UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Ciências Departamento de Matemática e Informática

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1 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Ciências Deparameno de Maemáica e Informáica Trabalho de Licenciaura em Esaísica Análise da Relação Enre a Taxa de Juro Facilidade Permanene de Cedência e a Taxa de Juro Aciva em Moçambique Auor: José Raimundo Erneso Mondlane Mapuo,

2 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Ciências Deparameno de Maemáica e Informáica Trabalho de Licenciaura em Esaísica Análise da Relação Enre a Taxa de Juro Facilidade Permanene de Cedência e a Taxa de Juro Aciva em Moçambique Auor: José Raimundo Erneso Mondlane Supervisor: Dr. Elísio Joaquim José Mabasso Mapuo,

3 Agradecimenos Agradeço em primeiro lugar a Deus pela força e por iluminar sempre os meus caminhos, por me dar muia saúde, fé, coragem e acima de udo muio amor, o qual se ransformou em muias alegrias perane os meus colegas durane o curso. A odos os docenes do Deparameno de Maemáica e Informáica pelo apoio, paciência, em especial ao professor Elísio Joaquim José Mabasso, por me er orienado no rabalho, endo demonsrado muia amizade, aenção e acima de udo muia disponibilidade em ajudar. Aos meus pais, Erneso Mondlane e Laia Mandlae por erem sempre criado condições para prosseguir com a minha vida esudanil, onde quer que eseja meu pai, sei que em olhado por mim pois sempre sino o seu apoio, sua força e muio incenivo. Aos meus familiares que por vezes pouco convivíamos por esar a esudar, mas sempre me enenderam e apoiaram. Ao meu irmão Maeus Mondlane e meu amigo Sílvio Langa que se ransformaram em meus segundo pai, pela aenção, apoio e incenivo. À minha Esposa Isaura Macome por er sempre acrediado em mim, endo deposiado muio apoio e por ser sempre a minha eerna companheira. Aos meus inesquecíveis colegas do curso pelo apoio, paciência e pelas longas horas de esudo que ivemos, levarei- vos sempre no coração onde esiver. A odos aquele que direca ou indirecamene conribui para a minha educação e formação. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica i

4 DECLARAÇÃO DE HONRA Declaro por minha honra, que o presene rabalho é resulado da minha própria invesigação e das orienações do meu supervisor, e que não foi submeido para ouro grau que não seja o indicado - Licenciaura em Esaísica, da Universidade Eduardo Mondlane. Auor (José Raimundo Erneso Mondlane) José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica ii

5 RESUMO O presene rabalho analisa a relação enre as Taxas de Juros Facilidade Permanene de Cedência e Aciva em Moçambique no período de Março de 005 aé de 01, para al usou-se o Modelo Vecorial de Correcção de Erros, por raar-se de séries inegradas de ordem 1, iso é, as séries foram diferenciadas uma vez para ornarem-se esacionárias. Verificou-se a exisência de uma relação de equilíbrio de longo prazo enre as séries. O ese de Causalidade de Granger mosrou exisência de uma relação de causalidade bidireccional enre as duas séries e mosrou ambém que a Taxa de Juro Aciva é a variável mais exógena, iso é, não é explicada pela Taxa de Juro Facilidade Permanene de Cedência. A análise da Função Resposa-Impulso mosrou que as variações na Taxa de Juro Aciva são significaivamene influenciadas pelas variações na Taxa de Juros Facilidade Permanene de Cedência. A Função de Decomposição de Variância de Erro de Previsão mosrou uma influência posiiva da Taxa Facilidade Permanene de Cedência na Taxa de Juros Aciva. Palavras-chave: Facilidade Permanene de Cedência, Taxa de Juro Aciva, Modelo Vecorial de Correcção de Erros, Resposa-Impulso, Decomposição de Variância. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica iii

6 Índice Página I INTRODUÇÃO 1 1. Objecivos Gerais. 1.. Específicos. 3 II REVISÃO DE LITERATURA 4.1 O Conceio de Série Temporal Imporância das Séries Temporais Económicas Processos Esocásicos Processos Esocásicos Esacionários Processos Não Esacionários Processos Esocásicos de Tendência Esacionária e Processos Esacionários em Diferenças Processos Inegrados Fenómeno de Regressão Espúria Esacionaridade Análise Gráfica Raiz Uniária Modelos Auo-Regressivos Modelos de Médias Móveis... José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica iv

7 .7 Modelos Auo-Regressivos Vecoriais Modelo Vecorial de Correcção de Erro Co-Inegração Causalidade de Granger Número de Desfasagens Análise da Decomposição de Variância Função Resposa-Impulso.. 39 III METODOLOGIA Maerial Dados Usados Fone de Dados Méodos Análise de Dados Tese de Esacionaridade das Séries Normalidade Mulivariada Modelo VAR Tese de Co-Inegração Tese de Causalidade de Granger Número de Desfasagem no Modelo Análise de Decomposição da Variância José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica v

8 Função de Resposa-Impulso IV ANÁLISE E DISCUSSÃO DE RESULTADOS Análise Exploraória dos Dados Tese de Esacionaridade Modelo VAR Tese Para Escolha de Número de Desfasagens do Modelo Tese de Auocorrelação Serial Residual Tese de Co-Inegração Tese de Causalidade de Granger/Exogenidade Função Resposa-Impulso Decomposição de Variância da Taxa de Juros Aciva V CONCLUSÕES Recomendações. 58 VI BIBLIOGRAFIA ANEO 61 José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica vi

9 Lisa de Abreviauras BM- Banco de Moçambique Tjac- Taxa de Juro aciva FPC-Taxa de Juro Facilidade Permanene de Cedência LM- Muliplicador de Lagrange PP- Phillips-Perron KPSS- Kwiakowski, Phillips, Shimid e Shin ADF- Dickey-Fuller Aumenado VAR- Vecor Auo-Regressivo VEC- Vecor de Correcção de Erro AR- Auo-Regressivo MA- Médias Móveis ARMA- Auo-Regressivo e de Médias Móveis PE- Processo Esocásico AIC- Criério de Informação de Akaike SBC- Criério Bayesiano de Schwarz DW- Durbin-Wason José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica vii

10 LISTA DE FIGURAS Figura 4.1a Represenação gráfica da série axa de juro facilidade permanene de cedência Figura 4.1b Represenação gráfica da série axa de juro aciva Figura Resposa-Impulso na axa de juro aciva LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Esaísicas Descriivas Tabela 4. Esaísica do ese de Raiz Uniária ADF para as séries 49 Tabela Tese para escolha do número de desfasagens do modelo... Tabela 4.3. Tese de auocorrelação serial residual baseado no procedimeno LM.. Tabela Esaísica do Traço..... Tabela Esaísica do máximo Auovalor.... Tabela Tese de causalidade de Granger..... Tabela Tese de exogenidade de FPC e TJac..... Tabela Decomposição da variância da TJac José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica viii

