UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS UFMG. BOOTSTRAP ESTACIONARIO EM MODELOS ARFIMA (p,d,q)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS UFMG BOOTSTRAP ESTACIONARIO EM MODELOS ARFIMA (p,d,q) Silma de Souza Evangelisa Belo Horizone Junho 013

2 Silma de Souza Evangelisa BOOTSTRAP ESTACIONARIO EM MODELOS ARFIMA (p,d,q) Disseração apresenada ao curso de Mesrado da Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG, como requisio para a obenção do íulo de Mesre em Esaísica. Área de concenração: Probabilidade e Esaísica Orienadora: Prof a Glaura da Conceição Franco Belo Horizone 013

3 Resumo Ese esudo em como obeivo uilizar o boosrap esacionário para fazer inferência sobre o parâmero de memória, d, em modelos ARFIMA e verificar a eficiência do mesmo na região de esacionariedade. O méodo boosrap esacionário consise em reamosrar um conuno de dados uilizando-se as disribuições geomérica e uniforme. O comprimeno de cada bloco que compõe a série boosrap é obido aravés da disribuição geomérica, com parâmero p, e o pono de início de cada bloco é gerado por uma uniforme discrea. Nese rabalho, a esimação do parâmero de longa dependência é feia aravés de méodos semiparaméricos e de máxima verossimilhança. São consruídos ambém inervalos de confiança boosrap percenílico e de correção de vicio e seu desempenho é analisado por meio do percenual de coberura dos inervalos. Aravés de esudos de simulação Mone Carlo verificou-se que valores menores do parâmero uilizado na disribuição geomérica geram esimaivas de d mais próximas do valor real, especialmene, quando se uiliza o procedimeno semiparamérico. Os inervalos de confiança obidos ambém esão próximos do nível nominal de 95% fixado, principalmene, quando o inervalo percenílico é uilizado. Além diso, os resulados mosram ambém que os inervalos de confiança percenílico apresenam coberuras mais próximas ao valor nominal fixado de 95% em relação ao inervalo BC. 3

4 Absrac This sudy aims o use he saionary boosrap o make inference abou he memory parameer, d, in ARFIMA models and verify is efficiency in he region of saionariy. The mehod consiss of using he saionary boosrap o resample a daa se using he geomeric and uniform disribuions. The lengh of each block ha composes he boosrap series is obained hrough he geomeric disribuion and he saring poin of each block is generaed by a uniform disribuion. In his work, he esimaion of he memory parameer of ARFIMA models is performed hrough semiparameric and maximum likelihood mehods. Boosrap percenile and bias correced confidence inervals are also consruced and heir performances are analyzed by he coverage rae of he inervals. Mone Carlo simulaion sudies showed ha lower values of he parameer used in he geomeric disribuion generae esimaes of d closer o he acual value, especially when using he semiparameric procedure. Moreover, he resuls also show ha he percenile confidence inervals have coverage raes closer o he fixed nominal value of 95% han he inerval BC. 4

5 Agradecimenos A Deus, por mais essa viória em minha vida. À minha orienadora, professora Glaura da Conceição Franco, pela esimosa colaboração na consrução da minha disseração e pelos conhecimenos comparilhados. Gosaria de raificar que sua auda foi de grande valia para o meu aprimorameno e desenvolvimeno. A minha mãe, meu maior ídolo, por acrediar em mim e fazer udo isso possível. Aos meus irmãos que sempre me deram força na realização do meu sonho. 5

6 1 INTRODUÇÃO... 7 PRELIMNARES PROCESSOS DE MEMÓRIA LONGA MODELO ARFIMA ESTIMAÇÃO DO PARÂMETRO DE MEMÓRIA ESTIMADOR DE GEWEKE E PORTER-HUDAK (MÉTODO ) MÉTODO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA TÉCNICA BOOTSTRAP BOOTSTRAP ESTACIONÁRIO INTERVALOS DE CONFIANÇA INTERVALO DE CONFIANÇA BOOTSTRAP PERCENTÍLICO INTERVALO DE CONFIANÇA BOOTSTRAP DE CORREÇÃO DE VÍCIO (BC) SIMULAÇÃO RESULTAODS DAS ESTIMATIVAS PONTUAIS ESTIMATIVA INTERVALAR APLICAÇÕES EM SÉRIES REAIS NÍVEL DO RIO NILO UMIDADE RELATIVA DO AR (%) CONCLUSÃO...41 REFERÊNCIA S BIBLIOGRÁFICAS...4 APÊNCICE A

7 1 INTRODUÇÃO Uma série emporal é definida como sendo um conuno de observações medidas, sequencialmene, ao longo do empo. É possível ciar como exemplo, as coações diárias do euro, axas de uros, o índice anual de inflação de um país, ec. A caracerísica mais relevane dese ipo de esudo é que as observações próximas são dependenes e o ineresse esá em analisar e modelar esa dependência. O esudo de séries emporais é moivado pelo ineresse em invesigar o mecanismo gerador das observações ao longo do empo para descrever sua dinâmica com o obeivo principal de gerar previsões do seu comporameno fuuro. Algumas séries emporais êm como caracerísica a longa dependência, ou sea, mesmo em observações disanes no empo, a correlação verificada não é desprezível. Esa dependência é visualizada de duas maneiras, sendo uma por meio da função de auocorrelação que apresena um decaimeno hiperbólico e a oura aravés da função especral que é ilimiada em freqüências próximas de zero. As séries que apresenam esa caracerísica são designadas por séries de memória longa ou longa dependência. A presença desse fenômeno de memória longa em séries emporais foi primeiramene observada no esudo relacionado ao nível do rio Nilo enre os anos 6 e 184. Em 1956, Hurs, ao analisar esses dados, consaou uma fore dependência enre as observações, mesmo para empos basane disanes enre si. Hosking (1981) e Granger e Joyeux (1980) inroduziram o modelo auoregressivo fracionário inegrado de média móvel, denominado ARFIMA (p, d, q), onde ese é a generalização do modelo ARIMA (p, d, q) de Box & Jenkins (1976) em relação ao parâmero d, podendo naquele assumir valores não ineiros e, nesse, valores ineiros. A parir de 1980, os modelos de longa dependência desperaram o ineresse de muios pesquisadores de variadas áreas de aplicações. Esses modelos passaram a ser uilizados, por exemplo, nos esudos de economia, física, análise de esudos climáicos, denre ouros. Exisem várias proposas na lieraura para a esimação de d (ver Doukhan e al. (003). Nese rabalho, uilizaremos o esimador paramérico, baseado na máxima verossimilhança (Fox e Taqqu, 1986) e o semiparamérico baseado na equação de regressão usando a função periodograma (Geweke e Poer-Hudak, 1983). A aplicação dese modelo necessia que a série esea na região de esacionariedade, ou sea, a série se desenvolva no empo ao redor de uma média e variância consanes e ambém que os valores das auocovâriancias enre dois períodos não dependam do empo, apenas da disância (k) que as separam. 7

