Dinâmica e previsão de preços de commodities agrícolas com o filtro de Kalman

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1 Flávio Pinheiro Corsini Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman Trabalho de Formaura apresenado à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para a obenção do Diploma de Engenheiro de Produção São Paulo 8

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3 Flávio Pinheiro Corsini Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman Trabalho de Formaura apresenado à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para a obenção do Diploma de Engenheiro de Produção Orienadora: Prof a Dr a Celma de Oliveira Ribeiro São Paulo 8

4 FICHA CATALOGRÁFICA Corsini, Flávio Pinheiro Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman / F P Corsini São Paulo, 8 13 p Trabalho de Formaura Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo Deparameno de Engenharia de Produção 1Filro de Kalman Sisema de oimização 3Finanças IUniversidade de São Paulo Escola Poliécnica Deparameno de Engenharia de Produção II

5 Dedicaória À minha família

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7 Agradecimenos Aos meus pais, ao meu irmão e à minha namorada por odo apoio, conselhos e moivação À professora Dr a Celma O Ribeiro, pela orienação, colaboração e conhecimenos comparilhados que foram fundamenais para a realização dese rabalho Aos amigos e colegas da faculdade, por odos eses anos de esudo comparilhados e pelas amizades que levarei para oda a vida

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9 Resumo A aplicação do filro de Kalman em modelos de apreçameno de commodiies em sido foco de esudos recenes Nese rabalho, foi uilizada essa écnica de filragem esocásica para modelar o preço à visa de commodiies agrícolas, endo como foco sua aplicação no mercado brasileiro Para ano, uilizam-se os sinais dados pelos preços dos conraos fuuros da commodiy analisada para definir o comporameno dos preços à visa com base no filro de Kalman e na eoria de arbiragem enre preços à visa e fuuros Presume-se que esas commodiies apresenam liquidez e possuem preços bem definidos nas bolsas de negociação, assegurando as hipóeses necessárias para uso dos modelos O modelo proposo generaliza modelos clássicos, a medida que permie a inclusão de variáveis exógenas para explicar a evolução dos preços à visa Oura conribuição aqui desenvolvida consise na esimação de parâmeros do modelo que foi realizada de maneira híbrida, empregando-se écnicas usuais de mercado para deerminação de reornos médios e volailidade, e ambém méodos de oimização a fim de deerminar o reorno de conveniência do aivo com base no filro de Kalman O modelo é analisado com dados do mercado de açúcar e os resulados obidos indicam que o modelo apresena boa aderência à realidade e mosra-se apropriado para a previsão de preços

10 Absrac The Kalman filer s applicaion in commodiies pricing models has been objec of recen wors Here, his sochasic filering echnique was used o model he spo price of agriculural commodiies wih principal objecive is applicaion o Brazilian mare In order o ha, signals from he commodiy fuure conracs are used as inpu o define he behavior of spo prices based on he Kalman filer and he arbirage relaionship beween spo and fuure prices Good liquidiy and a well defined price in he fuure exchange mare are necessary assumpions for he model s efficiency The model developed here generalizes classic models in he measure ha i permis he inclusion of exogenous variables o explain he spo price evoluion Anoher conribuion of his wor is he parameer esimaion using an hybrid mehodology, wih usual mare echniques o deermine mean reurn and volailiy, as well as opimizaion mehods o esimae asse s convenience yield based on Kalman filer Afer all, he model is bac esed wih real mare daa and he resuls show ha he model has a good fi and is appropriae o be used in commodiy prices forecass

11 Sumário 1 INTRODUÇÃO OBJETIVO DO TRABALHO 19 1 ESTRUTURA DO TRABALHO 1 REVISÃO TEÓRICA 5 1 REVISÃO TEÓRICA 5 11 Processo Esocásico 5 1 Propriedade de Marov 7 13 Movimeno Browniano Geomérico e Processo de Io 7 14 Reversão à Média Mercado à visa e fuuro Reorno esperado e volailidade do preço de um aivo Aivo livre de risco 43 APREÇAMENTO DE ATIVOS: REVISÃO DA LITERATURA 43 3 O MERCADO DE COMMODITIES O MERCADO FUTURO DE COMMODITIES 47 3 O AGRONEGÓCIO NO BRASIL ARMAZENAGEM, ESTOQUES E O RETORNO DE CONVENIÊNCIA Os esoques e os preços 5 33 O cuso de carregameno e o reorno de conveniência RELACIONAMENTO DE PREÇOS NO MERCADO À VISTA E FUTURO REVISÃO DE MODELOS DE APREÇAMENTO DE COMMODITIES 57 4 O FILTRO DE KALMAN61 41 MODELOS DE ESPAÇO DE ESTADOS 6 4 O FILTRO DE KALMAN ALGORITMO DO FILTRO DE KALMAN ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 68

12 5 MODELO DE APREÇAMENTO DE COMMODITY DESENVOLVIMENTO DO MODELO 71 5 ESTIMATIVA DE PARÂMETROS Reorno médio e volailidade do aivo à visa 79 5 Reorno de conveniência 8 53 ADICIONANDO UMA NOVA VARIÁVEL AO MODELO 83 6 APLICAÇÃO DO MODELO PARA O MERCADO NACIONAL DE AÇÚCAR89 61 O MERCADO DE AÇÚCAR E O SETOR SUCRO-ALCOOLEIRO BRASILEIRO 89 6 SÉRIES HISTÓRICAS DE AÇÚCAR À VISTA E FUTURO UTILIZADA O PETRÓLEO COMO VARIÁVEL EXPLICATIVA PARÂMETROS ESTIMADOS E RESULTADOS OBTIDOS 95 7 CONCLUSÃO13 71 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 15 8 BIBLIOGRAFIA 17 9 ANEXO111 ANEXO A: DADOS DOS CONTRATOS DE AÇÚCAR UTILIZADOS113

