Fundamentos de Computação Gráfica Prova Aluna: Patrícia Cordeiro Pereira Pampanelli

Transcrição

1 Fundamenos de Compuação Gráfica Prova -6- Aluna: Parícia Cordeiro Pereira Pampanelli

2 Observação: Os códigos uilizados para o desenvolvimeno da prova enconram-se em anexo. Quesão : A Transformada Discrea do Cosseno (DCT Discree Cosine Transformaion) é uilizada pelo padrão JPEG para compressão de imagens. Esa ransformada explora a redundância presene no sinal. Para um dado sinal p com n elemenos, em-se que a ransformada discrea G dese sinal é dada por: onde { A ransformada inversa dese sinal é dada por: onde { Para o desenvolvimeno desa quesão, foi escrio um código em C++ para o cálculo da ransformada discrea do cosseno. O gráfico a seguir apresena o sinal original fornecido na quesão: Sinal Original,,,,4,5,6,7,8

3 Para o cálculo da ransformada discrea do cosseno a parir do sinal fornecido na quesão, foi obido o seguine resulado: Transformada Discrea do Cosseno Sinal Original Sinal Transformado,9 5-4, ,78 9 -,877 -,777 9, , , O sinal ransformado é apresenado no gráfico a seguir: Sinal ransformado No gráfico acima se observa que o sinal ransformado apresena claramene uma caracerísica imporane da ransformada discrea do cosseno, onde a maior pare da informação do sinal é ransferida para as primeiras posições do veor. Ese resulado da DCT permie oimizar o armazenameno dos dados e facilia a quanização do sinal. Uilizando oio ermos para a reconsrução do sinal, foi obido o seguine resulado: Transformada Inversa Discrea do Cosseno oio ermos Sinal Transformado Sinal Reconsruído,9, -4, , -4,78 8, -,877 9, -,777,, , -,66854,, , O resulado da reconsrução do sinal original a parir dos oio ermos armazenados demonsra que não houve perda de informação no processo da ransformação do sinal. Nese caso, foi feia uma compressão sem perdas dos dados.

4 No segundo resulado pedido na quesão, são uilizados somene rês ermos da DCT para a reconsrução do sinal, ou seja, assume-se que os dados relevanes esão concenrados nos primeiros ermos do veor. Os ermos uilizados na reconsrução são mosrados na abela abaixo: Sinal armazenado T[] =.9 T[] = T[] = A operação de desconsiderar os ermos menos significaivos do sinal ransformado, ou seja, armazenar somene as posições iniciais do veor consise em uma das écnicas de compressão de dados uilizadas para a ransformada discrea do cosseno. Os resulados obidos com esa compressão são mosrados na abela abaixo: Transformada Inversa Discrea do Cosseno rês ermos Sinal Original Sinal Reconsruído, , , ,55,47 9 9,895 9,95 8 8,7967 Observa-se que, nese caso, ocorreu a perda de dados, ou seja, com somene rês ermos não foi possível reconsruir o sinal original. O gráfico a seguir apresena uma comparação enre o sinal original e o sinal reconsruído: Sinal Original Sinal Reconsruído com ermos,,4,6,8

5 Adicionalmene, é possível observar que a uilização de mais ermos diminui a axa de erro na reconsrução o sinal. Ese resulado é mosrado no gráfico a seguir: ermos 5 ermos 7 ermos Sinal Original,,,,4,5,6,7,8

6 Quesão : Iem A: Os riângulos uilizados para modelagem de um dado objeo esão definidos aravés de coordenadas locais. Esas coordenadas são dadas em relação ao cenro de massa do objeo. No empo =, o cenro de massa do objeo esá posicionado em C = (5,, ), em coordenadas do mundo, e roacionado de 6 o em orno do eixo (,, ). No insane =, o cenro de massa esá na posição C = (, 5, ) e roacionado de -9 o em orno do eixo (,, ). Deve-se ober a mariz de insanciação do objeo, ou seja, a mariz que ransforma as coordenadas locais do objeo em coordenadas de mundo. Para ober as ransformações de roação é uilizado o conceio de quaérnios. Os quaernios podem ser represenados por uma mariz ou por uma 4-upla da forma: onde s represena a pare real e x, y, z a pare imaginária do quaérnio. Pode-se provar que, roacionar um veor p com um quaérnio q, é equivalene à aplicar a seguine mariz de roação: Para ober as marizes de insanciação é uilizado um programa em C++ no qual são definidas as operações de: Muliplicação de um veor por um escalar: SCALARECTOR; SCALEECTOR(des, v, facor) { des[] = facor*v[]; des[] = facor*v[]; des[] = facor*v[]; } Transforma um veor para um quaérnio: AXISTOQUATERNION; AXISTOQUATERNION(q, phi, a) { floa facor = sin((phi) *.5); SCALEECTOR(q, a, facor); q[] = cos((phi) *.5); } Obém a mariz de roação à parir de um quaernio: QUATERNIONTOMATRIX4. QUATERNIONTOMATRIX4(m, q) { floa xx = (q)[] * (q)[], yy = (q)[] * (q)[], zz = (q)[] * (q)[]; floa xy = (q)[] * (q)[], xz = (q)[] * (q)[], yz = (q)[] * (q)[]; floa xw = (q)[] * (q)[], yw = (q)[] * (q)[], zw = (q)[] * (q)[]; m[] = (. -. * ( yy + zz)); m[] = (. * (xy - zw)); m[] = (. * (xz + yw));