8 A inferência sobre o parâmero d do modelo ARFIMA (p, d, q), baseada na disribuição assinóica pode ser problemáica e pode gerar erros de esimação quano se em amosra de amanho pequena. Os inervalos de confiança exaos são consruídos com base em soluções analíicas muias vezes complicadas de se ober, enquano inervalos aproximados dependem de aproximações assinóicas nem sempre obidas. Assim, uma forma de enar fazer inferência sobre o parâmero do modelo se dá por meio da aplicação da écnica do boosrap (Efron, 1979). O boosrap é uma ferramena eficiene ano na consrução de inervalos, quano para ober o erro-padrão de esimadores ou aé mesmo para esimar a disribuição de probabilidade do esimador. O méodo boosrap é basane geral, pois não depende da hipóese sobre a disribuição das esaísicas ou da normalidade dos dados. Em séries emporais, onde as observações apresenam, geralmene, auocorrelação significaiva ao longo do empo, os méodos boosrap mais uilizados são o boosrap nos resíduos e o boosrap em blocos (Efron e Tibshirani, 1993). O méodo boosrap esacionário foi inroduzido por Poliis e Romano (1991). Ese méodo é similar às écnicas de boosrap por blocos móveis com reposição, proposo por Künsch (1989) e Liu e Singh (199). Como será viso, as pseudo-séries são geradas por blocos de comprimenos aleaórios, em que o comprimeno de cada bloco em uma disribuição geomérica. Em conrase, o méodo boosrap por blocos móveis baseia-se em reamosragem de blocos de amanho fixo. O boosrap nos modelos ARFIMA ainda é pouco explorado na lieraura. A maioria dos rabalhos nesa área uilizam o boosrap nos resíduos do modelo ausado (Alonso e al., 000, Franco e Reisen, 004 e 007), ou no periodograma (Areche e Orbe, 005) e poucos fazem uso do boosrap em blocos, como o rabalho de Lahiri (1993). Assim, o presene esudo em a finalidade de uilizar o boosrap esacionário para fazer inferência sobre o parâmero d e verificar a eficiência do mesmo na região de esacionariedade do modelo ARFIMA. Para ano, esudos de simulação Mone Carlo serão realizados para vários valores do parâmero da disribuição geomérica que define o amanho dos blocos e diferenes amanhos de séries. Além diso, inervalos de confiança boosrap serão consruídos e a axa de coberura dos mesmos será avaliada. Ese rabalho esá organizado da seguine forma. O Capíulo consise na apresenação de alguns conceios básicos sobre série emporal. O Capíulo 3 consise na apresenação dos processos de memória longa. O Capíulo 4 apresena as écnicas boosrap e os inervalos de confiança uilizados. O Capíulo 5 apresena a análise de resulados das simulações. O 8

9 Capíulo 6 consise na aplicação do boosrap esacionário a dados reais e por fim o Capíulo 7 apresena as considerações finais. 9

10 PRELIMNARES Nesa seção serão inroduzidos alguns conceios e definições básicas referenes à análise de séries emporais. De acordo com Morein (004), os modelos uilizados para descrever séries emporais são processos esocásicos, iso é, processos conrolados por leis probabilísicas. DEFINIÇÂO.1: Sea T um conuno arbirário. Um processo esocásico é uma família de variáveis aleaórias { Y }, sendo que odas elas são definidas em um mesmo espaço de T probabilidade (,, ). A série emporal é obida por meio de um processo esocásico. Muias das vezes, em esudo de série emporal, desea-se verificar a exisência de alguma dependência enre as observações auais com os seus valores aneriores. As funções de auocorrelação e auocovariância são ferramenas basane úeis para quanificar essa dependência. A auocovariância enre y e y pode ser expressa da seguine forma: k ( k) cov( y, yk ) E[( y E( y ))( yk E( yk ))] Esa função saisfaz as seguines propriedades: 1) ( 0) 0 ) ( k) ( k), ou sea, cov( y, y ) cov( y, y ) 3) ( k ) (0) k k A auocorrelação é, simplesmene, a auocovariância padronizada. A auocorrelação é uma ferramena capaz de medir o comprimeno e a memória de um processo, iso é, a exensão para a qual o valor omado no empo depende daquele no momeno -k. A função de auocorrelação em relação a um processo esacionário é definida por: ( k) ( k) (0) cov( y, y var( y ) k ) var( y k ) É fácil perceber que ( 0) 1 e que (k) apresena propriedades análogas a função de auocovariância. Ao considerar uma sequência de valores y, y,, y 1 a função de 10

11 11 auocorrelação amosral é definida em ermos da função de auocovariância amosral como sendo: 0,1,,, ˆ ˆ ˆ 0 k k k onde k ˆ é um esimador não-endencioso da auocovariância e é dado por: É imporane ressalar que y é a média amosral. Enão k ˆ pode ser definido como sendo: 1,, 1, 0,, ) ( ) )( ( ˆ 1 1 n k y y y y y y k n k k n k 1,, 1, 0, ), )( ( 1 ˆ 1 n k y y y y n k k n k

12 3 PROCESSOS DE MEMÓRIA LONGA Em 1976, Box & Jenkins propuseram o modelo auo-regressivo inegrado de média móvel, denominado ARIMA (p, d, q), para descrever o comporameno de séries caracerizadas pela memória cura, ou sea, os valores auais são pouco correlacionados com valores do passado. A aplicação dos modelos Box & Jenkins necessiam, inicialmene, ransformar séries não esacionárias em esacionárias, se necessário. A meodologia usada por Box & Jenkins sugere a descrição do comporameno da série emporal na forma de polinômios, sendo os valores p e q, respecivamene, o número de ermos auoregressivos e de médias móveis dos polinômios. O valor d é um número ineiro que esabelece o número de diferenciações necessárias para ornar a série emporal esacionária. Sea Y uma série emporal de amanho n. Um dos procedimenos para ornar uma série esacionária é omar diferenças sucessivas da série original aé se ober uma série esacionária por meio do operador de diferenças d Y ( 1 B) Y ranslação para o passado, denoado por B e definido por defasagem de k períodos de empos para rás. d, onde o operador de k B Y Y k, represena a Um comporameno imporane em esudo é a indicação de não esacionariedade da série original, ou sea, as auocorrelações amosrais apresenam um padrão de decaimeno leno. Nese caso, faria senido modelar a série, pelo menos em uma primeira enaiva, como um processo inegrado de ordem um, iso é, 1 Y ( 1 1 B) Y. Segundo Morein (004), se a densidade especral da série diferenciada ende à zero na frequência zero (não é um ruído branco), ou sea, parece ser um processo super-diferenciado, deve-se modelar a série por meio do processo de inegração fracionária. Granger e Joyeux (1980), unamene com Hosking (1981), inroduziram uma classe de modelos que apresenam correlação significaiva enre observações disanes em um longo período do empo, denominado ARFIMA, que é uma generalização do modelo ARIMA de Box & Jenkins. Os modelos de longa dependência enam solucionar os problemas em que a série emporal parece ser um processo esocásico não-esacionário sendo que na realidade é um processo esacionário com memória longa. A propriedade mais imporane do modelo ARFIMA (p, d, q) é a caracerísica de longa dependência que ocorre quando d (0.0 ; 0.5) e cura dependência quando d (0.5; 0.0). Esses modelos são capazes de descrever ano a esruura de memória longa, quano a esruura de memória cura que resou na série após a diferenciação fracionária. Porano, o 1