13 Índice de Figuras FIGURA -1 TRAJETÓRIAS DO PREÇO DE UM ATIVO OBEDECENDO A UM PROCESSO ESTOCÁSTICO6 FIGURA - CURVA DE PREÇOS FUTUROS DE GASOLINA3 FIGURA -3 CURVA DE PREÇOS FUTUROS DE GASOLINA33 FIGURA -4 LIQUIDAÇÃO DE POSIÇÃO SEM CÂMARA DE COMPENSAÇÃO35 FIGURA -5 LIQUIDAÇÃO DE POSIÇÃO COM CÂMARA DE COMPENSAÇÃO 35 FIGURA -6 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DOS RETORNOS LINEARES 39 FIGURA -7 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DOS RETORNOS LOGARÍTMICOS4 FIGURA -8 TRAJETÓRIA DO PREÇO DE UM ATIVO COM RETORNO DIÁRIO DE,5% E VOLATILIDADE DE % 4 FIGURA -9 TRAJETÓRIA DO PREÇO DE UM ATIVO COM RETORNO DIÁRIO DE,1% E VOLATILIDADE DE 3% 4 FIGURA 3-1 VOLUME FINANCEIRO DE COMMODITIES AGROPECUÁRIAS NEGOCIADO NA BM&F 48 FIGURA 3- NÚMERO DE CONTRATOS DE COMMODITIES AGROPECUÁRIAS NEGOCIADO NA BM&F48 FIGURA 4-1 DIAGRAMA DE FUNCIONAMENTO DO FILTRO DE KALMAN 64 FIGURA 4- ROTINA SIMPLIFICADA PARA RESOLUÇÃO DO FILTRO DE KALMAN 67 FIGURA 4-3 ROTINA E FÓRMULAS PARA RESOLUÇÃO DO FILTRO DE KALMAN 67 FIGURA 4-4 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE UMA REGRESSÃO LINEAR 69 FIGURA 6-1 EVOLUÇÃO DA PRODUÇÃO DE CANA-DE-AÇÚCAR NO BRASIL9 FIGURA 6- EVOLUÇÃO DA PRODUÇÃO DE AÇÚCAR NO BRASIL9

14 FIGURA 6-3 EVOLUÇÃO DO PREÇO DOS CONTRATOS FUTUROS DE AÇÚCAR NEGOCIADOS NA BM&F9 FIGURA 6-4 RETORNOS DIÁRIOS E RETORNO MÉDIO DOS CONTRATOS FUTUROS DE AÇÚCAR NEGOCIADOS NA BM&F9 FIGURA 6-5 EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DO AÇÚCAR À VISTA DIVULGADOS PELA ESALQ93 FIGURA 6-6 PREÇO DO PETRÓLEO NO MERCADO INTERNACIONAL94 FIGURA 6-7 AUTOCORRELOGRAMA DOS RETORNOS DIÁRIOS DO PREÇO DO PETRÓLEO E DO PREÇO DO AÇÚCAR95 FIGURA 6-8 RETORNO DE CONVENIÊNCIA (SAÍDA DO MODELO) 98 FIGURA 6-9 RESULTADO DO MODELO SIMULADO PARA O PREÇO DO AÇÚCAR NACIONAL99 FIGURA 6-1 COMPARAÇÃO DO MODELO DESENVOLVIDO COM MODELO INGÊNUO1 FIGURA A-1 PREÇO DO CONTRATO FUTURO DE AÇÚCAR1 FIGURA A- PREÇO DO CONTRATO À VISTA DE AÇÚCAR 1 FIGURA A-3 TAXA DE JUROS LIVRE DE RISCO 13 FIGURA A-4 PREÇO DO BARRIL DE PETRÓLEO13

15 Índice de Tabelas TABELA 3-1 RELACIONAMENTO ENTRE PREÇOS À VISTA E PREÇOS FUTUROS55 TABELA 6-1 RETORNO MÉDIO DIÁRIO E VOLATILIDADE DOS CONTRATOS FUTUROS DE AÇÚCAR NEGOCIADOS NA BM&F93 TABELA 6- RESUMO DOS ERROS DOS MODELOS IMPLEMENTADOS 11

16 Inrodução

17 Capíulo 1: Inrodução 17 1 Inrodução O agronegócio é hoje um dos seores mais dinâmicos da economia brasileira Mudanças expressivas no sisema produivo marcaram os úlimos anos, baseadas na modernização e profissionalização do seor agrícola Assim, nas úlimas décadas, esse seor foi um dos primeiros da economia nacional a se globalizar e um dos pioneiros na uilização de ecnologia inensiva de produção O mercado de commodiies agrícolas é complexo e sua negociação pode ocorrer aravés dos mercados à visa, a ermo ou de derivaivos, sendo que a ausência de liquidez no mercado à visa dificula o apreçameno desses aivos O mercado de derivaivos, em conraparida, mais especificamene o mercado de conraos fuuros de commodiies, caraceriza-se por er um expressivo volume de negociações Isso significa que quando um volume financeiro relevane é negociado nos conraos fuuros, poucos negócios são efeivamene realizados sobre o aivo à visa Garcia e Leuhold (4) desacam que o mercado de derivaivos de commodiies é exremamene dinâmico Nos úlimos vine anos, esse mercado sofreu um crescimeno basane acenuado e bem disribuído em diversos mercados mundiais, com a inrodução de diversos ipos de conraos a serem negociados e passando a abranger aivos disinos que se adequaram, de maneira cada vez mais precisa, às necessidades do mercado e da indúsria que esá presene de forma aiva nas negociações de commodiies nas praças financeiras do globo O mercado de commodiies possui peculiaridades, especialmene no mercado local, pois além de apresenaram deerminanes de preço complexas (como efeios sazonais, esoques e cusos diversos), o mercado fuuro possui uma liquidez de negociações significaivamene superior ao mercado à visa, dificulando a negociação e a formação de preços dos conraos dessa úlima modalidade Essa liquidez deve-se à presença de vários ipos de aores no mercado fuuro além dos invesidores radicionais (os especuladores, os hedgers e os arbiradores) que muias vezes não se ineressam em possuir a mercadoria de maneira física, mas sim em realizar somene posições financeiras, recorrendo enão ao mercado fuuro Dessa forma os modelos que preendem descrever preços à visa muias vezes êm como direcionadores os preços nos mercados fuuros Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

18 Capíulo 1: Inrodução 18 Modelos de apreçameno dessa classe de aivos são aualmene objeo de esudo de imporanes rabalhos cieníficos, uma vez que são direamene demandados por um mercado cujas axas de crescimeno êm sido elevadas e que vem passando por um período de aperfeiçoameno de sua gesão financeira Nessa linha esá o foco dese rabalho, que em como base o filro de Kalman e a eoria de arbiragem enre preços à visa e fuuros, para modelar o preço de commodiies e os reornos de conveniência implícios nas negociações desa classe de aivos O objeivo dese esudo é, porano, a criação de um modelo para esimar o preço à visa de conraos de commodiies a parir dos preços de seus respecivos conraos fuuros podendo considerar ambém ouras variáveis relevanes Ao final, aplica-se o modelo ao mercado domésico de açúcar que, com um crescimeno imporane realizado nos úlimos anos, em demandado cada vez mais insrumenos financeiros avançados nesse seor No enano, rês grandes desaques podem ser dados a ese rabalho O primeiro é o fao de ser inédia no mercado domésico a abordagem aqui dada ao problema de apreçameno de commodiies agrícolas, pois mesmo com grandes demandas nesse seor por se desacar no cenário mundial como produor, consumidor e exporador de commodiies agrícolas, a ecnologia desse ipo de modelagem esava aé enão resria a arigos recenes realizados no exerior Em segundo lugar, aqui foi proposa uma maneira diferenciada de se abordar o problema Conceiualmene, enquano nesses ouros rabalhos odas as variáveis são oimizadas em um só sisema (o que é conhecido como caixa negra pois não se conhece o que se passa em dealhes denro do modelo), aqui é proposa uma forma híbrida de se esimar variáveis A grande vanagem é ornar possível conhecer, de forma independene, o valor esimado de cada variável do sisema, podendo essas serem de grande complexidade de mensuração, o que orna o rabalho mais ineressane à medida que suas saídas vão além do preço esimado de commodiies agrícolas, fornecendo ambém os valores independenes para as variáveis esimadas pelo modelo Por úlimo, o modelo é capaz de incorporar qualquer oura variável que possuir poder explicaivo para a aplicação a ser realizada, sendo, porano, abrangene e flexível Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

