Universidade de Brasília. IE Departamento de Estatística. Estágio Supervisionado em Estatística 2

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1 Universidade de Brasília IE Deparameno de Esaísica Eságio Supervisionado em Esaísica 2 Uilização de modelo de previsão e de gráficos de conrole combinados Shewhar-MMEP para a Arrecadação Média de Tribuos da Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí - SEFAZ/PI Gusavo José de Carvalho Relaório Final Orienador: Prof. Dr. Gladson Luiz da Silva Brasília DF

2 Gusavo José de Carvalho Uilização de modelo de previsão e de gráficos de conrole combinados Shewhar-MMEP para a Arrecadação Média de Tribuos da Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí - SEFAZ/PI Relaório Final de conclusão de curso, apresenado à disciplina Eságio Supervisionada II do Curso Bacharelado em Esaísica Insiuo de Ciências Exaas da Universidade de Brasília. Orienador: Gladson Luiz da Silva Universidade de Brasília Insiuo de Ciências Exaas Deparameno de Esaísica Brasília DF

3 Dedicaória Dedico ese rabalho aos meus pais Guilherme e Nice. 3

4 Agradecimenos A Deus, renovador da minha força, por esar sempre acompanhando meus passos e abençoando cada dia da minha vida. Aos meus pais por odo apoio, cuidado, dedicação e paciência. Por esarem ao meu lado em odos os momenos em que mais precisei. Ao meu irmão Vinicius Carvalho que esá sempre à disposição. Aos meus colegas de curso que, ao decorrer da minha vida acadêmica, iveram papel primordial para o sucesso da conclusão dese ciclo da minha vida. Ao meu orienador Professor Gladson Luiz da Silva, pelo grande esforço, dedicação e paciência para me guiar nos momenos difíceis na elaboração dese rabalho. Ao Professor Jhames Sampaio pela disposição em me ajudar em alguns momenos específicos dese rabalho. À Maria José por fornecer as informações uilizadas nese rabalho e pela colaboração para a realização desa monografia. 4

5 Resumo A preocupação pela presação de serviços de qualidade no seor público desperou à Secrearia da Fazenda do Esado do Piauí buscar o acompanhameno dos seus objeivos e a avaliação dos resulados de seus serviços oferecidos. Esas ações se fazem necessárias para se er conhecimeno se os objeivos da organização esão sendo aingidos. Acompanhar indicadores esraégicos da organização é eapa essencial para o sucesso da avaliação do andameno da Secrearia. Os indicadores são uma forma de medir uma siuação aual conra um padrão previamene esabelecido e, consequenemene, apoiam à análise críica dos resulados, às omadas de decisão e ao planejameno e conrole dos processos da organização. Após esudo do documeno relaivo ao planejameno esraégico da SEFAZ-PI foram idenificados vários indicadores esraégicos, denre os quais foi selecionado o indicador relaivo à Arrecadação Média para ser objeo de esudo nese rabalho, cujo objeivo é ajusar modelos de séries emporais para o indicador e propor o uso combinado dos gráficos de conrole de Shewhar e Média Móvel Exponencialmene Ponderada (MMEP) para os resíduos do modelo ajusado, para que a Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí SEFAZ possa acompanhar o comporameno do indicador e auar de acordo com os resulados alcançados. Palavras-Chave: Conrole Esaísico de Qualidade, Gráficos de Conrole de Shewhar e Médias Móveis Exponencialmene Ponderadas, Modelos de Séries Temporais, Indicadores Esraégicos. 5

6 Absrac The concern for providing qualiy services in he public secor aroused Treasury of he Sae of Piauí o pursue he monioring of is provided services. These acions are needed in order o make sure if he organizaion s objecives are being accomplished. Follow sraegic indicaors of he company is essenial o he success of he evaluaion of he services provided by he Treasury of he Sae of Piauí. Indicaors are a way o measure a curren siuaion agains a paern previously esablished and hence suppor he criical analysis of he resuls, he decision-making and he planning and conrol of he processes of he organizaion. Afer sudying he documens relaed o he sraegic planning of he SEFAZ-PI some sraegic indicaors were idenified, among which he Average Sorage was seleced o be he objec of sudy of his work, whose goal is o adjus he ime series models o he indicaor and propose he combined use of conrol chars from Shewhar and he Exponenially Weighed Moving Average (EWMA) for residues of he adjused model, so ha he Secreary of Treasury of he Sae of Piauí SEFAZ can monior he behavior of he indicaor and chose he course of acion according o he resuls achieved. Keywords: Saisical Process Conrol, Conrol Char of Shewhar, Saisical Qualiy Conrol, Moving Average, Exponenially Weighed, Auo Regressive Inegraed. 6

7 Sumário Capíulo Inrodução Jusificaiva e Moivação Objeivos Gerais Específicos Meodologia Esruura Capíulo Revisão Bibliográfica Análise de Séries Temporais Esacionariedade Modelos ARIMA Modelos Médias Móveis (MA) Modelos Auo-Regressivo de Médias Móveis (ARMA) Os modelos Auo-Regressivo Inegrados de Médias Móveis (ARIMA) Idenificação do modelo Informações de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC) Escolha do modelo Modelos de suavização exponencial Modelos e procedimenos de previsão Análise dos Resíduos Gráficos de Conrole de Shewhar Gráficos de conrole para x e R Gráficos de conrole para x e S Gráficos de Conrole de Shewhar para medidas individuais Gráfico de conrole de Média Móvel Exponencialmene Ponderada Combinado: Shewhar e MMEP Gráficos de conrole para moniorar previsões Capíulo Desenvolvimeno Seleção do Indicador da SEFAZ/PI

8 3.2. Idenificação do modelo de previsão Analise exploraória dos dados Modelagem de suavização exponencial de Hol-Winers Idenificação de modelos ARIMA Preposição dos gráficos de conrole Conrole dos resíduos Conrole da série ransformada Implanação dos gráficos de conrole Capíulo Conclusão Referência Bibliográfica Apêndice 1: Os Quaorze Ponos do Méodo Deming Apêndice 2: Tese de Shapiro-Wilk Apêndice 3: Tese Ljung-Box Anexo 1: Tabela disribuição X

9 Lisa Símbolos A2, B3, B4, D3 e D4 - Coeficienes para consrução gráficos de Shewhar AIC - Criério de Informação de Akaike AICc - Criério de Informação de Akaike corrigido α -Ruído Branco B - Operador de Translação para o Passado BIC - Criério de Informação Bayesiano CEP - Conrole Esaísico de Processos c4- Valor dependene de n para a consrução de gráficos de Shewhar d - Numero de diferenciações realizadas nos modelos ARIMA d2 e d3-faores de correção para a esaísica R H- Inervalo de decisão e- Valor de referencia F - Componene da Sazonalidade de uma Série Temporal k - Numero de defasagens L - Disancia em função de desvios padrões dos limies de conrole para a linha cenral n - Tamanho da amosra n - Tamanho médio da amosra p - Ordem do modelo AR Q - Esaísica do ese de Ljung-Box q - Ordem do modelo MA R - Ampliude de um processo R - Ampliude media S - Desvio padrão amosral S - Media dos desvios padrões amosral 9

10 S - Componene da sazonalidade da série emporal - Tempo de observação de uma série T - Componene da endência de uma série emporal X i - i-ésimaobservação X - Média das observações X - Média das médias as observações Z - Nível de uma série emporal Δ -Desvio do valor nominal δ - Tamanho da mudança da média em unidades de desvio padrão θ Parâmero do modelo de um processo MA(q) λ - Faor de suavização da média móvel μ0 - valor médio desejado do processo, media sob conrole μ1 - valor médio do processo para o esado fora conrole μ - Média da população σ- Desvio padrão da população σ - Desvio padrão esimado Φ -Parâmero do modelo de um processo AR(p) φ k - Função de Auo Correlação Parcial 10

11 Lisa Abreviações AR - Auo-Regressivo ARMA -Auo-Regressivo e de Médias Móveis ARIMA - Auo-Regressivo Inegrado e de Médias Móveis ou Auo-Regressive Inegraed Moving Averages CUSUM - Somas Acumuladas ou Cumulaive Sum FAC - Função de Auo-Correlação FACP - Função de Auo-Correlação Parcial GQT - Gesão de Qualidade Toal LC - Linha Cenral LIC - Limie Inferior de Conrole LSC - Limie Superior de Conrole MA - Médias Móveis MMEP - Médias Móveis Exponencialmene Ponderadas ou Exponenially Weighed Moving Average SEFAZ/PI - Secrearia da Fazenda do Governo do Piauí 11