11 I INTRODUÇÃO Segundo Maeus (006), a axa de juro é o preço pago pelo emprésimo de dinheiro e desempenha um papel chave na omada de decisões económicas, já que inerfere nos preços e nos cusos de odos os secores da economia. Exisem esreias relações enre a axa de juros e as variáveis económicas chaves como: a inflação, o desemprego, a axa de câmbio, o fluxo de capial e o nível da dívida exerna e inerna. Um aumeno na axa de juros afeca negaivamene o invesimeno e o consumo e, assim, inerfere no crescimeno da economia. Em um país com dívida pública ala (Moçambique em uma dívida publica em relação ao PIB de 41.7%, assim sendo não se enconra na lisa de Países com ala dívida Pública, que chega a alcançar níveis de 6% e 0% para Japão e Zimbabwe respecivamene) o impaco da ala axa de juros se ligará direcamene ao aumeno da dívida pública e afecará severamene a capacidade do governo para financiar seus projecos de invesimeno e cumprimeno de seus programas económicos e sociais. Em uma economia abera, com mercados mundiais alamene inegrados, qualquer mudança na axa de juros poderia produzir movimenos nos fluxos de capial esrangeiro de imporanes volumes que poderiam complicar a condução da políica macroeconómica e gerar insabilidade económica. Segundo o Relaório Anual do Banco de Moçambique (011), a axa de juro Facilidade Permanene de Cedência (FPC) é a axa que o Banco de Moçambique (BM) aplica nas cedências de liquidez aos operadores do mercado que se enconrem com défices emporários de liquidez, por iniciaiva deses; é usada pelo Banco de Moçambique para sinalizar a direcção da políica moneária em função do desempenho dos indicadores fundamenais da economia. Como o Banco de Moçambique (Banco Cenral de Moçambique e conrolador da políica moneária e cambial do País) só concede o crédio a secores ligados ao sisema financeiro enão é possível supor que a variação na axa de juro facilidade permanene de cedência em José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 1

12 influência na variação da axa de juro aciva (TJac), que é a axa que os Bancos Comerciais cobram pelo emprés imo de dinheiro e é designada como aciva porque se inscreve nas conas do acivo dos Bancos Comercias. Segundo o Boleim Esaísico do Banco de Moçambique (BM, 014), enre Agoso de 011 e Dezembro de 014 o Banco de Moçambique reduziu coninuamene a Taxa de Juro Facilidade Permanene de Cedência de 16.5% para 7.5%. Esa redução visa inciar a alocação do Financiameno Bancário ao Secor Privado. Todavia, a resposa dos Bancos Comerciais a redução das axas de referência foi lena e inferior ao esperado pelas Auoridades Moneárias e ouros Agenes Económicos. As Taxas médias mensais Acivas dos Bancos Comerciais praicamene só começaram a ser reduzidas a parir de Fevereiro de 01 e a rimos mais lenos que as axas de referência. De cerca de,98% em Agoso de 011, as axas médias mensais acivas passaram para aproximadamene 17,31% em Novembro de 014. Devido à influência da axa de Juro sobre as ouras variáveis imporanes para a economia e bem-esar social, é necessário analisar o seu comporameno para melhor planeameno e conrole de suas variações, principalmene o seu aumeno. 1. Objecivos Objecivo Geral Analisar a relação enre a Taxa de Juro Facilidade Permanene de Cedência e a Taxa de Juro Aciva em Moçambique no período de Abril de 005 aé de 01. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica

13 1.. Objecivos específicos: Verificar a relação enre a Taxa de Juro FPC e a Tjac em Moçambique no período em análise. Analisar os efeios de choques exógenos sobre os valores presenes e passados das Taxas de Juros FPC e Tjac. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 3

14 II REVISÃO DE LITERATURA Nese capíulo faz-se a abordagem do enquadrameno eórico sobre a economeria de séries emporais, que consiui o alicerce para o desenvolvimeno do rabalho..1 O Conceio de Série Temporal Segundo Morein (004), uma série emporal é definida como um conjuno de observações de uma variável disposas sequencialmene no empo. Conforme o conjuno gerado, pode-se classificar a série em conínua ou discrea. Diz-se que a série emporal é discrea quando o conjuno de observações no empo for finio ou infinio enumerável. Caso conrário, iso é, se o conjuno gerado for infinio não enumerável, diz-se que a série é conínua. A grande maioria dos esudos económicos que se valem do raameno de séries emporais uiliza séries discreas, onde as observações são geradas em um inervalo de empo com ampliude consane. De oura pare, uma série emporal pode ser classificada Como deerminísica ou esocásica. Diz- se deerminísica quando os valores fuuros da série podem ser esabelecidos precisamene por alguma relação funcional maemáica do ipo Y f (). E diz-se esocásica quando seus valores fuuros só puderem ser exposos em ermos probabilísicos, uma vez que a série esá descria por meio de uma relação funcional que envolve não só o empo, mas ambém uma variável aleaória do ipo Y f (, a), onde "a" é o ermo aleaório residual, cuja inclusão se orna necessária quando não se consegue explicar compleamene algum movimeno irregular da série unicamene aravés da relação maemáica. Segundo Gujarai (006), os movimenos das séries emporais classificam-se em quaro ipos básicos de variações: a endência, as variações sazonais, as variações cíclicas e as variações aleaórias. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 4

15 A endência, ambém chamada por alguns auores de endência secular, é caracerizada como aquele movimeno regular e conínuo de longo prazo, reflecindo um movimeno ascendene ou descendene em longo período de empo. De cera forma, pode ser visa como aquela componene que descreve as variações graduais que se maném em um longo período de observação da variável no empo. Esaisicamene, pode-se caracerizá-la pelo faco de que a esperança de Y, E( Y), varia no empo. As variações sazonais são aquelas variações periódicas que ocorrem com cera regularidade denro de um curo período de empo. Embora o próprio nome dê a enender que esses movimenos ocorrem por um período anual, de acordo com as esações climáicas, esses movimenos podem ser esendidos a qualquer inervalo de curo prazo, como diário, horário, semanal, mensal, rimesral ec. As variações cíclicas são aquelas variações que referem-se as oscilações de longo prazo que caracerizam, em geral, os ciclos económicos. São as fluuações de longo prazo em orno da curva de endência. As variações aleaórias, ambém chamadas residuais, referem-se não só aqueles movimenos esporádicos ocasionados por evenos aleaórios imprevisíveis, ais como as calamidades naurais, mas ambém ao conjuno de odos aqueles movimenos da série que não foram possíveis de idenificar em seus demais componenes, uma vez que não obedecem a nenhuma lei comporamenal capaz de ser descria de forma deerminísica, aravés de relações funcionais exclusivamene maemáicas.. Imporância das Séries Temporais Económicas Segundo Fischer (198), a Economeria é o ramo da Ciência Económica que, aravés da análise esaísica da realidade, busca esabelecer proposições económicas, de carácer quaniaivo, que possibiliam não só compreender e analisar o comporameno das variáveis sob uma deerminada base económica eórica, como ambém permiir a previsão de seus comporamenos fuuros. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 5