19 Capíulo 1: Inrodução Objeivo do rabalho O objeivo dese rabalho é raar do problema de apreçameno de commodiies agrícolas negociadas à visa no mercado nacional bem como da uilização dessa modelagem para deerminar parâmeros de mercado Para ano, serão uilizadas as abordagens do filro de Kalman e da eoria de arbiragem enre preços à visa e fuuros O ema commodiies represena um grande abu mesmo para grandes insiuições financeiras nacionais O Banco Real, insiuição financeira que auxiliou o desenvolvimeno desse rabalho, possui grande peneração no erriório nacional e faz pare de uma esruura inernacional de grande pore Em março de 8, conava, no erriório brasileiro, com 114 agências, 4136 correnisas e 33 funcionários, oferecendo aos clienes uma vasa gama de produos como financeira, banco de invesimenos (gesão de fundos, esruuração de oferas públicas e emissão de íulos, denre ouras), esouraria (acesso aos clienes a esruuras de hedge de passivos ou de posicionamenos para invesimenos, gesão de risco, mesa de operações proprieária, denre ouras) No enano, mesmo com essa esruura de grandes dimensões, não faz pare dos produos de esouraria do Banco Real oferecer aos clienes operações com commodiies, devido à grande dificuldade no apreçameno de esruuras desse ipo, bem como de auação no mercado financeiro Visa-se ambém com ese rabalho a uma aplicação mais precisa do que a apresenada no primeiro parágrafo dese iem, em que se deseja propor uma primeira ferramena a essa insiuição para abordar esse ipo de problema Rapidamene, podem ser mencionados dois fores moivos para se iniciar esse ipo de serviço Primeiramene, o fao de ainda ser muio escasso no mercado produo como esse, a margem de resulado financeiro em operações dessa modalidade ceramene será basane araene Além disso, passa a ser um imporane diferencial para fidelizar clienes como fazendas de planações agrícolas e usinas sucroalcooleiras, as quais possuem uma enorme demanda aualmene para proeger seus passivos conra variações de preços no mercado De uma maneira mais ampla, ese rabalho é uma novidade para o mercado financeiro nacional de commodiies agrícolas Deseja-se com ele dar um imporane passo para o Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

20 Capíulo 1: Inrodução mercado domésico de modo a incenivar pesquisas e esudos dese ema uma vez que o Brasil se desaca mundialmene como grande produor agrícola e ambém como inovador no mercado de energia com o ema dos bicombusíveis Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

21 Capíulo 1: Inrodução 1 1 Esruura do rabalho Nese primeiro capíulo, Inrodução, são apresenados o objeivo do rabalho, uma inrodução ao ema e à sua problemáica, bem como a abordagem adoada para sua resolução No capíulo, Revisão eórica, os conceios necessários para o enendimeno sobre o ema apreçameno de aivos são descrios Aborda-se num primeiro momeno não só conceios maemáicos e de finanças, como ambém processos esocásicos e a propriedade de Marov, o movimeno Browniano geomérico, processos de reversão à média, o funcionameno de mercados à visa e fuuros e a definição de um aivo livre de risco Em seguida, realiza-se uma revisão da lieraura considerando os mais imporanes rabalhos realizados nese ema mosrando a evolução da eoria de apreçameno de aivos No capíulo 3, O mercado de commodiies, o ema commodiies, o principal foco dese rabalho, é aprofundado passando por uma descrição dos mercados fuuros de commodiies e do agronegócio no Brasil bem como por imporanes variáveis que influenciam seus preços, como os cusos de armazenagem, os esoques e o reorno de conveniência Nessa mesma linha, é apresenada a eoria de arbiragem enre preços à visa e fuuros uilizando os conceios analisados aé o momeno Ao final, é realizada uma revisão de relevanes modelos de apreçameno de commodiies No capíulo 4, O filro de Kalman, apresena-se a eoria do filro de Kalman, uma das principais ferramenas uilizadas nese rabalho, iniciando-se com os modelos de espaço de esados, de onde o filro de Kalman se deriva O algorimo para sua resolução é em seguida apresenado, acompanhado na seqüência pelo problema da esimaiva de parâmeros para o modelo No capíulo 5, Modelo de apreçameno de commodiy, é apresenada, de maneira formal, a formulação maemáica do modelo de apreçameno de conraos à visa de commodiies Em seguida, uma solução maemáica ambém é proposa ao problema de esimação de parâmeros Por úlimo, flexibiliza-se o modelo para a inrodução de ouras variáveis explicaivas relevanes Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

22 Capíulo 1: Inrodução No capíulo 6, Aplicação do modelo para o mercado nacional de açúcar, o modelo desenvolvido é aplicado ao mercado brasileiro de açúcar Inicialmene, realiza-se uma descrição e uma análise geral sobre o mercado sucro-alcooleiro nacional Dealham-se as séries passadas uilizadas e a inrodução de uma nova variável explicaiva ao modelo para que, em seguida, seja realizada sua aplicação concrea Para ano, o modelo foi simulado com dados passados de mercado Ao final, são apresenados os resulados dos parâmeros esimados bem como a saída do modelo Diversas variações foram realizados para ornar mais eficaz a análise dos resulados, endo como base dados reais realizados Por fim, o Capíulo 7, Conclusão, apresena a conclusão do rabalho desenvolvido, comenários finais acerca do problema e recomendações para rabalhos fuuros Em anexo esão disponíveis os dados de enrada uilizados para a simulação do modelo Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

