3. Números índice Média aritmética simples Média aritmética simples. Sumário

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1 1 2 Sumário 3. Números índice 3.2. Índice agregado (sinéico ou de sínese) Média ariméica ponderada Mudança de base Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Média ariméica simples Exemplo: Querendo saber-se o índice do preço dos cereais empregues no fabrico do pão ao longo dos úlimos 80 anos, exraíram-se os seguines valores (os preços consanes raduzem o poder aquisiivo real dos valores): Valores em Euros a preços consanes Ano milho rigo ceneio Preço da cevada Fone: Números invenados para efeios meramene ilusraivos Média ariméica simples Aplicando a fórmula da média ariméica simples, eremos: n X = x1, + x2, xn, / n = xk, / k= 1 ( ) n Valores em Euros a preços consanes Ano milho rigo ceneio Preço da cevada Preço Médio Fone: Números invenados para efeios meramene ilusraivos Média ariméica simples Referindo odos os valores ao índice do ano de 1920 (que passa a ser 100 ) I = 100X / X base Valores em Euros a preços consanes milho rigo ceneio Preço da cevada Preço Médio Índice Ano Fone: Números invenados para efeios meramene ilusraivos Média ariméica simples Mas A imporância económica dos cereais não é a mesma O rigo e o milho êm muio mais imporância que a cevada e o ceneio Produz-se muio mais dos primeiros A imporância relaiva alerou-se muio ao longo deses 80 anos Temos que calcular um índice que pondere a imporância relaiva de cada mercadoria Média ariméica ponderada Em ermos gerais, para o índice agregado er relevância económica, não devemos dar a mesma imporância a os indivíduos ou grupos que compõem esse agregado. É necessário ponderar cada grupo pela imporância económica relaiva, podendo a imporância ser a quanidade (peso, volume ou número de peças), o oal facurado (preço vezes quanidade), a capialização bolsisa (coação vezes o número de acções), ec. E a imporância varia ao longo do empo e do espaço Por exemplo, no Minho o milho é mais imporane que Alenejo, passando-se o conrário com o Trigo.

2 Média ariméica ponderada (índice de Laspeyres) Exemplo: Considerando como peso relaivo o consumo no ano 2000 em ermos de quanidades: rigo (70%), milho (20%), ceneio (6%) e cevada (4%) : Valores em Euros a preços consanes Milho Trigo Ceneio Cevada Ano Peso % Preço Peso % Preço Peso % Preço Peso % Preço Preço % 50 70% 95 6% 25 4% % 65 70% 102 6% 22 4% % 60 70% 114 6% 23 4% % 65 70% 119 6% 30 4% % 70 70% 124 6% 32 4% % 72 70% 135 6% 34 4% % 75 70% 145 6% 38 4% % 70 70% 168 6% 42 4% % 74 70% 189 6% 40 4% Média ariméica ponderada (índice de Laspeyres) Valores em Euros a preços consanes Milho Trigo Ceneio Cevada Preço Índice Ano Peso % Preço Peso % Preço Peso % Preço Peso % Preço % 50 70% 95 6% 25 4% % 65 70% 102 6% 22 4% % 60 70% 114 6% 23 4% % 65 70% 119 6% 30 4% % 70 70% 124 6% 32 4% % 72 70% 135 6% 34 4% % 75 70% 145 6% 38 4% % 70 70% 168 6% 42 4% % 74 70% 189 6% 40 4% Fone: Números invenados para efeios meramene ilusraivos. 79 = 0,2x50 + 0,7x95 + 0,06x25 + 0,04x22 87 = 0,2x65 + 0,7x ,06x22 + 0,04x24 (...) Média ariméica ponderada (índice de Laspeyres) O índice que calculamos na página anerior enquadra-se nos denominados índices de Laspeyres (ou índices de cabaz fixo). Nese ipo de índice a ponderação de cada grupo ou indivíduo uilizado no cálculo da média ariméica ponderada é invariane e igual aos pesos do ano base Média ariméica ponderada (índice de Laspeyres) Sendo x k, o valor da variável aleaória para o indivíduo k no período Sendo w k,base a imporância económica (peso) relaiva do indivíduo k (o somaório dos pesos é um) no período base, Obemos o índice de Laspeyres calculando a média ponderada dos indivíduos da seguine forma (e.g., sendo a base relaivizada a 100): X = = ( w x + w x w x ) n k = 1 1, base ( w k, base 1, x k, 2, base ) 2, n, base n, Média ariméica ponderada (índice de Laspeyres) Depois, dividimos pela média do ano base e muliplicamos pelo valor que queremos par a base (e.g., sendo a base relaivizada a 100): I =100 X / X base Como dividimos pela média do ano base não é imporane que as ponderações somem 1 (Porque será? Recordar as propriedades da soma ponderada quando à muliplicação por uma consane) Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Em ermos hisóricos o peso relaivos dos cereais alerou-se Aumenou o consumo de rigo e diminuiu o dos ouros cereais. Fará mais senido considerar as alerações da imporância relaiva dos cereais

