) de Y. Aplicam se diferenças sucessivas aé que a FAC decaia com suficiene rapidez. Ese procedimeno em, no enano, cero grau de subjeividade, pois o analisa deve deerminar se o decaimeno da FAC, após um dado número de diferenças, já é suficienemene rápido para que a série diferenciada seja considerada esacionária. Um procedimeno alernaivo é esar a ordem de inegração de Y, o que consiui os chamados eses de raiz uniária, como o Dickey Fuller e o ADF. O nome dos eses deriva do fao do número de raízes sobre o círculo uniário (raízes uniárias) corresponder ao número de diferenças necessário para ornar uma série I(d) esacionária. Segundo Tsay (2002), um procedimeno adequado na modelagem de séries emporais não esacionárias é reconhecer a ordem de inegração das séries de ineresse e idenificar um modelo ARMA para os resíduos. Eses, nauralmene, devem ser esacionários, porano sua auocorrelação deve decair rapidamene. A modelagem ARMA dos resíduos é necessária pois ao ajusarmos um modelo de regressão a duas séries emporais, freqüenemene os resíduos do modelo original ainda apresenam correlação serial. Esa correção poserior assegura que os resíduos corrigidos serão descorrelaados. Coinegração na práica Suponha que você observou que duas séries Y e X são I(1). Faça a regressão por MQO de Y em X e obenha os resíduos. Iso é: Y = α + λ. X + u Tese a esacionariedade dos resíduos. Se eles forem I(0), ou seja, esacionários, Y e X coinegram, a equação obida por MQO é a relação de coinegração e os eses e F usuais podem ser aplicados sem problemas. A equação acima é chamada de regressão co inegrane e o parâmero λ é o parâmero de coinegração. Exemplo imporações e exporações brasileiras Já vimos que a série de exporações é I(1), e possivelmene a melhore especificação para ela em drif e endência deerminísica. Vamos verificar se a série de imporações é ambém I(1), pois isso abre a possibilidade das duas séries coinegrarem (lembre se que se elas iverem ordens de inegração diferenes, não irão coinegrar).

15 Economeria Semesre Os eses Dickey Fuller para a série de imporações são mosrados a seguir: 1) Tese DF hipóese de passeio aleaório Equação (21.9.2) Null Hypohesis: IMPORTS has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(IMPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 21:05 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins IMPORTS(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 6.37E+08 Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Não rejeiamos a hipóese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. Noe ambém o coeficiene posiivo de Y 1, que indicaria que a série em comporameno explosivo. 2) Tese DF hipóese de passeio aleaório com deslocameno Equação (21.9.4) Null Hypohesis: IMPORTS has a uni roo Exogenous: Consan Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(IMPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 21:14 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins IMPORTS(-1) C

16 Economeria Semesre R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 6.26E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Não rejeiamos a hipóese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. 3) Tese DF hipóese de passeio aleaório com deslocameno e endência Equação (21.9.5) Null Hypohesis: IMPORTS has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(IMPORTS) Dae: 06/24/10 Time: 21:16 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins IMPORTS(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 5.84E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Novamene, não rejeiamos a hipóese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. Assim, como as séries são ambas I(1), podemos enar fazer a regressão de uma variável noura. Nese caso enaremos explicar exporações aravés de imporações.

17 Economeria Semesre O modelo ajusado é: Dependen Variable: EXPORTS Dae: 06/24/10 Time: 21:03 Sample: 1994:4 2010:1 Included observaions: 62 C IMPORTS R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 1.24E+09 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Noa: vide Gujarai (pp ) nas regressões co inegranes o valor da Durbin Wason ende a ser pequeno e ele propõe um ese baseado na hipóese d = 0 para verificar se as variáveis são coinegradas. Noe o alíssimo valor do R 2 e o baixíssimo valor da Durbin Wason. Isso poderia indicar uma regressão espúria. Mas, já sabemos que as duas séries são I(1), e assim exise a possibilidade de que esa regressão seja verdadeira. Precisamos examinar os resíduos desa regressão e verificar se são esacionários. Null Hypohesis: RESID_REGR_EXPORT_IMPOR has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(RESID_REGR_EXPORT_IMPOR) Dae: 06/24/10 Time: 21:28 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins RESID_REGR_EXPO RT_IMPOR(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 3.37E+08 Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa

18 Economeria Semesre Rejeia se a hipóese nula de que δ = 0 ao nível 5,7%, e porano podemos supor que, para ese nível a série é esacionária. Noe que não rejeiamos a hipóese nula nos níveis 1% e 5% (mas rejeiamos no nível 10% o nível de significância do ese é 5,7% como mosrado no início da abela). Assim, podemos concluir que a regressão enre exporações e imporações não é espúria, e podemos escrever: EXPORT = 773, ,2377*IMPORT Exemplo 2 IPCA e SELIC Nese exemplo analisamos a exisência de raízes uniárias nas séries mensais do IPCA (inflação) e SELIC (axa básica de juros) no período enre janeiro de 1995 e maio de O gráfico das duas séries é mosrado a seguir. 5 SELIC E IPCA (VARIAÇÃO % MENSAL) SELIC IPCA Os correlogramas das duas séries esão nas próximas figuras.