13 ipo de dependência é deerminado pelo valor fracionário de d. Os parâmeros p e q modelam as auocorrelações em lags de ordens baixas, iso é, capam o comporameno de curo prazo e o parâmero d modela a esruura de auocorrelações de ordens alas, iso é, capa o comporameno de memória longa. A análise e modelagem das séries emporais podem ser realizadas em duas verenes: no domínio do empo, uilizando a função de auocorrelação, e no domínio da freqüência, uilizando a função de densidade especral. A análise no domínio do empo leva em consideração a evolução da série emporal que em com obeivo medir a relação enre os evenos em unidades de empo poserior e as suas magniudes. A função de auocorrelação é a melhor ferramena para avaliar essa evolução do processo por meio do empo. A análise no domínio da frequência em como obeivo verificar a frequência que alguns evenos ocorrem em deerminados inervalo de empo. O méodo empregado para esimar a função de densidade especral é denominado de análise especral (ransformada de Fourier da função de auocovariância). De acordo com Morein (008), um processo de memória longa é um processo esacionário em que a função de auocorrelação ( ) decresce hiperbolicamene para zero, iso é, ~ C d 1,, (3.1) onde C > 0 é uma consane e 0d 0, 5. A expressão (3.1) garane que a função de auocorrelação enha um decaimeno leno. A propriedade de memória longa ocorre em séries que apresenam persisência nas auocorrelações amosrais, ou sea, dependência significaiva enre os valores observados separados por longo inervalo de empo. A longa dependência pode ser definida, no domínio do empo, como a caracerísica na qual a função de auocorrelação não é absoluamene convergene. Formalmene, dizemos que a série em memória longa se: lim n n n Já no domínio da frequência, a caracerísica de longa dependência é evidenciada pelo fao da função de densidade especral ser ilimiada nas freqüências próximas do zero. Se Y é 13

14 um processo esacionário discreo, define-se o especro de Y como sendo a ransformada de Fourier da função de auocovariância: 1 ik f ( ) ke, [, ] k onde cov( Y, Y ), e i k cos k i senk e é a frequência de Fourier. A função de k k densidade especral pode ser escria ambém como: 1 f ( ) [ 0 k cos( k) ] k1 onde são consideradas as propriedades, sen( k) sen( k) e cos( k ) cos( k) k k. A função de auocovariância pode ser obida aravés da função de densidade especral por meio da seguine relação: e i k k ) 0 f ( d Devido ao fao que a função especral e a função auocovariância esão relacionadas, a análise baseada no domínio da frequência é equivalene no domínio do empo. Propriedades de f () : f () é uma função conínua real, f ( ) f ( ), para odo, f ( ) 0, para odo. A seguir é dado o esimador da função especral, denominado de função periodograma. Sea um conuno de n observações Y, Y,, Y 1 n de um processo { } definida como periodograma, é definida para odo [, ] por: Y. A função I (), 14

15 n 1 k1 I( ) [ ˆ 0 ˆ cos( k)] k Vale lembrar que ˆ k é um esimador da função de auocovariância e 0 ˆ é a variância amosral dada por: 1 ˆ. n 0 ( Y i Y ) n i 1 O esimador ( ) I ( ) é um esimador não viciado da função () 4 * I f. 3.1 MODELO ARFIMA A seguir é apresenado o modelo ARFIMA e suas caracerísicas. A série { }, segue Y Z o modelo ARFIMA (p, d, q), proposo por Granger e Joyeux (1980), unamene com Hosking (1981), se saisfaz: d ( B)(1 B) Y ( B) u, u ~ Ruído Branco (0, ) u 1 onde ( B) 1 B B... pb graus p e q, respecivamene, e ( B) 1 B B... qb p e 1 q 1 1 são polinômios de u é uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas com média zero e variância finia, ou sea, um ruído branco. binomial: O ermo d ( é o operador de diferença fracionária e é definido pela expansão 1 B) ( 1 ) d B d ( 1) 1 B. Expandindo o operador de diferença fracionária, emos: d( d 1) d( d 1)( d ) ( 1 B) d 1 db B² B³...! 3! 15

16 Segundo Morein (004), uma das suposições mais frequenes que se faz a respeio de uma série emporal é a de que ela é esacionária, ou sea, ela se desenvolve no empo aleaoriamene ao redor de uma média consane, refleindo alguma forma de equilíbrio esável. Hosking (1981) demonsrou que se { Y } é um processo ARFIMA (p, d, q), enão as Z condições de esacionariedade e inveribilidade são: i. Y é esacionário se d < 0,5 e odas as raízes da equação ( B) 0 esiverem fora do circulo uniário. ii. Y é inverível se d > -0,5 e odas as raízes da equação ( B) 0 esiverem fora do circulo uniário. Para que a série d ( 0,5 a0,5). Y sea esacionária e inverível é necessário, enão que Segundo Hosking (1981), se função densidade especral, enão: Y for esacionário e inverível e se f () represena a d i. lim f ( ) exise e é finio; 0 ii. lim 1d exise e é finio. Ao considerar um caso especial quando p = q = 0, em-se o modelo denominado ruído fracionário, ARFIMA (0, d, 0) e é represenado pelo modelo: d ( 1 B) Y u 0,5 d 0,5 Segundo Morein (008), "a razão da escolha do modelo ARFIMA para fins de modelagem das séries com comporameno de longa dependência é que o efeio do parâmero d em observações disanes decai hiperbolicamene conforme a disância aumena, enquano os efeios dos parâmeros de médias móveis ( ) e auorregressivo ( ) decaem exponencialmene. Enão, d deve ser escolhido com o obeivo de explicar a esruura de 16

17 correlação de ordens alas da série, enquano os parâmeros e explicam a esruura de correlação de ordens baixas". 3. ESTIMAÇÃO DO PARÂMETRO DE MEMÓRIA Exisem inúmeros méodos na lieraura para a esimação do parâmero de longa dependência, enreano nese rabalho o enfoque será dado apenas nos seguines procedimenos: 1. O méodo de regressão uilizando o periodograma proposo por Geweke e Porer-Hudak (1983);. O méodo de aproximação da função de máxima verossimilhança proposo por Fox e Taqqu (1986). Segue abaixo uma descrição dealhada deses méodos ESTIMADOR DE GEWEKE E PORTER-HUDAK (MÉTODO ) Nesa seção apresenaremos a esimação semiparamérica no domínio da frequência. Para esse processo, inicialmene, esima-se o parâmero de diferenciação, d. Os demais parâmeros (auo-regressivos e médias móveis) são esimados no passo seguine. Esse méodo foi proposo por Geweke e Porer-Hudak (1983) e se baseia na equação que exibe relação enre a função densidade especral de um processo ARFIMA (p, d, q) e de um processo ARMA (p, q). O procedimeno é dealhado a seguir: Sea z Y um processo esacionário ARFIMA (p, d, q) com d (0.5 ; 0.5). A função densidade especral do processo é dada por: f y ( ) fu ( )[sen ( )] d (3..1) onde f u(.) denoa a função densidade especral do processo ARMA(p,q), ( B) U ( B), para odo, dada por i ( e ) fu ( ). i ( e ) Logo, emos que a função densidade especral do processo ARFIMA (p, d, q) pode ser escria como: 17

18 f y ( e ( ) ( e i ) i ) sen( ) d. Tomando logarimo da expressão (3..1), emos: ln f y ( ) ln f u ( ) d ln[sen ( )] (3..) Somando a ambos os lados da expressão (3..) o ermo ln f u (0) e com alguma álgebra emos a equação: ln f y ( ) ln f u (0) d ln[sen( )] f ln f u u ( ) (0) Subsiuindo pelas frequencias de Fourier / n, 0,1,, n, onde n é amanho da amosra e adicionando ln I( ) em ambos os lados da expressão, onde I ) é a função periodograma, emos: ( ln I( ) ln fu (0) d ln[sen( )] fu ( ) ln fu (0) I( ) ln f ( ) y (3..3) O valor máximo de, ou sea, g(n) é escolhido de modo g ( n)/ n 0 quando, onde g(n) é pequeno. O ermo n 0 e g(n ) fu ( ) ln fu (0) é considerado desprezível quando se considera as frequências próximas de zero, que serão consideradas para a esimação de d. Assim, obemos uma forma aproximada para a equação (3..3), dada por: ln I( ) ln f u ( ) I (0) d ln[sen( )] ln. f ( ) y (3..4) A equação (3..4) pode ser expressa como uma equação de regressão da seguine forma: y a, para odo 1 g( n) bx 18

