PRÁTICAS DE CARTOGRAFIA

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1 PRÁTICAS DE DEGGE LICECIATURA EM EGEHARIA GEOESPACIAL /7

2 ALGUS COCEITOS SISTEMAS DE REFERÊCIA ADOTADOS EM PORTUGAL Direção-Geral do Terriório (DGT) hp:// Porugal Coninenal ED - European Daum 9 (Obsoleo - Subsiuído pelo sisema PT-TM-ETRS89) Bessel Daum Lisboa (Obsoleo - Subsiuído pelo sisema PT-TM-ETRS89) Daum Lisboa (Obsoleo - Subsiuído pelo sisema PT- TM-ETRS89) Daum 7 (Obsoleo - Subsiuído pelo sisema PT- TM-ETRS89) PT-TM/ETRS89 - European Terresrial Reference Sysem 989 Arquipélago dos Açores Arquipélago da Madeira Regiões Auónomas Daum S. Braz - S. Miguel (Grupo Orienal do Arquipélago dos Açores) Daum Base SW - Graciosa (Grupo Cenral do Arquipélago dos Açores) Daum Observaório - Flores (Grupo Ocidenal do Arquipélago dos Açores) Daum Base SE - Poro Sano (Arquipélago da Madeira) PTRA8-UTM/ITRF9 - realização do Inernaional Terresrial Reference Frame 99

3 Cenro de Informação Geoespacial do Exércio (CIGeoE) hps:// Porugal Coninenal Daum Lisboa miliares (Obsoleo - Subsiuído pelo sisema TM/WGS8) WGS8 / TM (Gauss-Kruger) Regiões Auónomas WGS 8 / UTM TIPOS DE COORDEADAS Coordenadas Caresianas (X, Y, Z) Geodésicas ou geográficas (φ, λ, h) Reangulares (M, P) V.G. Aboboreira (Beja) PT-TM-ETRS89 X= m Y= m Z= m φ= 7 8,7 λ= 7 7,999 W Gr h= 7,8 m M= 8, m P= -9,9 m

4 TRASFORMAÇÃO ETRE COORDEADAS TRASFORMAÇÃO DE COORDEADAS UM MESMO DATUM COORDEADAS TRIDIMESIOAIS CARTESIAAS (X, Y, Z) COORDEADAS GEODÉSICAS (φ, λ, h) COORDEADAS RETAGULARES (M, P, H) TRASFORMAÇÃO DE COORDEADAS ETRE DIFERETES DATA COORDEADAS TRIDIMESIOAIS CARTESIAAS (X i, Y i, Z i) DATUM ORIGEM Transformação de Helmer Fórmulas de Bursa-Wolf COORDEADAS TRIDIMESIOAIS CARTESIAAS (X f, Y f, Z f) DATUM DESTIO COORDEADAS GEODÉSICAS (φi, λi, h i) DATUM ORIGEM Fórmulas de Molodensy COORDEADAS GEODÉSICAS (φf, λf, h f) DATUM DESTIO COORDEADAS RETAGULARES (M i, P i) DATUM ORIGEM Transformação Polinomial COORDEADAS RETAGULARES (M f, P f) DATUM DESTIO

5 EXERCÍCIO Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação direa das coordenadas geodésicas (φ, λ) dos seguines vérices geodésicos nas correspondenes coordenadas reangulares (M, P). V.G. Aboboreira (Beja) PT-TM/ETRS89 Daum Lisboa Daum 7 V. G. Cabeço da Pona (Poro Sano - Madeira) PTRA8- UTM/ITRF9 φ= 7 8,7 φ= 7,78 φ=7, φ=,97 λ= 7 7,999 WGr λ= 7,9 WGr λ= 7,97 WGr λ=,879 WGr h= 7,8 m h= 8,79 m h=,8 m h=,7 m M= 8, m M= 8,7 m M=,7 m M= 7 8,9 m P= -9,9 m P= -9,97 m P= -9, m P= 7,8 m A ransformação direa das coordenadas geodésicas (φ, λ) de um pono nas correspondenes coordenadas planas (x, y) aravés da projeção de Gauss (ambém conhecida por Transversa de Mercaor) é definida por via analíica aravés das fórmulas obidas por desenvolvimeno em série: λ λ y =.( σ sinφ.cosφ sinφ.cos φ. 8 λ 7 sinφ.cos φ. ) λ x =.( λ..cosφ cos φ. λ sinφ.cos φ. 7 7 λ λ 7 cos φ. cos φ. ) sendo o faor de escala, σ o comprimeno do arco de meridiano desde o paralelo origem aé ao paralelo do pono, λ a diferença de longiude enre o pono e o meridiano cenral da projecção (λ-λ ), φ a laiude geográfica do pono, a grande normal à laiude φ: = a ( e. sin φ)