12 Lisa de Ilusrações Lisa de Gráficos Gráfico 1 - Arrecadação por Conribuine Gráfico 2 - Hisograma de Arrecadação por Conribuine Gráfico 3 - Componene Sazonal da Arrecadação Média da SEFAZ-PI Gráfico 4 - Componene de Tendência da Arrecadação Média da SEFAZ-PI Gráfico 5 - Ajusameno Hol-Winers Adiivo Gráfico 6 - Ajusameno Hol-Winers Muliplicaivo Gráfico 7 - FAC da Arrecadação Por Conribuine Gráfico 8 - FACP da Arrecadação Por Conribuine Gráfico 9 - Arrecadação Média Tranformada Gráfico 10 - FAC da Arrecadação Média Tranformada Gráfico 11 - FACP da Arrecadação Média Tranformada Gráfico 12 - Modelo Ajusado ARIMA(0,1,1) para a Arrecadação Média da SEFAZ-PI Gráfico 13 - Hisograma dos Resíduos Gráfico 14 - Gráfico de Conrole Shewhar Gráfico 15 - Gráfico de Conrole MMEP (Λ = 0,1 E L = 2,7) Gráfico 16 - Gráfico de Conrole MMEP (Λ = 0,2 E L = 2,7) Gráfico 17 - Gráfico de Conrole Shewhar Gráfico 18 - Gráfico de Conrole MMEP (Λ = 0,1 E L = 2,7) 12

13 Lisa de Tabelas Tabela 1 - Comporameno das Funções FAC e FACP para Modelos Esacionários Tabela 2 - Variáveis para Consrução do Indicador Tabela 3 - Arrecadação Média do Esado do Piauí Tabela 4 - Coeficienes Oimizados Tabela 5 - Comparação AIC, AICc E BIC Tabela6 - Tese Ljung-Box Tabela 7 - Shapiro-Wilk Tabela 8 - Resíduos da Série Ajusada à Arrecadação Média Da SEFAZ-PI, Tabela 9 - Limies de Conrole de Shewar para os Resíduos do Modelo Ajusado Tabela 10 - Série Diferenciada da Arrecadação Média Tabela 11 - Limies de Conrole de Shewar para a Arrecadação Média Diferenciada 13

14 Capíulo Inrodução Os princípios de gerenciameno foram inroduzidos por Frederick W. Taylor em um momeno de desenvolvimeno das indúsrias de produção em massa, anes de Já naquela época, Taylor rouxe ideias como a divisão de rabalho em arefas e méodos padronizados de produção e monagem que impacaram posiivamene na qualidade dos bens manufaurados. O conrole esaísico de qualidade inicia-se formalmene com Waler A. Shewhar, em 1924, com a criação do gráfico de conrole. Esa nova écnica permiia disinguir o momeno em que o processo de produção apresenasse algum comporameno fora do padrão. No momeno em que as ferramenas esaísicas para o conrole são implemenadas como pare de um sisema de gerenciameno orienado para qualidade, a gesão passa a ser muio mais eficiene. O gerenciameno da qualidade oal (GQT) realiza esa junção e em como seus principais propulsores W.E. Deming, J. M. Juran e A. V. Feigenbaum. Apesar deses rês imporanes nomes relacionado ao GQT, W. Edward Deming pode ser considerado o principal deles. Aé sua more em 1994, o Dr. Deming foi uma força inspiradora para a melhoria da qualidade ao redor do mundo. Ele acrediava firmemene que a responsabilidade pela qualidade esá no gerenciameno e sua filosofia se resume a 14 ponos para gerenciameno (Apêndice 1). O conceio de qualidade vem evoluindo ao longo dos anos e a gesão de qualidade ornou-se um dos focos das empresas que preendem conquisar vanagem compeiiva sobre os concorrenes. O conrole esaísico de qualidade é uma eapa de suma imporância denro da gesão de qualidade e em como pono chave o acompanhameno do desempenho da organização. 14

15 1.2. Jusificaiva e Moivação Por um moivo de avanço culural, ecnológico e econômico, a preocupação em presar um serviço de qualidade na área pública esá sendo cada vez mais disseminado em nosso país. Um exemplo disso são as parcerias, cada dia mais comum, do governo federal com organizações de consulorias de gesão empresarial. A Secrearia da Fazenda do Esado do Piauí SEFAZ/PI esá realizando um rabalho de acompanhameno de seu planejameno esraégico e de avaliação dos resulados obidos. Essas ações visam elevar seu desempenho e adequar seus objeivos, meas e ações ao Plano de Governo do Esado. Desde 2008, a SEFAZ/PI em invesido em ecnologia, principalmene em sisemas para gesão das aividades desenvolvidas pelo seu público inerno e exerno. Desde enão a Secrearia em armazenado uma quanidade considerável de informações relaivas aos resulados alcançados, que ainda não foram exploradas. Ese rabalho eve o objeivo de idenificar, a parir das informações fornecidas pela SEFAZ-PI, um indicador de desempenho da organização e propor ferramenas esaísicas para seu acompanhameno. Primeiramene, devido à não esacionaridade da série, foi ajusado um modelo de séries emporais ao indicador selecionado. Em seguida, foi proposo o uso de gráficos de conrole esaísico para os resíduos do modelo ajusado à série original que permiam o acompanhameno do processo. Esas ações em como principal finalidade de mosrar a aplicação de écnicas esaísicas a indicador de desempenho esraégico da Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí. 15

16 1.3. Objeivos Gerais Ese rabalho em como objeivo ajusar um modelo de séries emporais para o indicador Arrecadação Média de Tribuos da SEFAZ/PI e propor o uso combinado dos gráficos de conrole de Shewhar e Média Móvel Exponencialmene Ponderada (MMEP) para os resíduos do modelo ajusado Específicos Os objeivos específicos desa monografia são: Ajusar modelo de previsão para o indicador selecionado; Propor gráficos de conrole de Shewhar e de MMEP para os resíduos do modelo ajusado; Paramerizar os gráficos de conrole; Sugerir procedimenos para a implanação dos gráficos de conrole. 16

17 1.4. Meodologia Esa seção apresena a meodologia adoada para o alcance dos objeivos proposos nese projeo. A primeira eapa consise na revisão bibliográfica das écnicas esaísicas que serão abordadas no presene rabalho, sendo elas: Análise de Séries Temporais e Conrole Esaísico de Processo. Anes da revisão bibliográfica propriamene dia, há ambém um breve resumo relacionado à Gesão de Qualidade e Indicadores de Desempenho. Foram consulados livros e arigos que abordam os coneúdos ciados com o inuio de revisar os conceios essenciais e a eoria necessária para o desenvolvimeno do rabalho. Como o principal insumo dos gráficos de conrole são os indicadores, fez-se um esudo minucioso do Planejameno Esraégico da Secrearia de Fazenda do Piauí, o que possibiliou selecionar, denre os indicadores da organização, aquele que seria objeo dese esudo. Selecionado o indicador, foi realizado um esudo descriivo dos dados disponibilizados pela SEFAZ/PI, em especial daqueles relacionados ao indicador selecionado, a Arrecadação Média de Tribuos, que resula da divisão da arrecadação auferida pelo número de conribuines no período. Em seguida, foi verificado se a série relacionada ao indicador era esacionária, iso é, se os dados do processo variavam em orno de uma média fixa de maneira esável e previsível (Mongomaery, Douglas C., 1943, 100). Foi verificado, ambém, se havia correlação serial dos dados. Em virude do indicador selecionado represenar uma série não-esacionária, ese esudo propôs o uso de gráficos de conrole para os resíduos do modelo de séries emporais ajusado para o indicador selecionado. Nese esudo é proposo o uso combinado dos gráficos de conrole de Shewhar e MMEP para os resíduos do modelo ajusado, viso que, quando usados conjunamene, são eficienes para deecção de pequenas ou de grandes perurbações no processo. Enquano o MMEP é uma gráfico eficiene na deecção de pequenas perurbações, os gráficos de Shewhar são eficienes na deecção de perurbações de maior grandeza. Com a combinação desses gráficos o processo 17

18 é inerrompido para avaliação sempre que um dos gráficos, ou ambos, apresenar indicaivo de que o processo saiu de conrole. O passo seguine foi a paramerização dos gráficos sugeridos, decorrene do esudo descriivo do indicador, realizado a parir dos dados disponibilizados pela SEFAZ/PI. Para a realização das análises esaísicas do presene rabalho foi uilizado o Sofware R, que foi basane úil, principalmene, para as análises de séries emporais.. 18

19 1.5. Esruura O rabalho esá esruurado em quaro capíulos, assim exposos: o Capiulo 1 apresena a jusificaiva e moivação dese rabalho, os objeivos gerais e específicos almejados e a meodologia uilizada para sua realização; o Capiulo 2 apresena o referencial bibliográfico uilizado no presene rabalho; o Capiulo 3 apresena o desenvolvimeno do rabalho; e, por fim, são apresenadas as conclusões obidas do rabalho. 19

