Aula 6 Geração de Grades

Transcrição

1 Universidade Federal do ABC Aula 6 Geração de Grades EN34 Dinâmica de Fluidos Compuacional

2 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS

3 Grade de ponos discreos A abordagem de diferenças finias apresenada aé agora, que eige que os cálculos sejam feios sobre um arranjo de ponos de grade discreos. A disposição deses ponos discreos ao longo do campo de fluo é simplesmene camado de uma grade. A deerminação de uma grade adequada para o fluo sobre ou aravés de uma dada forma geomérica é um problema compleo.

4 Geração da grade A quesão da geração de grade é uma consideração imporane em CFD: o ipo de grade escolida para um dado problema pode ajudar ou prejudicar a solução numérica. A geração de grade orna-se uma aividade por si só. É assuno de numerosas conferências especiais, bem como vários livros.

5 Conversão de grades A abordagem de diferenças finias eige uma grade uniforme. Não emos uma forma direa para resolver numericamene as equações de fluo que regulam mais de uma grade não uniforme denro do coneo de um méodo diferenças finias. Em vez disso, a grade não uniforme deve (de alguma forma) ser converida em uma grade uniforme, reangular. As equações diferenciais parciais devem ser reformuladas de modo a aplicarem-se nesa grade reangular ransformada.

6 Problema... Alguns problemas reais não permiem que sejam aplicadas as equações de diferenças finias direamene.

7 Eemplo Deseja-se calcular o fluo sobre um aerofólio.

8 Quesões 1. Alguns ponos da grade caem denro do aerofólio, onde eles esão compleamene fora do fluo. Quais são os valores das propriedades de fluo que aribuiremos a eses ponos?. Eisem poucos, se algum, os ponos da grade que caem sobre a superfície do perfil aerodinâmico. Iso não é bom, porque a superfície do perfil aerodinâmico é uma condição de conorno vial para a deerminação da forma e, consequenemene, a superfície do perfil aerodinâmico deve ser clara e claramene visa pela solução numérica.

9 A grid adequada Plano físico Plano compuacional Aqui vemos uma grade não uniforme curvilínea que é lieralmene desenada em orno do aerofólio. Os ponos a, b, e c, no plano físico correspondem aos ponos a, b, e c no plano compuacional.

10 Transformação de coordenadas A ransformação deve ser definida de al forma que eisa uma correspondência um-para-um enre a grade reangular e a grade física. As equações de diferenciais finias são resolvidas por um méodo de diferença finia realizado no espaço compuacional. O resulado é direamene levado de vola ao plano físico, aravés da correspondência de um-para-um dos ponos da grade. As equações governanes são resolvidas no espaço compuacional, que deve ser epresso em ermos das variáveis variáveis e, em vez de e. As equações que governam o fluo devem ser ransformadas a parir de (, ) para (, ) como as novas variáveis independenes.

11 Ações relaivas a grades 1. Ober as ransformações das coordenadas e das equações.. Gerar a grade.

12 Transformação das variáveis Por simplicidade vamos começar com um fluo fora do regime, com variáveis independenes, e. As variáveis independenes do espaço físico (,,) serão ransformadas em (,,), onde (, (, ( ), ), ) A Transformação

13 ...e as derivadas? Usando a regra da cadeia: Os subscrios são adicionados para enfaizar que as variáveis são manidas consanes na diferenciação parcial. Em nossas epressões poseriores, os subscrios serão descarados, no enano, é sempre úil manê-los em mene.,,,,,,,

14 d/d e d/d Assim, para o espaço emos

15 d/d E para o empo ou,,,,,,,

16 A mérica da ransformação Os ermos,, e correspondem à mérica da ransformação.

17 A segunda derivada Seja A segunda derivada em vale: A A

18 A segunda derivada Camando e lembrando que De modo similar B B C

19 A segunda derivada Subsiuindo na equação original e rearranjando os ermos, eremos

20 A segunda derivada Seguindo o mesmo processo para, eremos

21 A segunda derivada E para a segunda derivada misa,

22 Eemplo 1 Ober a equação de Laplace em (,,) ransformada para o espaço (,,), Equação de Laplace: 0

23 Eemplo 1: resolução Somando, igualando a zero, rearranjando e agrupando, cega-se a 0 0

24 A ransformação inversa Também se faz necessária a ransformação do espaço compuacional para o espaço físico. As variáveis independenes do espaço compuacional (,,) serão ransformadas em (,,): (,, ) (,, ) ( )

25 A ransformação inversa Consideremos a componene u da velocidade. Sua derivada no espaço físico vale: u u du d d Levando para o espaço compuacional, eremos u u u d d d d u u d d u d d

26 A ransformação inversa Considerando um sisema linear, usando o méodo de Cramer, podemos escrever d d u d d u u d d u d d u u d d d u d u u

27 O jacobiano O denominador da úlima epressão é o jacobiano deerminane, denoado por (, ) (, ) d d O acobiano é a mariz de odos as derivadas parciais de primeira ordem de um veor ou de função com valor escalar com respeio a ouro vecor.