23 Capíulo 1: Inrodução 3 Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

24 Revisão Teórica

25 Capíulo : Revisão Teórica 5 Revisão Teórica Ese capíulo esá dividido em duas pares principais Na primeira delas é apresenada uma série de definições de ermos e eorias relevanes para a compreensão dese rabalho Em seguida, é apresenada uma revisão geral da lieraura desacando os principais e mais recenes rabalhos publicados sobre emas relacionados ao aqui desenvolvido 1 Revisão eórica 11 Processo Esocásico A análise de preços é aualmene basane abordada em finanças e, para ano, consideram-se os preços de aivos como variáveis aleaórias cuja evolução emporal independe de ocorrências passadas Daí a imporância do uso de processos esocásicos, uma das maneiras mais eficazes e uilizadas nos esudos recenes Morein e Toloi (4) definem processos esocásicos como uma família de { Z(), T} Z =, onde T é um conjuno arbirário, al que, para cada T variável aleaória, () Z é uma Assim, um processo esocásico é uma família de variáveis aleaórias definidas num mesmo espaço de probabilidades Ω, sendo Ω o espaço amosral Como para T, Z ( ) é uma variável aleaória definida sobre Ω, na realidade Z ( ) é uma função de dois argumenos, Z (,ω), T, ω Ω Enão para cada T emos uma variável aleaória Z (,ω) com uma disribuição de probabilidades; é possível que a função densidade de probabilidade no insane 1 seja diferene da função densidade de probabilidade no insane para dois insanes 1 e quaisquer, apesar de que o mais usual é que a função densidade de probabilidade de Z (,ω) seja a mesma para odo T Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

26 Capíulo : Revisão Teórica 6 Por ouro lado, para cada ω Ω fixado, obemos uma função de, ou seja, uma realização ou rajeórias do processo, ou ainda, uma série emporal Segundo Hull (1), pode-se dizer que oda variável que possui um valor que varia no empo de uma maneira incera segue um processo esocásico Processos esocásicos podem ainda ser classificados como em empo discreo ou conínuo Em um processo esocásico em empo discreo o valor da variável pode mudar somene em ceros ponos emporais fixos, quando em um processo esocásico em empo conínuo esse valor pode variar a qualquer insane de empo denro de um inervalo [a;b] Dessa mesma maneira, as variáveis em cada insane podem ambém ser discreas ou conínuas Preços de aivos financeiros são freqüenemene considerados como variáveis aleaórias Mesmo conhecida uma rajeória que descreva um preço em um inervalo de empo [ 1, ] passado, não se sabe a priori qual será a rajeória fuura O que se pode admiir é uma paricular disribuição de probabilidades em cada insane fuuro A figura abaixo ilusra ese processo Preço rajeória realizada projeções de rajeória fuuras Observação Figura -1 Trajeórias do preço de um aivo obedecendo a um processo esocásico Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

27 Capíulo : Revisão Teórica 7 1 Propriedade de Marov Segundo Hull (1) um processo de Marov é um ipo paricular de processo esocásico onde apenas o valor aual de uma variável é relevane para prever o fuuro O passado hisórico de uma variável e a maneira que o passado evoluiu aé o presene são enão irrelevanes Traa-se porano de um processo esocásico em que o comporameno de uma variável em um período curo de empo depende somene do valor dessa variável no início desse período e não do seu passado hisórico Ese conceio fica claro quando, por exemplo, considera-se um aivo cujo preço na presene daa seja 1 reais Se esse aivo segue um processo de Marov, a previsão dos preços fuuros não deve ser afeada pelo preço que possuía uma semana arás, um mês anes ou mesmo no ano anerior As previsões fuuras são inceras e devem ser expressas em ermos de disribuição de probabilidades Assim, a propriedade de Marov implica que o preço de um aivo em qualquer período à frene não eseja ligado à rajeória que ele seguiu aé lá Essa eoria possui imporância significaiva no mundo das finanças, pois ela ainge direamene invesidores Isso porque se informações passadas fossem, de fao, fone de dados para previsões fuuras, analisas écnicos de preços poderiam realizar reornos acima da média ao inerprear gráficos de preço hisórico de aivos Na realidade, o mundo dos preços não é ão simples assim 13 Movimeno Browniano Geomérico e Processo de Io Considere uma variável que siga um processo esocásico de Marov Supõe-se que o valor aual dela seja X e que a mudança em seu valor no período de um ano obedeça a uma disribuição de Φ ( ;1), onde ( μ;σ) média μ e desvio-padrão σ Φ denoa a disribuição de probabilidade normal com A mudança no valor dessa variável em dois anos seria a soma de duas disribuições normais, cada uma delas possuindo média zero e desvio padrão um Pelo fao de seguirem as Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

28 Capíulo : Revisão Teórica 8 propriedades de Marov, elas são independenes uma da oura e o resulado da adição será enão uma oura disribuição normal na qual a média é a soma das médias e o desvio padrão a raiz da soma das variâncias Nesse caso, a mudança no valor dessa variável ao final de dois anos seria dada por ( ; ) Φ Podemos, assim, ambém definir a disribuição de probabilidade para um período de 1 1 seis meses, que seria dada por Φ ;, de um rimesre Φ ;, ou ainda de uma 4 maneira mais geral, para um período de empo de duração T, a mudança no valor desa variável é dada por ( μ; δt ) Φ O processo aqui descrio para uma deerminável variável é conhecido como movimeno browniano geomérico Traa-se de um ipo paricular de processo esocásico de Marov, que eve sua origem no esudo da física, para descrever o movimeno de uma parícula composa por um número grande de pequenos choques moleculares Aualmene, oda a área de finanças moderna esá lasreada no movimeno geomérico browniano A variável exemplificada acima, assim como o movimeno de uma parícula, são analogias a uma rajeória de evolução do preço de deerminado aivo Assim, essa eoria permie que se consruam modelos para deerminar preços de aivos financeiros complexos, como as opções e as commodiies Seguindo essa abordagem, Luenberger (1998) inroduz o movimeno browniano geomérico supondo N períodos de duração Δ e definindo um processo adiivo z dado por: z( + 1) = z( ) + ε( ) Δ (Eq 1) + = Δ (Eq ) 1 + para =,1,,, N O processo é denominado passeio aleaório Nessas equações, ε( ) é uma variável aleaória de disribuição normal com média zero e variância um (uma variável aleaória de disribuição normal padrão) Esas variáveis aleaórias são não correlacionadas, Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