19 Economeria Semesre ) Correlograma de IPCA (variação percenual mensal) 2) Correlograma de SELIC (variação percenual mensal) Os correlogramas sugerem que ambas as séries não são esacionárias.

20 Economeria Semesre ) Tese de raiz uniária para SELIC 3.1) Tese DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleaório Null Hypohesis: SELIC has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(SELIC) Dae: 06/25/10 Time: 17:32 Sample(adjused): 1995: :05 Included observaions: 184 afer adjusing endpoins SELIC(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Esaísica Tau = 1,896, que esá enre os valores críicos 5% e 10%. Na verdade (vide abela), rejeia se a hipóese nula δ = 0 com nível 5,7%. Ou seja, com nível 5,7% (e maior) pode se dizer que a série é esacionária (mas não com níveis menores que 5,7%). 3.2) Tese DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleaório com deslocameno Null Hypohesis: SELIC has a uni roo Exogenous: Consan Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(SELIC) Dae: 06/25/10 Time: 17:38 Sample(adjused): 1995: :05 Included observaions: 184 afer adjusing endpoins

21 Economeria Semesre SELIC(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Esaísica Tau = 2,77, que esá enre os valores críicos 5% e 10%. Na verdade (vide abela), rejeia se a hipóese nula δ = 0 com nível 6,5%. Ou seja, com nível 6,5% (e maior) pode se dizer que a série é esacionária. 3.3) Tese DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleaório com deslocameno e endência Null Hypohesis: SELIC has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(SELIC) Dae: 06/25/10 Time: 17:41 Sample(adjused): 1995: :05 Included observaions: 184 afer adjusing endpoins SELIC(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Rejeia se a hipóese nula a nível 2,2%.

22 Economeria Semesre Em odos as especificações, a hipóese nula foi rejeiada com nível abaixo de 10%, e porano concluímos que a série é esacionária, ou seja, não apresena raiz uniária. 4) Tese de raiz uniária para IPCA 4.1) Tese DF para a IPCA usando a especificação de passeio aleaório Null Hypohesis: IPCA has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(IPCA) Dae: 06/25/10 Time: 17:44 Sample(adjused): 1995: :05 Included observaions: 184 afer adjusing endpoins IPCA(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa A hipóese nula é claramene rejeiada a série é esacionária. 4.2) Tese DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleaório com deslocameno Null Hypohesis: IPCA has a uni roo Exogenous: Consan Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(IPCA) Dae: 06/25/10 Time: 17:46 Sample(adjused): 1995: :05

23 Economeria Semesre Included observaions: 184 afer adjusing endpoins IPCA(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Novamene, nesa especificação concluímos que não há raiz uniária e a série é I(0). 4.3) Tese DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleaório com deslocameno e endência Null Hypohesis: IPCA has a uni roo Exogenous: Consan, Linear Trend Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(IPCA) Dae: 06/25/10 Time: 17:47 Sample(adjused): 1995: :05 Included observaions: 184 afer adjusing endpoins IPCA(-1) C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Novamene rejeiamos a hipóese nula e concluímos que a série é I(0).

24 Economeria Semesre ) Modelo para SELIC como função do IPCA O fao das duas séries serem esacionárias nos permie enão fazer a regressão de SELIC em IPCA sem que esa regressão seja espúria. Dependen Variable: SELIC Dae: 06/25/10 Time: 17:50 Sample: 1995: :05 Included observaions: 185 C IPCA R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Os resíduos desa regressão são esacionários, como mosra o ese de raiz uniária abaixo (fiz o ese apenas para a especificação de passeio aleaório). Null Hypohesis: RESID_1 has a uni roo Exogenous: None Lag Lengh: 0 (Fixed) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: 1% level % level % level Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(RESID_1) Dae: 06/25/10 Time: 18:38 Sample(adjused): 1995: :05 Included observaions: 184 afer adjusing endpoins RESID_1(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Assim, conclui se que podemos usar a variação mensal do IPCA para enar explicar a variação mensal da SELIC.