3 Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Por exemplo, para cada um dos ano emos: Milho Trigo Ceneio Cevada Toal Ano Peso % Peso % Peso % Peso % Peso % % 20% 22% 18% 100% % 22% 19% 24% 100% % 20% 21% 26% 100% % 25% 18% 22% 100% % 35% 15% 25% 100% % 45% 12% 16% 100% % 55% 10% 11% 100% % 65% 7% 6% 100% % 70% 6% 4% 100% Fone: Números invenados para efeios meramene ilusraivos Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Podemos calcular um índice onde variem para cada um dos anos ano o peso relaivo de cada um dos cereais como o preço: Média ariméica ponderada (índice de Paasche) em Euros a preços consanes Milho Trigo Ceneio Cevada Preço Índice Peso % Preço Peso % Preço Peso % Preço Peso % Preço 40% 50 20% 95 22% 25 18% % 65 22% % 22 24% % 60 20% % 23 26% % 65 25% % 30 22% % 70 35% % 32 25% % 72 45% % 34 16% % 75 55% % 38 11% % 70 65% 168 7% 42 6% % 74 70% 189 6% 40 4% meros invenados para efeios meramene ilusraivos Média ariméica ponderada (índice de Paasche) O índice da página anerior enquadra-se nos denominados índices de Paasche (ou índices de cabaz variável). Por quê mudar os pesos? Vejamos duas siuações ilusraivas Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Eu ando de carro Se o preço da gasolina duplicar, eu ando na mesma de carro Duplica a minha despesa em ranspore Eu consumo carne de porco e carne de frango Se o preço da carne de porco duplicar, eu como menos carne de porco e mais carne de frango Pouco aumena a minha despesa em carne Média ariméica ponderada (índice de Paasche) O índice de Paasche raduz essa aleração relaiva nas quanidades dos bens Tem mais relevância económica que o índice de Laspeyres O efeio do aumeno do preço é menor se eu iver alernaivas

4 Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Em ermos analíicos, Sendo x k, o valor da variável aleaória para o indivíduo k no período Sendo w k, a imporância económica (peso) relaiva do indivíduo k no período, (o somaório dos pesos é um) O índice de Paasche resula da média ponderada em cada ano: X = = ( w x + w x w x ) n k = 1 1, ( w k, 1, x k, 2, ) 2, n, n, Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Depois, dividimos cada ano pela média do ano base e muliplicamos pelo valor que queremos para a base (e.g., sendo a base relaivizada a 100): I =100 X / X base Agora é imporane que as ponderações somem 1 (o mesmo valor) em odos os períodos Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Em ermos de coneúdo de informação, o índice de Paasche é melhor mas não se pode calcular quando é cusoso deerminar os pesos relaivos. É melhor porque a imporância económica dos indivíduos (ou grupos) é reavaliada em cada período ou rgeião Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Assim sendo, o uso de um cabaz fixo durane um longo período faz o índice perder qualidade (represenaividade). No enano, por ser no geral dispendioso calcular os pesos relaivos de cada grupo no oal, o índice mais usado é o de Laspeyres Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Exemplo com regiões Bens Poro Lisboa Braga Dormidas 30% 34% 40% Comidas 25% 20% 19% Roupa e Calçado 21% 18% 18% Transpores 23% 28% 22% Chiclees 1% 0% 1% 100% 100% 100% Média ariméica ponderada (índice de Paasche) Exemplo com regiões Bens Poro Lisboa Braga Dormidas 30% 75 34% % 60 Comidas 25% 15 20% 25 19% 10 Roupa e Calçado 21% 24 18% 21 18% 15 Transpores 23% 3 28% 1,2 22% 3,5 Chiclees 1% 0,15 0% 0,16 1% 0,14 100% 100% 100% 31,98 44,82 29,37 Índice de preços 71,4 100,0 65,5 A m.a.s era Poro 79,9 e Braga 58,2