19 onde: y lni( ), I( ) x ln[ sen ], ln, a ln f u (0) e b d f y ( ) A esimação de d, proposo por Geweke e Porer-Hudak (1983), é obida uilizando o méodo de mínimos quadrados, denominado aqui por dˆ, é dado por: dˆ g ( n) 1 g ( n) 1 ( x ( x x) y x) onde x corresponde a média de x. Geweke e Porer-Hudak (1983) demonsraram que: d D N d, 6 g ( n) 1 ( x x) em que g n) n ( ( 0 1). 3.. MÉTODO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Nesa seção apresenaremos a esimação paramérica do parâmero d. O esimador de máxima verossimilhança, proposo por Fox e Taqqu (1986), é baseado em uma aproximação da função de verossimilhança sugerida por While (1953). Vale a pena ressalar que nesse méodo odos os parâmeros são esimados conunamene. Suponha { Y } um processo Gaussiano, logo a função de verossimilhança de Y proveniene do processo ARFIMA (p, d, q) é dada por: L( y, ) n n 1 ( ) exp 1 y 1 ( ) y n onde ( d,,,,,,, ) é o veor de parâmeros desconhecidos do modelo, 1 p 1 q y ) n ( y 1,, y n, y denoa o veor ransposo do veor y. O ermo ) ( n represena a 19

20 mariz quadrada n x n, sendo que n n( ) [ ( k)] k0 corresponde à função de auocovariância do processo.. Vale à pena lembrar que (k) A função de verossimilhança exaa necessia do cálculo da mariz inversa da auocovariância e por isso a aproximação da função de verossimilhança sugerida por While é preferida. Compuacionalmene, a maximização da função exaa apresena um elevado cuso no empo. Em 1986, Fox e Taqqu fizeram uso do méodo máxima verossimilhança aproximada, proposo por Whille (1953), para esimar o veor de parâmeros desconhecidos. Ese méodo n 1 consise em subsiuir a mariz ( ), que não é fácil de ser calculada, pela mariz aproximada A ( n ) cuos elemenos são fáceis de calcular. Enão, ao fazer o uso desa aproximação, a esimação de é obida maximizando a seguine função de máxima verossimilhança: L( y, ) 1 n exp z A n ( ) z n n, y é a média amosral e A n n ( ) ( k) k 1 onde z ( y 1 y,, y y) é uma mariz n x n sugerido por While (1953) com a finalidade de aproximar a função de covariância ( n ). Segundo While (1953) a mariz ( n ) pode ser aproximada por: 1 k) ( ) ( 1 e f (, ) ik d onde f (, ) corresponde a função densidade especral caracerizada pelo veor de parâmero desconhecido. Assim, o esimador de máxima verossimilhança é deerminado por meio da minimização da função de While que é dada por: n1 1 FT( ) ln f ( ; ) n I( ). f ( ; ) 1 Ver Fox e Taqqu (1986) e Beran (1994), para um esudo mais compleo esse esimador. 0

21 4 TÉCNICA BOOTSTRAP O méodo boosrap, inroduzido por Efron (1979), é uma ferramena poderosa de reamosragem que pode ser empregada para aproximar a disribuição eórica pela disribuição empírica de uma amosra finia de observações. Esse méodo se baseia na consrução de disribuições amosrais por reamosragem, e é muio uilizado para esimar inervalo de confiança para os parâmeros, consruir inervalo de predição, viés e a variância dos esimadores, enre ouras aplicações. A écnica boosrap consise de um soreio com reposição das observações de uma amosra, gerando pseudo-séries, de amanho igual à original. A parir dessas pseudoséries, é possível esimar caracerísicas da população, ais como a média, variância, ec. O boosrap em séries emporais requer algumas modificações, devido ao fao que as observações são correlacionadas. Exisem basicamene duas formas de aplicação do boosrap neses casos: o boosrap de blocos móveis, Künsh (1989) e Liu e Singh (199), e o boosrap nos resíduos do modelo ausado (Franco e Reisen, 004). A écnica não-paramérica do boosrap por blocos móveis consise em reproduzir blocos, de comprimeno q, que seam independenes, mas que preservem a dependência dos dados de um bloco. Soreiam-se k blocos amosrados com reposição, agregando-os para formar a pseudo-série. Esse processo é repeido por B vezes, gerando B pseudo-séries. A escolha do amanho do bloco (q) é problema muio discuido na lieraura (Hall e al.,1995), pois um comprimeno pequeno produz amosras que não capuram correamene a dependência das observações. Já a escolha de um comprimeno grande acarrea na diminuição da eficiência das esaísicas. Em relação à écnica boosrap residual, é necessário garanir a hipóese de independência dos resíduos, que são usados para gerar as pseudo-séries. Inicialmene ausa-se um modelo para a série em quesão e calcula-se os resíduos do modelo ausado. O boosrap é realizado neses resíduos e, desa forma, são geradas B pseudo-séries uilizando os parâmeros do modelo original e os resíduos boosrap. Ese procedimeno é dio ser dependene do modelo, pois as séries boosrap são obidas uilizando-se os parâmeros esimados para o modelo. Para maiores dealhes, ver Franco e Reisen (004). Nese rabalho uilizaremos um aperfeiçoameno na écnica de blocos móveis, em que o amanho do bloco não é fixado a priori. O procedimeno é baseado no rabalho de Poliis e Romano (1991), descrio na próxima seção. 1

22 4.1 BOOTSTRAP ESTACIONÁRIO Um inconveniene que pode ocorrer com o boosrap por bloco é que a série emporal resulane não é esacionária. Poliis e Romano (1991) propuseram o boosrap esacionário para superar ese problema. Poliis e Romano (1991) propuseram um procedimeno similar ao boosrap em blocos, que consise em sorear com reposição dados perencenes a uma amosra reirada aneriormene, de modo a formar uma pseudo-série. Considere Y Y, Y,, Y n, Y ) a amosra aleaória disponível da variável aleaória, de ( 1 1 n amanho n (finia), com função de disribuição desconhecida descria por F e S(Y ) a esaísica de ineresse. A idéia do boosrap esacionário é reamosrar os dados originais em vários blocos, onde cada bloco é formado por um número aleaório de observações consecuivas, denoado pelo índice L i, e o índice I i represena a posição que em o bloco iniciará. Em cada bloco há preservação da esruura de dependência das observações originais. A equação (3.1) ilusra como se dá a consrução dos blocos, B Y Y, Y. (4.1) I, L Ii, Ii1 IiLi 1 i i Ambos os índices L i e I i são variáveis aleaórias com disribuição geomérica e uniforme discrea, respecivamene. O amanho do bloco não é consane. A fim de alcançar a esacionariedade para a série de empo reamosrada, os dados originais são esruurados em forma de círculo, de modo que o final da série sea conecado ao início da mesma. Caso k Ii Li 1 n, denoa-se Yn k Yk. Vale desacar que k represena o valor da posição no qual a série iniciará, adicionada ao comprimeno do bloco. A Figura 4.1 ilusra a consrução dos blocos.

