V Curso de Especialização em Mercado Financeiro e Investimentos - MERFI

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1 Economeria Aplicada Pare I V Curso de Especialização em Mercado Financeiro e Invesimenos - MERFI UnB/DCCA - Prof. Oávio Medeiros 1

2 Economeria Economeria é a aplicação de maemáica e esaísica a dados econômicos É ramo da economia que visa dar coneúdo empírico às relações econômicas. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 2

3 O PROCESSO ECONOMÉTRICO Teorias e hipóeses P = P 1 + u P = φp 1 + u H 0 : φ = 1; H 1 : φ < 1 Formulação maemáica/esaísica Modelagem economérica Recursos compuacionais dados Dependen Variable: LOG(P) Mehod: Leas Squares Dae: 03/11/17 Time: 23:41 Sample (adjused): Included observaions: 99 afer adjusmens HAC sandard errors & covariance (Barle kernel, Newey-Wes fixed bandwidh = ) Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. Eviews, R, Saa, Malab, SAS Resulados Análise: inferência esaísica, eses de robusez C LOG(P(-1)) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Hannan-Quinn crier F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Wald F-saisic Prob(Wald F-saisic) Conclusões: os resulados são robusos? Residual Acual Fied Sim Não UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros Publicação 3

4 Ferramenas de análise ípicas UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 4

5 Tipos de variáveis em Finanças Variáveis Comporameno emporal: Esacionárias x Nãoesacionárias (Inegradas/raízes uniárias) Quano à deerminação: endógenas (y ) exógenas (x ) pré-deerminadas (y -1 ) Variáveis binárias (dummy variables) Oavio Medeiros 5

6 Tipos de Dados em Economeria Tipos de dados: séries emporais (); dados cross-seccionais (i); dados em painel (longiudinais) (i,) Frequência: anual, rimesral, mensal, semanal, diária, inradiária, ec. Oavio Medeiros 6

7 Reorno de aivos financeiros capialização discrea: capialização conínua: R P P P 1 P P P R ln ln P ln P 1 P 1 Oavio Medeiros 7

8 Análise de Regressão A principal ferramena da economeria é a regressão Objeivo: descrição e avaliação da relação enre uma variável (dependene) e uma ou mais variáveis (independenes, explanaórias, regressores). A regressão pode ser simples (1 variável independene) ou múlipla (diversas variáveis independenes) As regressões podem ser: lineares, não-lineares, de séries emporais, cross-seccionais, em painel, modelos AR, modelos MA, modelos ARIMA e ARMA, modelos VAR, modelos ARCH, regressão quanílica, regressão MIDAS, modelos com variável dependene limiada, modelos markovianos, ec. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 8

9 Noação Denoa-se a variável dependene por y e as variáveis independenes por x 1, x 2,..., x k onde k é o número de variáveis independenes. Nomes alernaivos para as variáveis y e x: y variável dependene regressando variável efeio variável explicada Variável resposa x variáveis independenes regressores variáveis causais variáveis explanaórias Variável prediora UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 9

10 Regressão x Correlação Quando dizemos que y e x são correlacionadas, significa que esamos raando y e x de uma maneira simérica. Coeficiene de correlação: ρ x,y = cov(x,y) σ x σ y Onde cov(x,y) = covariância enre x e y; x = desvio padrão de x; x = desvio padrão de y. Na regressão, raamos a variável dependene (y) e as independenes (x s) de modo diferene. A variável y é suposamene aleaória ou esocásica, i.e. possui uma disribuição de probabilidades. As variáveis x êm suposamene valores fixos ( não-esocásicos ) em amosras repeidas. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 10

11 Regressão Linear Simples Se emos de valores passados para y e x, podemos consruir um gráfico de ponos com esses valores como coordenadas. A regressão consise em enconrar uma rea que passe pelos ponos com o melhor ajusameno possível. y UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 11 x

12 Regressão Linear Simples a = inercepo ou consane; q = ângulo y b = inclinação da rea q b = g q a UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 12 x

13 Exemplo de Regressão Linear Simples: CAPM CAPM: Modelo de Precificação de Aivos de Capial Pressupõe que, para invesidores com careiras diversificadas, exise uma relação linear enre o reorno em excesso de uma ação e o reorno em excesso da careira de mercado: a f m f a f m f R R b( R R ) ou R R b( R R ) a m R = reorno do aivo; R =reorno da careira de mercado; f R = reorno do aivo livre de risco. Os coeficienes a (Jensen) e b (risco sisemáico) pode ser esimado aravés da regressão: R a R f a b( R m R f ) u UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 13

