7 - Fundamentos matemáticos

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1 7 - Fundamenos maemáicos João Auguso de Lima Rocha SciELO Books / SciELO Livros / SciELO Libros ROCHA, JAL Fundamenos maemáicos In: ermodinâmica da fraura: uma nova abordagem do problema da fraura nos sólidos [online] Salvador: EDUFBA, 2010, pp ISBN Available from SciELO Books <hp://booksscieloorg> All he conens of his work, excep where oherwise noed, is licensed under a Creaive Commons Aribuion 40 Inernaional license odo o coneúdo dese rabalho, exceo quando houver ressalva, é publicado sob a licença Creaive Commons Aribição 40 odo el conenido de esa obra, excepo donde se indique lo conrario, esá bajo licencia de la licencia Creaive Commons Reconocimeno 40

2 138 7 FUNDAMENOS MAEMÁICOS Apresena-se, a seguir, um conjuno de desenvolvimenos maemáicos e resulados úeis ao objeivo da consrução da eoria ermodinamicamene consisene da fraura Nauralmene, a maior pare das proposições não são demonsradas, mas isso pode ser enconrado em exos sobre mecânica do conínuo e análise de sensibilidade apresenados nas referências ELEMENOS DE ÁLGEBRA E DE ANÁLISE ENSORIAL 12 ensores Seja E o espaço euclidiano ponual ridimensional Os elemenos desse espaço são denominados ponos A expressão veor será adoada para os elemenos do espaço veorial associado, V A diferença enre dois ponos quaisquer, x e y de E, define um veor v, al que: v = x y e v = y x (71) A soma de um pono e um veor define um pono, iso é: y = x + v (72) A soma de dois ponos não possui significado Escolhida uma base oronormal {e i }, em V, a origem o de E e essa base formam um sisema de referência, ou referencial de E Daí, odo pono de E pode ser escrio como ( x o) o, x = + sendo suas coordenadas relaivas a { e i }, definidas por: x i ( x o )e i = (73) 12 Para a organização desa seção, valeu-se basicamene da sínese enconrada em Feijóo (1978)

3 139 na qual o pono é usado para indicar o produo inerno (ou escalar) de dois veores A definição de produo inerno de um veor qualquer u por si mesmo, leva, de uma forma naural, ao conceio de norma de um veor: u = uu (74) ensor: chama-se ensor a qualquer ransformação linear : V V, sendo V o espaço veorial associado ao espaço euclidiano ponual E Iso significa que associa a cada veor v V um único veor u V: u = v (75) Enende-se por ransformação linear a aplicação que possui as seguines propriedades: ( u v) = u v + + u, v V, (76) ( α u) = α u α IR, u V (77) O conjuno de odos os ensores : V V, é denominado Lin Se em Lin definimos a adição de dois ensores por: ( ) u = u u u V (78) e a muliplicação por escalar: ( ) u α u α = Lin, α IR, u V, (79) enão Lin, munido dessas duas operações, é um espaço veorial Nese espaço exise um ensor nulo, represenado por 0, al que: 0 u = 0 u V (710) Observe-se que o símbolo 0 ambém esá sendo usado para represenar o veor nulo de V O ensor idenidade, designado por I, é al que: I u = u, u V (711)

4 140 O produo de dois ensores, e S, indicado por S, é definido como a composição de ambas aplicações, iso é: S = S, onde ( ) u ( Su) S = (712) Verifica-se que o produo de ensores possui as seguines propriedades: a) Associaiva: ( SD) ( S) D; = (713a) b) Disribuiva, em relação à adição de dois ensores: ( S+ D) = S D, + ( S + D) = S + D (713b) (713c) e disribuiva, em relação à adição escalar: ( a b) = a + b + a,b IR, (713d) e I = I = (713e) Quando S = S, diz-se que e S comuam, embora esa não seja uma propriedade válida no conjuno de odas as aplicações lineares de V em V Assim: A definição do produo de ensores permie que se enham poências de um ensor = I, =, = ec (714) A associaividade do produo permie que se enha: = m+n m n n m = (715)

5 141 A parir dos conceios aneriores, define-se polinômio de um ensor como sendo: i n ( 0 1 i n 1 f ) = a I + a + a + a, a IR, (716) i uma função ensorial de argumeno ensorial, que pode ser associada a um polinômio de grau n, com coeficienes a 0, a 1, a n ensor ransposo: o ransposo de um ensor arbirário é o único ensor,, com a sequine propriedade: u v = u v, u, v V (717) Daí resula que: ( S ) u v = u ( S + ) v = u Sv + uv = S u v + u v = ( S + ) u v + (718a) e ( α S ) u v = u ( α S) v = α u Sv = α S u v α IR, (718b) o que assegura ser a ransposição uma operação linear que associa cada ensor de Lin a seu ransposo, ambém em Lin O ransposo do produo de dois ensores possui a seguine propriedade: ( ) S S = (719) De fao: ( S ) u v u ( S) v = u S( v) = S u v = ( S ) u v = (720) Da mesma maneira, pode-se mosrar que: ( S ) = S Diz-se que um ensor é simérico se:

6 142 S = S, (721) e anissimérico se: S = S (722) odo ensor admie uma decomposição única: S = syms + skws (723) em que S + S syms = (724) 2 é a pare simérica de S, e S - S skw S = (725) 2 é a pare anissimérica de S Por ser a ransposição uma aplicação linear de Lin em Lin, segue-se que: (1) oda combinação linear de ensores siméricos é um ensor simérico, e (2) oda combinação linear de ensores anissiméricos é um ensor anissimérico Assim, o conjuno de odos os ensores siméricos, que será denominado Sym, e o dos ensores anissiméricos, que será denominado Skw, são dois subespaços de Lin Convém observar que o produo de dois ensores siméricos (respecivamene, anissiméricos) não é necessariamene um ensor simérico (respecivamene, anissimérico) Ouros resulados dignos de noa são os seguines: (1) Seja E Sym e W Skw, ensores arbirários, logo: u Wu = 0, u V (726)