28 A ransformação inversa Com esa nova noação, eremos e Esas fórmulas epressam as derivadas das variáveis do fluo no espaço físico em ermos das derivadas das variáveis do fluo no espaço compuacional. u u u 1 u u u 1

29 Generalizando As ransformações inversas genéricas ficam 1 1

30 Relações envolvendo jacobianos d d d d d d d d 1 d d d d d d

31 VERSÃO TRANSFORMADA DAS EQUAÇÕES DE CFD

32 Forma robusa das equações Perguna: dada uma equação do ipo Podemos ober? 0 G F U G F U

33 Forma robusa das equações ransformadas Passo 1: aplicamos as equações de ransformação. 0 G G F F U 0 G F U

34 Forma robusa das equações ransformadas Passo : muliplicamos pelo jacobiano. 0 G G F F U 0 G G F F U

35 Forma robusa das equações ransformadas Calculamos o operador F F F ) / ( F F F ) / (

36 Forma robusa das equações ransformadas De forma similar, para eremos E, para G: F F F ) / ( G G G ) / ( G G G ) / (

37 Forma robusa das equações ransformadas Subsiuindo e faorando, cega-se a 0 G F G F G F U 0 0

38 Forma robusa das equações ransformadas Lembrando que Enão e 0 d d d 1 e 1 0

39 Forma robusa das equações ransformadas Finalmene, emos onde G F U G F G G F F U U 1 1 1

40 GERAÇÃO ALGÉBRICA DE GRADE ELÍPTICA EM DOMÍNIOS DE BLOCOS ESTRUTURADOS

41 Inrodução A maioria das écnicas de solução de equações diferenciais parciais busca uma aproimação com a verdadeira solução em grades. Esas grades êm de saisfazer ceros requisios no que diz respeio à sua geomeria, bem como a sua opologia. O ipo de grade escolida em grande influência sobre a qualidade dos resulados obidos.

42 Classificação de malas Mala esruurada - Caracerizada por conecividade regular. - Resringe as escolas de elemenos para quadriláeros em D ou em eaedros em 3D. Mala não esruurada - Caracerizada pela conecividade irregular. - Os requisios de armazenameno para uma mala não esruurada pode ser subsancialmene maior. - Bom para geomeria complea.

43 Mala esruurada

44 Mala não esruurada

45 Méodos para geração de grade esruurada Méodo algébrico - Mais fácil para a geração de malas. - Propagação de cano - Quebra das linas de grade. - Serve como grade inicial para a geração de grade elípica. Méodo Elípico - Produz as grades melor possível no senido de suavidade e rede de disribuição de pono. - Pode ser uilizado com função de conrole (Poisson) ou sem função de conrole (Laplace).

46 Méodo algébrico: equações de geração de grade Sisema de equações de Laplace (membranas) a a a a 1 1 a a Desvanagem: não fornece qualquer conrole sobre a disribuição de ponos inernos.

47 Méodo elípico: equações de geração de grade Sisema de equações de Laplace (membranas) a a a a 1 1 a a Desvanagem: não fornece qualquer conrole sobre a disribuição de ponos inernos.

48 a a Méodo elípico: equações de geração de grade Sisema de equações de Poisson a a 1 1 a a ( a ( a P 1 11 P 1 11 a 1 a 1 P 1 1 P 1 1 a 11 a 11 P 1 P 1 ) ) ( a ( a P 11 P 11 a 1 a 1 P 1 P 1 a 11 a 11 P P ) ) Sisema original de Laplace Funções de conrole Desvanagem: não fornece qualquer conrole sobre a disribuição de ponos inernos.

49 Méodo 1. Definir os ponos das bordas.. Criar um grid inicial (algébrico). 3. Aplicar ineraivamene o méodo de Laplace ou Poisson.

50 Méodo Para Laplace: 0 com condições de conorno de Diricle a discreização fica i, j i1, j i1, j 4 i, j1 i, j1

51 Programa eemplo // // eecua um passo no senido da solução floa dgrid() { in i,j; floa m,m,erro,mm; floa [MAXDIM][MAXDIM]; floa [MAXDIM][MAXDIM]; mm = 0; erro = 0; for(i=1;i<(n-1);i++) for(j=1;j<(m-1);j++) { m = ([i-1][j] + [i+1][j] + [i][j-1] + [i][j+1])/4; m = ([i-1][j] + [i+1][j] + [i][j-1] + [i][j+1])/4; erro += sqr([i][j] - m) + sqr([i][j] - m); mm += 1.0; [i][j] = m; [i][j] = m; } erro = sqr(erro) / mm; reurn erro; } i, j i1, j i1, j 4 i, j1 i, j1