23 Figura 4.1: Ilusração da consrução de blocos A pseudo-série consise na unção de vários blocos de comprimenos aleaórios, iso é, * Y B I B,. As primeiras L 1 observações da pseudo-série são deerminadas pelo, 1, L1 I, L bloco B de observações YI, YI, YI L, as próximas L 1 observações são obidas pelo I 1,L 1 1, segundo bloco, B I,L. Esse mecanismo é inerrompido quando o comprimeno da pseudosérie ainge o amanho da original. Caso o número de observações da pseudo-série ulrapasse o amanho da inicial, o úlimo bloco reamosrado é corado aé ober a série boosrap do amanho da inicial. Para cada pseudo-série em-se a correspondene esimaiva boosrap da esaísica de ineresse, ou sea, * S( Y * ). Replica-se esse mecanismo B número de vezes e enconrará a disribuição empírica do esimador, que é facilmene visualizada por um hisograma. Na consrução do boosrap esacionário é imporane escolher o parâmero da disribuição geomérica ( p ) endendo a zero, segundo Poliis e Romano (1991). Para que o erro médio quadráico da variância sea minimizado é necessário que p 1 3 n sendo que n corresponde ao amanho da série original. Poliis e Romano (1991) verificaram que o boosrap esacionário é menos sensível à má especificação do amanho dos blocos quando comparado ao boosrap em blocos com repeição e ao boosrap circular em blocos. 3

24 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA Nesa subseção serão apresenadas duas formas para se consruir inervalos de confiança boosrap para o parâmero de memória d do modelo ARFIMA, o inervalo percenilico e o inervalo de correção de vicio INTERVALO DE CONFIANÇA BOOTSTRAP PERCENTÍLICO Uma forma usual de se ober inervalos de confiança de um esimador, * S( Y * ), é por meio do méodo boosrap percenilico, onde ese esabelece os inervalos de confiança com os percenis ( ) e ( 1 ) da disribuição empírica do esimador. Esse méodo foi proposo por Efron & Tibshirani (1993). Na práica, são geradas B pseudo-séries independenes, Y, e depois se esima a esaísica de ineresse, * S( Y * ), para * * * 1, Y, YB cada pseudo-série. Em seguida, esses valores esimados são ordenados e oma-se o percenil 100.( ) como o limie inferior e o percenil 100.(1 ) como o limie superior do inervalo. Pode-se definir o inervalo como: ˆ* :[ ; ˆ* IC ]. ( 100 )% 100.( ) 100.(1 ) 4.. INTERVALO DE CONFIANÇA BOOTSTRAP DE CORREÇÃO DE VÍCIO (BC) Na consrução do inervalo de confiança BC o limie superior e inferior do inervalo são os percenis da disribuição boosrap ausados para corrigir o vício de esimação e assimeria da disribuição. Para deerminar o inervalo de confiança BC, por exemplo, é necessário calcular o percenil da disribuição, mas não, exaamene, os percenis radicionais de,5% e 97,5%. Esse méodo preende corrige eses valores para possíveis vícios na esimação do parâmero. O méodo consise em calcular a probabilidade ( inferior à esimaiva da esaísica da original, ou sea, p [ ˆ * o P i ˆ]. p o ) de uma esimaiva boosrap ser 4

25 Por meio do valor da probabilidade ( correção do vício z o que represena a inversa da normal no prono p o ) é enconrado o parâmero responsável pela p o 1 z o ( p o ). Por fim, seleciona-se o nível de confiança ( 1 )100% para deerminar o valor de z. Pinf erior z0 z P Superior z 0 z (1 ). O inervalo corrigido pelo vicio (BC) é definido como: IC BC P Psup erior * in f erio r ˆ* ˆ,. 5

26 5 SIMULAÇÃO Por meio do méodo Mone Carlo foram simuladas inicialmene 1000 séries do modelo ARFIMA (p, d, q), com amanhos n = 100 e 500. O sofware esaísico R versão (.15.1) foi o escolhido para a consrução da linguagem de programação. Para a geração das séries usouse o pacoe fracdiff.sim. A esimação de d aravés do méodo semiparamérico foi feia uilizando-se a função fd e a esimação por máxima verossimilhança foi feia uilizandose a função fracdiff. As esaísicas calculadas para avaliar o desempenho dos esimadores dos méodos boosrap foram a média das esimaivas e o Erro Quadráico Médio (EQM). Os inervalos de confiança (IC) foram comparados por meio do Percenual de Coberura (PC), em relação ao nível de 95%. O processo para a obenção das séries boosrap e suas respecivas esimaivas é dado pelo seguine esquema: 1. Inicialmene, foram geradas séries originais de amanho n = 100 e Para cada uma das séries geradas, foram geradas 1000 séries boosrap, baseadas no méodo boosrap esacionário. 3. O méodo boosrap esacionário, como viso na Seção 3, consise na reamosragem da série original em inúmeros blocos aleaórios, sendo que o inicio da série é deerminado pela disribuição uniforme discrea e o comprimeno pela disribuição geomérica. 4. A disribuição uniforme discrea uilizada foi: U ~ (1, n), pois são as possíveis alernaivas para o início da série. Em relação à disribuição geomérica foram uilizados p = 0,5, 0,05, 0,005 e 0, Para cada uma das séries boosrap geradas, foi esimado o parâmero d via e MV (máxima verossimilhança). 6. Foram consruídos inervalos de confiança percenílico e BC para o parâmero em esudo. 7. Ese procedimeno foi repeido 1000 vezes e regisrou-se a esimaiva média do parâmero; o EQM médio; o número de inervalos de confiança que, em cada siuação, coninham o parâmero de ineresse. Nese caso, o percenual de coberura nominal é deerminada pelo quociene enre o número de inervalos que coninham o verdadeiro valor do parâmero e o número oal de inervalos deerminados. 6

27 Para esar a meodologia proposa, foram realizadas simulações de Mone Carlo com d = 0,3 e 0,45 para os seguines modelos: ARFIMA (0, d, 0), ARFIMA (1, d, 0) com = 0,4 e ARFIMA (0, d, 1) com = 0, RESULTAODS DAS ESTIMATIVAS PONTUAIS Nesa seção serão apresenados os resulados das esimaivas ponuais para o parâmero d. A Tabela 1 mosra os resulados da esimação de d para o modelo ARFIMA (0, d, 0), com n = 100 e 500 e d = 0,3 e 0,45. Vale ressalar que a série boosrap é formada por vários blocos da série original e o comprimeno de cada bloco é deerminado pela disribuição geomérica de parâmero (p). A Tabela 1 apresena à média e o EQM das esimaivas ponuais de d em relação aos dois ipos de esimadores: e MV. Os valores em negrio represenam as melhores esimaivas para o parâmero obidas no procedimeno boosrap. Em relação aos resulados referenes à esimação do parâmero d para a série original, observa-se que o méodo apresena esimaivas menos viciadas, mas o méodo MV possui menor EQM. Ese é um resulado á conhecido na lieraura (ver Franco e Reisen, 007). Os resulados são consisenes uma vez que à medida que o amanho da série aumena a variabilidade do esimador diminui, ou sea, as observações vão ficando cada vez mais concenradas em orno do parâmero na medida em que a série vai ornando cada vez maior. Quano ao procedimeno boosrap, pode-se perceber que à medida que o valor de p diminua, os resulados obidos ficam mais próximos dos valores enconrados pelo méodo de Mone Carlo para a série original. Apesar de que esses resulados referenes ao boosrap sempre apresenaram valores abaixo do valor da série original. A seguir é feia uma análise mais dealhada dos resulados para cada valor de p. Se o comprimeno de cada bloco da série boosrap em disribuição geomérica com parâmero igual a 0,5, o valor médio de d, em ambos amanhos de amosra e méodos, ficaram muio subesimado. Para o caso em que o comprimeno de cada bloco da série boosrap enha disribuição geomérica com p = 0,05, o méodo de máxima verossimilhança parece ser mais preciso (erro quadráico médio pequeno) do que o méodo quando analisado n = 500. Se o amanho de cada bloco segue uma disribuição geomérica com p = 0,005, observase que para a série com n = 100 o melhor méodo de esimação foi o e para n = 500 foi o de máxima verossimilhança. 7