20 Capíulo 2 Ese capíulo em início com um breve resumo relacionado a assunos de gesão de qualidade e de indicadores de desempenho, e segue com uma revisão bibliográfica das écnicas esaísicas que serão abordadas. A seção 2.1 apresena o ema de Séries Temporais. Na seção 2.2 apresena-se sobre a análises dos resíduos. Os conceios sobre Gráficos de Conrole de Shewhar e MMEP são apresenados nas seções 2.3 e 2.4, respecivamene. O uso combinado dos gráficos será apresenado na seção 2.5. Por fim, o ema de Gráficos de Conrole para moniorar previsões será apresenado na seção 2.6. A Gesão da Qualidade em em Ishikawa um dos principais nomes. Ele propôs o conceio de gesão de qualidade oal (GQT) que razia consigo a ideia de aplicar a gesão de qualidade por oda a empresa. Para Bonilla (1999), o GQT se baseia basicamene em duas fones: uma de naureza écnica, que nasce com Taylor, se desenvolve com os méodos de conrole esaísico de Shewhar, e se consolida com odo o conhecimeno cienífico dos úlimos 40 anos, aravés do rabalho dos grandes mesres: Feigenbaum, Deming e Juran; e oura, de naureza humana, apoiada nas pesquisas sobre comporameno desenvolvidas por Mc Gregor, Herzberg e Maslow e, mais recenemene, na abordagem holísica represenada, enre ouros, por Capra e Ferguson. A gesão de qualidade esá oalmene arelada à mensuração de indicadores e de seu acompanhameno pela a organização, pois são ferramenas inegranes do planejameno esraégico e fundamenais para o conrole de processos de uma organização. A análise dos resulados do processo é necessária para se consaar se os objeivos da organização esão sendo aingidos. Os indicadores são uilizados para verificar se o conexo esá em acordo com padrões previamene esabelecidos e, consequenemene, para apoiar a análise críica dos resulados, a omada de decisão e o planejameno e conrole dos processos da organização. Ese rabalho em foco na naureza écnica da gesão de qualidade, viso que em como objeivo propor gráficos de conrole para indicador esraégico da Secrearia de Fazenda do Piauí SEFAZ/PI. 20

21 2. Revisão Bibliográfica 2.1. Análise de Séries Temporais Uma série emporal é um conjuno de observações ordenadas no empo (não necessariamene igualmene espaçadas) e que apresenam dependência serial, iso é, dependência de insanes de empo (Morein; Toloi, 2006). Segundo Morein e Toloi (2006), uma série emporal é um conjuno de observações compreendidas sequencialmene no empo. Se a série hisórica for denominada como Z, o valor da série no momeno pode ser escrio como Z ( = 1,2,...,n). Um modelo de série emporal para dados observados (z) é uma especificação das disribuições de uma sequência de variáveis aleaórias (Z) da qual (z) é denominada uma realização (Brockwell & Davis, 1996) Esacionariedade Morein e Toloi (2006) dizem que uma das suposições mais frequenes que se faz a respeio de uma série emporal é a de que ela é esacionária, ou seja, ela se desenvolve no empo aleaoriamene ao redor de uma média consane, refleindo alguma forma de equilíbrio esável. Apesar da maior pare das séries enconradas na práica apresena alguma forma de nãoesacionariedade, na maioria dos procedimenos de análise esaísica de séries emporais, supõe-se que esas sejam esacionárias. Uma série emporal {X} é dia ser (fracamene) esacionária se (1) E(X ) = μ ; (2) V(X ) = σ 2 x < ; (3) γ,s = γ s. onde E(X ) é a média da série, V(X ) é a variância e γ,s é a covariância X e X s. 21

22 Porano, um processo esacionário apresena média e variância consanes ao longo do empo e a covariância enre os dois ponos dependene da disância enre esses ponos e independene do empo (Granger & Newbold, 1986). Com isso, caso a série não seja esacionária, será necessário ransformar os dados originais. A ransformação mais comum consise em omar diferenças sucessivas da série original, aé se ober uma série esacionária. (Morein; Toloi, 2006). Z = Z Z 1 (1.0 ) Modelos ARIMA Os modelos ARIMA (p,d,q) são resulados da combinação de rês filros: p o filro Auo- Regressivo (AR), d o de inegração (I) e q o de Médias Móveis (MA); e, para a modelagem de deerminada série emporal, ano se podem uilizar os rês, quano apenas um subconjuno deses (Fava, 2000). A inegração que é represenada pela lera d do modelo ARIMA corresponde a possível diferenciação omada na série para orná-la esacionária, ciada na seção anerior. Caso o modelo não apresene esa componene, ele enão poderá ser um modelo Auo-Regressivo (AR), um modelo de Médias Móveis (MA), ou enão uma junção deses dois que é represenado pela sigla (ARMA) Modelo Auo-Regressivo (AR) O modelo Auo-Regressivo (AR), de ordem p, é um processo ineraivo em que há a idenificação da ordem p aravés da função de auo-correlação; a parir daí, faz-se a esimaiva de um modelo de previsão, bem como a análise dos resíduos para a avaliação da exisência de vieses e/ou grandes erros de esimaivas. Um processo Z é chamado de processo auo-regressivo de ordem p, ou AR(p), se 22

23 Z = 1 Z Z p + α (1.1) onde 0, 1,, p são os parâmeros do modelo e α é o ruído branco. Noe a semelhança com um modelo de regressão múlipla, em que os valores passados de Z fazem o papel das regressoras. Assim, processos AR podem ser usados como modelo se for razoável assumir que o valor aual de uma série emporal depende do seu passado imediao Modelos Médias Móveis (MA) Os modelos de Médias Móveis são gerados a parir de uma média ponderada das perurbações aleaórias ou erros aleaórios da defasagem q. Os modelos MA são semelhanes aos modelos AR, onde, ao invés dos valores passados da série, nese modelo, os valores considerados são os valores correnes dos erros aleaórios e seus q valores passados. O modelo é dado pela forma Z = μ + α θ α 1 θ q α q 1 (1.2) onde μ e θ 1,, θ q são consanes Modelos Auo-Regressivo de Médias Móveis (ARMA) definido como Um processo ARMA(p,q) é uma generalização dos modelos AR(p) e MA(q), sendo Z = 1 Z Z p + α α θ α 1 θ q α q 1 (1.3) Os modelos Auo-Regressivo Inegrados de Médias Móveis (ARIMA) Se d for um número ineiro não-negaivo, enão uma série emporal Z é um processo ARIMA(p,d,q) ou um processo inegrado de ordem d se 23

24 Y = (1 B) d Z = d Z (1.4) for algum processo ARMA(p,q). Ese ipo de modelo é uilizado para séries nãoesacionárias pode-se dizer que um modelo ARIMA (p,0,q) pode ser dio como um modelo ARMA (p,q) Idenificação do modelo Morein e Toloi (2006) apresenam a esraégia para a consrução do modelo que é baseada em um ciclo ieraivo, no qual a escolha da esruura do modelo ocorre nos próprios dados. Os eságios do ciclo ieraivo são: 1. uma classe geral de modelos é considerada para a análise; 2. há idenificação de um modelo, com base na análise de auo-correlações, auocorrelações parciais e ouros criérios como o AIC, AICc e o BIC. 3. a seguir, vem a fase de esimação, na qual os parâmeros do modelo idenificados são esimados. 4. finalmene, há a verificação ou diagnósico do modelo ajusado, aravés de uma análise de resíduos, para se saber se ese é adequado para os fins em visa. Caso o modelo não seja adequado, o ciclo é repeido, volando-se à fase de idenificação. Um procedimeno que é uilizado muias vezes é idenificar não só um único modelo, mas alguns modelos que serão enão esimados e verificados. Se o propósio é previsão, escolherse-á denre os modelos ajusados o melhor, por exemplo, no senido de fornecer o menor erro quadráico médio de previsão Função de Auo-Correlação (FAC) A esaísica de auo-correlação descreve a correlação enre dois valores de deerminada variável, em diferenes períodos de empo. Um coeficiene de auo-correlação ρ 1, que mede a correlação enre a variável no período em relação ao período 1 é chamado de coeficiene de auo-correlação de lag1, assim como um coeficiene de auo-correlação ρ k é dio coeficiene de auo-correlação de lag k. 24

25 Função de Auo-Correlação Parcial (FACP) A FACP é uilizada de forma conjuna com a FAC para a idenificação dos modelos a serem uilizados para a modelagem e previsão da série emporal, podendo ambém auxiliar na idenificação da condição de esacionaridade da série emporal. Para k = 1, os coeficienes de auo-correlação e auo-correlação parcial são idênicos. Para k> 1, pode ser uilizada Equação 1.5 (Maos, 2000) 2 φ k = [ ( 2 + n r) ] 1 2 (1.5) onde é a esaísica do parâmero a k na função Y k = a 0 + a ky k + s, r é o número de repressores incluídos na função, inclusive a consane. A quanidade φ k, encarada como função de k, é chamada função de auo-correlação parcial Informações de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC) Burnham e Anderson (2004), enfaizam a imporância de selecionar modelos baseandose em princípios cieníficos. Denre as diversas meodologias uilizadas para ese fim, as mais comumene usadas são as informações de Akaike (AIC), Akaike Corrigido (AICc) e Bayesiano (BIC), quano a sua performance na seleção de modelos. O Criério de Informação de Akaike (AIC) é definido como AIC p = 2 log(l p ) + 2 [(p + 1) + 1] (1.6) em que L p é a função de máxima verossimilhança do modelo e p é o número de variáveis explicaivas consideradas no modelo. O Criério de Informação Bayesiano (BIC) é definido como 25