29 Capíulo : Revisão Teórica 9 iso é, o cálculo da esperança maemáica E[ ε( ) ε( )] j j = para, e o processo se inicia com z( ) = Após isso, o caminho da variável será dado por cada passo da variável aleaória ε( ) Também é ineressane observar a diferença enre as variáveis aleaórias z( ) - z( ) j para j <, que podemos escrever esa diferença da seguine forma: z( ) z( j ) = -1 i= j ε( i ) Δ o que ambém é uma variável aleaória de disribuição normal, pois é a soma de variáveis aleaórias de disribuição normal Enão sabemos que: E [ z( ) z( )] j = Uilizando a independência de ε( ) : Var -1-1 [ z( ) z( j )] = E ε( i ) Δ = E ε( i ) Δ = ( j) Δ = j i= j i= j j Assim, a variância de z( ) z( j) é igual à diferença enre dois passos de empo Esse cálculo explica, enão, porque Δ foi uilizado na Eq 1 Δ nada mais é do que a variância do sisema Um movimeno browniano geomérico é obido pelo limie do processo de passo aleaório definido na Eq 1 como Δ Podemos, assim, escrever a equação que governa um processo movimeno browniano geomérico da seguine forma: dz = ε() d (Eq 3) Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

30 Capíulo : Revisão Teórica 3 onde cada ε( ) é uma variável aleaória de disribuição normal padrão As variáveis aleaórias ε(' ) e ε(' ') são não correlacionadas para quaisquer ' ' ' Pode-se definir um movimeno browniano geomérico se ele saisfaz as condições: Para odo s < o cálculo variância s z() z(s) é uma variável aleaória normal com média zero e Para odo 1 3 4, as variáveis aleaórias z( ) z(1) e z( 4 ) z( 3 ) são não correlacionadas z( ) = com probabilidade um Podemos ainda generalizar o movimeno browniano, o que é feio inroduzindo ruído branco numa equação diferencial esocásica ordinária Obemos assim, conforme Luenberger (1998), o movimeno browniano geomérico generalizado, que é da forma: () ad bdb dx = + (Eq 4) onde x() é uma variável aleaória para cada, e b são consanes B é um movimeno browniano geomérico e a O Processo de Io é ainda mais geral Traa-se de um processo descrio na forma: () a( x, ) d b( x, ) db dx = + (Eq 5) A diferença é que, no processo de Io, os coeficienes a ( x, ) e ( x, ) de x e de, não possuindo uma solução geral na forma analíica b podem depender Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

31 Capíulo : Revisão Teórica Reversão à Média Segundo Hull (1), a reversão à média é uma endência de que a variância de um sisema enda a puxar o valor de uma variável aleaória para um valor médio de longo prazo, ou seja, embora no curo prazo o valor da variável possa fluuar para cima ou para baixo, no longo prazo esse valor ende a ser razido de vola a seu nível médio Um exemplo simples de modelo com reversão à média pode ser dado pela equação abaixo (Eq 6), onde a variável V segue um processo esocásico da seguine forma: ( V V) d ξvdz dv = α L + (Eq 6) onde α é a velocidade (ou axa) de reversão à média de longo prazo, dada por V L (nível ao qual a variável V ende a convergir) Nesse caso, dizemos que quando V > VL a variável possui um drif negaivo e, quando V L > V, ela possui um drif posiivo Geman (5) afirma que os preços de commodiies não crescem e nem diminuem na média ao longo do empo Mas eles endem a reverer à média a um nível que pode ser viso como um cuso marginal de produção Por essa razão, a reversão à média é uma ferramena apropriada para a modelagem de preços de commodiies Muias commodiies exibem sazonalidade no preço devido a faos simples como safra e enre-safra, esações do ano (relacionadas a mudanças climáicas, a produção de energia, a duração do dia e ao consumo de energia), denre ouros Para eliminar a variação sazonal, Geman (5) modela o preço S de um aivo a parir de seu logarimo, conforme apresenado abaixo: ( S ) f () X() ln = + (Eq 7) onde f() é uma componene deerminísica que é somada à componene de preço sazonal X (), definida por sua derivada segundo a equação: Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

32 Capíulo : Revisão Teórica 3 () ( α βx() ) d σdw dx = + (Eq 8) Nese conexo, a componene f() (que é usualmene expressa na forma de seno ou cosseno com periodicidade anual), assim como os parâmeros α, β e σ são derivados de uma base hisórica de preços (parâmeros que maximizam a aderência do modelo ao preço real verificado no mercado) A figura seguine exemplifica o caso de sazonalidade a parir dos preços que um deerminado aivo possui hoje para liquidação em diversas daas fuuras Ou seja, consideramos o preço dos diversos conraos fuuros de um aivo exisenes em diversos vencimenos, consruindo assim uma curva de preços fuuros Assim, analisando as curvas de preços fuuros de gasolina e de carvão, referenes ao dia 19 de fevereiro de 8, ambos negociados na Bolsa de Valores de Chicago, é fácil perceber a exisência de uma componene de endência e uma oura, sazonal As figuras abaixo ilusram essas curvas Os vencimenos dos conraos aparecem no eixo das ordenadas e são apresenados em meses após a daa de colea dos dados Dólares/galão M 4 M 8 M 1 M 16 M M 4 M 8 M 3 M 36 M Prazo (meses) Figura - Curva de preços fuuros de gasolina Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

33 Capíulo : Revisão Teórica 33 Dólares/galão 5,64 5,6 5,6 5,58 5,56 5,54 5,5 5,5 5,48 5,46 5,44 M 4 M 8 M 1 M 16 M M 4 M 8 M 3 M 36 M Prazo (meses) Figura -3 Curva de preços fuuros de gasolina 15 Mercado à visa e fuuro As negociações de aivos no mercado financeiro são divididas em duas caegorias: os aivos negociados no mercado à visa e os que são negociados no mercado de derivaivos A definição de mercado à visa é simples, uma vez que é a relação de comércio que exercemos radicionalmene no coidiano Ao se negociar um deerminado aivo à visa, por exemplo uma ação ou uma saca de café, significa que esa ação ou saca de café possuem um preço deerminado e para cada unidade do aivo deverá ser pago esse preço pelo comprador e o vendedor deverá enregar a deerminada quanidade do aivo De maneira simplificada, pode-se comparar ese processo ao de compras em um supermercado Por sua vez, o mercado de derivaivos em marcado um crescimeno imporane recenemene Ele oferece conraos que dependem dos valores de ouro aivo, o chamado aivo subjacene, como os preços de mercadorias, os preços de íulos de renda fixa, de ações, índices de mercado ou ainda de commodiies Por esa razão que são chamados de aivos derivaivos, pois seus valores são derivados dos valores de um ouro aivo Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