14 Exemplo de Regressão Linear Simples: CAPM Sejam os seguines dados sobre os reornos em excesso de um fundo de invesimenos e os reornos em excesso de um índice de mercado: Reorno em excesso Reorno em excesso ano do fundo do índice de mercado = R a R f = R m - R f Conforme a eoria do CAPM, queremos saber se há uma relação enre x e y com base nos dados disponíveis e se o bea é posiivo. O primeiro passo seria consruir um gráfico de dispersão. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 14

15 Reorno em excesso do fundo (R i -R f ) Gráfico Excess reurn on fund XXX Excess reurn on marke porfolio Reorno em excesso da careira de mercado (R m -R f ) UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 15

16 A Equação da Rea de Regressão Podemos usar a equação geral da linha rea, y=a+bx para enconrar a linha que melhor se ajusa aos dados. Enreano, essa equação (y=a+bx) é deerminísica: os ponos eriam de esar exaamene sobre a rea. A posição dos ponos em relação à rea é probabilísica. Enão, é necessário acrescenar um erro aleaório, u na equação. onde = 1, 2, 3, 4, 5, ou seja T = 5 y = a + bx + u UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 16

17 O erro aleaório O erro pode capurar vários aspecos: - Um modelo é uma simplificação do mundo real - Sempre haverá variáveis falanes para explicar y - Pode haver erros de mensuração de y que não podem ser modelados. - Influências exernas aleaórias sobre y que não podemos modelar. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 17

18 Deerminação dos coeficienes da regressão Como deerminar a e b? Escolhemos a e b de modo que as disâncias vericais enre os ponos e a rea sejam minimizadas, de modo que a rea se ajuse aos dados o melhor possível: y x UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 18

19 Méodo dos Mínimos Quadrados (MMQ = OLS) O méodo mais comum para ajusar uma rea aos dados é conhecido como mínimos quadrados ou ordinary leas squares (OLS). As disâncias enre cada pono e a rea são elevadas ao quadrado e somadas. Essa soma é enão minimizada. Noação: y são os dados reais y são os ponos correspondenes sobre a rea u são os resíduos, u = y y ŷ UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 19

20 O méodo dos mínimos quadrados foi desenvolvido por Carl Friedrich Gauss em UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 20

21 Méodo dos Mínimos Quadrados (MMQ) UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 21 $ a $ b ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u u u u u ˆ u 2 ˆ y y 2 ˆ u

22 Méodo dos Mínimos Quadrados (MMQ) Os esimadores de mínimos quadrados dos coeficienes de uma regressão simples são: ˆ b x y Txy e ˆ y ˆx x a b 2 2 Tx A demonsração desses esimadores enconra-se em Brooks (2014), pag UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 22

23 Exemplo em finanças: CAPM No exemplo do CAPM, uilizar as 5 observações para esimar a regressão produz as esimaivas α = e β = A equação da rea será: yˆ x Perguna: se uma analisa afirma que espera que o mercado produzirá um reorno 20% maior que a axa livre de risco no próximo ano, qual será o reorno esperado do fundo X? Solução: y = *x, porano, para x = 20 obém-se o valor esperado de y: y = 1,74 + 1,64 20 = 31,06 E R X = 31,06% UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 23

24 Exemplo em finanças: CAPM Modelo economérico: Fórmulas: Solução: Equação: R a R f a b( R m R f ) u ˆ b x y Txy e ˆ a y ˆ b x 2 2 x Tx y x y*x x^2 R L R*L L^ β = α = , , yˆ x 24

25 Exemplo em finanças: CAPM Inerpreação do resulado: yˆ x O inercepo (a de Jensen) negaivo indica que esse fundo de ações perde sisemaicamene para o mercado, não sendo araene, pois uma esraégia passiva (careira de mercado) seria melhor (a 0). O b = 1,64 indica risco sisemáico elevado. Quando o reorno do mercado aumena, o reorno do fundo aumena mais que proporcionalmene; quando o reorno do mercado cai, o reorno do fundo cai mais que proporcionalmene. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 25

26 Exemplo conábil: relação lucro x reorno da ação Desejamos saber se a empresa X apresena uma relação significane enre o reorno da sua ação e a axa de crescimeno dos seus lucros rimesrais. Os lucros são divulgados com 3 meses de defasagem e, porano, o mercado só é informado sobre o lucro 3 meses após o encerrameno do período. A amosra é de 5 observações, conforme abaixo: R L % 15% 2 9% 12% 3 10% 16% 4 9% 11% 5 7% 10% UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 26