26 BIC p = 2 log(l p ) + 2 [(p + 1) + 1] log (n) (1.7) Tano o AIC quano o BIC aumenam conforme a soma quadrada dos erros aumena, ou seja, são preferíveis valores menores de AIC e BIC. Além disso, ambos penalizam modelos com muias variáveis. Como modelos com mais variáveis endem a produzir menor SQE mas usam mais parâmeros, a melhor escolha é balancear o ajuse com a quanidade de variáveis Escolha do modelo A idenificação do modelo segundo as a auocorrelações, auo-correlações parciais seguem o seguine comporameno. Tabela 1 Comporameno das funções FAC e FACP para modelos esacionários Modelo FAC FACP ARMA(p,0) ARMA(0,q) ARMA(p,q) Decaimeno gradaivo Decaimeno brusco, após defasagem q Decaimeno gradaivo, com onda senoidal amorecida, após a defasagem (q-p) Fone: Adapado de Johnson; Mongomery. (1974, p. 469). Decaimeno brusco, após defasagem p Decaimeno gradaivo Decaimeno gradaivo, com onda senoidal amorecida, após a defasagem (p-q) Após as escolha das ordens do modelo a ser ajusado, pela a observação de sua FAC e FACP, deve-se analisar as informações de Akaike e de Bayesiano com descrio na seção anerior Modelos de suavização exponencial O alisameno exponencial é um procedimeno geral para obenção de algorimos de previsão auomáica que produz resulados relaivamene acurados, de maneira rápida e baraa (Granger & Newbold, 1986). 26

27 A forma mais simples de alisameno exponencial é aquela para séries emporais que não possuem sazonalidade nem endência crescene ou decrescene. O objeivo é esimar o nível (ou a média ) presene da série e usá-lo como previsão de valores fuuros. O nível da série no empo é esimado como Z 2 Z 1) Z (1 ) Z... (1.8) ( 1 2 A previsão de odos os valores fuuros é dada pelo úlimo valor exponencialmene suavizado, iso é, Zˆ Zˆ ( h), h 0, (1.9) Z Z (1 ) Z ( h 1), (1.10) 1 que pode ser inerpreada como uma equação de aualização de previsões, quando ivermos uma nova observação. Além disso, a previsão feia de acordo com a equação (1.10) reduz o problema de armazenagem de observações, pois pode ser calculada uilizando apenas uma observação mais recene, a previsão imediaamene anerior e o valor de α. O erro da previsão é definido como e Z Zˆ 1, Z+h sendo ele Supondo a ~N(0, σ a 2 ) podemos consruir um inervalo de confiança assinóico para onde Z ˆ ( h) z a 2 ˆ 2 E( Z ( h)), ˆ Var( Z ( h)) a, z é o coeficiene da N (0,1) e Zˆ ( h) 2 é dado por (1.9)Normalmene é desconhecida e deve ser esimada. 2 a Caso de série emporal apresene endência, a suavização exponencial simples (SES) não é indicada, pois ese ipo de alisameno é recomendado para séries que apresenam endência linear. A suavização exponencial de Hol leva em consideração ese comporameno, pois ele uiliza uma nova consane de suavização pra modelar a endência da série. Os valores do nível e da endência da série, no insane, serão esimados por 27

28 Z AZ ( 1 A)( Z ˆ 1 T 1 ),0<A<1 e = 2,...N, T ˆ C( Z Z 1 ) (1 C) Tˆ 1, 0<C<1 e = 2,...N, respecivamene. A e C são denominados consanes de suavização. Para séries emporais que além de nível e endência apresenem ambém sazonalidade o méodo mais indicado é o de Hol-Winers. Exisem dois ipos de procedimenos para essa meodologia, cujo sua uilização depende das caracerísicas da série considerada. 1 - Série Sazonal Muliplicaiva Considere uma série sazonal com período s. A variane mais usual do méodo HW considera o faor sazonal F como sendo muliplicaivo, enquano a endência permanece adiiva, iso é, Z F T a = 1,...,N. As rês equações de suavização são dadas por ˆ D (1 D) Fˆ s 0<D<1 e = s + 1,..., N. F Z Z Z Z (1 )( ˆ ˆ A 1 1 ) ˆ Z A Z T 0<A<1 e = s + 1,..., N. F s T ˆ C( Z Z ) (1 C) Tˆ, 0<C<1 e = s + 1,..., N. 1 1 e represenam esimaivas do faor sazonal, do nível e da endência, respecivamene; A, C e D são as consanes de suavização. 2 - Série Sazonal Adiiva O procedimeno anerior pode ser modificado para raar com siuações onde o faor sazonal é adiivo 28

29 Z T F a = 1,...,N. As esimaivas do faor sazonal, nível e endência da série são dadas por Z (1 D) Fˆ s Fˆ D Z 0<D<1 e = s + 1,..., N. Fˆ Z (1 A)( Zˆ Tˆ ) Z A Z 0<A<1 e = s + 1,..., N. s T ˆ C( Z Z ) (1 C) Tˆ, 0<C<1 e = s + 1,..., N. respecivamene; A, C e D são as consanes de suavização Previsão As previsões dos valores fuuros da série para dois procedimenos são dadas a seguir. 1 - Série Sazonal Muliplicaiva Zˆ ( h) ˆ Z htˆ s Fˆ hs Z htˆ s Fˆ h s Z ( h) 2 e assim por diane., h = 1,2,...,s, h = s + 1, 2,..., s, 2 - Série Sazonal Adiiva Zˆ ( h) Z htˆ s Fˆ hs, h = 1,2,...,s, ˆ ˆ ˆ h = s + 1, 2,..., s, Z ( h) Z ht s F h2s e assim por diane Modelos e procedimenos de previsão Os esudos eóricos sobre previsão são odos baseados no méodo de mínimos quadrados, usado para calcular valores fuuros a parir de combinações lineares de valores passados. 29

30 Um modelo que descreve uma série não conduz, necessariamene, a um procedimeno (ou fórmula) de previsão. Será necessário especificar uma função-perda, além do modelo, para se chegar ao procedimeno. Uma função-perda, que é uilizada frequenemene, é o erro quadráico médio, embora em algumas ocasiões, ouros criérios ou função-perdas sejam mais apropriadas. Suponhamos que emos observações de uma série emporal aé o insane e queiramos prever o valor da série o insane +h. Diremos que Z (h) é a previsão dez ( + h), de origem e horizone h. O erro quadráico médio de previsão é: ˆ 2 E[ Z( h) Z ( h)]. (1.11) Enão, dado o modelo que descreve a série emporal aé o insane e dado que queremos minimizar erro quadráico médio, obém-se uma fórmula para Z (h). É imporane salienar que a previsão não consiui um fim em si, mas apenas um meio de fornecer informações para uma consequene omada de decisão, visando a deerminar objeivos. 30

31 2.2. Análise dos Resíduos Os resíduos enconrados após o modelo para séries emporais ajusado serão conrolados a parir do combinado dos gráficos de conrole de Shewhar e de MMEP. Para o uso dos gráficos de Shewhar deve ser verificado se os resíduos apresenam disribuição normal, onde alguns dos eses mais conhecidos e uilizados, para aesar esa normalidade, são: Kolmogorov- Smirnov, Anderson-Darling, Shapiro-Wilk, Jarque-Bera, hisograma e a curva de probabilidade normal. Quando a disribuição dos resíduos não seguir a disribuição normal, deve-se fazer uma ransformação dos dados originais. Em muios casos, dados originais não-normais vão gerar previsões ambém não-normais, cujos erros ambém não se aproximarão suficienemene da disribuição normal. Algumas ransformações podem ser: diferenciação, aplicação de logarimos, diferença de logarimos, poenciação, ransformação de Box-Cox, denre ouras. Propriedades esaísicas e aplicação direa de ouros méodos de previsão jusificam esas ransformações. Uma vez que os resíduos apresenem disribuição normal, é possível raçar a curva normal que represene a disribuição da previsão do indicador de arrecadação. No enano, para se alcançar ese nível, é preciso que os processos de previsão sejam bem aplicados e os resulados apresenem-se consisenes, como discuido aneriormene, com seus resíduos possuindo além da disribuição normal, ausência de auocorrelações e de auocorrelações parciais. 31

32 2.3. Gráficos de Conrole de Shewhar Para fins de aprofundameno relacionados aos gráficos de conrole MMEP os arigos de James M. Lucas e Michael S. Saccucci (1990) e Sephen V. Crowder (1987a, 1989) são indicados. Lucas e Saccuci (1990) abordam em seu arigo a forma de uso do gráfico de conrole MMEP, discuem sobre a eficiência desa meodologia, comparam o gráfico de MMEP com os gráficos de conrole de Soma Cumulaiva (CUSUM) e de Shewhar, comenam sobre a eficiência do uso combinado do méodo de MMEP e de Shewhar, e abordam ambém a quesão da robusez do MMEP à Não-normalidade. Em Crowder (1987a, 1989) pode se observar o dealhameno maemáico por raz do gráfico de conrole de médias móveis exponencialmene ponderadas. Os gráficos de conrole de Shewhar são usados para moniorar ano o valor médio das caracerísicas da qualidade, quano a sua variabilidade. Para moniorar o valor médio é usado gráfico de conrole específico para média, enquano para moniorar a variabilidade do processo o gráfico usado é o de conrole para a ampliude ou para o desvio padrão. Assumindo que numa siuação inicial o processo se enconra sob conrole com média 0 e desvio padrão 0, caso haja deslocameno dessa siuação inicial de qualquer uma dessas esaísicas a resulane é uma fração maior da produção fora das especificações e por esse moivo se em a necessidade de se fazer o conrole dessas duas mediadas Gráficos de conrole para x e R Para a consrução do gráfico de conrole para a média e para a ampliude, que podem ambém ser chamados de gráfico de conrole para x e R, precisamos esimar μ e σ. Suponha que conamos com m amosras, cada uma com n observações, onde x x,...,, 2 x m 1 são as médias de cada uma das amosras. Enão o melhor esimador de μ, a média do processo, é a média geral, iso é (Mongomery, 2009) 32