34 Capíulo : Revisão Teórica 34 O mercado fuuro é um ipo de derivaivo que especifica a obrigação de compra ou de venda de algum aivo subjacene em uma daa fuura Para se perceber a uilidade dos conraos fuuros e como eles funcionam, considere o problema de incereza enfrenado por um fazendeiro que eseja planando uma culura única, por exemplo, de rigo Logo, oda sua receia esá vinculada e depende criicamene do preço daquele aivo no momeno fuuro da venda do aivo A moagem que irá, em uma próxima eapa, processar o rigo colhido esá igualmene sujeia às incerezas de lucros ou prejuízos devido à imprevisibilidade do preço do rigo no fuuro Assim, por meio de um conrao fuuro de rigo, ambos paricipanes dese mercado podem reduzir suas incerezas, exigindo que o fazendeiro enregue o rigo colhido a um preço previamene acordado O dinheiro não roca de mãos no momeno presene, sendo simplesmene a venda de um aivo com a enrega fuura da mercadoria Sendo assim, o produor de rigo e a moagem esarão proegidos conra uma variação fuura do preço do aivo Nos mercados fuuros, esses conraos são formalizados e padronizados Eles são negociados em um mercado cenralizado (normalmene em bolsas de valores), sendo padronizadas diversas variáveis, como o amanho do conrao, a qualidade e ipo de mercadoria, as daas de enrega do conrao, denre ouras, resando às pares apenas negociar o preço e a quanidade de conraos a ser efeivamene ransacionadas Essa padronização, apesar de impor limiações algumas vezes, é muio imporane para gerar liquidez Em suma, os conraos fuuros deerminam a enrega de uma dada mercadoria em uma daa de enrega ou vencimeno especificado a um preço acordado a ser pago no vencimeno do conrao, especificando odas as exigências necessárias para a mercadoria (qualidade, ipos, local de enrega, ec) Não sendo necessária, enão, a posse do aivo para vendê-lo na daa presene, os conraos fuuros permiem posições compradas (aquele que se compromee a comprar a mercadoria no fuuro) e vendidas (aquele que se compromee a vendê-la no fuuro) pelos aores de mercado Lucro para o invesidor que possui uma posição comprada é verificado quando o preço à visa no vencimeno do conrao fuuro for superior ao preço original do Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

35 Capíulo : Revisão Teórica 35 fuuro pois ele poderá adquirir a mercadoria pelo preço fuuro acordado e, imediaamene, vendê-la por um preço maior no mercado à visa (significando prejuízo para o vendedor) Ao conrário, o lucro do proprieário de uma posição vendida exise quando o preço à visa é inferior ao preço original do fuuro Aualmene, as negociações de conraos fuuros ficaram um pouco mais complexas do que originalmene, mas ambém mais seguras Exise uma câmara de compensação que passa a ser a conrapare de odos os invesidores, o que significa que, após um negócio ser firmado enre duas pares, a câmara de compensação enra em ação e orna-se a conrapare ano do vendedor como do comprador e a liquidação da mercadoria enre as pares passa a ser a própria câmara de compensação Isso elimina um risco imporane no mercado (de descumprimeno de uma obrigação conraual por uma das pares), o que é ilusrado pelos diagramas seguines: A: Negociação sem câmara de compensação: dinheiro Posição comprada Posição comprada mercadoria Figura -4 Liquidação de posição sem câmara de compensação B: Negociação com câmara de compensação: dinheiro dinheiro Posição comprada Câmara de compensação Posição comprada mercadoria mercadoria Figura -5 Liquidação de posição com câmara de compensação A câmara de compensação garane enão aos aores de mercado o fim do risco da conrapare durane as negociações Para ano, ela uiliza um mecanismo de ajuse diário pelo qual, odo dia os conraos são marcados a mercado (como se o preço ao final do dia fosse o Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

36 Capíulo : Revisão Teórica 36 preço no vencimeno do conrao) e o invesidor que eve prejuízo deverá er recolhido em sua cona na câmara de compensação a soma em que esá negaivo, enquano o invesidor que possui lucro verá aparecer essa soma em sua cona Um exemplo simples desse mecanismo pode ser verificado quando um agene possui uma posição comprada em um conrao fuuro de açúcar com vencimeno daí um ano adquirido a R$ 5, e o preço aual desse conrao é de apenas R$ 3, Verifica-se enão que ese invesidor esá no prejuízo de R$, por conrao adquirido e deverá deposiar em sua cona na câmara de compensação para garanir o pagameno dessa soma no vencimeno do conrao A margem oal que deve esar presene em sua cona é, porano, reajusada a cada dia No mercado fuuro podem ser enconrados rês ipos de agenes Os hedgers são invesidores do mercado de commodiies que desejam fixar um preço para uma operação no fuuro Enquano eles desejam eviar exposições à variação de preços, os especuladores auam fazendo posições direcionais sobre esses aivos e aposam em movimenos de preços Os úlimos, os arbiradores, represenam uma imporane (embora minoria) parcela dos paricipanes do mercado Eles execuam operações sem risco em diferenes mercados quando exise um descasameno de preços enre as duas ponas Assim, se um aivo em algum mercado esá barao, a ação dos arbiradores (no caso, de comprar ese aivo) irá valorizá-lo aé que a compaibilidade enre eles seja alcançada Exisem ainda no mercado ouros ipos de derivaivos, como swaps e opções, que, apesar de ambém apresenarem uma grande relevância aos invesidores não esão no foco dese rabalho (ficaremos resrios aqui à uilização de conraos fuuros) De maneira breve, as opções são assim chamadas pois dão ao comprador a opção de execuar uma deerminada ação em uma daa de vencimeno Uma opção de compra dá ao possuidor o direio de comprar um aivo por um preço especificado, chamado de preço de exercício, na daa de vencimeno especificada (enquano que o vendedor da opção possui a obrigação de seguir o desejado pelo comprador) Obviamene, o exercício da opção de compra ocorrerá quando ela apresenar resulado posiivo no vencimeno, ou seja, o preço do aivo no mercado à visa for superior ao preço de exercício da opção Da mesma maneira, uma opção Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

37 Capíulo : Revisão Teórica 37 de venda represena o direio de vender um aivo a um preço de exercício especificado na daa de vencimeno O exercício ocorrerá, quando, na daa de vencimeno, o preço do aivo no mercado à visa for inferior ao preço de exercício da opção As opções podem ainda possuir diversas variações, como poder ser exercidas a qualquer momeno anes da daa de vencimeno e possuir payoffs diferenciados São, porano, insrumenos de mercado basane ricos Os swaps são ipos de insrumeno financeiro que se baseiam em uma roca (de uma obrigação por oura) enre invesidores Podem exisir swaps de axas de juros (pré-fixadas e pós-fixadas), de fluxo de caixa, de íulos de dívida, denre ouros, represenando ambém uma vasa gama de produos É imporane ressalar que a uilização de derivaivos não é resria a organizações financeiras Aualmene, já é de práica usual de um número significaivo de empresas recorrerem às esourarias dos bancos a fim de conraarem produos desse ipo Na gesão das finanças da indúsria, para cada uma das empresas que compõem a cadeia de produção, desde o produor aé o disribuidor, os derivaivos são um elemeno faciliador uma vez que a previsibilidade de seu fluxo de caixa cresce de maneira significaiva Um exemplo simples, mas nem por isso de baixa relevância, é o caso de uma empresa exporadora que firmou um conrao de exporação de milhares de pares de sapaos em dois meses e irá receber sua receia em dólares O pagameno, enreano, represena uma grande incereza para ela, pois não se sabe como esará a conversão do dólar para reais daqui a dois meses e, porano, ela não conhece qual é a soma que irá receber em reais Para eviar essas incerezas, empresas exporadoras realizam anecipação de câmbio e conraam, juno aos bancos, fuuros de dólares conra reais Por ouro lado, ambém exisem empresas imporadoras de componenes da China para fabricar máquinas que, por sua vez, devem ambém efeuar seus pagamenos em dólares no fuuro Ouro caso ineressane pode ser o de uma empresa que possui um passivo indexado a um índice de inflação (supõe-se o IGP-M) Sua dívida é porano pós-fixada e ela não conhece a real soma que deverá pagar, sendo assim uma incereza em seu fluxo de caixa fuuro Essa empresa poderá conraar um swap com a finalidade de ornar sua dívida pré-fixada Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