16 Os méodos economéricos uilizam-se de procedimenos esaísico - maemáicos, que com os quais proporcionam ao economisa condições de absrair o funcionameno da realidade económica, buscando sineizá-la aravés da formulação de modelos eóricos. Denre os insrumenos esaísicos usados em Economeria para o esabelecimeno das esimaivas das relações funcionais proposas em seus modelos eóricos, podem-se desacar dois grandes grupos: aqueles que procuram esimar relações enre variáveis económicas, seja aravés de modelos de uma única equação, seja aravés de modelos mais complexos, como os de múliplas equações simulâneas; e aqueles que se valem de equações de uma série emporal. A análise das séries emporais permie que ano os objecivos de previsão do fuuro, baseados nos dados passados, como os de conrolar o processo que gera a série, possam ser conhecidos independenemene do comporameno de ouras variáveis..3 Processos Esocásicos Segundo Parzen (197), o objeco da eoria dos processos esocásicos é o esudo daqueles mecanismos dinâmicos que proporcionam meios de análise de uma sequência de observações, visa conjuna e inerdependene em uma sucessão de momenos de empo, as quais são influenciadas por facores aleaórios. Assim, um processo esocásico deve ser enendido como um modelo que descreve a esruura probabilísica de uma sequência de observações. Formalmene, pode-se definir um processo esocásico como uma família de variáveis aleaórias ( ), T classificada mediane um parâmero "" que varia em um inervalo de empo T. Porano um processo esocásico caraceriza-se por ser uma função aleaória de "". Uma sequência de observações 1,,3,4,...,,, que corresponde à uma amosra de ponos no empo, é chamada uma realização parcial do processo esocásico. Ao observar o comporameno de uma série emporal, verifica-se que essa pode ser considerada como uma paricular realização de uma sequência de observações produzida por um mecanismo probabilísico. Dessa maneira, uma série emporal pode ser visa como uma realização de um José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 6

17 processo esocásico. Ou seja, uma série emporal, pode ser considerada como uma 1 3,,... realização amosral de uma população infinia consiuída por uma infinidade de ouros possíveis resulados para o conjuno ( ), T, realização que pode er sido gerada pelo processo. A análise das séries emporais pressupõe que o conjuno de observações enha sido gerado por um processo esocásico e, como al, possua uma esruura probabilísica que possa ser caracerizada e descria. O esudo das séries emporais proporciona, enão, a descrição da naureza aleaória do processo que gerou a amosra de observações em esudo. Sua análise supõe que cada ocorrência 1,,,... 3 da série seja obida aleaoriamene com base em uma esruura probabilísica. Consequenemene, a série emporal é uma sequência de variáveis aleaórias conjunamene disribuídas, pode se dizer que, exise alguma função de probabilidade P,,,..., ) que ( 1 3 assume valores para odas as possíveis combinações 1,, 3,.... Assim, o objecivo básico da análise esaísica de séries emporais é buscar, a parir da realização amosral do processo, descrever as caracerísicas de sua aleaoriedade, com efeio de proporcionar os insrumenos para a inferência sobre as probabilidades associadas com o conjuno de valores fuuros alernaivos da série. Ao se conseguir especificar numericamene como é a função de probabilidade da série, orna-se viável inferir a probabilidade de um ou ouro valor fuuro ocorrer. Porano, esudar modelos de séries emporais significa buscar ober meios capazes de inferir as caracerísicas de seu processo gerador, bem como buscar modelos esocásicos que sejam capazes de descrever as siuações pariculares que ocorrem na realidade..3.1 Processos Esocásicos Esacionários Segundo Gujarai (006), uma imporane classe de processos esocásicos é a dos chamados processos esacionários. Anes de se conduzir qualquer análise baseada em dados de séries emporais, é imporane analisar se a série é ou não esacionária, para a parir daí esabelecer a esruura do modelo probabilísico que esimará a série. A razão simples de necessiar de dados esacionários, é José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 7

18 que qualquer modelo que é inferido a parir desses dados pode ser inerpreado como esacionário ou esável, fornecendo assim uma base válida para a previsão. Diz-se que um processo esocásico é esriamene esacionário, com odas as disribuições finias dimensionais, que permanecem nas mesmas condições sob ranslação ao longo do empo quando: F( 1,..., n; 1,..., n ) F( 1,..., n; 1,..., n ) (1) Para odo 1,... n, iso é, odas as disribuições unidimensionais não variam ao longo do empo. Porano, a média e a variância () são consanes, algebricamene: () { ( ) } ( ) Para odo Var{ ( )} ( ), Para odo Um caso paricular com odas as disribuições bidimensionais, com dependência apenas do empo, iso é, 1 e ; com, ( 1, ) ( 1, ) () E fazendo emos: Cov ; } (3) ( 1, ) ( 1,0) ( 1, ) { ( 1 ) (0) De forma genérica emos (a função de auo-covariância): Cov, } Cov{, }, Para Z ( ) { ( ) ( ) (0) ( ), (4) Um processo esocásico, }, é dio fracamene esacionário (ou de segunda ordem), se e somene se: { ( ) E Para odo ; { ( ) } ( ) José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 8

19 E { ( )}, Para odo ( 1, ) Cov{ ( 1), ( ) } é uma função apenas de 1. Observa-se que, a média e a sua variância são consanes ao longo do empo, e que o valor da co- variância enre dois períodos de empo depende apenas da disância, do inervalo ou da desfasagem enre dois períodos de empo e, não do próprio empo em que a co-variância é calculada. Ese ipo de Processos Esacionários, é conhecido na lieraura de séries emporais como fracamene esacionária, ou esacionária em co-variância, ou esacionária de segunda ordem ou ainda processo esocásico em senido amplo. Um exemplo ípico deses processos, são os chamados Processos Puramene Aleaórios, ambém conhecido como ruído branco (do inglês Whie Noise ou simplesmene WN). Diz-se que um processo esocásico é puramene aleaório se, a sua média é zero, a variância é consane, e ese não exibe uma correlação serial (Gujarai, 006). O processo puramene aleaório é aplicado no modelo clássico de regressão linear normal pois, ese pressupõe, que o ermo do erro ( ) ~ iidn (0, ), iso é, () é idenicamene, independene e normalmene disribuído com média igual a zero e a variância consane..3. Processos Não Esacionários Embora o ineresse na análise de séries emporais é de que o processo esocásico seja esacionário, a maior pare desas não gozam desa propriedade (de esacionaridade), séries económicas, ais como preços de acivos, preços de acções ou axas de câmbio não são esacionárias. Um Processo não esacionário erá uma média, ou variância que varia ao longo do empo, ou as duas. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 9