28 Se o comprimeno de cada bloco em disribuição geomérica com p = 0,0005, noa-se que ano para n = 100 e 500 o melhor méodo de esimação foi desempenhado pelo. É imporane desacar que o comprimeno dos blocos para a consrução da série boosrap vai aumenando à medida que p diminui. Assim, é necessário muia cauela para se decidir qual o melhor valor de p, á que um valor de p muio pequeno (por exemplo, p = 0,0005) pode esar simplesmene reproduzindo a série original. Nese caso a variabilidade inerene à disribuição subacene do esimador de d uilizado não esaria sendo considerada. Iso invalidaria o procedimeno boosrap para a realização de inferências com relação ao parâmero de ineresse, como a consrução de inervalos de confiança e eses de hipóeses, como será viso na próxima subseção. TABELA 1 Esimação ponual do parâmero d em relação ao modelo ARFIMA (0, d, 0) d = 0,3 d = 0,45 n = 100 n = 500 n = 100 n = 500 Original Boosrap Original Boosrap Original Boosrap Original Boosrap p = 0,5 dˆ 0,313 0,01 0,307 0,005 0,469 0,033 0,463 0,008 EQM 0,08 0,164 0,09 0,116 0,086 0,61 0,09 0,4 MV dˆ 0,48 0,091 0,9 0,18 0,376 0,156 0,434 0,0 EQM 0,010 0,050 0,001 0,031 0,010 0,095 0,001 0,055 p = 0,05 dˆ 0,91 0,175 0,308 0,166 0,450 0,99 0,468 0,68 EQM 0,099 0,15 0,08 0,05 0,099 0,135 0,08 0,069 MV dˆ 0,43 0,09 0,87 0,73 0,374 0,336 0,49 0,44 EQM 0,010 0,019 0,001 0,004 0,011 0,0 0,001 0,003 p = 0,005 dˆ 0,311 0,8 0,97 0,54 0,463 0,430 0,455 0,405 EQM 0,080 0,09 0,07 0,040 0,081 0,094 0,08 0,041 MV dˆ 0,41 0,33 0,90 0,87 0,369 0,361 0,433 0,431 EQM 0,010 0,013 0,001 0,00 0,011 0,014 0,001 0,00 p = 0,0005 dˆ 0,309 0,306 0,30 0,96 0,459 0,456 0,460 0,45 EQM 0,086 0,087 0,031 0,033 0,084 0,086 0,031 0,033 MV dˆ 0,43 0,40 0,87 0,87 0,370 0,367 0,49 0,430 EQM 0,011 0,011 0,001 0,00 0,01 0,013 0,001 0,001 8

29 A Tabela mosra o desempenho dos esimadores para o modelo ARFIMA(1,d,0). Ao inserir o ermo AR no modelo, observa-se que o parâmero d é sempre superesimado, e que o méodo MV apresena piores esimaivas. Ese ambém é um resulado conhecido na lieraura (ver Franco e Reisen, 007). Deve-se observar que a roina disponível no R para o cálculo do esimador MV possui valor máximo de 0,5, e por ese moivo os resulados para d = 0,45 ficam compromeidos. Noa-se que com o aumeno do amanho da série analisada houve uma melhora no valor esimado de d, ou sea, os resulados são consisenes TABELA Esimação ponual do parâmero d em relação ao modelo ARFIMA (1, d, 0), com = 0,4 p = 0,5 d = 0,3 d = 0,45 n = 100 n = 500 n = 100 n = 500 Original Boosrap Original Boosrap Original Boosrap Original Boosrap dˆ 0,370 0,033 0,34 0,007 0,57 0,04 0,479 0,010 EQM 0,098 0,158 0,08 0,115 0,095 0,53 0,09 0,3 MV dˆ 0,455 0,08 0,49 0,57 0,48 0,56 0,497 0,319 EQM 0,05 0,018 0,037 0,004 0,001 0,046 0,00 0,019 p = 0,05 dˆ 0,379 0,44 0,315 0,173 0,537 0,360 0,471 0,73 EQM 0,089 0,111 0,03 0,050 0,094 0,118 0,033 0,067 MV dˆ 0,457 0,48 0,49 0,49 0,483 0,468 0,497 0,496 EQM 0,06 0,00 0,037 0,037 0,001 0,001 0,00 0,00 p = 0,005 dˆ 0,381 0,353 0,313 0,70 0,540 0,505 0,469 0,419 EQM 0,095 0,101 0,030 0,040 0,094 0,100 0,09 0,040,41 MV dˆ 0,457 0,451 0,49 0,491 0,483 0,480 0,497 0,497 EQM 0,06 0,04 0,037 0,036 0,001 0,001 0,00 0,00 p = 0,0005 dˆ 0,384 0,381 0,31 0,314 0,546 0,54 0,479 0,471 EQM 0,086 0,087 0,09 0,030 0,086 0,087 0,09 0,031 MV dˆ 0,457 0,454 0,491 0,49 0,483 0,481 0,497 0,497 EQM 0,06 0,05 0,037 0,037 0,001 0,001 0,00 0,00 Em relação ao procedimeno boosrap, pode-se consaar que os resulados obidos foram similares aos resulados para o modelo ARFIMA (0, d, 0). Observou-se ambém que à medida que o valor de p diminui os resulados ficaram mais próximos dos valores obidos no Mone Carlo para a série original. Enreano, esses resulados relacionados ao boosrap 9