25 Economeria Semesre A regressão não é espúria, mas a esaísica de Durbin Wason é muio baixa, indicando a exisência de correlação serial de 1 a ordem nos resíduos. Vamos enar melhorar isso incluindo alguns lags de IPCA na especificação do modelo. Ese modelo foi ajusado, mas não garanirei que é óimo, ou o melhor, sob qualquer criério. Os resíduos parecem er um comporameno basane bom, e o O ajuse da regressão melhorou sensivelmene (em ermos de R 2, log verossimilhança, soma de quadrados dos resíduos, criérios AIC e Schwarz). Dependen Variable: SELIC Dae: 06/25/10 Time: 20:12 Sample(adjused): 1996: :05 Included observaions: 173 afer adjusing endpoins C IPCA IPCA(-1) IPCA(-2) IPCA(-9) IPCA(-12) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Noe que o IPCA no mesmo insane não foi considerado significane, e enão decidi exclui lo do modelo, resulando no modelo a seguir: Dependen Variable: SELIC Dae: 06/25/10 Time: 20:15 Sample(adjused): 1996: :05 Included observaions: 173 afer adjusing endpoins C IPCA(-1) IPCA(-2) IPCA(-9) IPCA(-12) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic)

26 Economeria Semesre Houve uma ligeira melhora em ermos do BIC e AIC (que penalizam o número de variáveis no modelo) e uma ligeira piora em ermos da log verossimilhança. A grande vanagem é que ese modelo pode ser usado para previsão um passo à frene se conhecermos a variação do IPCA no mês podemos prever a variação da SELIC no mês +1. O próximo gráfico mosra a evolução emporal dos resíduos e o gráfico seguine o seu correlograma eles parecem esacionariedade dos resíduos! Resíduos, SELIC real e SELIC ajusada pelo modelo Residual Acual Fied Correlograma dos Resíduos

27 Economeria Semesre Eis alguns comenários. Exisem diversas quebras esruurais na série da variação da SELIC, ponos em que a axa subiu abrupamene a inclusão de variáveis dummy para levar em cona esas mudanças radicais seria uma boa idéia; As duas séries são esacionárias de acordo com os eses DF, mas pode haver problemas nas suas variâncias. Na verdade, era aé esperado que esas séries (IPCA e SELIC) não apresenassem endência clara para cima ou para baixo, pois elas são as variações mensais, ano ad SELIC quano do IPCA, ou seja, é como se pegássemos um número índice e fizéssemos a série das diferenças. Seria enador modelar as duas séries nas escalas do log, mas o IPCA eve variação negaiva em pelo menos um mês no período, o que impede o uso do log. Sempre poderíamos enar um modelo do ipo log(k+selic) em log(k+ipca) onde k é suficiene para que IPCA não seja negaivo em qualquer mês, mas acho que isso dificula a compreensão do modelo. Finalmene, se fosse fácil modelar isso, EU seria milionária (e vocês ambém, a esa alura...), e o BACEN não sofreria anas críicas por elevar a axa de juros, suposamene na hora errada... Co inegração e o mecanismo de correção de erro Considere novamene o modelo para exporações como função das imporações. Já vimos que as duas séries são I(1) e exise uma regressão co inegrane. Considere agora o seguine modelo nas primeiras diferenças: ΔEXPORT = α 0 + α 1 *ΔIMPORT + α 2 *u 1 + ε Onde ε é um erro aleaório e u 1 é o erro da equação co inegrane DEFASADO em um insane, ou seja, é o erro da equação em nível DEFASADO em um insane, iso é: u 1 = EXPORT 1 β 1 β2 IMPORT 1 A equação em diferenças acima é chamada de equação do mecanismo de correção de erro. Ela diz que:

28 Economeria Semesre Espera se que o coeficiene α 2 do ermo de correção de erro seja NEGATIVO para garanir o reorno ao pono de equilíbrio. O valor dese coeficiene indica a rapidez com que o equilíbrio é alcançado. ΔEXPORT depende de ΔIMPORT e do ermo de erro de equilíbrio; Se u 1 > 0 e ΔIMPORT = 0. Enão EXPORT 1 esará ACIMA do seu valor de equilíbrio e começará a cair no período seguine para corrigir o erro de equilíbrio; Analogamene, se u 1 < 0 (e enão EXPORT 1 esará ABAIXO do seu valor de equilíbrio), α 2.u 1 será posiivo, o que levará EXPORT a subir. Ajusando a equação de correção de erro no Eviews emos: Dependen Variable: D(EXPORTS) Dae: 06/25/10 Time: 19:44 Sample(adjused): 1995:1 2010:1 Included observaions: 61 afer adjusing endpoins C D(IMPORTS) RESID01(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 3.30E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Noa: D(EXPORTS) e D(IMPORTS) são as 1 as. Diferenças de EXPORTS e IMPORTS respecivamene, e RESID01( 1) é a série de resíduos da equação de EXPORTS em IMPORTS defasada de 1 insane. Da abela anerior vemos que o coeficiene α 2 do ermo de correção de erro é significane a nível 13% e é igual a 0,0717. O ermo consane não é significane nesa equação.