6 (a, e ) os parâmeros caracerísicos do elipsóide de referência e o raio de curvaura do meridiano à laiude φ: = a. ( e ) ( e.sin φ) e = f ( f) onde e é a excenricidade do elipsóide e f é o achaameno do elipsóide; e ainda = g φ = = = 8 g φ ( g φ) ( g φ) 8 = 79g φ 79g φg φ = 8g φ g φ g φ ( 8g φ) g φ g φ ( g φ) ( g φ) g φ g φ a projeção de Gauss, aplicada à carografia poruguesa, usa-se um facor de escala =, dada a pequena largura da nossa faixa coninenal. A projecção UTM é a projeção de Gauss aplicada a cada um dos fusos, de º cada, em que podemos dividir o globo erresre, omando-se =,999 (valor escolhido de modo a ornar iguais as deformações da cara no meridiano médio e nos meridianos limírofes do fuso). O comprimeno aproximado do arco de meridiano σ enre quaisquer duas laiudes φ e φ é deerminado aravés de: com σ = a B C ( e ) A ( φ φ ) ( sinφsinφ ) ( sinφsinφ ) D ( sinφsinφ ) ( sin8φsin8φ ) ( sinφsinφ ) E 8 F

7 7 8 9 A = e e e e e B = e e e e e K C = e e e e K 9 8 D = E = F = e 8 7 e 8 e 8 e 8 K e 8 e 7 K K K Elipsoide de referência: PT-TM/ETRS89 Daum Lisboa Daum 7 GRS8 a = 78 7 m f = / 98,7 Hayford (ou Inernacional 9) a = m f = /97 Hayford (ou Inernacional 9) a = m f = /97 PTRA8- UTM/ITRF9 GRS8 a = 78 7 m f = / 98,7 Projeção carográfica: Transversa de Mercaor Transversa de Mercaor Transversa de Mercaor Transversa de Mercaor Laiude da origem das coordenadas reangulares: Longiude da origem das coordenadas reangulares: Falsa origem das coordenadas reangulares: Coeficiene de redução de escala no meridiano cenral: 9º ' '',7 9º ' '' 9º ' '' º 8º 7' 9'',9 W 8º 7' '',8 W 8º 7' '',8 W Em M: m Em P: m Em M: m Em P: m Em M: 8,98 m Em P: -8,99 m,,,,999 º W (fuso ) 7º W (fuso ) º W (fuso 8) Em M: m Em P: m

8 EXERCÍCIO Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação inversa das coordenadas reangulares (M, P) dos vérices geodésicos uilizados no exercício nas correspondenes coordenadas geodésicas (φ, λ). Para efecuar a ransformação inversa das coordenadas planas Gauss (ou UTM) nas correspondenes coordenadas geodésicas basa uilizar um processo ieraivo: ) Toma-se como pono de parida um valor aproximado para φ (φ ap), saído de um cálculo anerior ou considerando um valor aproximado para o arco de meridiano σ: P σ ap = sendo P a disância à perpendicular; donde a primeira aproximação para φ é dada por: σ φ = φ Aa ap ( e ) ) Com base nese valor aproximado da laiude recalcula-se o comprimeno de arco de meridiano σ usando a expressão: σ = a B C ( e ) A( φ φ ) ( sinφ sinφ ) ( sinφ sinφ ) D ( sinφ sinφ ) ( sin8φ sin8φ ) ( sinφ sinφ ) E 8 ) Com ese novo valor para σ podemos deerminar a correcção a aplicar a φ aravés de: onde sendo o novo valor da laiude igual a: = φ = ( σ σ) ap a. ( e ) ( e.sin φ) φ = φ φ ) Enra-se de seguida num processo ieraivo, recalculando σ, e φ e o novo valor da φ aé que φ seja inferior à precisão desejada ( - ); ) Com o valor da laiude φ resulane do processo ieraivo, calcula-se a laiude e longiude do pono, aravés das seguines expressões: F 7

9 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M M M M cos M M M M ψ ψ ψ ψ = φ λ λ ψ ψ ψ ψ ψ ψ φ = φ sendo M a disância à meridiana, = ψ, calculado com o valor da laiude φ, e φ = g.