30 apresenaram valores abaixo do valor da série original. Iso fez com que os valores do boosrap ficassem mais próximos dos verdadeiros valores do parâmero (d = 0,3 ou 0,45) quando p diminui. A Tabela 3 mosra o desempenho dos esimadores para o modelo ARFIMA (1,d,0). Nese caso, a inserção do ermo MA (médias móveis) causa uma subesimação do parâmero d. Mas ao aumenar o amanho da série analisada houve uma melhora no valor esimado para d pelo méodo. Vale desacar que o méodo de máxima verossimilhança apresenou as piores esimaivas. TABELA 3 Esimação ponual do parâmero d em relação ao modelo ARFIMA (1, d, 0,4), com = 0,4. d = 0,3 d = 0,45 Original Boosrap Original Boosrap Original Boosrap Original Boosrap n = 100 n = 500 n = 100 n = 500 p = 0,5 dˆ 0,34 0,0003 0,96 0,00 0,397 0,015 0,45 0,006 EQM 0,093 0,176 0,030 0,118 0,084 0,76 0,030 0,6 MV dˆ 0,018 0,011 0,035 0,006 0,103 0,035 0,180 0,060 EQM 0,081 0,085 0,071 0,087 0,16 0,175 0,074 0,154 p = 0,05 dˆ 0,40 0,116 0,93 0,151 0,401 0,40 0,450 0,55 EQM 0,084 0,140 0,030 0,057 0,086 0,154 0,03 0,074 MV dˆ 0,018 0,015 0,033 0,07 0,110 0,085 0,178 0,16 EQM 0,081 0,08 0,07 0,078 0,1 0,141 0,076 0,087 p = 0,005 dˆ 0,36 0,10 0,95 0,49 0,399 0,367 0,455 0,401 EQM 0,093 0,104 0,09 0,041 0,091 0,105 0,07 0,041 MV dˆ 0,019 0,017 0,035 0,031 0,108 0,101 0,181 0,173 EQM 0,080 0,081 0,071 0,071 0,14 0,19 0,074 0,079 p = 0,0005 dˆ 0,34 0,31 0,9 0,86 0,400 0,396 0,450 0,44 EQM 0,089 0,091 0,030 0,03 0,089 0,090 0,030 0,03 MV dˆ 0,018 0,016 0,035 0,033 0,111 0,108 0,180 0,179 EQM 0, ,08 0,071 0,07 0,11 0,13 0,074 0,076 Verifica-se que o padrão observado aneriormene se maneve, ou sea, com a diminuição do valor de p os resulados ficaram mais próximos dos valores obidos para a série original. Devido ao fao de que o valor médio de d, para a série original, esá subesimado e 30

31 que o méodo boosrap ambém subesima o valor do parâmero da série original, pode-se concluir que as esimaivas esão bem piores em relação ao verdadeiro valor. 5. ESTIMATIVA INTERVALAR Nesa subseção são apresenados os limies dos inervalos de confiança para d e as axas de coberura esimadas para os modelos de longa dependência. A Tabela 4 mosra os limies dos inervalos de confiança para d e as axas de coberura esimadas para o modelo ARFIMA (0, d, 0). Vale lembrar que os inervalos para a série boosrap foram consruídos com 95% de confiança, iso é, eoricamene o percenual de coberura deveria esar próximo dese valor. Em geral, o inervalo de confiança percenílico obeve axas de coberura mais próximas do nível nominal fixado de 95% para o quando uilizado p = 0,05 e p = 0, 005. Vale frisar que os resulados para o esimador MV foram muio ruins, com axas de coberura bem abaixo do nível de 95%. Em relação à axa de coberura, verifica-se que o inervalo percenílico mosrou melhores percenuais de coberura que o BC. Pode-se observar que a ampliude dos inervalos diminui quando o amanho da série aumena. Apesar dos resulados obidos com p = 0,0005 erem apresenado as melhores esimaivas ponuais (como verificado na seção anerior), seus resulados foram ruins em relação às esimaivas inervalares. Esse problema esá relacionado com o fao de que ao considerar um valor muio pequeno para p, a série formada por meio do boosrap pode esar idênica à série original. Se a série boosrap for equivalene a série original odos os valores médios de d esarão bem próximos, iso implica que a ampliude do inervalo será muio pequena. É imporane relembrar que os resulados das esimaivas ponuais ao considerar p = 0,05 foram piores que p = 0,005. No caso em que o comprimeno de cada bloco em disribuição geomérica com p = 0,005, verifica-se que o méodo apresenou probabilidade de coberura denro do esperado, quando n = 500 e d = 0,3 e 0,45. As Tabelas 5 e 6 mosram os resulados obidos dos limies dos inervalos de confiança para d e as axas de coberura esimadas por eses procedimenos para os modelos ARFIMA (1, d, 0), com = 0,4 e ARFIMA (0, d, 1), com = 0,4, respecivamene. Noa-se que o comporameno observado aneriormene se maneve, ou sea, de um modo geral o inervalo de confiança percenílico apresenou as melhoras axas de coberura para o méodo de esimação e p = 0,05 ou 0,005. Em relação os ipos de inervalos, o inervalo percenílico mosrou melhores probabilidades de coberura que o BC. 31

32 TABELA 4 Inervalos de confiança boosrap para d e axas de coberura no modelo ARFIMA (0, d, 0) Série Boosrap d = 0,3 d = 0,45 n = 100 n = 500 n = 100 n = 500 p =0,5 IC percenilico [-0,597 ; 0,563] [-0,350 ; 0,30] [-0,585 ; 0,576] [-0,346 ; 0,33] 100% 93,3% 100% 0% IC BC [-0,39 ; 0,71] [-0,156 ; 0,444] [-0,309 ; 0,776] [-0,106 ; 0,458] 100% 97,5% 99,9% 56,6% MV IC percenilico [<0,001 a 0,44] [0,051 a 0,01] [0,006 a 0,318] [0,140 a 0,99] 11,3% 0,0% 0,0% 0,0% IC BC [-0,668 a 0,43] [-0,317 a 0,68] [-0,596 a 0,481] [-0,314 a 0,70] 64,1% 49,9% 56,1% 30,9% p =0,05 IC percenilico [-0,43 a 0,666] [-0,188 a 0,473] [-0,314 a 0,790] [-0,091 a 0,578] 98,% 98,% 96,0% 91,8% IC BC [-0,551 a 0,591] [-0,45 a 0,41] [-0,513 a 0,654] [-0,150 a 0,504] 96,1% 78,7% 8,5% 63,1% MV IC percenilico [0,063 a 0,36] [0,00 a 0,339] [0,186 a 0,47] [0,356 a 0,471] 64,8% 8,4% 43,% 83,% IC BC [-0,77 a 0,31] [-0,365 a 0,49] [-0,654 a 0,45] [-0,91a 0,303] 54,9% 46,0% 53,3% 9,4% p =0,005 IC percenilico [-0,153 a 0,549] [-0,07 a 0,499] [-0,011 a 0,689] [0,074 a 0,648] 85,9% 93,0% 84,9% 9,4% IC BC [-0,538 a 0,433] [-0,50 a 0,367] [-0,441 a 0,58] [-0,133 a 0,486] 75,1% 71,8% 66,9% 64,1% MV IC percenilico [0,13 a 0,94] [0,3 a 0,33] [0,71 a 0,407] [0,38 a 0,466] 48,1% 79,6% 7,8% 75,9% IC BC [-0,609 a 0,301] [-0,96 a 0,81] [-0,474 a 0,441] [-0,169 a 0,41] 5,7% 50,6% 51,5% 48,0% p =0,0005 IC percenilico [0,56 a 0,37] [0,119 a 0,414] [0,40 a 0,474] [0,73 a 0,566] 7,6% 68,8% 9,8% 68,% IC BC [-0,198 a 0,370] [-0,13 a 0,3] [-0,077 a 0,476] [0,003 a 0,459] 60,8% 60,5% 55,5% 60,9% MV IC percenilico [0,6 a 0,63] [0,59 a 0,309] [0,353 a 0,385] [0,406 a 0,449] 13,8% 44,9% 11,5% 43,% IC BC [-0,33 a 0,96] [-0,18 a 0,300] [-0,089 a 0,445] [0,016 a 0,447] 43,8% 48,6% 44,1% 49,% Obs.: Em negrio esão as axas de coberura mais próximas do nível nominal de 95% 3