7 143 que, para ser demonsrado, basa usar-se a definição de ensor ransposo, da Eq (717), e de ensor anissimérico, dada pela Eq (722) Para um veor u, arbirário, em-se: ( ) = 0 u Wu = W u u = -Wu u 2 uwu Seja S=E+W, logo: ( E W) u u Eu u Su = u + = u V (727) Produo ensorial: o produo ensorial de dois veores u, v V, represenado por u v, é um ensor que a cada veor w V associa um veor paralelo a u, dado por (vw) u, iso é: ( u v) w = ( vw) u, w V (728) Observe-se que u v: V V é uma aplicação linear, porano, um ensor Com base na definição de produo ensorial, verifica-se que: (a) ( u v) = ( v u) (729) Demonsração: Sejam d, w V, veores arbirários Uilizando-se propriedades aneriores, em-se: ( u v) d w = d ( u v) w = d u( v w) = ( v w)( u d) = v( u d) w = ( v u) d w; (b) ( u v)( c d) ( v c)( u d) = (730) Demonsração: Seja w V, logo: ( u v)( c d) w= ( d w)( u v) c = ( w d) u( v c) = ( v c)( u d) w; (c) Seja {e i } uma base oronormal de V, iso é, e i e j =δ ij, dela de Kronecker, enão: ( e e ) + ( e e ) + ( e ) I = (731) e3

8 144 Demonsração: Basa provar que δ ( e e ) v v δ k j r j r j = ( e e ) v = δ ν ( e e ) e = δ ν e δ = ν e = v k j k j r k j r k j r k jr k De fao, se v = v i e i, em-se: k Produo anissimérico: dados u, v V, arbirários, o ensor anissimérico u v v u será represenado por u v, denominado produo anissimérico ou produo exerno Componenes de um ensor: Aé aqui o rabalho com ensores limiou-se a esudá-los com o auxílio das definições e regras de composição Da mesma forma como os veores, em V, são independenes da base escolhida para represená-los, os ensores, em Lin, ambém são enidades independenes de qualquer base desse conjuno No enano, escolhida uma cera base, podem-se deerminar as componenes do ensor nessa base de Lin Considere-se em V uma base {e i }, não necessariamene orogonal, chamando-se g ij os escalares provenienes do produo inerno e i e j, iso é: e e = (732) i j g i j Em razão de {e i } ser uma base, segue-se que o deerminane da mariz [g ij ] é diferene de zero Exise, porano, a mariz inversa, denominada [g ij ] Logo: g i j g j k i = δ k (733) Resula da Eq (732) que [g ij ] é uma mariz simérica Por ouro lado, dada uma base {e i } pode-se definir oura base, {e i }, denominada base dual de {e i }, que fica deerminada de modo único, aravés da condição: e i j = g i e ou e = e j (734) j i g i j Das Eqs (732), (733) e (734) resula que: e i e = δ i j j e i i j e j = g, e (735) com i, j = 1,3

9 145 Demonsra-se que são bases de Lin os seguines conjunos de ensores: { e i e j }, { e e j }, { i e j i e } e { e } i e (736) j Dessa maneira, um ensor pode possuir as seguines represenações possíveis, em função de suas componenes nessas bases: i j j j j i { e e } = i { e e } = i j { e e } = { e e } = (737) i j i j i i j As relações enre as diversas componenes podem ser deduzidas a parir da definição de produo ensorial e das Eqs (732) a (735) Por exemplo: i j i j j { } g ik j k e e = i e e = je e j k k Daí, k j= ij g ik (738) Em paricular, ij e ij recebem os nomes, respecivamene, de componenes conravarianes e covarianes de, enquano i j j e i são denominadas componenes misas A noação expliciada aravés da Eq(737) permie que se reconheça, facilmene, dado um veor v, em que base o veor v esá represenado, quando, por exemplo, esá expresso como = ij e i e j De fao, em razão da definição de produo ensorial, resula que v esá represenado por suas componenes relaivas à base {e k } Com efeio, suponha-se v = v k e k Enão: i j k k i j k i j j i ( e e ) v e = v ( e e ) e = v e v e u = v = δ = i j k ij k ij k ij onde u=u i e i, com u i = ij v j A parir das definições aneriores, pode-se expressar a muliplicação de ensores e o ensor ransposo em ermos de suas componenes, al como a seguir a) Muliplicação de ensores:

10 146 B=S = ij (e i e j ) S k m(e k e m ) = ij S k m(e i e m ) δ k j = ik S k m(e i e m ) B i j m i m j i m ( e e ) S k m ( e e ) = S k m ( e e ) = S k ( e e ) = S = i j k i j δ k ik m Por sua vez, i m B = B e e B = im im ik S k m b) ransposo de um ensor: i j i j j i ( e e ) = ( e e ) = ( e e ) = i j i j i j Por ouro lado: = ( e j e i ), ji logo = ij ji Se a base {e i } for oronormal, enão a posição dos índices é indiferene Nesse caso as componenes do ensor são chamadas componenes caresianas raço de um ensor: define-se raço de um ensor Lin como a aplicação que associa ao ensor um escalar, represenado por r, que saisfaz à condição: ( u v) = u v r (739) Decorrenes da definição de raço de um ensor, valem as seguines propriedades: (1) A aplicação r é linear, já que o produo inerno o é; (2) A expressão do r, em função das componenes, é a seguine: ij i ij ( e ) i i e = ij g = i = i gij r = = ijr j, o que significa que r esá bem definido; (3) Seja u v um ensor arbirário S, enão: r S = rs (740)

11 147 Com efeio, r = r = r(u v) = u v = v u S, e (4) Se S e são dois ensores arbirários de Lin, enão: r ( S) = r( S) (741) De fao, da Eq (730) em-se: r [(u v) (c d)] = r[ (vc) u d) ] = (v c) u d = r[ (d u)c v) ] = r[ (c d)(u v) ] e, da Eq (731): (5) r ( I) = r( δ ij ei e j) = δ ijei e j = δ ijδ ij = 3 (742) Produo inerno em Lin - define-se o produo inerno (produo escalar) de dois ensores S e, simbolizado por S :, como o escalar definido por: S : = r( S ) (743) Mosra-se, a seguir, que essa definição saisfaz as propriedades do produo inerno: (1) Simeria: S : = : S ; de fao, S : = r ( S ) = r( S ) = r( S) = : S; (2) S : S 0, S, sendo que o valor nulo ocorre se e somene se S=0 De fao, em função das componenes caresianas de S, em-se: S : S 2 [ S ( e e ) S ( e e )] = S S δ δ = S S = ( S ) 0 = r i j j i km k m i j km ik jm i j ij i, j i j Daí, se S : S = 0, enão S ik = 0, para odo i, k Logo S = 0, sendo a recíproca imediaa A inrodução do produo inerno induz, de forma naural, o conceio de norma de um ensor, represenada por Enão: S = r( S S), S Lin (744)