38 Capíulo : Revisão Teórica 38 Esses simples exemplos ilusram a real dimensão da imporância dos insrumenos financeiros que aingem, aualmene, direamene oda a indúsria como uma fone de faciliação na gesão financeira das mesmas Não ficando resrio aos agenes direos do mercado financeiro, os produos derivaivos aingem dimensões cada vez maiores na economia proporcionando fone de conforo e previsibilidade 16 Reorno esperado e volailidade do preço de um aivo Em finanças, é chamada de reorno a variação (na forma de uma razão) do preço enre dois momenos definidos Assim, cosuma-se expressá-la em percenual Levando-se em consideração uma dada série hisórica de preços, podemos exrair uma série hisórica de reornos implíciosa uilização de uma média deses reornos passados como próxi para os fuuros é de uso basane expandido e comum por profissionais da área Logo, sua esimaiva é de práica usual e simples Assumimos para ano que a variável em esudo segue uma disribuição de probabilidade Sendo P o valor do preço do aivo em uma dada daa e dispondo de uma série hisórica dos referidos dados dessa variável, o cálculo do reorno desse aivo, que é supõe-se possuir o mesmo comporameno de uma variável aleaória é calculado conforme mosra a equação abaixo: r = P P 1 1 (Eq 9) Assim, r pode ser represenado por uma disribuição de probabilidades cujo valor máximo é infinio e cujo valor mínimo é -1, uma vez que o valor de P (o preço de um aivo em um cero empo ) é limiado em zero Abaixo é ilusrado ese caso: Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

39 Capíulo : Revisão Teórica 39 9% 8% 7% Probabilidade 6% 5% 4% 3% % 1% % -1% -5% % 5% 1% 15% % Reorno linear Figura -6 Disribuição de probabilidades dos reornos lineares Para corrigir esse achaameno em uma das caudas da disribuição de probabilidades, uma oura maneira de se calcular o reorno do aivo é pelo logarimo da razão do preço P definido em duas daas, conforme a equação abaixo: P r = ln (Eq 1) P 1 onde r é o reorno realizado em uma daa, P é o valor do preço do aivo nessa daa e P -1 é o preço dese aivo em um passo de empo anerior -1 Desa forma, r é represenado por uma disribuição de probabilidade normal: Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

40 Capíulo : Revisão Teórica 4 9% 8% 7% Probabilidade 6% 5% 4% 3% % 1% % -% -15% -1% -5% % 5% 1% 15% % Reorno logarímico Figura -7 Disribuição de probabilidades dos reornos logarímicos O valor médio dos reornos calculados é enão dado por: () r μ = rp dr (Eq 11) onde p () r é a função densidade de probabilidade de r Paralelo a essa medida de evolução de preço, a volailidade represena uma medida de risco: ela indica quão incero são os movimenos fuuros de preço para um dado aivo Porano, à medida que a volailidade aumena, as chances de que o preço em quesão enha uma performance muio boa ou muio ruim aumenam (ou seja, aumena uma possível dispersão dos preços quando projeados no fuuro) Na práica, uiliza-se como esimador de volailidade o desvio-padrão dos reornos hisóricos de uma deerminada série de preços Seu cálculo é ambém baseado em uma análise esaísica deses reornos caracerizados por uma dada disribuição de probabilidades Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

41 Capíulo : Revisão Teórica 41 A variância de uma variável aleaória pode ser descria como: σ r + ( r μ) f ( r)dr = (Eq 1) onde f () r é a função densidade de probabilidade de r Como apresenado, a variância é enão uma medida sempre posiiva, medida em unidades quadráicas de r a parir da qual se pode esimar a medida de dispersão de r, seu desvio padrão σ r : σ r = σ r (Eq 13) O desvio padrão é mensurado nas unidades de r e uilizado para represenar a volailidade de um aivo No enano, mesmo sendo comumene associados os ermos de desvio padrão e volailidade, cabe ressalar que ese úlimo possui senido maior podendo significar o nível de risco de um aivo, não obrigaoriamene o dado pelo desvio padrão Uma simples ilusração dos efeios da volailidade e do reorno pode ser feia a parir de uma simulação de preços de um deerminado aivo Supondo que o reorno logarímico do preço siga uma disribuição normal de probabilidade, as figuras seguines mosram possíveis rajeórias fuuras para o preço de um aivo em função de seu reorno e de sua volailidade Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

42 Capíulo : Revisão Teórica Preço Observação Figura -8 Trajeória do preço de um aivo com reorno diário de,5% e volailidade de % Preço Observação Figura -9 Trajeória do preço de um aivo com reorno diário de,1% e volailidade de 3% Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

43 Capíulo : Revisão Teórica 43 Nessa comparação, vale a pena noar como a endência das séries muda com o reorno (ou seja, quano maior o reorno médio, mais rápido é o crescimeno dos preços) e ambém noar o aumeno da dispersão das séries à medida que é maior a volailidade 17 Aivo livre de risco Segundo Hull (1), a axa de um aivo livre de risco é, eoricamene, a axa a qual um dinheiro é empresado quando não exise risco de crédio envolvido na operação exisindo assim a cereza de que a soma em quesão seja reembolsada no vencimeno da dívida Freqüenemene, a axa livre de risco é associada à axa básica de uma deerminada economia, ou seja, a axa pela qual o governo de um país economicamene saudável capa dinheiro no mercado Traando-se de Brasil, é de práica usual dos analisas do mercado uilizar a axa Selic como próxi da axa livre de risco No caso de uma análise inernacional, a axa Libor ( London Inerban Offer Rae, em inglês, raduzido para axa inerbancária oferada de Londres ) é normalmene aplicada como livre de risco Apreçameno de aivos: revisão da lieraura A formação de preços de aivos em sido foco de diversos e imporanes esudos realizados recenemene A ala complexidade do ema abre as poras para diversas eorias e meodologias já desenvolvidas aé hoje, assim como para seus aperfeiçoamenos e evoluções Aualmene, a informação viaja de maneira praicamene insanânea para odos os canos do planea e a ineração de diferenes mercados, localizados em diferenes praças e mesmo em coninenes disanes, é enorme Em um mercado chamado globalizado, as variáveis capazes de influenciar preços são inúmeras e de diversas naurezas (de relações mais ou menos direas ao aivo em quesão) Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