10 EXERCÍCIO Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação direa enre coordenadas geodésicas (φ, λ, h) dos seguines vérices geodésicos nas correspondenes coordenadas caresianas ridimensionais (X, Y, Z). V.G. Aboboreira (Beja) PT-TM/ETRS89 φ= 7 8,7 λ= 7 7,999 WGr h= 7,8 m X= 998,7 m Y= -78,8 m Z= 8989,7 m V. G. Cabeço da Pona (Poro Sano - Madeira) PTRA8-UTM/ITRF9 φ=,97 λ=,879 WGr h=,7 m X= 8,8889 m Y= -777,9 m Z= 77, m Considerando um riedro caresiano OXYZ cenrado com o elipsóide de referência, com o eixo dos ZZ coincidene com o seu eixo de revolução, com o eixo dos XX assene no semi-plano origem das longiudes geodésicas e o eixo dos YY escolhido de modo a ornar o riedro direco, as coordenadas geodésicas (φ, λ, h) de um pono genérico relacionam-se com as suas coordenadas caresianas ridimensionais (X, Y, Z) por meio das seguines expressões: X = ( h) cosφcosλ Y = ( h) cosφsinλ Z = [( e ) h] sinφ sendo a grande normal ao elipsóide de referência à laiude φ, h a aliude elipsoidal do pono e (a, e ) os seus parâmeros de forma. Esas expressões correspondem à ransformação direca das coordenadas geodésicas (φ, λ, h) de um pono nas correspondenes coordenadas caresianas ridimensionais (X, Y, Z). 9

11 EXERCÍCIO Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação inversa enre coordenadas caresianas ridimensionais (X, Y, Z) dos vérices geodésicos uilizados no exercício nas correspondenes coordenadas geodésicas (φ, λ, h). A ransformação inversa das coordenadas caresianas ridimensionais (X, Y, Z) de um pono nas correspondenes coordenadas geodésicas (φ, λ, h) é execuada recorrendo a um processo ieraivo: ) A longiude λ pode ser facilmene calculada a parir das coordenadas caresianas ridimensionais uilizando a seguine expressão: Y λ = arcg X ) A laiude é obida por um processo ieraivo dado que as quanidades φ e h são dependenes uma da oura, pelo que se uiliza um valor aproximado para a laiude o qual é calculado por: com P igual a: φ ap = arcg P Z ( e ) ( ) / X Y P = ) Com base nese valor aproximado da laiude calcula-se o valor de, e em seguida o valor para a aliude elipsoidal h usando a expressão: P h = cosφ ) O processo ieraivo coninua recalculando o valor de φ, com e h calculados no passo anerior, uilizando a expressão: Z e φ = arcg sinφ P ) Com ese novo valor da laiude φ, recalcula-se o valor de, da aliude elipsoidal h e em seguida um novo valor para a laiude φ e assim sucessivamene aé alcançar a precisão desejada para a ransformação (φ i-φ i- = - ).

12 EXERCÍCIO Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação enre as coordenadas caresianas ridimensionais (X, Y, Z) - Transformação de Helmer/Fórmulas de Bursa-Wolf - de dois daa disinos. Pono Daum 7 X= 88 m Y= -789 m Z= 97 m PT-TM/ETRS89 X= 8,8 m Y= -788,9 m Z= 978,8 m A ransformação de see parâmeros de Helmer, expressa em formao maricial, é designada por fórmula de Bursa-Wolf e em a seguine forma: X Y Z n n n X = Y Z ( α) RZ R Y R R X Z R Y R X X Y Z onde (X, Y, Z) são as coordenadas de um dado pono no sisema de referência geocênrico origem, (Xn, Yn, Zn) são as coordenadas desse mesmo pono no sisema de referência geocênrico desino, ( X, Y, Z) são as componenes do veor que une os cenros dos dois elipsóides, (R X, R Y, R Z) são os ângulos de roação em orno dos eixos de referencial de origem e α é o facor de escala (expresso em pares por milhão - ppm). oa: A fórmula apresenada enconra-se em conformidade com a norma ISO 9:7. o enano, é de er em cona ouras versões uilizadas em alguns programas que se reflecem nos sinais e/ou no senido das roações. De seguida apresenam-se os parâmeros da ransformação de Bursa-Wolf do daum Lisboa e daum 7 para PT-TM-ETRS89 reirados do síio da Direção-Geral do Terriório (hp:// ros_de_ransformacao_de_coordenadas/porugal_coninenal/bursa_wolf_do_daum_lisboa_e_daum _7_para_p_m_ers89/) em fevereiro de 7.