7 } m[] =.; m[4] = (. * (xy + zw)); m[5] = (. -. * (zz + xx)); m[6] = (. * (yz - xw)); m[7] =.; m[8] = (. * (xz - yw)); m[9] = (. * (yz + xw)); m[] = (. -. * (yy + xx)); m[] = m[] = m[] = m[4] =.; m[5] =.; Para = : Desa forma, as marizes obidas para a insanciação do objeo foram: onde o veor = (5,, ) represena a ranslação referene ao cenro de massa do objeo no insane =. Para = : onde o veor = (, 5, ) represena a ranslação referene ao cenro de massa do objeo no insane =. Iem B: A equação para uma curva de Bézier cúbica é dada pela equação: onde Pi são os ponos de conrole e Bi(u) são polinômios de Bernsein da forma:

8 O primeiro e quaro ponos são respecivamene a posição do cenro de massa em = e =, respecivamene. O segundo e erceiro vérices da Bezier podem ser calculados com auxílio das derivadas paraméricas (velocidades) aravés de: ) ( P d d () P d d ) ( P d d () P d d Uma vez deerminados eses ponos podemos uilizar a expressão: ) ( ) ( ) ( ) ( P, para = ). ( 4 9..) ( 5.) ( ) ( P Os ponos de conrole e o escalar u, que represena um insane de empo associado à cada ponos da curva, são subsiuídos na equação da curva. Obém-se enão que o ponos da curva no insane de empo, é: Iem C: Nese iem, pede-se a inerpolação esférica linear (Slerp Spherical Linear Inerpolaion) enre os ponos inicial e final P e P, respecivamene. A inerpolação linear simples (Lerp Linear Inerpolaion) causa um aumeno na velocidade angular, como mosrado na figura a seguir.

9 A inerpolação linear esférica maném a velocidade angular ao longo da rajeória do objeo, como mosrado na figura abaixo. por: A equação para a inerpolação enre dois quaérnios q e q uniários é dada ( ) onde é um escalar al que u = [,] e ω represena o ângulo enre os veores inicial e final. Anes de inerpolar q e q obidos no iem A desa quesão, é necessário garanir que eses quaérnios esão normalizados. Os quaérnios q e q normalizados são:

10 Desa forma, a inerpolação linear esférica é aplicada a parir dos quaérnios normalizados e do ângulo enre os veores inicial e final, que represenam o pono de parida e de chegada do objeo. O resulado desa inerpolação é dado pelo quaérnio: O ângulo de roação é 5,7 o e o eixo de roação é (-,5 ;,84 ;,).

11 Quesão : Na bola imersiva, a imagem é projeada sobre uma esfera, ao invés de ser projeada sobre o ronco de pirâmide, conhecido como frusrum. As imagens abaixo ilusram ese mapeameno. Observações: Campo de visão (fovy) = 9 o Roação em orno dos eixos x e y. Não gira em orno do eixo z Sisema de coordenadas da esfera: xs, ys, zs Iem A: a) Depois de localizado o sisema da câmera (eye) no iem b, o procedimeno segue o mosrado em aula com os seguines parâmeros: Como o cenro de projeção fica na origem do sisema (xs, ys, zs) o veor eye é dado por: eye

12 A resposa do iem (b) calcula as coordenadas do sisema do olho: x e cos sin y e sin sin cos cos cos z e cos sin sin cos cos A parir do enunciado, os parâmeros da câmera são: fovy = 9 o w=9 h=8 aspec = 9/8=6/9 near = hn Iem B: A mariz que ransforma a cena do espaço da esfera para o espaço do olho deve ser capaz de ransformar o frusrum represenado pela seção da esfera. Os ângulos mosrados na Figura (c) indicam que o sisema do olho sofre uma roação de em relação ao eixo x seguida de oura roação de em relação ao eixo y.

13 Noe que a ordem desas ransformações é imporane e que se fossem rocadas não resularia em ser o ângulo enre o eixo z s e a projeção de n no plano y s e ser o ângulo enre n e a sua projeção. Ou seja:

14 Referências: Noas de aula A Fas Ray-Tracing using Bounding Spheres and Frusum Rays for Dynamic Scene Rendering. In IEICE Transacions on Informaion and Sysems, ol. E9-D, No. 4, pp. 89-9, Alan H. Wa d Compuer Graphics wih Cdrom (rd ed.). Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boson, MA, USA. Ken-ichi Suzuki, Yoshiyuki Kaeriyama, Kazuhiko Komasu, Ryusuke Egawa, Nobuaki Ohba, and Hiroaki Kobayashi. Ken Shoemake Animaing roaion wih quaernion curves. SIGGRAPH Compu. Graph. 9, (July 985), OpenGL(R) Programming Guide : The Official Guide o Learning OpenGL(R), (7h Ediion) Thin-Walled Srucures, ol. 47, No (Augus 9), pp allance, S.L. & Calder, P.R.,. Inward Looking Projecions. Proceedings of he s inernaional conference on Compuer graphics and ineracive echniques in Ausralasia and Souh Eas Asia, 9- hp://funnoes.ne/raytracingrepor.php hp://mahworld.wolfram.com/sphericalsegmen.hml hp:// /node.hml