27 Exemplo conábil: relação lucro x reorno da ação ˆ b x y Txy e ˆ a y ˆ b x 2 2 x Tx y x y*x x^2 R L R*L L^2 1 8% 15% 1.20% β = % 12% 1.08% % 16% 1.60% α = % 11% 0.99% % 10% 0.70% % 13% 5.57% % 27

28 População e Amosra População é a coleção oal de odos os objeos ou indivíduos a serem esudados, por exemplo: Esamos ineressados em População prever o resulado o eleiorado odo de uma eleição Uma amosra é uma seleção de alguns iens da população: um grupo de eleiores. Uma amosra aleaória e uma amosra em que cada iem individual em a mesma probabilidade de ser escolhido. Censo: quando amosra = população UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 28

29 FRP e FRA A função de regressão populacional (FRP) é uma descrição do modelo que esá suposamene gerando os dados reais e que represena a verdadeira relação enre as variáveis (os valores verdadeiros de a e b). A função de regressão amosral (FRA) é o modelo obido com base nos dados amosrais A FRP é y a bx u A FRA é yˆ ˆ a ˆ b x uˆ y yˆ Usamos a FRA para inferir os parâmeros da FRP. UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 29

30 Linearidade No méodo de mínimos quadrados, precisamos de um modelo linear nos parâmeros (a e b ), mas não necessariamene linear nas variáveis (y e x). Linear nos parâmeros significa que os parâmeros não esão muliplicados enre si, divididos, elevados ao quadrado ou ao cubo, ec. Alguns modelos podem ser ransformados em modelos lineares aravés de uma subsiuição ou manipulação adequada, por exemplo, o modelo de regressão exponencial a b u Y e X e lny a bln X u Fazendo y =ln Y e x =ln X (ln= log naural) y a bx u UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 30

31 Modelos Lineares e Não-lineares Isso é conhecido como modelo de regressão exponencial, onde os coeficienes são inerpreados como elasicidades. Similarmene, se uma eoria sugere que y e x devem ser inversamene relacionados: b y a u x enão a regressão pode ser esimada por mínimos quadrados, subsiuindo 1 z x Alguns modelos são inrinsicamene não-lineares, e.g. y a x b u UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 31

32 Premissas do Modelo Clássico de Regressão Linear Os resíduos êm média zero A variância dos resíduos é consane e finia: homoscedasicidade Ausência de auocorrelação: os resíduos são independenes enre si Não há relação enre os resíduos e a variável x UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 32

33 Premissas da Regressão Linear Uma premissa alernaiva à 4, ligeiramene mais fore, é que os x s são não-esocásicos ou fixos em amosras repeidas ou, ainda exógenas Uma 5 a premissa é necessária para permiir inferências sobre os parâmeros da população (os verdadeiros a e b) a parir dos parâmeros amosrais ( α e β): 5. u possui disribuição normal: u ~ N(0, 2 ) UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 33

34 Propriedades do esimador de mínimos quadrados b $ UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 34

35 Esimaiva da variância dos erros (resíduos) s 2 1 T 2 u 2 u s 2 1 T ˆ 2 u UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 35

36 Esimaiva da Variância dos erros (resíduos) s 2 uˆ 2 T 2 uˆ 2 Graus de liberdade = amanho da amosra menos n o de parâmeros a serem esimados UnB/CCA - Prof. Oávio Medeiros 36

37 Tarefas Esudar: Brooks, C. (2014). Inroducory economerics for finance, 3rd ed. Cambridge. Capíulos 1, 2 e 3. PDF do livro, disponível no sie da disciplina: hps://sies.google.com/sie/oaviomedeiros2009/home/economeria_aplicada_merfi. (ESSENCIAL) Gujarai, D.N. (2004). Basic economerics, 4h ed. McGraw-Hill. Chaper 1 Inroducion. (Sie da disciplina) (opcional) Fazer exercícios: Brooks (2014), chaper 1, self sudy quesions (pag. 27) Brooks (2014), chaper 3, self sudy quesions (paq. 131) Lisa de Exercícios 1 (sie) Lisa de exercícios 2 (sie) Insalar sofware no seu compuador: Eviews (sie: abrir arquivo zipado e insalar usando SETUP) Assisir vídeos: Inroducory Economerics for Finance Lecure 1 (sie) Inroducory Economerics for Finance Lecure 2 (sie) 37