44 Capíulo : Revisão Teórica 44 A dificuldade ainda pode aumenar quando o foco passa a ser commodiies Essa classe de mercadorias possui comporameno paricular e variáveis diversas que influenciam e ajudam a explicar seu comporameno Exemplos delas são a sazonalidade, o free, o cuso de esocagem e o reorno de conveniência, denre ouras ceramene exisenes No enano, se essa commodiy é ainda negociada a ermo, esses componenes podem ganhar um peso ainda maior uma vez que odos os faores devem ser levados em consideração para o apreçameno de uma mercadoria no fuuro Assim, a relação de preços à visa e fuuro pode não ser imediaa Todos esses ponos ornam a modelagem de preços de commodiies complexa operacional e conceiualmene Ela surgiu em paralelo à eoria de opções reais 1, abordada no rabalho de Brennan e Schwarz (1985), uilizando-se o preço da commodiy como variável aleaória para avaliar a viabilidade de invesimenos em minas de cobre Esses auores analisam a formação de preços de commodiies com base no modelo de um faor, o qual considera o preço do aivo à visa como única variável aleaória, resumido na equação abaixo: ds = μd + σ s dz s (Eq 14) S onde dz é o choque aleaório de um processo que obedece a um movimeno browniano geomérico (inroduzido no iem 13) Em um rabalho poserior, Gibson e Schwarz (199) definem o modelo de dois faores aplicado aos preços do peróleo, onde assumem que o preço à visa e o reorno de conveniência (que, ainda segundo os mesmos auores, pode ser brevemene definido como o prêmio ao qual um deenor de um aivo à visa em direio considerando que o produor pode ober lucro com a posse do aivo na siuação de escassez do mesmo no mercado) seguem um processo esocásico conjuno Sendo assim, o preço da commodiy segue um processo de 1 Uma opção real, segundo Copeland e Aniarov (1), é o direio, mas não a obrigação, de empreender uma ação (por exemplo, diferir, expandir, conrair ou abandonar um projeo) a um cuso predeerminado, que se denomina preço de exercício, por um período preesabelecido a vida da opção, comumene uilizada em projeos de invesimeno de capial na qual o preço de uma commodiy é decisivo na viabilidade econômica do projeo Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

45 Capíulo : Revisão Teórica 45 passeio aleaório em empo conínuo e o reorno de conveniência, um processo de reversão à média: ds = μd + σ s dz s (Eq 15) S ( α δ ) d + σδ dzδ d δ = (Eq 16) onde dz s e dz δ são choques aleaórios condicionados de modo que dz s dz δ = ρd O próximo passo foi dado por Schwarz (1997), no rabalho em que uilizou o Filro de Kalman para comparar modelos de um faor (em que considera o preço como variável aleaória em um processo esocásico em empo conínuo), o modelo de dois faores (em que uiliza o movimeno Browniano do preço à visa e um processo de reversão à média para o reorno de conveniência) e ainda um erceiro modelo de rês faores (esse agrega a axa de juros como variável aleaória ao modelo de dois faores) Em sua conclusão, o esudo mosra que, no modelo de um faor, a volailidade, ou seja, o risco medido pelo desvio-padrão, dos preços fuuros converge para zero e o preço para uma consane conforme cresce a mauridade do conrao Além disso, nos modelos de dois e de rês faores, a volailidade diminui e converge para uma consane de valor superior a zero Schwarz e Smih () desenvolveram em um rabalho poserior um novo modelo de dois faores para preços de commodiies Eles supõem que o preço à visa é descrio aravés de um processo de reversão à média e os preços dos conraos fuuros de mauridades mais longas endem a um preço de equilíbrio Dessa forma, ele disingue um comporameno de curo prazo (definido como a diferença enre o preço à visa e o preço de equilíbrio) de um de longo prazo Assim ese úlimo modelo define que mudanças de preço nos conraos fuuros de longo prazo oferecem dados sobre mudanças nos preços de equilíbrio e por conseqüência mudanças na diferença enre o preço à visa e o preço de equilíbrio Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman

46 O mercado de commodiies

47 Capíulo 3: O mercado de commodiies 47 3 O mercado de commodiies 31 O mercado fuuro de commodiies Um conrao fuuro pode ser genericamene descrio como um acordo realizado em uma daa enre duas pares para rocar, em uma daa fuura, uma dada quanidade de uma commodiy por uma deerminada quania de uma moeda Enre esses dois paricipanes enconra-se uma clearing, enidade que se responsabiliza pela liquidação efeiva da operação na daa de vencimeno e elimina o risco de crédio da ransação No enano, para ornar viável essa função, os conraos são padronizados em emos de suas caracerísicas (quanidade, vencimeno, qualidade ou variedade do produo), são negociados em uma bolsa de mercadorias (como a Bolsa de Mercadorias e Fuuros BM&F no caso de São Paulo), requerem o pagameno de margens de garania e são diariamene marcados a mercado Os conraos fuuros servem de fao para vários fins O primeiro deles, e ese é o moivo pelo qual foram criados, é servir como insrumenos de hedge conra um preço fuuro e desconhecido de um dado aivo Supondo-se que um fazendeiro eseja vendendo sua safra em janeiro, mas que será colhida apenas em seembro, ele poderá definir, na daa de conraação da operação, por meio de um conrao fuuro, a que preço essa safra será vendida Dessa maneira orna-se mais simples a alocação de recursos e o planejameno de novos invesimenos uma vez que ele possui definida a enrada de recursos que aconecerá no fuuro Porano, é possível mesmo a venda de uma mercadoria sem possuí-la Uma segunda uilidade imediaa dos fuuros é ser um faciliador para a negociação de commodiies como insrumenos financeiros Eliminando-se a resrição operacional da necessidade de uma enrega imediaa do aivo conraado (que exise por sua vez quando é negociado o aivo à visa), ese mercado pode ser ampliado para ouros ipos de invesidores que desejam omar posições sobre ele, como fundos de invesimenos, esourarias de commodiies e qualquer ouro ipo de aores de mercado Dinâmica e previsão de preços de commodiies agrícolas com o filro de Kalman