12 148 Algumas propriedades do produo inerno de dois ensores: (1) r ( IS ) = r( SI) = I : S = S : I; (745) (2) R : (S) = ( S R) : De fao, R : (S) = r ( R S) = r( S R) = : S R = S R : ; u (3) Sv = S(u v), (746) pois v) = r [ S (u v) ] = r[ S u v] = S uv = u Sv, S(u onde se fez uso da idenidade S (u v) = ( S u) v [(u v)w] = S u( v w) = (S u v)w; S (u v)w = S, que é verdadeira, porquano: (4) Se S Sym, enão: ( 1/2)( + ) = S : ), S : S : = S Sym = Lin, (747) de fao: ( S ) = ( S ) S : ; S : = r r = (5) Se W Skw, enão: W : = W : = W : = ( / 2) W ( - ) = W : Skw 1, Lin ; (748) (6) Se S Sym e W Skw, enão: S : W = 0, (749) consequência da propriedade (4), ou da (5), acima; (7) Se : S = 0 S, enão =0 ; (750) (8) Se : S = 0 S Sym, enão Skw; (751) (9) Se : S = 0 Skw, enão S Sym (752)

13 149 Deerminane de um ensor: define-se como deerminane, des, de um ensor S, o deerminane da mariz [S] associada a S, a parir da escolha de uma base, iso é: [ S] de S = de (753) Pode-se demonsrar que esa função é bem definida, no senido de que, a cada ensor S corresponde um único de S, iso significando que o deerminane independe da represenação de S Pode-se mosrar, ambém, que esa função é não linear -1 S é inversível, se exise um ensor, S, chamado ensor inverso de S, al que: SS - 1 = S -1 S = I (754) Parindo-se da definição de deerminane de um ensor, pode-se mosrar que S é inversível, se e somene se de S 0 Valem as seguines idenidades: (1) de( ) ( des)( de); S = (755) (2) de( S ) = des (756) As demonsrações dessas duas idenidades dependem de alguns resulados encadeados de Álgebra Linear que não esão conemplados nese capíulo; podem-se enconrá-las em Feijóo (1972) -1 1 (3) de( ) = ( des) S (757) Demonsração: Basa considerar que -1 I = SS e, pela Eq(755): de -1-1 ( SS ) = ( dei) = 1 = desdes Decorre desse úlimo resulado que: (4) (S) = S (758)

14 150 e -1-1 (5) ) ( S ), (S = (759) o que jusifica a noação S - =(S -1 ) Diz-se que um ensor Q é orogonal se preserva o produo inerno, quando aplicado a um veor de V, iso é: ( Qu) ( Qv) uv = (760) A condição necessária e suficiene para que um ensor Q seja orogonal é: QQ = Q Q = I, (761) o que equivale a: -1 Q = Q (762) Demonsração: Suponha-se que Q preserva o produo inerno, enão, da definição de ensor ransposo, em-se: ( Qu) ( Qv) = ( Q Qu) v uv = e, porano: QQ = Q Q = I Q = Q -1 A recíproca, prova-se a parir da Eq (762), mosrando-se que, se Q Q = QQ = I, enão o produo inerno é preservado e, porano, Q é orogonal, iso é: ( Q Qu) v = Iuv = uv; Q = ambém ( Qu) v Qu Qv ( Qu )( Qv) = u v, o que significa:

15 151 Dado Q Orh, o conjuno de odos os ensores orogonais, enão: de Q =+1 ou de Q = -1 (763) que se prova mediane consideração das Eqs (751), (752) e (762) Se Q Orh e de Q = 1, diz-se que o ensor Q é uma roação O conjuno de odas as roações é represenado pela noação Orh + Um ensor é posiivo definido se a seguine condição seja verificada: u Su 0, sendo que u Su = 0 se e somene se u = 0 (764) DIFERENCIAÇÃO Sejam U e V dois espaços veoriais normados e seja f: U V, definida em uma vizinhança do zero de U Diz-se que f(u) aproxima-se de zero mais rapidamene que u, ou que é de ordem u, se a seguine condição é verificada: u lim f ( u) 0 u 0 u (765) Se f(u) saisfizer a essa condição, diz-se que: f(u) = o(u), para u 0 ou, simplesmene: f(u) = o(u) Da mesma maneira, dadas duas funções, f e g, diz-se que: f(u) = g(u) + o(u), (766) se a seguine condição se verifica: f(u) - g(u) = o(u) (767)

16 152 Observe-se que essa úlima definição em senido, mesmo se f e g assumem valores em E (espaço euclidiano ponual) De fao, segundo se viu, (f-g) é um veor que assume valores em um espaço veorial associado a E Seja g uma função a valores escalares, ou veores, ou ensores, ou aé mesmo ponos Suponha-se que seu domínio, D(g), seja um inervalo abero de IR, enão a derivada g (), de g em relação a, caso exisa, é definida como: d 1 g( ) = g( ) = lim [ g( + α) g( )] (768) d α 0 α Verifica-se, a parir da Eq (768), que, se g é uma função que oma valores em E, enão sua derivada é um veor Da mesma maneira, a derivada de uma função de valor veorial é um veor e, para uma função de valor veorial, é um ensor Diz-se que g é regular se exise g (), para cada D(g), e se g() é conínua em D(g) Da definição (768), segue-se que: g ( + α) = g( ) + α g( ) = o( α), para α 0 (769) diferença A parcela g (), em paricular, é linear em α, logo, de acordo com a Eq (769), a g( + α ) g( ) é igual a um ermo linear em α mais um ermo da ordem de α Para raar com derivadas, em espaços de dimensão maior que 1, a definição de derivada esará fundamenada no resulado anerior, do qual decorrem as seguines definições: (1) A derivada de uma função g é uma aplicação linear que se aproxima de g( + α ) g( ), para valores pequenos de α; (2) Sejam U e W dois espaços veoriais normados de dimensão finia, sendo C um subconjuno abero de U Enão g: D W é diferenciável em x, se exise uma ransformação linear: Dg(x) : U W, (770)