20 .3.3 Processos Esocásicos de Tendência Esacionária e Processos Esacionários em Diferenças Uma série emporal diz-se que é de endência deerminísica, quando esa é oalmene previsível ao longo do empo e de endência esocásica, quando não é previsível ao longo do empo. Seja um ermo de erro de ruído branco, com média igual a zero e variância igual a. () Diz-se que a série é um passeio aleaório sem deslocameno se: 1 (5) No modelo de passeio aleaório sem deslocameno, o valor de no empo é igual ao seu valor no período 1 mais um choque aleaório, porano, o modelo é represenado como um modelo auoregressivo de ordem 1, ou simplesmene AR (1), iso é, o valor de é dado como uma relação em função do empo com o seu valor desfasado em 1 período. Subsiuindo os valores de, ais que: 1,,3,... Onde 0 represena o início do processo com valor 0 no período, na expressão (5), emos: o (6) O valor esperado e a variância de será dado por: Média: E( ) E( 0 ) 0 ; Variância: Var (. 0 ) José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 10

21 A média de, é igual ao seu valor inicial 0, que é consane, mas a medida que o empo aumena a sua variância ambém aumena indefinidamene, violando assim a condição de esacionariedade. Uma caracerísica imporane nese modelo, é o faco dos choques aleaórios persisirem com o empo, ou seja, é soma de 0 mais o somaório dos choques aleaórios. È ineressane noar que, quando se escreve a expressão (5) como: 1 (7) Onde: é o operador de primeiras diferenças, facilmene noa-se que, embora, seja não esacionário, em primeiras diferenças ese orna-se esacionário. Daí que, um modelo de passeio aleaório é esacionário em primeiras diferenças. Modificando a expressão (5) al que: 1 (8) Nese caso, o PE é conhecido por passeio aleaório com deslocameno, onde, δ é conhecido como o parâmero de deslocameno (do inglês drif), o ermo deslocameno, vem pelo faco de escrever-se a expressão em primeiras diferenças como se segue: 1 (9) Porano, E( ) ; 0 Var ( ) desloca-se em função do parâmero de deslocameno de modo que: Noa-se, que ese ambém é não esacionário, dado que a média e a variância aumenam com o empo, violando dese modo a condição de esacionaridade. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 11

22 .3.4 Processos Inegrados Diz-se que um processo esocásico é inegrado de ordem d, denoado por ~ I( d), quando esa é diferenciada d vezes para que se orne esacionária. Com efeio, se um processo esocásico é esacionário desde o início (não há necessidade de diferencia-la para que se orne esacionária), diz-se que é inegrada de ordem zero, ou seja, ~ I(0). No que diz respeio à ordem de inegração das séries emporais económicas, no geral esas são I (1), iso é, emos que diferenciá-las somene uma vez, para que se ornem esacionários..3.5 Fenómeno de Regressão Espúria Sejam e Y, duas séries I (1), a combinação linear desas gera um ouro processo esocásico Z ambém I (1), e porano Z exibe uma endência esocásica. Geralmene é possível enconrar um R elevado ( R > 0.9), e concluir que exise uma relação muio fore enre as variáveis, quando na verdade não exise. Ese fenómeno é conhecido por Regressão Espúria (ou regressão sem senido), o qual foi esudado e raado pela primeira vez por Granger e Newbold (1974). Um indicador, de presença de regressão espúria é o Durbin-Wason (DW), um valor exremamene baixo ( R DW ) de DW sugere uma fore auo- correlação de primeira ordem..4 Esacionaridade.4.1 Análise Gráfica Para a verificação da esacionaridade de uma série, um dos méodos preliminares, é a análise gráfica da série e o ese de correlograma. Eses desempenham um papel fundamenal para idenificar ou especular sobre a esacionaridade ou não de um processo esocásico. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 1

23 Função de auo- covariância Seja {, Z} um Processo Esocásico real discreo, de médias zero e de auo- covariância: E, } (10) { Saisfazendo as seguines propriedades: 0 > 0 0 τ é não negaiva, definida no senido que: n j1 n k1 0, (11) j k ( jk ) Para quaisquer números reais,..., n 1,..., de Z. 1 e n A função de auo- correlação (FAC) do processo é definida por: (1) 0 τ є Z, a FAC em as propriedades de τ excepo para 0 =1, como a co-variância e a variância são mensuradas nas mesmas unidades de medida, τ é um número sem unidades de medida siua-se enre -1 e 1, ou seja, -1 1, como qualquer coeficiene de correlação (Gujarai, 006). Se subsiuirmos em função de τ, o gráfico obido é conhecido como função de auo- correlação populacional. Porque na práica em-se apenas a realização (ou amosra) de um processo esocásico, pode-se calcular a função de auo- correlação amosral, para al a co-variância amosral com desfasagem τ e a variância amosral definidas como se segue: José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 13

24 ( )( ) (13) n ( ) 0 (14) n Onde, n é o amanho da amosra, a média amosral, o gráfico assim obido é conhecido como correlograma amosral. O cálculo do auo- correlações e auo- correlações parciais é ambém usado para a idenificação do comporameno da série. Enquano a função de auo- correlação parcial, ajuda ambém na idenificação do número de desfasagens a ser incluídas no processo auo-regressivo, a função de auocorrelação é um indicaivo de esacionariedade da séria. Quando a função de auo- correlação ende rapidamene para zero é um indicaivo de que a série é esacionária, conrariamene, quando esa decresce muio lenamene, sugere exisência de uma raiz uniária. A FAC em a propriedade de se aenuar a medida que o número de desfasagens aumena e apresena comporamenos semelhanes em muios casos, sendo por isso difícil disinguir enre processos de ordem diferene. Porano, normalmene é usada a função de auo- correlação parcial, que leva em cona a hisória do processo aé ao desfasameno de ordem k correspondene (Meneses, 007). Esa ambém permie capurar a exensão emporal e a robusez da memória do processo, ao medir a correlação dos valores acuais do processo, em relação aos seus valores passados (Gujarai, 006). José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 14