13 Parâmeros de Transformação de Bursa-Wolf do Daum Lisboa e Daum 7 para PT-TM-ETRS89 Daum Lisboa para PT-TM/ETRS89 Daum 7 para PT-TM/ETRS89 X (m) -8,88 -,99 Y (m) -7,9,9 Z (m) 7,,99 R X (") -,7, R Y ("),9 -,9 R Z (") -,,9 α (ppm) -,8,9

14 EXERCÍCIO Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação enre as coordenadas geodésicas (φ, λ, h) - Fórmulas de Molodensy - de dois daa disinos. Pono Daum 7 φ= º λ= º 7 WGr h= 8 m PT-TM/ETRS89 φ= º,99 λ= º,88 WGr h= 88,78 m A ransformação de Molodensy em cinco parâmeros endo a seguine forma: φ λ h n n n e sinφcosφ a b Xsinφcosλ Ysinφsinλ Zcosφ a fsinφcosφ a = φ b a h Xsinλ Ycosλ = λ cosφ ( h) = h Xcosφcosλ Ycosφsinλ Zsinφ a a b f sin a onde φ n, λ n, h n são a laiude, longiude (em radianos) e a aliude elipsoidal (em meros) a ober, φ, λ, h são a laiude, longiude (em radianos) e a aliude elipsoidal (em meros) originais, X, Y, Z as componenes do veor que une os cenros dos dois elipsóides, a, b os semi-eixos maior e menor do elipsóide origem, e, f a primeira excenricidade e o achaameno do elipsóide origem, a, f a diferença enre os semi-eixos maiores e os achaamenos dos dois elipsóides, o raio de curvaura do primeiro verical (Grande ormal) e o raio de curvaura do meridiano. φ b = a( f)

15 De seguida apresenam-se os parâmeros da ransformação de Molodensy do daum Lisboa e daum 7 para PT-TM-ETRS89 reirados do síio da Direção-Geral do Terriório (hp:// ros_de_ransformacao_de_coordenadas/porugal_coninenal/molodensy_do_daum_lisboa_e_dau m_7_para_p_m_ers89/) em fevereiro de 7. Parâmeros de Transformação de Molodensy do Daum Lisboa e Daum 7 para PT-TM-ETRS89 Daum Lisboa para PT-TM/ETRS89 Daum 7 para PT-TM/ETRS89 X (m) Y (m) -.9. Z (m).7.7 a (m) f (m) -.98x x -

16 EXERCÍCIO 7 Execuar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a ransformação enre as coordenadas reangulares (M, P) - Transformação Polinomial - de dois daa disinos. Pono Daum 7 M= m P= m h= m PT-TM/ETRS89 M= 9999,777 m P=, m h=,977 m A ransformação polinomial de grau permie ransformar coordenadas reangulares num deerminado daum nas coordenadas reangulares num ouro daum: P = b b u b v b u u M = a a u a v a n n a uv a b uv b v v onde M n, P n são as coordenadas recangulares a ober, X, Y as coordenadas recangulares originais, a i, b i os coeficienes de ransformação, X, Y, h, os parâmeros de normalização e u e v êm a seguine forma: X X = h Y Y v = u De seguida apresenam-se os parâmeros da ransformação polinomial do daum Lisboa e daum 7 para PT-TM-ETRS89 reirados do síio da Direção-Geral do Terriório (hp:// ros_de_ransformacao_de_coordenadas/porugal_coninenal/polinomios_de_grau do_daum_lisbo a_e_daum_7_para_p_m_ers89/) em fevereiro de 7.

17 Coeficienes de Transformação Polinomial de Grau do Daum Lisboa e Daum 7 para PT-TM-ETRS89 Daum Lisboa para PT-TM/ETRS89 Daum 7 para PT-TM/ETRS89 a,8,89 a 9998, 9999,977 a -,98 -,888 a -,7,7 a -,9 -,878 a -, -,7 b,889 -,887 b,9,99 b 7999, ,9 b,888, b,999,9 b -,88 -, X Y h 8 8