33 x x1 x2... xm (1.12) m Assim x deve ser usado como a linha cenral no gráfico x. Para consruir os limies de conrole, que funcionam como um inervalo de confiança, é necessário esimar o desvio padrão σ. Para ese gráfico especificamene iremos esimar o desvio padrão a parir do méodo das ampliudes, que consise em fazer a diferença enre a maior e a menor observação; iso é, R = xmáx x mín Sejam R1,R2,...,Rm, as ampliudes das m amosras. A ampliude média é: R R1 R2... Rm (1.13) m Podemos enão, com as medidas enconradas, consruir os limies de conrole da seguine forma: Limies de Conrole para o Gráfico de x LSC = Linha Cenral = x LIC = x 2 A R x 2 A R (1.14) onde A2 é consane e enconra-se abulada para vários amanhos de amosra na Tabela VI do Apêndice do livro do Mongomery. A variabilidade do processo pode ser moniorada ploando-se os valores das ampliudes amosrais R em um gráfico de conrole. A linha cenral e os limies de conrole para o gráfico R são os seguines: 33

34 Limies de Conrole para o Gráfico de R LSC = D 4 R (1.15) Linha Cenral = R LIC = R D 3 onde D3 e D4 são consanes e enconram-se abulados para vários amanhos de n na Tabela VI do Apêndice do livro do Mongomery Gráficos de conrole para x e S Embora os gráficos x e R sejam basane uilizados, em algumas siuações é preferível usar os gráficos de conrole x e S, onde S é o desvio padrão amosral. Siuações essas quando o amanho da amosra n é grande ou quando o amanho de n é variável. A consrução dos gráficos de conrole x e S seguem praicamene a mesma sequência de eapas que dos gráficos de x e R, exceo que, para cada amosra, emos que calcular a média amosral x e o desvio padrão amosral S. O desvio padrão amosral S não é um esimador não-viesado para σ, o que ele na verdade esima é c4σ, onde c4 é uma consane que depende do amanho da amosra n. Além disso, o desvio padrão S é o σ = 1 c 2 4. Essa informação pode ser usada para definir os gráficos de conrole para x e S. Considere o caso onde o valor de referência é dado para σ. Como E(S)= c4σ, a linha cenral para o gráfico é c4 σ. Os limies de conrole rês-sigma são enão LSC = c 3 c LIC = c 3 c Como definimos que S esima c4σ podemos dizer que S /c 4 é um esimador não-viesado de σ. Enão, os parâmeros para o gráfico S são S /c 4 34

35 É cosume definir as duas consanes c B5 = 3 c c B6 = c Como definimos que S esima c4σ podemos dizer que S /c 4 é um esimador não-viesado de σ. Enão, os parâmeros para o gráfico S são 2 4 LSC = S S 3 1 c c Linha Cenral = S LIC = S S 3 1 c c É usual definir as consanes B3 = c c e B4 = c c Consequenemene, obém-se os parâmeros do gráfico S como LSC = Linha Cenral = S S B 4 (1.16) LIC = S B 3 35

36 Noe que B4 = B6/c4 e B3 = B5/c4e que os valores de B5 e B6 são abulados para vários amanhos de amosra na Tabela VI do Apêndice do livro do Mongomery. Quando S /c 4 é usado para esimar σ, podemos definir os limies de conrole para o gráfico x correspondene como LSC = 3S x c n 4 Linha Cenral = x LIC = 3S x c n 4 Definimos a consane A3 = 3, e por fim os parâmeros do gráfico x c 4 n se ornam Gráfico de conrole de Shewhar Linha Cenral = x LSC = LIC = x 3 A S x 3 A S (1.17) As consanes B3, B4, e A3 para a consrução dos gráficos x e S, obidas aravés de dados passados, enconram-se lisadas na Tabela VI do Apêndice no livro do Mongomery para diversos amanhos de amosra Gráficos de Conrole de Shewhar para medidas individuais Exisem siuações que o amanho da mosra consise em uma única unidade individual, para eses casos é usado o gráfico de conrole de Shewhar para medidas individuais. 36

37 Os procedimenos para a consrução do gráfico de conrole para a média são basicamene os mesmos, onde se diferencia simplesmene pelo fao de que, por conarmos com apenas uma observação por amosra, os cálculos dos limies se dão pela média dessas observações individuais, ou seja, em vez de se ober amosrada. x calcula se x de cada observação Para conrolar a variabilidade do processo consruímos um gráfico de conrole para a ampliude móvel. Ese procedimeno consise no uso da ampliude móvel em duas observações consecuivas e é definida como MR i x i x i1 A obenção dos limies para gráfico de conrole é feio da mesma forma como descrio em 1.14 e 1.15 para o gráfico de conrole de Shewhar, com a diferença de que em vez de se usar R, para o gráfico de conrole de Shewhar para medidas individuais se é uilizada a média de MR, ou seja, MR. 37

38 2.4. Gráfico de conrole de Média Móvel Exponencialmene Ponderada Para a deecção de pequenas perurbações no processo, o gráfico de conrole da média móvel exponencialmene ponderada (MMEP) é alamene recomendável e uma boa alernaiva ao gráfico de conrole de Shewhar. O MMEP em geral é mais uilizado para conrole de amosras com observações individuais e ele será assim descrio abaixo. O gráfico MMEP é definido como z i (1.18) x i ( 1 ) zi 1 onde 0 < λ 1 é uma consane com função de dar peso para observações aneriores. O valor inicial é o alvo do processo, de modo que z0 0 Em alguns casos a média de dados preliminares é usada como o valor inicial do MMEP, de modo que z x 0. Se as observações são variáveis aleaórias independenes com variância 2, enão a variância de z i é 1 (1 ) i z i Podemos enão definir a linha cenral e os limies de conrole para o gráfico de conrole MMEP da seguine forma: O Gráfico de Conrole MMEP 2i LSC = L 1 (1 0 ) 2 (1.19) Linha Cenral = 0 38

39 2i LIC = L 1 (1 0 ) 2 2i Noe que o ermo 1 (1 ) se aproxima de 1 a medida que i se orna grande fazendo com que os limies superior e inferior de conrole sejam a parir de um momeno valores fixos. Para grupos racionais de amanho n 1, enão simplesmene subsiuímos x i por x i, e por n nas equações aneriores. x 39

40 2.5. Combinado: Shewhar e MMEP Lucas (1973) mosra que os gráficos de conrole de Shewhar deecam grandes perurbações no processo de forma mais rápida, já os gráficos MMEP, como viso aneriormene, são basane recomendados para deecar pequenas perurbações. A combinação dessas duas meodologias oferece, na maioria dos casos, um aperfeiçoameno no conrole do processo, uma vez que, ano em casos de pequenas ou grandes perurbações elas serão deecadas. O conrole combinado dos dois gráficos se resume em fazer o conrole para o gráfico de médias moveis exponencialmene ponderadas quano para o gráfico de Shewhar e esperar o momeno que qualquer um dos méodos saiam de conrole para que o processo seja parado 40

41 2.6. Gráficos de conrole para moniorar previsões Como discuido na seção 1.4, os resíduos de um modelo de previsão devem ser aleaórios, cenrados em zero, e ão pequenos quano possível. Desa forma as previsões erão boa acuracidade e odo padrão possível de ser enconrado na série emporal esará modelado, deixando para os resíduos apenas uma componene aleaória. Quando houver alguma perurbação ao processo e o indicador começar as se comporar de maneira diferene os resíduos enconrados a parir do modelo proposo ambém se comporará de forma disina. Ese problema poderá ser deecado a parir da proposição dos gráficos de conrole aplicados aos resíduos, de forma que quando um pono (o resíduo de um período) esiver além dos limies de conrole, enão houve alguma mudança no processo que deve ser verificado, pois o modelo não esá sendo mais adequado aos dados. Assim, a combinação dos gráficos de Shewhar e MMEP orna-se válida, pois se houver um resíduo grande em um único período, há boas chances de ele ser deecado pelo gráfico de Shewhar, enquano que para um pequeno padrão consane nos resíduos o gráfico MMEP mosra-se eficaz para sua deecção. Logo, a combinação das duas eorias apresenasse como a alernaiva naural para moniorar ese processo. Em Aienza e al. (1997) é realizado uma comparação enre algumas eapas dos processos de previsão e de conrole esaísico com uso de gráficos de conrole. Enquano o modelo de previsão realiza a esimação de parâmeros para a equação de previsão, o gráfico de conrole calcula os limies de conroles. Para o conrole esaísico de processos, quando um pono é localizado além dos limies de conrole considera-se que o processo esá insável esaisicamene que, porano ele deve ser parado para se observar o moivo da insabilidade do processo. 41