5 25 26 O cálculo do índice de Laspeyres é mais fácil de ober que o índice de Paasche O cálculo dos pesos obriga a pergunar aos ineressados a imporância relaiva de cada iem em cada período. Com o decorrer do empo o índice de Laspeyres vai perdendo capacidade de represenar a evolução agregada da variável esaísica considerada. E.g., em 1980 o preço das chamadas móveis não inha imporância nas despesas do consumidor No senido de ulrapassar ese problema, regularmene as séries mudam de base (e.g., a cada 10 anos). Moivado por isso, as séries sofrem desconinuidades, salos. Para esudar a evolução de longo prazo emos que reduzir as séries a uma mesma base ( disfarçar os salos) A redução à mesma base nunca será perfeia porque não é possível, nem em ineresse, recalcular a série com os pesos originais ou com os pesos da segunda base Podemos fazer uma ransição suave enre os ramos da série. No senido de ornar possível a compaibilização dos ramos eses sobrepõem-se pelo menos durane um período. Devemos usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do salo enre as séries e reduzi-lo a zero. Quando se muda de base, o índice sofre uma quebra: O valor da variável num deerminado ano (que seria 142), vola a ser o valor convencionado como base no ano seguine (100) São alerados os pesos relaivos dos grupos agregados no índice (a represenaividade de cada grupo no índice). Volando ao exemplo do ìndice de Laspeyres e admiindo uma quebra em 1970: ìndice Volando ao exemplo do ìndice de Laspeyres e admiindo uma quebra em 1970: ìndice A quebra aconeceu, por exemplo, porque de 1920 aé 1970 consideramos ceras percenagens de consumo de cereais ( x % rigo, y % milho, ec.) e em 1970 decidimos alerar essas percenagens. Esa quebra que se observa na série é arificial, não raduzindo nenhum fenómeno económico. Desa forma, quando se uiliza a série para odos os períodos orna-se necessário reduzir os dois ramos da série à mesma base. 29 (Soma) Na práica o que se faz é o seguine: Quando só se dispõe de informação quano ao valor da variável (calculado pelos dois méodos) para um período, adiciona-se ao valor da série inicial a diferença desse dio ano: Volando ao exemplo do ìndice de Laspeyres e admiindo uma quebra em 1970: Termo de correcção Índice final

6 31 32 (Soma) Esa aleração maném os incremenos em valor mas alera as variações em percenagem: é igual a mas 109/100 é diferene de 151/142 Volando ao exemplo do ìndice de Laspeyres e admiindo uma quebra em 1970: Termo de correcção Índice final (muliplicação) Também podemos fazer a ransição muliplicando pelo rácio 109/100 é igual a 154,8/142 Ano Rácio de correcção 1,42 1,42 1,42 1,42 Índice final ,8 163,3 171,8 Maném-se a axa de variação mas alera-se o incremeno absoluo Qual adopar? Depende de ser mais imporane a variação relaiva ou a absolua (muliplicação) Volando ao exemplo do ìndice de Laspeyres e admiindo uma quebra em 1970: Termo de correcção Índice final Ano Rácio de correcção 1,42 1,42 1,42 1,42 Índice final ,8 163,3 171,8 (vários período sobreposos - soma) Pode aconecer er-se mais que um período sobreposo Podemos desprezar a informação e adopar um ano do meio Podemos fazer uma ransição usando os vários períodos (vários período sobreposos - soma) A série sobrepõe-se se 3 períodos Série 2) 96,5 100,0 103,6 109,8 109,7 Termo de correcção 28,8 28,8 28,8 28,8 28,8 Série 2) corrigida 125,3 128,8 132,4 138,6 138,5 Diferença enre anos 28,1 28,8 29,5 Média 28,8 (vários período sobreposos - soma) Posso calcular o média ponderada dos períodos sobreposos. A imporância relaiva depende da disancia ao ano do meio Série 2) corrigida 125,3 128,8 132,4 138,6 138,5 Peso da série 1 1,00 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0,00 Série corrigida 123,5 125,6 124,8 128,8 132,6 138,6 138,5