17 153 al que [ u] o( ) g ( x + u) = g( x) + Dg( x) + u para u 0 (771) A seguir, mosra-se que, se Dg(x) exise, enão é única De fao, da Eq (771), em-se: [ u] o( ) g ( x + u) g( x) Dg( x) = u logo: D g( x)[ u] = 1 d lim [ g( x + α u) g( x)] = g( x + α u) 0 α dα α α IR α = 0 Seguindo-se as definições, Dg(x) é a derivada de g em x Como quaisquer normas em espaços veoriais finios são equivalenes, enão Dg(x) é independene das normas adoadas em U e W Um caso paricular imporane é aquele em que D(g) IR, para o qual, aplicando-se as Eqs (769) e (771), resula: Dg( )[ α ] = α g( ) Dg() [α] = g (), para odo α IR (772) A seguir, serão apresenados alguns exemplos que correspondem a casos de ineresse do presene rabalho: Exemplo 1 - Seja a aplicação φ : V IR, definida pela lei φ(v) = v v em-se: φ ( v + u) = ( v + u) ( v + u) = v v + 2v u + u u = φ ( v) + 2v u + u u = φ ( v) + 2v u + o( u) Daí, )[ u] = 2v D φ ( v u Exemplo 2 - Seja a aplicação G: Lin Lin, definida por G(A) = A 3 ; em-se, enão, que, U Lin :

18 G(A + U) = (A + U) = A + A U + AUA + UA + o(u) Porano, 2 2 [ U] = A U + AUA UA D G(A) + Exemplo 3 - Seja a ransformação linear L: U V (observe-se que L é um ensor) Enão: L(u + v) = L(v) + L(u), logo: [ u] = L(u) Lu, D L(v) = o que mosra ser a derivada em v igual ao próprio ensor, iso é: D L(v) = L Exemplo 4 - Seja φ : Lin IR, definida aravés da seguine lei: φ ( A) = A : ArA; logo, U Lin, em-se: [ r( A) + r( U) ][ A A + 2A: U U : U] φ ( A + U) = r( A + U) ( A + U) : ( A + U) = : + = = A : A r( A) + 2A : U r(a) + A : A r(u) + o( U) Daí decorre que: [ U] = 2A: Ur( A) A: Ar( ) D φ( A) + U Exemplo 5 - Seja φ: V V, definida por: φ ( v) = (a v) v, para odo v V, sendo a um veor fixo de V Logo: φ( v + u) = [ a ( v + u) ] v + u) = ( a v)v + ( a u)v + ( a v)u + ( a u)u = = φ( v) + ( a u)v + ( a v)u + o(u) ( Daí, a diferencial de φ, calculada em v, para um incremeno u, é dada por: [ u] = ( a u)v + ( a D φ( v) v)u

19 155 Exemplo 6 (diferencial de um deerminane) - Seja φ uma função definida no conjuno de odos os ensores inversíveis A, al que: φ ( A ) = de( A) Aqui será usado um resulado da álgebra de marizes, aplicado ambém aos ensores, em consequência da definição de deerminane de um ensor, segundo o qual: 3 2 de( S α I) = α + I 1( S) α I2( S) α + I3( S), (773) onde I 1, I 2 e I 3 são invarianes em relação à base de V, por meio da qual S é represenado Os valores dos invarianes são: I 1( S ) = rs, I ( S) = ( 1/2) )[rs) rs ] e I 3( S ) = des Fazendo α = -1, na Eq (773), em-se: de( I + A) = 1+ ra + o( A), para A 0 Logo, se A é inversível, e U Lin é arbirário, enão: de( A + U) = de[( I + UA ) A] = de( I + UA )de A = de A[ 1+ r( UA ) + o( U)] = -1 = de A + de A r( UA ) + o( U)], para U 0-1 Como a aplicação f : U de A + de Ar( UA ) + o( U)] é linear, pelo fao de ser linear a operação raço, enão: -1 D φ( A)[U ] = de Ar( UA ), para odo U Lin (774)

20 156 Regra do produo: No desenvolvimeno da mecânica do conínuo cosumam aparecer operações com uma esruura comum de produo, que merecem ser visas segundo uma regra unificadora Denre elas desacam-se: (1) produo de um escalar por um veor: prod (α, v); (2) produo inerno, ou escalar, enre dois veores: prod (u, v); (3) produo inerno de dois ensores: prod(u, V) = U : V; (4) produo ensorial enre dois veores: prod(u, v) = u v; (4) aplicação de um ensor S sobre um veor v : prod (S, v)= S v ec O objeivo, aqui, é esabelecer uma regra geral para o cálculo da derivada do produo de duas funções Para isso, observe-se que as operações-produo, do ipo das definidas de (1) a (5) êm uma propriedade comum: são odas bilineares Generalizando, considere-se a seguine operação produo: prod: F G W, onde F, G e W são espaços normados de dimensão finia, e prod é uma aplicação bilinear Dese modo, o produo é h (x) = prod (f(x), g(x)), para odo x D Suponha-se que o domínio comum, D, das funções f e g, seja um subconjuno abero de um espaço normado de dimensão finia U, ou do espaço euclidiano ponual E associado ao espaço veorial V LEMA Regra do produo Sejam f e g duas funções diferenciáveis em x D Logo o produo h = prod (f, g) é diferenciável em x, e: Dh ( x)[ u] = prod{ f ( x), Dg( x)[ u]} + prod{ Df ( x)[ u], g( x)}, (775) para odo u U Demonsração: Como os espaços F, G, W e U são de dimensão finia, a aplicação bilinear prod é limiada, e as aplicações lineares Df(x) e Dg(x) são finias Logo, para odo a F, b G, e u U, exisem escalares k 0, k 1 e k 2, ais que:

21 157 prod( a, b) k Df ( x)[ u] k e Dg( x)[ u] k a b, u u Por ouro lado: f ( x + u) = f ( x) + Df ( x)[ u] + o( u) e g ( x + u) = g( x) + Dg( x)[ u] + o( u) Usando-se a bilinearidade da operação prod, conjunamene com as propriedades lisadas aneriormene, resula: h ( x + u) = prod [ f ( x + u), f ( x + u)] = = prod [ f ( x), g( x)] + prod{ f ( x), Dg( x)[ u]} + prod{ Df ( x)[ u], g( x)} + o( u) Como se vê, a primeira parcela do segundo membro é a função h, calculada em x, e a soma da segunda com a erceira parcela é uma função linear de u Logo, a expressão anerior demonsra a Eq (775) No caso paricular em que f é uma função consane, a Eq (775) reduz-se a : Dh ( x)[ u] = prod{ f ( x), Dg( x)[ u]}, (776) Em siuação mais paricular ainda, quando o conjuno D é um inervalo abero de IR, em-se que a Eq (776) reduz-se a: h ( ) = prod ( f ( ), g( )) + prod ( f ( ), g( )), (777) onde x é subsiuído por, u por α, e Df(x) por f (), em que se faz uso da bilinearidade de prod Observe-se que a ausência de α na Eq (777), faz com que h () se caracerize como uma derivada, e não como uma diferencial

22 158 A uilização da regra do produo permie que se chegue aos seguines resulados: ( φv) = φv + φv, ( v ( S) = S + S, ( w) = v w + v w, S) = S + S ( Sv) = Sv + Sv e (778) Regra da cadeia: Considere-se U, F e G espaços normados de dimensão finia (ou espaços euclidianos ponuais) Sejam C e D subconjunos aberos de G e U, respecivamene, e : f: C F e g: D G, onde R(g) C Seja g diferenciável em x, e f diferenciável em y = g(x) Logo, a composição h = f o g é diferenciável em x, e Dh( x) = Df ( y) Dg( x), (779) expressão que corresponde a uma simplificação de: Dh ( x)[ u] = Df ( g( x)){ Dg( x)[ u]}, para odo u U Em paricular, se U = IR, enão g será uma função de variável real Escrevendo-se em lugar de x, g () em lugar de Dg(x), e α em lugar de u, em-se a derivada definida por: Df ( g( )) = Df ( g( ))[ g ( )] (780) Proposição: Seja S uma função de valor ensorial definida em um inervalo abero D, de IR, enão: ( S ) (S) S =, (781) e se S é inversível em odo x D, em-se: -1 (des) = (de S)r( S S ) (782)

23 159 Demonsração: Inicialmene, define-se a operação ransposição como sendo ( ) : Lin Lin, al que : ( ) (A)= A, A Lin, que é uma operação linear (v definição de ensor ransposo) Porano, os operadores ransposição e derivação, por serem lineares, podem comuar, iso é: ( S ) = [() (S)] = () ( S) = ( S), com a qual se demonsra a Eq(781) O resulado represenado pela Eq(782) é uma consequência direa das Eqs (774) e (780) GRADIENE E DIVERGÊNCIA Pelo eorema da represenação das formas lineares, seja φ : V IR linear, enão exise um único veor a, al que: φ (v) = av, v V (783) Campo escalar: Seja φ um campo escalar regular, definido em um conjuno abero R V Porano, para cada x R, Dφ(x) é uma aplicação de V em IR Pelo eorema da represenação das formas lineares, exise um único veor, φ(x), chamado gradiene de φ em x, al que: D φ( x )[ u] = φ( x) u, (784) de maneira que a Eq (771) orna-se: φ ( x + u) = φ( x) + φ( x) u + o(u) (785) Campo veorial e campo ponual: De maneira semelhane à anerior, seja φ um campo veorial (ou ponual) regular, definido em R V Enão, para cada x R, enão Dv(x) é uma ransformação linear de V em V, iso é, um ensor Nese caso, v(x), chamado gradiene de v em x, será usado para represenar Dv(x)Assim: D v( x) [ u] = v( x) u (786)

24 160 Considere-se agora um campo veorial regular v, definido em R O campo escalar: div v = r ( v) (787) é denominado divergência de v Com o operador definido pela Eq (787), pode-se inroduzir o conceio de divergência de um ensor, a ser represenado por div S Com efeio, div S é o único veor com a seguine propriedade: (divs) a = div( S a), (788) para um veor a arbirário Proposição: Sejam φ, v, w e S campos regulares, sendo φ escalar, v e w veoriais e S ensorial, enão valem as seguines idenidades: 1) ( φ v ) = φ v + v ( φ); 2) div( φ v ) = φ divv + ( φ) v; 3) ( v w) = ( v)w + ( w) v; (789) 4) div( v w) = vdivw + ( v)w; 5) div( S v) = S: v + v divs e 6) div( φ S ) = φ divs + S( φ) Demonsração: Seja h = φ v Logo, decorre da regra do produo, iso é, da Eq (775) e das Eqs (785) e (786), que: { ( φ v)}[ u] = { φ( x) v(x) + v(x) ( φ( x) }[ u] ou

25 161 ( φ v ) = φ v + v ( φ), que prova a primeira das idenidades da Eq (789) Para provar a segunda das idenidades da Eq (789), considere-se a primeira idenidade e ome-se a definição dada aravés da Eq (787), segundo a qual: div( φ v) = r[ ( φ v)] = r( φ v + v φ) = φ divv + r( v φ) Uilizando a Eq (739), nesse úlimo resulado, em-se, finalmene: div ( φ v) = φ divv + ( φ) v Para a prova da erceira das Eqs (789), seja regra do produo, resula: h = v w, enão, da Eq (775), que é a h(x) [ u] = v(x) { w( x)}[ u] + { v( x)[ u]} w(x) = {( w( x)) } v(x) + ( v( x))} w(x) }[ u] ou ( v w) = ( v) w + ( w) v Observe-se que, se na erceira das Eqs(789) faz-se w = v, enão: ( v v) = [ v + ( v) ] v (790) Para provar a quara das Eqs (789), basa que se considere a definição dada pela Eq(788), que permie definir-se a divergência de um ensor, iso é: div( v w) a = div[( w v) a] = div[ w(v a) ] = ( v a)divw + w ( v a) = = ( v a)div w + w [ ( v) ] a, onde se fez uso do fao de que a é um veor qualquer, que não depende de x Logo: div( v w) a = [ vdiv w + ( v)w] a, que prova a quara das Eqs(789)