42 Capíulo 3 3. Desenvolvimeno 3.1. Seleção do Indicador da SEFAZ/PI A principal influência para a formulação do indicador a ser conrolado foi o impaco que ele poderia causar nos principais objeivos da Secrearia de Fazenda do Piauí perane a sociedade. A parir, enão, da missão da SEFAZ-PI que se compromee em Promover, com alo desempenho, as aividades de ribuação, fiscalização e arrecadação, bem como a gesão da políica financeira e conábil do Esado, primando pela excelência no aendimeno e conribuindo para a elevação da consciência fiscal e do desenvolvimeno do Piauí (Sie SEFAZ-PI), foi considerado de suma imporância a geração do indicador arrecadação para que ese seja analisado e acompanhado. A arrecadação da Secrearia de Fazenda do Piauí pode ser realizada de duas formas diferenes e seguem o seguine processo: a) O Conribuine gerando o DAR Documeno de Arrecadação As Aplicações como Declaração de Informações Fiscais, realizada mensalmene pelos conribuines, GIA (Declaração para Conribuines de Ouros Esados, Aviso de Débio, Parcelameno e Auo de Infração, geram o DAR) Documeno de Arrecadação para o Conribuine. O conribuine faz o pagameno desa DAR na rede bancária. A rede bancária envia a confirmação pagameno elerônico à SEFAZ. Na SEFAZ, de forma auomaizada, o Sisema Inegrado faz o recebimeno e processameno dos arquivos de arrecadação de 15 em 15 minuos. Após processados os arquivos de confirmação, ocorre o incremeno da arrecadação com os pagamenos efeuados. b) Os Posos Fiscais e Agencias Off-Line da SEFAZ gerando o DAR Documeno de Arrecadação 42

43 Nos Posos Fiscais ou Agências Off-Line é gerado o DAR Documeno de Arrecadação para o Conribuine via Sisema de Cobrança ou via Documeno Manual. Uma aplicação de Caixa é uilizada para o recebimeno desa arrecadação, sendo um caixa abero diariamene. Todos os caixas aberos devem ser fechados diariamene. Os regisros de arrecadação recebidos são incremenados a arrecadação a SEFAZ-PI. O esquema a seguir resume como esá esruurado o processo de arrecadação feia pela Figura 1 Esquema de arrecadação Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí Essas informações são armazenadas no Sisema Inegrado de Adminisração Tribuária, que é aualizado com as novas arrecadações de 15 em 15 minuos. É desse sisema que a variáveis dias como essenciais para a composição do indicador arrecadação são geradas, sendo elas: 43

44 PERIODO Campo DATA_ARREC TIPO_TRIBUTO TOT_PAGO Tabela 2 Variáveis para consrução do indicador Período que houve a arrecadação Exemplo: (Fevereiro 2012) Daa da arrecadação Tipo de receia arrecadada Exemplo: ICMS - Anecipação Parcial Toal arrecadado CONTRIBUINTE Quanidade de conribuines Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí Descrição Devido à variação mensal do número de conribuines, o indicador selecionado para análise foi a arrecadação média mensal realizada pela SEFAZ-PI. Para se chegar a quanidade de conribuines real responsáveis pela arrecadação da SEFAZ PI em deerminado período, foram consideradas a quanidade de conribuines inscrios na Secrearia e a quanidade de conribuines não inscrios. As siuações de conribuines inscrios são descrias no Decreo No , de 23 de Dezembro de Regulameno de ICMS do Esado do Piauí no Arigo 202: Ar São obrigados á inscrição no Cadasro de Conribuines do Esado do Piauí anes de iniciarem suas aividades: I - o comerciane, o indusrial, o produor e o exraor de mercadorias; II - presador de serviços de ranspores ineresadual e inermunicipal e de comunicação; III - a cooperaiva; IV - a insiuição financeira e a seguradora; V - a empresa de consrução civil ou similar; VI - a concessionária ou permissionária de serviço público de ranspore de comunicação e de energia elérica; VII - o presador de serviços não compreendidos na compeência ribuária dos municípios, que envolvam fornecimeno de mercadorias; VIII - o presador de serviços compreendidos na compeência ribuária dos municípios, que envolvam fornecimeno de mercadorias ressalvadas em Lei Complemenar; IX - o armazém geral e congênere; X - as demais pessoas naurais ou jurídicos de direio público ou privado, que pariciparem habiualmene em nome próprio ou de erceiros de operações relaivas à circulação de mercadorias ou presação de serviços conforme definido nese regulameno; XI - os Leiloeiros Oficiais, observado o disposo nos ars. 821 a 829; 1o. Todo aquele que produzir em propriedade alheia e promover a saída de produos em seu próprio nome fica ambém obrigado à inscrição; Os conribuines não inscrios são aqueles sem inscrição esadual na SEFAZ-PI, mas que paricipam da arrecadação da Secrearia de forma não regular em algumas ransações como: 44

45 emissão de Noa Fiscal avulsa, pagameno de axas DETRAN e ouras axas públicas. Porano, esses conribuines ambém devem ser considerados para o cálculo do indicador. Para a consrução dese indicador divide-se a quanidade arrecadada pelo esado no mês, pela quanidade de conribuines que foram responsáveis pela a arrecadação de Piauí naquele mês. Arrecadação Média = Arrecadação mensal do Esado do Piauí Conribuine resposnsavei pela a arrecadação 45

46 3.2. Idenificação do modelo de previsão Esa seção apresena os passos realizados para a idenificação do modelo de série emporal ajusado. Esa eapa é de suma imporância, pois da diferença enre a série observada e o modelo ajusado são gerados os resíduos que serão conrolados para acompanhameno do processo Analise exploraória dos dados O primeiro passo realizado foi uma análise descriiva da série para se observar suas caracerísicas e, assim, se er uma ideia inicial de quais modelos seriam possíveis candidaos para o ajuse. O gráfico a seguir apresenar a série emporal do indicador arrecadação mensal por conribuine, de 2008 ao final de Gráfico 1 : Arrecadação por conribuine Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí 46

47 Percebe-se que a série apresena uma endência de crescimeno no decorrer dos anos e um comporameno que pode represenar a presença de sazonalidade. Tabela 3 : Arrecadação média do Esado do Piauí JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ ,94 59,75 52,41 51,37 58,65 67,34 64,35 67,61 77,02 99,22 102,11 73, ,94 75,48 77,02 74,63 69,97 68,43 69,32 74,92 72,61 90,44 106,64 96, ,56 81,65 81,23 79,34 79,16 82,12 84,47 80,75 91,91 93,49 95,23 105, ,05 105,89 92,54 101,30 91,93 90,72 94,54 94,16 110,93 122,89 136,02 132, ,41 106,92 115,43 103,04 105,43 109,38 106,35 116,70 109,74 120,62 112,20 134,52 Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí A seguir, apresena-se o hisograma da série da arrecadação por conribuine, que expõe a frequência das arrecadação por conribuine em reais. Gráfico 2 : Hisograma de arrecadação por conribuine A parir da visualização do gráfico e endo o valor do coeficiene de assimeria igual a 0,132, pode-se afirmar que a disribuição apresena uma boa simeria com uma leve endência 47

48 à direia. O coeficiene de curose é de -0,576, sugerindo que a disribuição de arrecadação por conribuine é plaicúrica. Fica clara a não normalidade nos dados. O gráfico a seguir apresena a componene sazonal da arrecadação média por conribuine. Gráfico 3 : Componene sazonal da arrecadação média da SEFAZ-PI O Gráfico 3 mosra claramene a presença de sazonalidade na série, com um comporameno homogêneo e esável em odos os anos da série. O Gráfico 4 apresena a componene de endência da arrecadação média por conribuine do Esado do Piauí. 48

49 Gráfico 4 : Componene de endência da arrecadação média da SEFAZ-PI Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí Pode-se perceber que a série apresena uma clara endência de crescimeno no período observado. A parir desses resulados, decidiu-se por realizar uma modelagem de suavização exponencial capaz de capar a sazonalidade e a endência apresenada pelo indicador Modelagem de suavização exponencial de Hol-Winers Um modelo que parece ser razoável para a série em esudo é o alisameno exponencial proposo por Hol-Winers, viso que considera a componene sazonal, na forma muliplicaiva ou adiiva. A seguir são apresenados os coeficienes para esas duas meodologias. 49

50 Tabela 4 Coeficienes oimizados alpha bea gamma H.W. (adiivo) 0,20 0,00 0,62 H.W. (mul.) 0,17 0,00 0,67 Percebe-se uma pequena diferença enre os coeficienes esimados para os modelos adiivo e muliplicaivo, cujos Gráficos 5 e 6 apresenam os ajusamenos realizados para a arrecadação média por conribuine. Gráfico 5 : Ajusameno Hol-Winers adiivo 50

51 Gráfico 6 : Ajusameno Hol-Winers muliplicaivo A comparação visual revela uma diferença mínima enre os modelos proposos, e que os modelos não esão bem ajusados aos dados, o que moivou a consideração de um modelo ARIMA Idenificação de modelos ARIMA As eapas a serem seguidas para a idenificação do melhor modelo ARIMA para série original são especificadas pela meodologia proposa por Box e Jenkins. A primeira eapa baseia-se no comporameno das funções de auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) dos dados. Os Gráficos 7 e 8 apresenam a FAC e a FACP da ARRECADAÇÃO POR CONTRIBUINTE respecivamene. 51