7 37 38 (vários período sobreposos - muliplicar) A série sobrepõe-se se 3 períodos Série 2) 96,5 100,0 103,6 109,8 109,7 Rácio de correcção 1,288 1,288 1,288 1,288 1,288 Série 2) corrigida 124,3 128,8 133,4 141,4 141,3 Rácio enre anos 1,291 1,288 1,285 Média 1,288 (comparação) Posso calcular a média geomérica ponderada dos períodos sobreposos. A imporância relaiva depende da disancia ao ano do meio Série 2) corrigida 124,3 128,8 133,4 141,4 141,3 Peso da série 1 1,00 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0,00 Série corrigida 123,5 125,6 124,5 128,8 133,4 141,4 141, (vários período sobreposos - muliplicar) Somando Série 2) corrigida 125,3 128,8 132,4 138,6 138,5 Peso da série 1 1,00 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0,00 Série corrigida 123,5 125,6 124,8 128,8 132,6 138,6 138,5 Muliplicando Série 2) corrigida 124,3 128,8 133,4 141,4 141,3 Peso da série 1 1,00 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0,00 Série corrigida 123,5 125,6 124,5 128,8 133,4 141,4 141,3 3.2 Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Já vimos que os índices, são muio usados pelos economisas e pelos gesores porque condensam informação complexa num número Facilia a compreensão da informação o que auxilia a omada de decisão Considerei que a informação era Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Aé aqui considerei que a agregação de uma variável esaísica sobre vários indivíduos. Por exemplo, Preendo deslocalizar a minha empresa e necessio comparar a produividade média dos rabalhadores de Porugal com os da Roménia. Mas ambém posso agregar várias variáveis para caracerizar cada indivíduo. 3.2 Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Por exemplo, quero conraar um indivíduo para execuar uma deerminada arefa na qual o desempenho esá dependene dos conhecimenos de Inglês, Informáica, Conabilidade, er boa apresenação e facilidade de discurso. Cada candidao erá caracerísicas diferenes. Necessio de agregar a informação de cada indivíduo num índice sinéico para poder selecionar o melhor.

8 Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Cada variável esaísica será o resulado de um ese que esá compreendido enre 0 e 100. Sejam por exemplo esas as classificações de seis candidaos: Inglês Inform. Conab. Apresen. Discurso Cand A) Cand B) Cand C) Cand D) Cand E) Cand F) Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Índice 1) Posso desde logo consruir um índice com base na média ariméica das classificações: Inglês Inform. Conab. Apresen. Discurso Índice 1) média simples Cand A) Cand B) Cand C) Cand D) Cand E) Cand F) Em que por exemplo o valor do índice do candidao A) é calculado do seguine modo: Índice Cand. A) = ( ) / 5 = Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Índice 2) Posso aribuir diferene imporância aos conhecimenos, por exemplo: Inglês (15%), Informáica (20%), Conabilidade (25%) Boa apresenação (15%) facilidade de discurso (25%). 3.2 Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Obenho desa forma um indicador de decisão baseado no seguine índice de Laspeyres Inglês Informáica Conabilidad Apresenação Discurso Índice 2) Class. % Class. % Class. % Class. % Class. % Laspeyres Cand A) 85 15% 80 20% 40 25% 65 15% % 73.5 Cand B) 65 15% 45 20% 75 25% 90 15% 70 25% 68.5 Cand C) 80 15% 75 20% 35 25% 55 15% 95 25% 67.8 Cand D) 75 15% 40 20% 65 25% 80 15% 65 25% 63.8 Cand E) 50 15% 75 20% 40 25% 50 15% 90 25% 62.5 Cand F) 60 15% 33 20% 80 25% 45 15% 60 25% 57.4 Em que por exemplo o valor do índice do candidao A) é calculado do seguine modo: 85x0, x0, x0, x0, x0,25 = Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Índice 3) Podemos considerar que denro das organizações os indivíduos endem a especializar-se nas arefas para as quais êm mais capacidade, e consruir um índice de Paasche em que as ponderações seriam diferenes para cada indivíduo. Por exemplo, 30% à caracerísica em que o indivíduo em maior apidão 20% a odas as ouras excepo à caracerísica em que em menor apidão a que se aribui o peso de 10%. 3.2 Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Inglês Informáica Conabilidad Apresenação Discurso Índice 3) Class. % Class. % Class. % Class. % Class. % Paasche Cand A) 85 20% 80 20% 40 10% 65 20% % 80.0 Cand B) 65 20% 45 10% 75 20% 90 30% 70 20% 73.5 Cand C) 80 30% 75 20% 35 10% 55 20% 95 20% 72.5 Cand D) 75 20% 40 10% 65 20% 80 30% 65 20% 69.0 Cand E) 50 20% 75 20% 40 10% 50 20% 90 30% 66.0 Cand F) 60 20% 33 10% 80 30% 45 20% 60 20% 60.3 Em que o valor do índice do candidao A) é calculado do seguine modo: 85x0, x0, x0, x0, x0,30 = 80.0

9 Índices sinéicos de várias variáveis esaísicas Nese caso concreo a aplicação de cada um dos diferenes índices não aponaria para resulados significaivamene diferenes: Índice 1) Índice 2) Índice 3) Média simples Laspeyres Paasche Cand A) Cand B) Cand C) Cand D) Cand E) Cand F)