25 Significância Esaísica dos Coeficienes de Auo- correlação Para esar a significância conjuna dos coeficienes de auo- correlação, são uilizados eses de Q de Box definido como: m ^ Q n k1 (15) k Onde n é o amanho da amosra e m o amanho do número de desfasagens. Um modelo de ruído branco fica caracerizado pela forma padrão das respecivas FAC e FACP ^ ^ ( 0, k 0 kk ), pelo que o comporameno dos resíduos cosuma avaliar-se em ermos dos k respecivos valores esimados desas funções (Gujarai, 006). ^ Designando k u ( ) e kk u(), respecivamene as FAC e FACP esimadas a parir da sucessão dos resíduos, define-se um conjuno de eses esaísicos que permiem avaliar a qualidade de ajusameno. O ese de Box-Pierce (1970) ou ese Pormaneau, esa a seguine hipóese: ^ H0: 1u( ) u( )... 0 ^ Onde no geral se oma m = N/4. Na práica compara-se o Q calculado com o Q críico na disribuição Qui - quadrado ao nível de significância escolhido. Ljung e Box (1978) recomendaram um ese melhor na esimação de modelos ARIMA (p,d,q), baseado na esaísica: m 1 LB n( n ) ( u ) (16) k1 n k José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 15

26 n N d, que converge mais rapidamene, para uma disribuição do Qui - quadrado com m p q graus de liberdade (por isso orna-se mais conveniene quando o amanho da amosra não é muio grande)..4. Raiz Uniária O processo de verificação de esacionaridade pelos méodos aneriormene descrios, embora sejam ferramenas úeis para o uso, e o úlimo, um méodo inferencial foram desenvolvidos vários eses de raiz uniária (PP, KPSS, DF, ADF) enre ouros, que são os mais recomendados pelos auores, o ese ADF (ese Aumenado de Dickey-Fuller) ornou-se muio popular e de uso práico por muios invesigadores (Gujarai, 006). Considere abaixo o modelo de passeio aleaório, ambém conhecido na lieraura, como um exemplo de um processo de raiz uniária: 1, (17) No modelo de passeio aleaório com 1 1, Se, = 1, orna-se um modelo de passeio aleaório (sem deslocameno). O modelo de passeio aleaório é não esacionário, assim sendo, diz-se que exibe uma raiz uniária. Se, <1, iso é, se o valor absoluo ρ é menor que um (1), pode se mosrar que o processo esocásico é esacionário. Seja, o seguine modelo auo-regressivo de ordem 1, denoado por AR (1), como segue. 1, com 1 1 (18) José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 16

27 Onde, represena o ermo de erro ou de ruído branco. Sabe-se que, quando = 1, o modelo ornase um modelo de passeio aleaório sem deslocameno, e porano, é não esacionário. Segue-se: * (19) 1 No qual, * = - 1 e é o operador de primeiras diferenças. De onde se formula a hipóese seguine: H 0: * = 0 (em raiz uniária); H1: * <0 (não em raiz uniária). Quando * = 0, enão, = 1, iso é, emos uma raiz uniária, o que significa que a série emporal em esudo é não esacionária. O ese Aumenado de Dickey-Fuller (ADF) é um dos mais preferidos pelos pesquisadores, conhecido como ese de τ (au), o qual baseia-se na seguine regressão: p * k k (0) k1 Onde: 0 é uma consane e o ermo 1 capura a endência deerminísica exisene nos dados. O número de lags (desfasamenos) do modelo escolhido de modo que o ermo dos resíduos ( ) ~ iidn (0, ). Fazendo 1 = τ = 0, a equação reduz-se ao modelo AR (1), descrio em (18). O procedimeno usual dos eses de ADF consise na hipóese formulada aneriormene, ese esa a exisência de uma raiz uniária para a variável em nível (), assim como em primeiras diferenças ( ), conra a hipóese alernaiva de que esa seja esacionária. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 17

28 Nos eses proposos por Dickey-Fuller para esar as hipóeses de esacionaridade da série, o primeiro, baseia-se na disribuição limie da esimaiva MQO de radicional descrio a seguir (Gujarai, 006). *, o qual uiliza os ese MQ 1 (1) S 1 ( ) ( 1) Em virude do eorema a seguir: considera-se o modelo (0), com 0 = 0, onde supõem-se que, ( ) ~ iidn (0, ). Enão: ([ W1 ] 1) () 1 ( [ ] ) W( r ) 0 Onde: W (r) é o movimeno Browniano Padrão e sob as mesmas suposições do eorema anerior obem-se: ([ w ] 1) 1 (3) 1 1 ( [ w( r ) ] ) 0 Porano, os eoremas () e (3) são chamados eses de Dickey-Fuller, abreviadamene DF. As disribuições das esaísicas correspondenes são abeladas e se uilizam os valores críicos de Mackinnon (1991, 1996). Noa que rejeia-se H0, se o esimador τ for menor que o valor críico definido. Embora, o esimador seja dado por: José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 18

29 MQ (4) ep( MQ) Com os denominadores corrigidos, a presença de θ0 alera a disribuição assinóica da esimaiva. Nese caso, a noação padrão a ser uilizada por τ e τμ, enende-se que o processo em média μ= θ0 / (1 - ). Porano, no lugar de uilizarmos as esaísicas (3) e (4), obem-se: 1 (( W 1) 1) W 1W r dr 0 (5) 1 1 W r dr W r dr 0 0 A disribuição de τμ afasa-se mais da disribuição normal do que no caso em que a média μ= 0. O ese usando τμ é chamado ese de Dickey-Fuller aumenado ( augmened Dickey-Fuller es ) e abreviadamene ADF. Na realidade as esaísicas τ e τμ são usadas para esar H 0: = 0 0 = 0. Pode-se esar separadamene 0 = 0, mas a esaísica novamene não é apropriada (Morein, 004)..5. Modelos Auo-Regressivos (AR) Num modelo Auo-Regressivo, os valores correnes de uma série, dependem apenas de seus valores passados mais um ermo de erros aleaórios. Em ermos maemáicos, al modelo denoado por AR( p), em a seguine expressão geral: p p (6) Onde p indica o número de desfasagens de. A forma mais simples da especificação de um processo Auo-Regressivo coném apenas uma desfasagem, ou seja p 1. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 19

30 Os coeficienes i, são parâmeros reais e é ermo dos resíduos com disribuição normal de média igual a zero e variância consane DNII ( 0; ). Seja E( ), enão: E( 0 ) p (7) Condicionado o denominador de modo que ese seja diferene de zero (porano, esacionário), podese definir um operador B reroacivo, aravés do polinómio de B (6) pode ser escria, do seguine modo: s s, s 1. Enão, a equação ( B) 1 B B... pb p 1 (8) Onde, B é o operador Auo-Regressivo de ordem p, e Aqui, ( B) 1B. Aravés de subsiuições sucessivas obêm-se: r j r1 j r1 (9) jo Se for esacionário, com variância finia x, segue-se: E r j r r [ u j ] E[ r1 ] x j0 (30) Noa, que A <1, A (r+1) 0, quando r, porano sob esa suposição, resula seguine expressão: José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 0