33 TABELA 5 Inervalos de confiança boosrap para d e axas de coberura no modelo ARFIMA (1, d, 0) Série Boosrap d = 0,3 d = 0,45 N = 100 n = 500 n = 100 n = 500 p =0,5. IC percenilico [-0,584 a 0,576] [-0,347 a 0,31] [-0,576 a 0,585] [-0,345 a 0,34] 100% 94,6% 100% 0,0% IC BC [-0,371 a 0,741] [-0,146 a 0,449] [-0,96 a 0,780] [-0,10 a 0,458] 100% 97,6% 99,8% 55,6% MV IC percenilico [0,05 a 0,371] [0,174 a 0,339] [0,067 a 0,41] [0,3 a 0,403] 96,% 98,% 1% 0,0% IC BC [-0,554 a 0,493] [-0,318 a 0,70] [-0,541 a 0,503] [-0,314 a 0,71] 6,4% 50,% 58,0% 30,6% p =0,05 IC percenilico [-0,368 a 0,734] [-0,179 a 0,480] [-0,57 a 0,853] [-0,084 a 0,58] 99,% 98,9% 97,9% 9,4% IC BC [-0,543 a 0,617] [-0,34 a 0,47] [-0,476 a 0,700] [-0,141 a 0,509] 96,% 80,3% 84,5% 63,6% MV IC percenilico [0,31 a 0,474] [0,464 a 0,494] [0,409 a 0,487] [0,494 a 0,498] 37,% 0,0% 75,% 0,0% IC BC [-0,666 a 0,434] [-0,309 a 0,311] [-0,51 a 0,594] [-0,178 a 0,443] 67,4% 56,9% 69,5% 55,1% p =0,005 IC percenilico [-0,081 a 0,66] [-0,06 a 0,517] [0,060 a 0,767] [0,085 a 0,665] 88,% 94,8% 88,3% 94,3% IC BC [-0,48 a 0,479] [-0,54 a 0,379] [-0,383 a 0,590] [-0,130 a 0,496] 81,9% 74,0% 75,4% 66,% MV IC percenilico [0,404 a 0,470] [0,481 a 0,497] [0,460 a 0,486] [0,496 a 0,498] 7,8% 0,0% 0,6% 0,0% IC BC [-0,55 a 0,377] [-0,84 a 0,99] [-0,370 a 0,546] [-0,137 a 0,456] 58,1% 53,0% 60,5% 54,5% p =0,0005 IC percenilico [0,333 a 0,401] [0,13 a 0,430] [0,488 a 0,559] [0,88 a 0,580] 6,1% 7,% 6,9% 7,0% IC BC [-0,148 a 0,418] [-0,108 a 0,343] [-0,01 a 0,550] [0,09 a 0,484] 69,5% 67,3% 64,7% 65,6% MV IC percenilico [0,446 a 0,46] [0,488 a 0,494] [0,478 a 0,484] [0,497 a 0,498] 7% 0,0%,9% 0,0% IC BC [-0,150 a 0,373] [-0,111 a 0,35] [-0,001 a 0,540] [0,040 a 0,483] 51,1% 5,3% 54,% 54,3% Obs.: Em negrio esão as axas de coberura mais próximas do nível nominal de 95% 33

34 TABELA 6 Inervalos de confiança boosrap e axas de coberura para d no modelo ARFIMA (0; d; 1) Série Boosrap d = 0,3 d = 0,45 N = 100 n = 500 n = 100 n = 500 p =0,5. IC percenilico [-0,618 a 0,543] [-0,35 a 0,316] [-0,604 a 0,557] [-0,349 a 0,319] 100% 89,0% 100% 0,0% IC BC [-0,436 a 0,684] [-0,160 a 0,440] [-0,340 a 0,756] [-0,109 a 0,453] 100% 98,6% 99,9% 54,1% MV IC percenilico [<0,001 a 0,083] [<0,001 a 0,04] [<0,001 a 0,15] [0,005 a 0,19] 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% IC BC [-1, a -0,144] [-0,491 a 0150] [-0,834 a 0,300] [-0,339 a 0,56] 0,0% 30,4% 41, 8,3% p =0,05 IC percenilico [-0,495 a 0,611] [-0,0 a 0,458] [-0,376 a 0,7334] [-0,100 a 0,564] 97,6% 97,3% 9,9% 89,% IC BC [-0,570 a 0,57] [-0,49 a 0,417] [-0,535 a 0,66] [-0,16 a 0,494] 97,1% 80,0% 8,9% 6,3% MV IC percenilico [<0,001 a 0,06] [0,0006 a 0,069] [0,004 a 0,185] [0,085 a 0,7] 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% IC BC [-1,101 a -0,036] [-0,40 a 0,9] [-0,758 a 0,345] [-0,7 a 0,334] 15,3% 44,3% 44,9% 34,9% p =0,005 IC percenilico [-0,10 a 0,489] [-0,08 a 0,497] [-0,064 a 0,630] [0,065 a 0,646] 79,7% 93,3% 77,6% 93,% IC BC [-0,551 a 0,401] [-0,64 a 0,369] [-0,479 a 0,481] [-0,144 a 0,486] 69,8% 71,5% 59,4% 64,3% MV IC percenilico [0,001 a 0,039] [0,003 a 0,067] [0,09 a 0,15] [0,107 a 0,19] 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% IC BC [-0,899 a 0,106] [-0,35 a 0,71] [-0,549 a 0,381] [-0,161 a 0,49] 30,% 51,7% 46,5% 53,0% p =0,0005 IC percenilico [0,180 a 0,54] [0,110 a 0,404] [0,34 a 0,415] [0,63 a 0,557] 9,7% 67,5% 8,7% 66,8% IC BC [-0,48 a 0,333] [-0,137 a 0,30] [-0,131 a 0,44] [-0,004 a 0,455] 54,6% 61,% 44,9% 59,1% MV IC percenilico [0,011 a 0,04] [0,013 a 0,048] [0,094 a 0,17] [0,146 a 0,199] 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% IC BC [-0,479 a 0,179] [-0,160 a 0,76] [-0,130 a 0,388] [-0,001 a 0,438] 36,3% 46,3% 38,7% 48,% Obs.: Em negrio esão as axas de coberura mais próximas do nível nominal de 95% 34

35 6 APLICAÇÕES EM SÉRIES REAIS Nesa seção será apresenada a aplicação do boosrap esacionário em dados reais com a finalidade de fazer inferência sobre o parâmero de longa dependência. As séries uilizadas foram: Nível do rio Nilo enre os anos 6 e 184. Umidade relaiva do ar (%) enre 1º de aneiro a 31 de dezembro na cidade de São Paulo, Brasil. 6.1 NÍVEL DO RIO NILO A série sobre o nível mínimo anual do rio Nilo é basane uilizada nos esudos envolvendo a caracerísica de longa dependência. Esses dados foram coleados nos anos de 6 a 184, oalizando 663 observações. O gráfico da série nível mínimo anual do rio Nilo e a função de auocorrelação da mesma esão apresenados nas Figuras e 6.1., respecivamene. Ao observar o comporameno do nível mínimo do rio Nilo, à primeira visa, pode-se inferir que a série parece ser um processo esocásico não-esacionário. Visualmene, ela não se desenvolve no empo de forma aleaória ao redor de uma média consane, não refleindo nenhum ipo de equilíbrio esável. Já ao analisar a Figura 6.1., verifica-se que função de auocorrelação decresce hiperbolicamene para zero, ou sea, os dados apresenam memória longa. O comporameno que indica a não esacionariedade da série pode ser explicado pela presença da caracerísica de longa dependência enre as observações. Nível anual mínimo do Rio Nilo ACF Tempo Figura 6.1.1: Gráfico da série nível anual mínimo do rio Nilo Lag Figura 6.1.: Gráfico da função de auocorrelação da série nível anual mínimo do rio Nilo. 35