52 Gráfico 7 : FAC da arrecadação por conribuine Gráfico 8 : FACP da arrecadação por conribuine Para alcançar a condição de esacionaridade para ajuse do modelo ARIMA, omou-se a 1ª. diferença da série. O Gráfico 9 apresena o modelo ajusado. 52

53 Gráfico 9 : Arrecadação média ranformada As funções de auocorrelação e de auocorrelação parcial, como dio aneriormene, ajudam na escolha do modelo ARIMA a ser selecionado para se ajusar a série. Seguem, enão, os Gráficos 10 e 11 apresenam a FAC e a FACP da série ransformada, respecivamene. 53

54 Gráfico 10 : FAC da arrecadação média ranformada Gráfico 11 : FACP da arrecadação média ranformada A FAC e a FACP indica que o modelo de médias móveis parece ser mais adequado para descrever o comporameno da série. Uma forma de confirmar esa afirmação é ajusando alguns modelos ARIMA e comparando suas informações de AIC, AICc e BIC, onde os menores deles recomendam o melhor modelo ajuse. 54

55 Tabela 5 : Comparação AIC, AICCc e BIC AIC AICc BIC ARIMA(1,1,0) -67,86-67,64-63,74 ARIMA(2,1,0) -69,30-68,86-63,12 ARIMA(0,1,1) -90,24-90,02-86,12 ARIMA(0,1,2) -88,24-87,80-82,06 ARIMA(1,1,1) -88,25-87,90-82,07 Os menores valores de AIC, AICc e BIC reraam qual o modelo que melhor se ajusou aos dados, porano pode-se afirmar que o modelo que deve ser escolhido é o ARIMA(0,1,1). O Gráfico 12 apresena o modelo ajusado à série em esudo. Gráfico 12 : Modelo Ajusado ARIMA(0,1,1) para a Arrecadação Mèdia da SEFAZ-PI Visualmene o modelo esimado parece saisfaório. Para confirmar que o modelo foi bem ajusado, faz-se o ese de Ljung-Box e o ese de normalidade para os resíduos do modelo. A Tabela 4 apresena os resulados do ese de Ljung-Box, que foi realizado considerando-se o lag=1, pois foi esa a ordem do modelo considerado. Tabela 6 : Tese Ljung-Box Qui-quadrado = 5e-04 gl = 1 p-valor = 0,9828 A normalidade dos resíduos, condição necessária para o conrole do gráfico de Shewhar, foi verificada pelo ese de Shapiro-Wilk. 55

56 Gráfico 13 : Hisograma dos Resíduos O hisograma dos resíduos apresena um comporameno de normalidade deses dados, hipóese confirmada a parir do ese de Shapiro-Wilk, cuja hipóese nula remee à não normalidade dos resíduos. Shapiro-Wilk W = p-valor = Os resulados apresenados na Tabela 5 confirmam a normalidade dos resíduos, o que aesa, porano, que os resíduos reúnem condições necessárias para serem conrolados pelo gráfico de Shewar. 56

57 3.3. Preposição dos gráficos de conrole Foram proposas duas alernaivas para a realização do conrole da arrecadação média da Secrearia da Fazenda do Esado do Piauí. Primeiramene, é apresenada o conrole esaísico dos resíduos gerados a parir do modelo de série emporal esimado para a série em quesão. A segunda, apresenada como forma alernaiva, de caráer operacional, para o conrole da arrecadação média que não depende do ajuse do modelo de séries emporais para o indicador Conrole dos resíduos Os resíduos gerados a parir do modelo ARIMA(0,1,1) ajusado à série emporal da arrecadação média da SEFAZ PI são apresenados na Tabela 5. Tabela 8 Resíduos da série ajusada à arrecadação média da SEFAZ-PI, JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ ,00-0,19-0,02 0,12 0,10-0,09 0,01 0,09 0,19-0,04-0, ,09 0,06-0,01-0,06-0,09-0,04 0,00 0,06-0,05 0,20 0,14-0, ,06-0,15-0,02-0,04-0,02 0,02 0,01-0,06 0,11 0,00 0,00 0, ,10 0,07-0,15 0,07-0,11-0,03 0,03-0,02 0,15 0,08 0,08-0, ,09-0,16 0,06-0,13 0,01 0,02-0,04 0,08-0,08 0,08-0,09 0,17 Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí O conrole será realizado a parir da combinação do gráfico de Shewhar e de MMEP. Caso seja regisrado, em qualquer dos gráficos, alguma observação esiver fora dos limies de conrole, a SEFAZ-PI deverá invesigar a causa do fao gerador. O primeiro gráfico a ser consruído é o de Shewhar. Para a realização do conrole a deve-se calcular a média dos dados e seu desvio padrão. Assim, para os resíduos em-se como média e desvio padrão -0,0081 e 0,1033, respecivamene. A parir desas esaísicas são consruídos o limie superior e o limie inferior do gráfico, obidos a parir da soma da média a 3 desvios para o LS e da diminuição da média a 3 desvios para o LI. O limie cenral (LC) é a própria média do processo. Tabela 9 : Limies de conrole de Shewar para os resíduos do modelo ajusado 57

58 LIC LC LSC -0,382-0,0082 0,301 Gráfico 14 : Gráfico de conrole Shewhar 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3-0,4-0, Arrecadação média LIC LC LSC Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí Para o conrole combinado, analisa-se paralelamene o gráfico de MMEP com μ 0 = 0, λ = 0,1 ou 0,2 e L = 2,7, conforme recomenda Mongomery (2009) e as fórmulas uilizadas para a consrução dos limies esão em (1.19). Gráfico 15 : Gráfico de conrole MMEP (λ = 0,1 e L = 2,7) 8,0000 6,0000 4,0000 2,0000 0,0000-2, ,0000-6,0000-8,0000 Zi LSC LIS LC 58

59 Gráfico 16 : Gráfico de conrole MMEP (λ = 0,2 e L = 2,7) 0,0800 0,0600 0,0400 0,0200 0,0000-0, ,0400-0,0600-0,0800 Zi LSC LIS LC No acompanhameno dos dois gráficos de forma combinada, pode-se perceber que somene no gráfico de Shewhar ocorre uma siuação fora de conrole. Ao analisar a causa dese pono discrepane, percebe-se que a arrecadação média da SEFAZ PI apresenava um crescimeno de forma esável no decorrer do ano de 2008, quando no mês de dezembro verificou-se uma queda considerável, resulando num resíduo discrepane o suficiene para ser deecado como um pono fora de conrole no gráfico de Shewhar, o que remee a uma análise para ese período no inuio de deecar qual foi o moivo para esa queda da arrecadação média da SEFAZ-PI Conrole da série ransformada Exise a possibilidade de se fazer o conrole da arrecadação média, sem a necessidade de esimação do modelo de séries emporais. Nesa siuação o conrole deve ser realizado a parir da simples diferenciação da série original. A vanagem desa alernaiva é a possibilidade de se realizar o conrole esaísico de uma forma menos rabalhosa no pono de visa maemáico o que, com cereza, faciliaria a implemenação do conrole esaísico de processo à Secrearia. Por ouro lado, não seria esimado um modelo ao indicador esraégico, perdendo 59

60 assim odos os benefícios que um modelo esimado pode proporcionar como, por exemplo, a previsão de valores fuuros. A Tabela 7 expõe os dados obidos a parir da série diferenciada. Tabela 10 Série diferenciada da arrecadação média JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ ,81-7,34-1,04 7,27 8,69-2,99 3,26 9,40 22,20 2,90-28, ,43 6,55 1,54-2,40-4,66-1,54 0,89 5,60-2,31 17,83 16,20-10, ,61-10,90-0,42-1,89-0,18 2,96 2,35-3,72 11,16 1,58 1,74 10, ,65 8,84-13,36 8,76-9,37-1,21 3,82-0,38 16,77 11,96 13,13-3, ,19-16,50 8,51-12,39 2,38 3,95-3,03 10,34-6,96 10,88-8,42 22,32 Fone: Secrearia de Fazenda do Esado do Piauí Para a proposição do gráfico de conrole de Shewhar esimou-se a média e o desvio padrão da série, que são 1,4 e 9,62, respecivamene. O cálculo dos limies de conrole foram calculados a parir da fórmula (1.17), onde a consane A3 é igual a 3 pela convenção uilizada 3σ. Tabela 11 :Limies de conrole de Shewar da arrecadação média diferenciada LIC LC LSC -27,45 1,399 30,25 Gráfico 17 : Gráfico de Conrole Shewhar Arrecadação média LIC LC LSC 60

61 Para o conrole combinado, analisa-se paralelamene o gráfico de MMEP, cuja linha cenral é baseada em μ 0 = 0. Para a paramerização do gráfico Mongomery (2009) recomenda: λ = 0,1 ou 0,2 e L = 2,7. As fórmulas uilizadas para a consrução dos limies esão em (1.19). Gráfico 18 : Gráfico de conrole MMEP (λ = 0,1 e L = 2,7) Zi LSC LIS LC A alernaiva de se conrolar a diferença da série original de arrecadação média apresenou resulados similares aos obidos pelo uso do conrole dos resíduos a parir do modelo esimado. Imporane observar que o pono fora de conrole se apresenou mais próximo do limie de conrole do que a alernaiva apresenada aneriormene. Porano poderia aconecer dese ipo de conrole não deecar, em uma siuação de perurbação, onde na verdade pode sim er havido. 61