31 j u (31) j0 j Onde, a convergência da sucessão é dada em média quadráica. A condição <1 é suficiene para ser esacionário. Muliplicando ambos os membros da equação (31) por esperança maemáica obêm-se: e omando a (3) E porano j 0 (33) j0 1 De onde segue: (34) 1 Como γτ simérica pode-se escrever finalmene a FAC de um processo AR (p) do seguine modo: (35) 0 Com, τ є Z. Um processo AR (1), e são correlacionados, mesmo que não apareça direcamene no modelo. O valor da correlação enre e (r) é igual à correlação enre e 1 (r1) muliplicada pela correlação enre 1 e (r1), de forma que r = r 1. Assim, oda a correlação indireca esá presene na FAC de qualquer processo Auo-Regressivo (Enders, 001). José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 1

32 O comporameno da função de auo- correlação de um processo Auo-Regressivo é uma misura de decaimeno exponencial e ou decaimeno senoidal. Se as raízes da equação auo-regressiva forem reais, enão as auo- correlações decairão exponencialmene. Caso as raízes sejam complexas, o decaimeno será na forma senoidal (Granger e Newbold, 1986). Dessa maneira, define-se a função de auo- correlação parcial (FACP) como a sequência de correlações enre ( e 1), ( e ), ( e 3 ) e assim por diane, desde que os efeios de desfasagens aneriores sobre permaneçam consanes (Hill, Griffihs e Judge, 1999). A FACP é calculada como o valor do coeficiene akk na equação: k kk k u (36) Onde, akk é obido das equações aplicadas de Yule-walker De forma resumida, um processo AR( p) é descrio Por: Possuir uma função de auo- correlação, FAC, que é uma combinação de decaimenos exponenciais e senoidais e amanho infinio; Possuir uma função de auo- correlação, FACP, que é igual a zero para desfasagens maiores a p..6 Modelo de Médias Móveis No processo de médias móveis, os valores da série, resulam de uma soma ponderada, semelhane a uma média dos valores mais recenes dos erros (Hamilon, 1994). O modelo de médias móveis consise em expressar os valores correnes da série como uma função linear dos valores passados de erros aleaórios não correlacionados aé um número finio de desfasagens. Tal modelo com q desfasagens deerminadas com base nos valores da função de Auo- Correlação simples ou pelos criérios de selecção de Akaike ou de Schwarz. Maemaicamene, ese modelo denoado por MA( q) pode ser expressado por: José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica

33 0 e 1e 1 e... qe q (37) Onde: e : represena os erros aleaórios não correlacionados, não observáveis com média e variância consane q, são consanes reais. E ( ) Var ( ) ( q ) Tem ineresse desacar que, quando μ = 0, emos a FACP seguine: q E{ } u( ) k ( k ) γτ (38) k1 1 q Definindo-se o operador de médias móveis de ordem q por ( B) 1 1B... q B - o qual pode ser escrio como: ( B e (39) ) de onde, formalmene, segue 1 e (1 B) 1 q q = u (1 B) (1 B B... B...), ou seja, emos: u (40) 1... José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 3

34 Se θ <1, para que a série venha a convergir. Nesa equação, emos escrio como um processo Auo-Regressivo de ordem infinia. Porano, para θ <1 é uma condição de invencibilidade para o processo MA (1), que pode ser generalizado. Se a condição de invencibilidade esiver saisfeia, ou seja, odas as raízes de θ (B) = 0 devem esar fora do círculo uniário. Logo: ( B) u (41) Com o objecivo de converer uma série não esacionária em esacionária, são uilizadas, para efeio de esimação do modelo MA, as primeiras diferenças de. Nesse caso, definindo-se primeiras diferenças como esimável: x 1 para simplificar a noação, em-se para q =, a seguine equação x 0 e 1e 1 e (4) O modelo MA é, no enano, não linear nos parâmeros. Porano, eses não podem ser esimados mediane a aplicação simples do méodo dos mínimos quadrados ordinários. A esimação pode ser feia pelo méodo da máxima verosimilhança para processos que seguem disribuição normal ou por meio do méodo de busca gradaiva desenvolvida por Box e Jenkins (Maddala, 001). Em geral, num processo MA( q) a FAC apresena um core para zero para desfasagens maiores que, e a função de auo- correlação parcial possui amanho infinio. De forma que pode ser resumido pelas seguines caracerísicas: Possuir uma FAC que é zero para desfasagens maiores que ; Possuir uma FACP que é uma combinação de decaimenos exponenciais e senoidais e amanho infinio. Para fins dese rabalho não serão desenvolvidos os modelos Auo-Regressivos Inegrados e de Médias Móveis devido a sua popularidade e relevância. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 4

35 Para fins dese rabalho não serão desenvolvidos os modelos Auo-Regressivos Inegrados e de Médias Móveis devido a sua popularidade e relevância..7 Modelos Auo-regressivos Vecoriais (VAR) A modelagem VAR inicialmene esudada por Chrisopher Sims (1980), surge como forma críica aos modelos de equações simulâneas, ou esruurais. Neses modelos, algumas variáveis são raadas como exógenas, sendo primeiramene, anes de esima-los esudar ou idenificar a classe variável. No enano, esa Idenificação muias vezes é subjeciva, viso que, se de faco exisir uma simulaneidade enre as variáveis, segundo Sims, esas deviam ser raadas sem nenhuma disinção a priori. É nese senido que Sims propõe o modelo Vecorial Auo Regressivo ou simplesmene VAR. Consideremos um modelo auo regressivo de ordem p, AR (p): p p (43) Pode-se agora considerar um vecor de colunas, com n variáveis diferenes, de modo que,,..., ]' e modelar em ermos dos seus valores passados. O resulado é uma Auo- [ 1 n Regressão Vecorial ou simplesmene VAR, represenado pela expressão maemáica abaixo: p p (44) Os i são marizes de coeficienes do ipo n x n, 0 é um vecor de consanes de dimensão n x 1 e é um ermo de ruído branco, com as seguines propriedades: E( ) = 0 para odo e E(, s ') para s = e E, ') = 0 para s. ( s Onde assume-se que a mariz de covariância é definida posiiva. Assim, os correlacionados em série, mas podem esar conemporaneamene correlacionados. ' não esão José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 5