26 162 Para provar a quina das Eqs (789), pare-se do seguine: seja v um campo veorial regular, logo: v( x + u) = v( x) + v( x) u + o( u) Se A é um ensor arbirário, independene de x, enão: ( Av) = A v, (791) para odo ensor A e odo campo veorial regular v omando-se o raço de ambos os membros da Eq (791) e considerando-se as definições (787) e (743), em-se: div( Av ) = r ( Av) = r( A v) = A v (792) (787), em-se: Pode-se, agora, provar a quina das Eqs (789) De fao, parindo-se da definição div( S v) = r ( S v) Pela regra do produo, ( S v) [ x] é a soma do gradiene, manido S consane com valor S 0 = S (x), mais o gradiene, manido v consane com valor v 0 = v(x), iso é: ( S v) [ x] = ( S 0 v) [ x] + ( S v 0 )[ x] Logo: div( S v)[ x] = r{ ( S0 v) [ x] + ( S v0) [ x]} = div( S0 v) [ x] + div( S v0) [ x] Da Eq (792), com A = S 0, em-se: div( S v)[ x] = S(x) v( x) + div( S v0) [ x] A aplicação da Eq (788), faz com que a úlima expressão resule em: div( S v)[ x] = S(x) v( x) + v( x) div( S), compleando-se a demonsração

27 163 Assim: A demonsração da sexa das Eqs (789) faz-se de maneira semelhane à anerior div( φ )[ x] = div( φ0 S)[ x] + div( φ S )[ x] (793) S 0 Da definição de divergência de um ensor, aravés da Eq (788), resula: div( φ S) = φ0 div( 0 S ), (794) e para um veor qualquer a, independene de x, em-se: a div (φs 0 ) = φ div(φs 0 a ) Considerando agora, v = S 0 a na idenidade (789) 2, em-se: a div( φs 0 ) = φ div( S 0 a) + S 0 a φ = a S 0 φ, enão, div( φs ) φ (795) 0 = S 0 Finalmene, inroduzindo as Eqs (794) e (795) na Eq (793), chega-se à prova da sexa das Eqs (789), iso é: div ( φ S)[ x] = φ(x) divs(x) + S(x)( φ(x)) EOREMA DA DIVERGÊNCIA (GAUSS) A seguir, apresena-se a erminologia essencial para a enunciação, sem demonsração, desse eorema de grande aplicação em odas as áreas cieníficas Seja X um espaço mérico Para as seguines definições, odos os ponos referidos são perencenes a X, assim como odos os subconjunos esão conidos em X 1 A vizinhança de um pono p é um subconjuno Nρ (p), formada por odos os ponos q, para os quais d(p,q)< ρ A disância ρ é chamada de raio de Nρ (p) 2 O pono p é dio um pono limie de um conjuno E, se oda vizinhança de p coném ao menos um pono q p, com q E 3 Diz-se que um conjuno E é fechado, se odo pono limie de E é um pono de E 4 Um pono p é um pono inerior de E, se exise uma vizinhança N(p), al que N E 5 Um conjuno E é abero, se odo pono de E é um pono inerior

28 164 6 Diz-se que E é limiado se exise um número real M, e um pono q X, al que d(q,p)<m, para odo p E 7 Se E for designado como o conjuno de odos os ponos limies de E, em X, enão a coberura de E é o conjuno E = E E 8 Dois conjunos são dios separados se as inerseções A B e A B são vazias 9 Um conjuno E é conexo se e somene se não é a união de dois conjunos separados não vazios 10 Uma região abera é um conjuno conexo abero, em E A coberura de uma região abera é uma região fechada Diz-se que uma região é regular, se é fechada, com conornos seccionalmene regulares Enende-se por conornos seccionalmene regulares a união de um número finio de superfícies fechadas regulares, que não se inercepam, sendo que, em cada uma dessas superfícies o veor normal à mesma esá definido em odos os ponos eorema (Gauss): Seja Ω uma região regular, limiada, e seja ϒ um campo regular (veorial, ou ensorial de segunda ordem), para o qual faça senido (no segundo membro) a operação () sobre o veor normal uniário n Enão: ( ϒ ) dv = ( ϒ n)ds, Ω Ω onde a noação ϒ é o mesmo que divϒ Enuncia-se a seguir, ouro imporane resulado, iso é, o eorema da localização EOREMA DA LOCALIZAÇÃO Seja φ um campo escalar, ou veorial, conínuo e definido em conjuno abero Ω de E Enão, dado x Ω arbirário, em-se: φ( x) = 1 lim vol( N ρ ( x) 0 ρ N ( ρ x) φdv Por sua vez, se

29 165 Ω φ dv = 0, para odo Ω, enão: φ 0 DERIVAÇÕES MAERIAIS NO EMPO A derivada maerial no empo é aquela que acompanha a evolução do pono maerial, no empo, por sua coordenada no sisema de referência, iso é, a variável maerial X (maiúsculo) A seguir será feio o cálculo desse ipo de derivada aplicada a duas inegrais cujos inegrandos são funções especiais, Φ(x, ) e Φ (x, ), descrias em ermos da variável espacial x (minúsculo), sendo: x = x( X, ) Admiindo-se que Φ(x, ) e Φ (x, ) sejam campos, na configuração aualizada, com valores escalares ou veoriais, e enham propriedades compaíveis com as operações abaixo realizadas, enão: D D P Δ (, ) dv (, ) dv lim Φ x P Φ x =, (796) Δ 0 Δ onde Δ (, ) = Φ( (, + Δ ), + Δ ) Φ( (, ), ) + Δ Φ x dv x X dv x X dv (797) P P + Δ P A seguir, desenvolve-se Φ(x(X, +Δ), +Δ) em série, iso é, ( x (X, + ), + ) = ( x( X, ), ) +[(grad ) v + / ] + O( ), (798) onde gradφ é o gradiene de Φ em relação a x; O(Δ) represena a soma das parcelas de ordens superiores a Δ e D v = x(x,) (799) D Por ouro lado:

30 166 dv = (de F dv e dv = (de F) dv, (7100) + Δ + Δ ) onde dv é o elemeno de volume em P 0 As Eqs (7100) mosram as relações enre volumes de elemenos infiniesimais, em P e P +Δ, respecivamene, com o volume de um elemeno infiniesimal em P 0 Os deerminanes def e def +Δ são os jacobianos, nos insanes e +Δ, de F que é o gradiene de Φ em relação a X O desenvolvimeno em série, para def +Δ, dá: (de F) +Δ = (de F) D(de F) + D Δ + O( Δ) (7101) Mas, de acordo com a Eq (7 74), para A=F em-se: D(de F) 1 = (de F)r( FF )], D (7102) onde F =(D/D)F Subsiuindo a Eq (7102) na Eq (7101) e levando-se o resulado à segunda das Eqs(7100), vem: dv +Δ = 1 {(de F) + (de F) r( FF )( Δ + O( Δ)) } dv (7103) Subsiuindo-se a Eq(7103) na Eq(797), e levando-a, depois, à Eq(796), em-se: D D P 1 Φ( x, ) dv = lim { Δ 0 Δ + (de F) r [ Φ( x( + Δ), + Δ)][de F + 1 ( FF )] dv Φ( x( X, ), )(de F) dv} Po Po (7104) Considerando-se a Eq (798), reunindo-se em O(Δ) as parcelas de ordem (Δ)² em diane, e calculando-se o limie, enão a Eq (7104) fica: D D Φdv = P P 0 Φ 1 [ gradφ) v + + Φr( FF ](de F) dv, (7105) onde Φ=Φ(x(X, ), ) A subsiuição da primeira das Eqs (100) na Eq (7105) permie que a inegração vole para a configuração aualizada, iso é:

31 167 D Φ 1 D Φdv = P P [( gradφ) v + + Φr( FF )]dv (7106) Levando-se em cona que F F 1 = gradv, r( F F 1 ) = divv e (gradφ)v+ Φ/ =(D/D)Φ, enão, D D DΦ Φdv = + Φdivv dv D (7107) P P Na sequência, será calculada a derivada maerial no empo da função Φ (x, ) O procedimeno é basane semelhane ao anerior, no enano é necessário aenar-se que a aplicação, nesse caso, leva ponos de S f (), na configuração de referência, a ponos de s f (), na configuração aualizada Assim: D D s ( ) f Δ (, ) ds (, ) lim s f ( ) ds Φ x Φ x =, (7108) Δ 0 Δ onde Φ (x, ), definida em s f (), é um campo (veorial ou escalar), com propriedades de coninuidade e derivabilidade compaíveis com as operações realizadas; e ds é o elemeno de área em s f () Assim: Δ Φ s ( ) f ( x, )ds = Φ ( x( X, + Δ), + Δ)ds Φ ( x( X, ), )ds (7109) +Δ s f ( +Δ ) s f ( ) Desenvolvendo Φ (x(x, +Δ), +Δ) em série, em-se:

32 168 Φ = Φ ( x( X, + Δ), + Δ) = ( x( X, ), ) + [( gradφ ) v + Φ / ] Δ + O( Δ), (7110) onde gradφ é o gradiene da função Φ em relação a x, e O(Δ) represena a soma das parcelas de ordens superiores a Δ Por ouro lado: ds = (de F ) ds e ds = +Δ +Δ (de F ) ds, (7111) onde ds é o elemeno de área de S f () As Eqs (7111) mosram as relações enre áreas de elemenos infiniesimais, na configuração aualizada e na configuração de referência, nos insanes +Δ e, respecivamene Os deerminanes jacobianos de superfície, do gradiene F, nos insanes e +Δ, são, respecivamene, def e def +Δ Considerando-se o desenvolvimeno em série, para de F +Δ, em-se: (de F D(de F ) ) = (de F ) + Δ + O( Δ) D + Δ (7112) Mas, de acordo com a Eq (7 74), para A = F, em-se: D(de F ) 1 D = (de F ) r( F F ), (7113) onde F = ( DF / D) Subsiuindo as Eqs (7 101), (7 102) e (7 103) na Eq (7 108), fica: D D s f ( ) [ Φ s f ( +Δ ) 1 Φ ( x, ) ds = lim Δ 0 Δ ( x( + Δ), + Δ)][de( F ) + de( F ) r( F F 1 )] ds Φ s f ( ) ( x( X, ), )(de F ) ds (7114)

33 169 Considerando-se a Eq(7110), e calculando-se o limie, a Eq(7105) fica: D D Φ 1 ds = {(gradφ ) v + + Φ r[ F ( F ) ]}(de F ) ds, (7115) Φ s f s f onde Φ =Φ (x(x, ), ) Na equação acima, a omissão do lugar e do insane em que as variáveis esão sendo calculadas implica que udo se refere a x(x, ) e A subsiuição da segunda Eq(7101) na Eq(7105) permie que a inegração vole para a configuração aualizada Assim: D D Φ ds = s f s f {(gradφ Φ 1 ) v + + Φ r[ F ( F ) ]} ds (7116) Como F 1 ( F ) = gradv, enão r [ F ( F ) 1 ] = divv e Φ D ( gradφ ) v + = Φ D Daí, por subsiuiçao na Eq(7116), em-se, finalmene: D D DΦ Φ ds = [ + Φ div v] ds s f (7117) s f D ANÁLISE DE SENSIBILIDADE À MUDANÇA DE FORMA DO DOMÍNIO De maneira sumária, preende-se analisar o que ocorre quando um sólido sujeio a deerminado esado de ensões, decorrene da aplicação de ações exernas e de deslocamenos prescrios no conorno, sofre mudança de forma ocasionada por uma ransformação dependene de um parâmero O maerial será considerado homogêneo e hiperelásico, o que assegura a exisência de uma densidade de energia de deformação, φ, função escalar de variável ensorial, assim definida:

34 170 dφ φ : Sym R ; = = φ, E, (7118) de onde Sym é o espaço dos ensores siméricos de erceira ordem (ransformações lineares do IR 3 em si mesmo), e, E é a derivada de φ em relação ao ensor E= u s, pare simérica do gradiene maerial dos deslocamenos Essa derivada é simplesmene um ensor, al que, no lugar de cada componene de E em-se a derivada parcial da função φ, em relação à respeciva componene dese ensor Apresena-se, a seguir, o conceio de mudança de forma, sendo esudado o comporameno de funções definidas na represenação do sólido, no IR 3, quando sua forma é modificada (AROCO, 1996) Conceios básicos Inicialmene, o sólido é idenificado com um domínio Ω IR 3, limiado pelo conorno Ω IR 2 No conorno há dois subconjunos de ponos, em geral disjunos, o primeiro, Ω, no qual há veores de Cauchy [racions] prescrios, e o segundo, Ω u, no qual há deslocamenos prescrios A mudança de forma é descria com o auxílio de um parâmero adimensional, τ, e de um campo veorial, v = v(x), considerado conhecido a priori, que define a ransformação de Ω em um domínio modificado, Ωτ, como sendo: x x ( x) = v(x) τ = τ (7119) expressão na qual o subscrio τ lembra a dependência em relação a esse parâmero Admie-se que a regularidade do campo v(x) seja al que sua aplicação não afee a regularidade geomérica da configuração do sólido e de seu conorno O domínio modificado, Ωτ, pode ser enendido como o que resula de uma pequena perurbação do domínio inicial Ω, e a ransformação de Ω em Ωτ como sendo uma função do pono x e do parâmero τ, de maneira que: Ω Ω Ω Ω ; x x (7120) τ ; τ τ A mudança de forma é simulada, porano, com o auxílio de uma família de ransformações paramerizadas aravés de τ, conforme mosra a figura 13 Pode-se fazer uma

35 171 analogia enre a mudança de forma e o movimeno de um corpo: para diferenes valores do parâmero τ, o domínio Ωτ é o equivalene da rajeória, na mecânica do conínuo, sendo que agora o parâmero τ faz as vezes da variável empo (GURIN, 1981; MALVERN, 1969 apud AROCO, 1996) Nesse senido, Ωτ pode ser viso como o lugar ocupado por Ω, no empo τ Quando τ = 0, o domínio Ωτ reduz-se ao domínio inicial Ω 0, que, a rigor, poderia ser qualquer configuração aualizada do movimeno (mecânica do conínuo) Aqui, escolhe-se uma configuração de referência (não necessariamene a configuração de referência do movimeno), denominada Ω, por simplicidade, porque não esá em quesão o empo verdadeiro, do movimeno real, e sim o parâmeroτ Daí: Ω = { x ; x = x + τv(x), x Ω τ IR τ τ τ, Desde que, para cada τ, a mudança de forma é uma ransformação biunívoca de Ω em Ω τ, exise a ransformação inversa, iso é: Ω τ Ω Ω τ Ω x τ x Figura 13 Variação de forma do domínio e de seu conorno Assim, qualquer campo (escalar, veorial ou ensorial) associado à mudança de forma pode ser expresso, ano por uma função definida em Ω quano por oura definida em Ωτ Coninuando com a analogia enre mudança de forma e movimeno, da mecânica do conínuo, essas duas ransformações serão chamadas de descrição maerial e descrição espacial, respecivamene No caso de um deslocameno u, por exemplo, pode-se escrever: u =u (x,τ) e uτ = uτ(xτ,τ),

36 172 onde x Ω; τ R x τ Ω τ, τ R Inroduz-se, a seguir, o conceio de gradiene da mudança de forma, ainda denro da analogia proposa, iso é: F= [x+τv(x)] = I + τ v, (7121) onde é o gradiene maerial, uma operação definida no domínio inicial Ω, que é a configuração aualizada, da mecânica do conínuo Da mesma forma, (div) é a divergência maerial, definida no mesmo domínio De maneira similar, (Grad) e (Div), definidos em Ωτ, correspondem ao gradiene e à divergência espacial, respecivamene Para a análise de sensibilidade à mudança de forma, será inroduzido, como na mecânica do conínuo, um conceio semelhane ao de derivada de campos espaciais Por exemplo, no caso do campo de deslocamenos uτ, a derivada espacial no parâmero τ, em τ = 0, é dada por: u ʹ = u ( x, τ ) (7122) τ τ τ τ = 0 Além disso, define-se a derivada maerial de u em relação a τ, na direção de v, em x, como sendo: x τ u = u (( x( x, τ ), τ ) = u + divu = u + vdivu (7123) τ τ τ τ = 0 τ= 0 τ τ τ τ τ τ = 0 ʹ Cálculo de uʹ no caso em que v é arbirado como uma ranslação dos ponos do conorno Em decorrência da análise de sensibilidade, aparece no desenvolvimeno, em algumas inegrais no conorno, a grandeza uʹ, que é a derivada espacial do veor deslocameno, al como é definido na Eq (7122) Para simular o movimeno da fissura, imagina-se que um pono genérico x, do sólido, sofre uma ranslação, segundo a ransformação dada pela Eq (7119), da qual decorre que: x = xτ τ v(x) (7124)

37 173 Imaginando que, da Eq (7124), seja possível expliciar-se o valor de x com o auxílio de uma função veorial f, em-se: x = f ( x, ) (7125) τ τ O objeivo, agora, é ober-se a expressão de uτ em função de x τ e τ, que é a ransformação sofrida pelo veor deslocameno u = x - X Assim: u u = x X τ τ, (7126) onde X é a represenação de referência do pono x Daí: u uτ = x + τv( x) X, (7127) onde v(x) é um veor qualquer Subsiuindo x, da Eq (7125), na Eq (7127), em-se: u τ = f ( x, τ ) + τ v( f ( x, τ )) X (7128) τ τ Enão, pela definição da derivada maerial u, dada pela Eq (7122), em-se, para um X fixo, a parir da Eq (7128), que: uʹ = u ( x, τ ) = f ( x, τ) + v( f ( x, τ)) (7129) τ τ τ τ τ τ τ = 0 τ = 0 τ = 0 No caso paricular de ineresse do problema da fraura, para simular-se a movimenação da fissura, na direção do veor uniário e, faz-se um movimeno da pare Γ da froneira em senido conrário, iso é, v = -e Por ouro lado, em Γ, imagina-se que v = 0 Enão, as Eqs (7124) e (7125) levam a: f ( x, τ ) = x + τ e, em Γ, e a f ( x, τ ) = x, em Γ

38 174 Daí, chega-se, finalmene, com auxílio da Eq (7129), aos seguines resulados: u ʹ = e - e = 0, em Γ (7130) e u ʹ = = 0, em Γ