62 3.4. Implanação dos gráficos de conrole Apresena-se a seguir alguns passos que a SEFAZ-PI precisa seguir para o sucesso da implanação dos gráficos de conrole em seus processos (Mongomery, 2009). Deerminação de quais caracerísicas dos processos conrolar; Deerminação de onde, no processo, os gráficos devem ser implemenados; Escolha do ipo próprio de gráfico de conrole; Seleção dos sisemas de colea de dados e dos programas de compuador; Ações de melhoria dos processos como resulado do CEP/análise do gráfico de conrole. 62

63 Capíulo 4 4. Conclusão A Secrearia de Esado da Fazenda do Piauí vem promovendo o acompanhameno de seus objeivos e a avaliação de seus serviços oferecidos no inuio de verificar se os objeivos da organização esão sendo aingidos. Ese rabalho ajusou modelos de séries emporais para um dos indicadores esraégicos da SEFAZ/PI e propôs o uso combinado dos gráficos de conrole de Shewhar e Média Móvel Exponencialmene Ponderada (MMEP) para os resíduos do modelo ajusado. A seleção do indicador pariu do esudo dos objeivos esraégicos da SEFAZ-PI, que em como missão promover a arrecadação ribuária no esado. O indicador proposo para conrole foi a Arrecadação Média, que consise na arrecadação oal pela quanidade de conribuines. Os dados uilizados para análise êm início em 2008, ano que o Sisema Inegrado de Adminisração Tribuário foi implemenado. Na análise inicial do indicador, percebeu-se um comporameno de endência de crescimeno da arrecadação média, o que ornaria inviável o conrole esaísico. A solução para ese problema foi a esimação de modelos de séries emporais a ese indicador no inuio de gerar resíduos com propriedades que ornariam o conrole esaísico possível. Por apresenar endência e uma aparene sazonalidade, o primeiro modelo ajusado foi o alisameno exponencial de Hol-Winers. Ese modelo não se adequou bem a série gerando resíduos com um comporameno que impossibiliou o conrole esaísico. Foram enão esados os modelos ARIMA, proposos por Box & Jenkins. A escolha do modelo ocorreu após análise das funções de auo correlação, auo correlação parcial e das informações AIC, AICc e BIC, cujo modelo selecionado foi o ARIMA(0,1,1). Os resíduos da série original com o modelo ajusado apresenaram as propriedades necessárias para a realização do conrole esaísico, ou seja, eram esacionários e seguiam a 63

64 disribuição de probabilidade da normal. Para a verificação desas propriedades foram uilizados o Tese de Ljung-Box e de Shapiro Wilk. Foi ambém proposa uma meodologia mais simples para a obenção dos dados para conrole. Esa alernaiva consisiu a preposição dos gráficos de conrole para os dados da série de arrecadação média diferenciada, ou seja, realizou-se a diferença de uma observação com a sua anerior para ober uma série que apresenasse as condições necessárias para conrole. Apesar de ser mais simples e de mais fácil implemenação quando comparada à primeira proposa, deve-se enender que a esimação de um modelo para a série raz inúmeros benefícios (como previsões), embora maior complexidade envolvida em sua análise. Para as duas alernaivas proposas foram submeidos aos gráficos de conrole Shewhar e de MMEP. Os resulados revelaram um pono fora de conrole e ao analisar os dados originais pode-se perceber um comporameno anormal da série naquele período (dezembro/2008), o que indica que de haver necessidade de um esudo mais minucioso da arrecadação no dado período. 64

65 Referência Bibliográfica ATIENZA, O. O., ANG, B. W., TANG, A. C. Saisical process conrol and Forecasing, Inernaional Journal of Qualiy Science, v. 2 n. 1, BONILLA José A. Gesão da Qualidade Toal para Produores de Café. Universidade Federal de Lavras. 183 p, BROCKWELL, P.J. e Davis, R.A. Inroducion o Time Series and Forecasing. NewYork: Springer-Verlag BURNHAM, K. P.; ANDERSON, D. R. Muli model inference: undersanding aic and bic in model selecion. Sociological Mehods and Research. Beverly Hills, v.33, n.2, p , DEMING, W. E. Qualidade: A Revolução da Adminisração. Rio de Janeiro: Marques Saraiva, FAVA, V. L.: Analise de Séries de Tempo. São Paulo: Ed. Alas, 2000 GOMES, Paulo J. P. A evolução do conceio de qualidade: dos bens manufacurados aos serviços de informação, Cadernos BAD. Lisboa: APBAD, v. 2, p. 6-18, GRANGER, C.W.J. e Newbold, P Forecasing Economic Time Series. New York: Academic Press ISHIKAWA, Kaoru, Conrole da qualidade oal: à maneira japonesa, radução Iliana Torres, 2ª Ed., Rio de Janeiro: Campus, 193, LUCAS, J. M. e SACCUCI, M. S. Exponenially Weighed Moving Average Conrol Schemes. Properiesand Enhancemens. Technomerics 32, 1-12, LUCAS, J.M. - A Modified V Mascara Conrol Scheme, Technomerics, 15(4) p , MATOS, O. C. Economeria básica: eoria e aplicações. São Paulo: Alas, 2000 MONTGOMERY, Douglas C. Inrodução ao Conrole Esaísico de Qualidade, radução Ana Maria Lima de Farias, Vera Regina Lima de Farias e Flores; revisão écnica Luiz da Cosa Laurencel. 4ª Ed., Rio de Janeiro: LTC, MORETTIN, P. A. e Toloi, C. M. C. Análise de Séries Temporais. São Paulo: Edgar Blücher, S.V. CROWDER A simple mehod for sudying run-lengh disribuions of exponenially weighed moving average chars. Technomerics, 29, pp ,

66 Apêndice 1: Os Quaorze Ponos do Méodo Deming 1º: Esabelecer a Consância de Finalidade para Melhorar o Produo e o Serviço; 2º: Adoar a Nova Filosofia; 3º: Acabar com a Dependência da Inspeção em Massa; 4º: Cessar a Práica de Avaliar as Transações Apenas com Base no Preço; 5º: Melhorar Sempre e Consanemene o Sisema de Produção e Serviço; 6º: Insiuir o Treinameno e o Rereinameno no Local de Trabalho; 7º:Insiuir a Liderança; 8º:Afasar o Medo; 9º:Eliminar as Barreiras enre as Áreas e o Meio; 10º:Eliminar Slogans, Exoração e Meas para os Empregados; 11º:Eliminar as Coas Numéricas Na Linha de Produção; 12º:Remover as Barreiras ao Orgulho da Execução; 13º:Insiuir um Sólido Programa de Educação e Rereinameno; 14º:Agir no Senido de Concreizar a Transformação. 66

67 Apêndice 2: Tese de Shapiro-Wilk O ese Shapiro-Wilk em o objeivo esar, como hipóese nula, se uma amosra x1,..., xn vem de uma população normalmene disribuída. Foi publicado 1965 por Samuel Shapiro e Marin Wilk. Suas hipóeses de ese são: { H 0: A amosra provém de uma população Normal H 1 : A amosra não provém de uma população Normal omando assim a decisão rejeiar H0 ao nível de significância α se Wcalculado <Wabelado ou quando o p-valor é menor do que o nível de significância esabelecido, normalmene de 0,05. Sendo que, a esaísica W dada por: W = b 2 (x (i) x ) 2 n i=1 (1) em que xi são os valores da amosra ordenados (x(1) é o menor). Menores valores de W são evidências de que os dados são normais. A consane b é deerminada da seguine forma b = n 2 a n i+1 (x(n i+1) x (i) ) se n é par i=1 (n+1) 2 (2) { i=1 a n i+1 (x(n i+1) x (i) ) se n é impar em que an-i+1 são consanes geradas pelas médias, variâncias e covariâncias das esaísicas de ordem de uma amosra de amanho n de uma disribuição Normal. Seus valores, abelados, são dados abaixo. 67

68 68

69 Apêndice 3: Tese Ljung-Box Ljung e Box propuseram uma pequena aleração no ese de Box - Pierce, na qual orna o ese mais generalizado. Foi observado na lieraura que o ese de Ljung - Box apresena melhores resulados do que o ese de Box - Pierce. As hipóeses do ese: { H 0: Os residuos são independenemene e idenicamene disribuídos H 1 : Os residuos não são independenemene e idenicamene disribuídos Calcula-se as esimaivas de auo correlações por r k = n i=k+1 a a k n i=1 a 2 (4) sendo r k~n(0, 1 n ). Caso o modelo for apropriado, a esaísica do ese Q(k) = n(n 2) r 2 K j=1 (n j) (5) erá aproximadamene uma disribuição X 2 com (K - p - q) graus de liberdade, onde K é o número de defasagens omada, p e q são as ordens do modelo ajusado. Porano, rejeiamos a 2 hipóese nula seq(k) > X 1 α,k p q com um nível de significância α. 69

70 Anexo 1: Tabela disribuição X 2 70