36 Se, a mariz I n é mariz idenidade de ordem n, a equação (44) pode ser reescrio, na forma: ( B) (45) 0 p Onde ( B) I 1 B... B é um operador vecorial auo regressivo de ordem, ou polinómio n p maricial nm em B. Um caso paricular quando n, iso é, VAR (44) com duas variáveis. Reduz-se a um modelo de causalidade (46) Observa-se, uma relação de dependência conemporânea implícia enre as variáveis do modelo, o qual denomina-se modelo vecorial na forma reduzida. Quando o parâmero 1 0, a variável 1 não dependerá de, analogamene se 0, não dependerá de 1 1, no caso em que um 1 dos parâmeros é diferene de zero, exise uma dependência unilaeral enre as variáveis, ou de reorno. Pode-se ainda enconrar mais um caso em que as variáveis são independenes enre si. O processo será esacionário se a média for consane e E( ; ) não depender do empo, ou do período em que é calculado. Nesa caso, se E( ), enão: 1 ( I n ) (47) 0 Segue que o modelo pode ser escrio na forma: ( 1 ) (48) Ou ainda: ~ ~ 1 José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 6 (49)

37 p Será esacionário, se as soluções de: I B... B 0 1 E( ) ( 1... B p I n B p ) 0. n 1 p Desa forma o modelo 49 pode ser especificado como:, esiverem fora do círculo uniário. ~ ~... ~ (50) p Com ~. A consrução deses modelos, segue o mesmo ciclo de idenificação, diagnósico, esimação e previsão do modelo ARIMA. A idenificação, da ordem P de um modelo VAR(p) consise em ajusar sequencialmene modelos Auo-regressivos vecoriais de ordens diferenes ( 1,, k, com k N ) e esar os coeficienes (marizes). Oura forma de idenificar a ordem p é com base nos criérios de informação de AIC e BIC. Relaivamene ao diagnósico, uiliza-se a série dos resíduos para esar a H 0 de que os resíduos são um ruído branco, podendo ser usado a versão mulivariado da esaísica Box-Ljung-Pierce. A série dos resíduos segue uma disribuição x ( n ( m p )) graus de liberdade, onde espera-se que m p para que número de graus de liberdade seja posiivo. Enre as grandes aplicações de modelos VAR, desacam-se a análise de impulsos resposas e o ese de Causalidade de Granger. Alguns dos defensores aponados pelo Gujarai (006), acerca do uso do VAR, enfaizam algumas virudes deses modelos: É um méodo simples, pois não é preciso se preocupar em deerminar quais das variáveis são endógenas e quais exógenas. Porano, odas as variáveis são raadas como endógenas. Não é necessário impor nenhuma resrição; José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 7

38 São mais flexíveis que os modelos univariados, em que os valores correnes de uma série emporal são relacionados apenas com seus valores passados e ou com os valores correnes e passados dos erros ou resíduos; A esimação é simples, na medida em que se pode usar o méodo de MQO usual e pode ser aplicado a cada variável separadamene; As previsões obidas pelos modelos em muios casos, são melhores do que os modelos mais complexos, ais como de equações simulâneas. Embora eses modelos sejam aeóricos, êm sido considerados mais apropriados para a análise de relações inerligadas e dos impacos dinâmicos provocados pelos choques, ou disúrbios aleaórios. Alguns críicos aponam os seguines problemas: Tal como o modelo ARIMA, ese modelo é aeórico dado que usa menos informação a priori. Conudo, alguns economerisas, assinam que, no funcionameno real da economia, as variáveis nem sempre se iner-relacionam segundo preconiza a eoria económica; Pela ênfase do VAR na previsão (principalmene a curo prazo), eses modelos são menos adequados a análises políicas; Um dos grandes desafios deses modelos é deerminar o número de lags a incluir no modelo, de modo paricular quando o número de variáveis é relaivamene grande; O uso de modelos VAR pressupõe que as variáveis sejam esacionárias, no enano, se o modelo iver variáveis misas, iso é, variáveis com ordens de inegração diferenes orna-se difícil ransformar os dados; Viso que muias vezes é difícil inerprear os coeficienes individuais, geralmene quem adopa esa écnica esima a denominada função resposa a impulso, ou simplesmene IRF (do inglês impulse response funcion), que rasreia o impaco dos choques para os vários períodos no fuuro. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 8

39 Em deermino, diso uma vez que os coeficienes não são inerpreados individuais, usa-se a esaísica para análise conjuna dos parâmeros de cada variável..7.1 Modelo Vecorial de Correcção de Erro (VEC) O modelo de correcção de erros (VEC) faz a ligação enre aspecos relacionados com a dinâmica de curo prazo com os de longo prazo, iso é, permie combinar as vanagens de se modelar ano nas diferenças quano em nível. Segundo Harris (1995), o modelo vecorial de correcção de erros possui várias vanagens. Primeiro, assumindo que e Y são co- inegradas, o modelo de correcção de erros incorpora os efeios de curo e de longo prazo. Uma segunda caracerísica do modelo de correcção de erros é que odos os seus ermos são esacionários, considerando que as variáveis e Y são coinegradas e que os ermos do modelo foram esimados. Por fim, uma erceira caracerísica é que ele esá de acordo com o conceio de Engle e Granger (1987) que consise em esar a exisência de uma combinação linear das variáveis não esacionárias ou inegradas que seja esacionária. Assim, a formulação do modelo de correcção de erros esá imune ao problema de regressão espúria. No caso de duas variáveis o ermo de correcção de erros pode-se escrever como: Y 1 ( 1 Y 1) 1 ( 1 Y 1) (51) Consaa-se na equação (51), que se o desvio ocorrido for posiivo 1 Y 1 > 0, enão o valor de Y deve aumenar e o valor de deve diminuir para que se ainja a igualdade de longo prazo ( Y ). O modelo VEC é um modelo VAR com incorporação do ermo de correcção de erros. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 9

40 Y 10 1( 1 Y 1) 11( i) Y i 1( i) 1 1 i i 0 ( 1 Y 1) 1( i) Y i ( i) 1 i i (5).7. Co-Inegração Granger e Newbold (1974), quando procuravam esudar o fenómeno de Regressão Espúria, verificaram aravés de simulações, que dada duas séries compleamene não esacionárias, mas inegradas de ordem um I (1), as regressões de uma sobre a oura enderá a produzir uma relação aparenemene significaiva, ou seja, o comporameno de duas séries compleamene não correlacionadas, mas inegradas de ordem um I (1), quando regredido uma sobre a oura enderá a produzir uma relação aparenemene significaiva. Eses resulados rouxeram a necessidade de desenvolver écnicas para analisar a relação de ais séries não esacionárias. Para deerminar esas análises foram desenvolvidos modelos para descrever movimenações dinâmicas de duas ou mais séries emporárias. No geral as séries económicas ais como séries de preço de acivos apresenam uma endência esocásica comum a longo prazo, ou seja, elas são co-inegradas (Coelho, 00), iso é: Sejam e Y, processos I (d), enão a combinação linear em Z é dada por: Z Y, (53) No geral, (a série Z ) é ambém inegrado de ordem I (d). Mas é possível que Z seja inegrada de ordem menor, al que, esa seja I (d - b), b> 0. Se e Y são inegradas de mesma ordem, al que d = b = 1, enão Z será esacionária em nível, iso é, I (0). Ese faco pode ser esendido para um modelo mulivariado. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 30

41 Seja um vecor no qual as componenes são Co-inegradas de ordem (d, b) e escrevemos, ~ CI (d, b) se: Todas as componenes de são I (d); Exise um vecor β = (β 1,..., β n), não nulo, al que:... ~ I( d b), d b 0 (54) 1 1 n n O vecor, de ordem n x1, é chamado vecor co-inegrado (ou vecor de Co-inegração). Considerando os seguines modelos: 1 u, (55) u 1u 1 1, (56) 1 v, (57) v v 1, Onde, supõe-se que os ermos (58) i são disribuídos normalmene, com média igual a zero e com E ) ( i j =0, j = 1,. Suponhamos que i 0, i = 1,. Enão, se: i <1 (para i = 1,) ou 1, neses casos, 1 e serão I (0) e I (1) respecivamene, mas em ambos os casos, os parâmeros não são idenificados. No caso em que, 1 = 1, <1, ou 1 <1 = 1, 1 e serão I (1) e porano, (1, ) e (1, ) são os vecores co-inegrados e as equações (55) e (56) podem ser idenificadas. José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 31

42 No geral o vecor de Co-inegração é normalizado fixando o seu coeficiene igual a 1, al que = (1, -,..., - n ) de modo que: '... 1 n n (59) Lema 1 Processos co-inegrados êm uma endência esocásica comum enre elas e caminharão, junos no longo prazo porque a combinação linear enre elas é reversível à média (esacionária). Lema Segundo Coelho (00), se duas séries são co-inegradas, enão, exise uma relação de equilíbrio de longo prazo enre elas. Muias variáveis económicas apresenam relação de equilíbrio. Teses de Co-inegração Os eses de Co-inegração assumem uma grande imporância na área das ciências economéricas, que reside no faco de permiirem verificar se exise equilíbrio, ou relacionameno de longo prazo enre as variáveis económicas. Exisem no enano rês principais ipos de eses de Co-inegração: Tese denominado de Engle-Granger - Desenvolvido por Engle e Granger (EG) em 1987; Tese de Phillips-Ouliaris - Apresenado por Phillips e Ouliaris em 1990; Tese de Johansen - Desenvolvido por Johansen e Juselius (1990). José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 3

43 Diferênças O ese de Johansen é um ese mulivariado, em uma abordagem mais complexa pela sua exigência eórica, em uma vanagem em relação aos ouros dois por permiir idenificar o número de vecores de co-inegranes enres as variáveis denro de um sisema mulivariado; Os eses de Engle-Granger e Phillips-Ouliaris, são eses que permiem, somene, verificar se as variáveis são co-inegradas ou não (Gujarai, 006). Considere, um vecor de n x 1 componenes e odas inegradas de ordem 1, I (1), quando: Há, no máximo, um vecor de Co-inegração, ese caso foi raado por EG. Mas, o ese proposo por EG, esa a Co-inegração de apenas duas variáveis. Há r, 0 r <n, vecores de Co-inegração, caso considerado por Johansen (1988). Assim, para esimar a relação de equilíbrio de longo prazo enre y e x é necessário apenas esimar o seguine modelo. Y u (60) Uma esimaiva consisene dessa relação pode ser obida uilizando o méodo de mínimos quadrados. Resumidamene, esima-se uma regressão com as variáveis em nível e aplica-se o ese de raiz uniária sobre os resíduos dessa regressão, sendo consideradas séries co-inegradas, aquelas cuja série dos resíduos seja esacionária. Para verificar a esacionaridade dos resíduos foram uilizados os eses. ^ u ^ u 1 e (61) Deve-se esar a hipóese de que 0, uilizando os valores abelados por Engle & Granger. Se esa hipóese não for rejeiada, pode-se concluir que os resíduos são não esacionários. Caso os resíduos sejam esacionários, em-se a indicação de que as variáveis analisadas possuem relacionameno de longo prazo e de que exise um modelo de correcção de erro (MCE). Ese modelo faz a ligação enre José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 33

44 aspecos relacionados com a dinâmica de curo prazo com os de longo prazo, iso é, permie combinar as vanagens de se modelar ano nas diferenças quano em nível. Para Harris (1995), os valores correnes da variável dependene Y são deerminados não somene pelos valores correnes da variável explicaiva, mas ambém pelos seus valores passados, devido aos cusos de ajusameno. A variável desfasada pode ser indicada por -i (i = 0,..., q). Por ouro lado, valores desfasados de Y [Y-i (i = 0,..., p)] podem ser incluídos ambém no modelo, ornando-o um modelo dinâmico de curo-prazo. Um modelo dinâmico simples pode ser dado considerando p = q = 1, dessa forma em-se: Y a0 Y 0 Y1 1 ay1 u (6) Sendo que os resíduos são ruídos brancos [u ~ IN (0, σ)]. Esa formulação de um modelo dinâmico pode ser facilmene generalizada, ornando-se mais realisa, pela incorporação de mais lags de p e q. Conudo, exisem vários problemas que podem ocorrer com ese modelo dinâmico, ais como mulicolinearidade, erro de especificação e regressão espúria. Uma solução para ese úlimo problema é rabalhar com um modelo dinâmico nas primeiras diferenças. Conudo, ese procedimeno remove informações de longo prazo do modelo, o que impede a uilização do modelo para previsão. Um recurso mais apropriado é fornecido pela formulação do modelo de correcção de erro (MCE) de um modelo dinâmico. Reajusando e reparamenrizando (6), obem-se: Y a 0 0 ) Y ( 11 u1 (63) Ou Y a 0 a1 au1 (64) Assim, as equações (6) e (63) são equivalenes, conudo o MCE possui várias vanagens. Primeiro, assumindo que e Y são co-inegradas, o MCE incorpora os efeios de curo prazo e de longo prazo. O equilíbrio de longo prazo, apresenado na equação (60), esá incorporado no modelo. Dessa forma, se exise equilíbrio para qualquer período de empo, enão: José Mondlane Trabalho de Licenciaura em Esaísica 34