Apontamentos de Análise de Sinais

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1 LICENCIATURA EM ENGENHARIA DE SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES E ELECTRÓNICA Aponamenos de Análise de Sinais Módulo Prof. José Amaral Versão. -- Secção de Comunicações e Processameno de Sinal ISEL-CEDET, Gabinee C jda@isel.p

2 Índice OBJECTIVOS.... SINAIS CONTÍNUOS E SINAIS DISCRETOS... SINAL CONTÍNUO... EXEMPLO.... EXEMPLO.... SINAL DISCRETO... EXEMPLO.... EXEMPLO.... SINAIS AMOSTRADOS... EXEMPLO.5... EXEMPLO.6... MATLAB... 5 EXEMPLO... 5 EXEMPLO... 5 EXEMPLO SINAIS PARES E SINAIS ÍMPARES... 7 SINAL PAR... 7 EXEMPLO EXEMPLO SINAL IMPAR... 7 EXEMPLO EXEMPLO DECOMPOSIÇÃO PAR-IMPAR... 8 EXERCÍCIO MATLAB SINAIS PERIÓDICOS E NÃO PERIÓDICOS... SINAIS CONTÍNUOS PERIÓDICOS... SINAIS DISCRETOS PERIÓDICOS... EXERCÍCIO... MATLAB SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA...6 ENERGIA DE UM SINAL... 6 POTÊNCIA DE UM SINAL... 6 EXERCÍCIO...7 EXEMPLO... 7 EXEMPLO... 7 EXEMPLO... 8 EXEMPLO... 8 MATLAB... 9 EXEMPLO... 9 EXEMPLO... 9 EXEMPLO... 9 EXEMPLO TRANSFORMAÇÕES LINEARES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE. INVERSÃO... EXEMPLO.... EXEMPLO.... COMPRESSÃO... EXEMPLO.... EXEMPLO.... EXPANSÃO... EXEMPLO.5... EXEMPLO.6... AVANÇO... EXEMPLO.7... EXEMPLO.8... ATRASO... EXEMPLO.9... EXEMPLO.... EXERCÍCIO....5 EXEMPLO... 5 EXEMPLO... 6 MATLAB...8 DEMO : DECOMPOSIÇÃO PAR- IMPAR EXERCÍCIOS M... EXEMPLO... EXEMPLO... FICHA DE AVALIAÇÃO M... GRUPO C... EXERCÍCIO... EXERCÍCIO... EXERCÍCIO... EXERCÍCIO... GRUPO B... EXERCÍCIO 5...

3 Módulo Classificação de sinais TÓPICOS Sinais conínuos e discreos. Sinais pares e sinais ímpares. Decomposição par-impar. Sinais periódicos e não periódicos. Sinais de energia e sinais de poência. Transformações lineares da variável independene Define-se sinal como uma função de uma ou mais variáveis independenes, conendo informação sobre um deerminado fenómeno físico. A figura M. mosra um segmeno de um sinal de fala. Traa-se de um exemplo de um sinal unidimensional, iso é, função de apenas uma variável independene, no caso o empo. A figura M. mosra uma imagem médica. Traa-se de um exemplo de um sinal mulidimensional, iso é, função de mais do que uma variável independene, no caso duas coordenadas do espaço. Com base nas suas caracerísicas os sinais podem ser classificados de diversos modos. Nese módulo são exposos os ipos de classificação relevanes para os emas que vamos desenvolver na cadeira de Análise de Sinais. Apenas serão esudados sinais unidimensionais. Durane a exposição a variável independene será sempre associada ao empo,, al não implicando qualquer perda de generalidade dos conceios exposos. Figura M. Figura M.

4 Objecivos No fim dese módulo o aluno deverá :. Saber classificar um sinal como sendo um sinal conínuo ou um sinal discreo.. Dominar os conceios de período de amosragem e frequência de amosragem.. Saber classificar um sinal como sendo um sinal par ou um sinal impar.. Saber decompor um qualquer sinal na suas componenes par e impar 5. Saber calcular a energia e a poência de um sinal. 6. Saber classificar um sinal como sendo um sinal de energia ou um sinal de poência. 7. Saber reconhecer, ou execuar, operações de inversão, compressão, expansão, avanço, e araso de um sinal. Prof. José Amaral M - Versão. --

5 . Sinais conínuos e sinais discreos Os sinais podem ser classificados com base no conjuno de valores assumidos pela variável independene. Sinal conínuo Um sinal diz-se um sinal conínuo quando a variável independene é conínua. Exemplo. O sinal x (), definido por x( ) cos( ) e. com R, cuja evolução para se mosra na figura M., é um sinal conínuo Exemplo. O sinal x (), definido por x ( ), <, <, <, com R, cuja evolução para se mosra na figura M., é um sinal conínuo Figura M Sinal discreo Um sinal diz-se um sinal discreo quando a variável independene é discrea. Figura M. Exemplo. O sinal x [ n], definido por.n [ ] cos( n) e x n com n ℵ, cuja evolução para n se mosra na figura M.5, é um sinal discreo Figura M.5 Prof. José Amaral M - Versão. --

6 Exemplo. O sinal x [ n], definido por x [ n] n + n < n < n 5 - com n ℵ, cuja evolução para 6 n 6 se mosra na figura M.6, é um sinal discreo Figura M.6 Sinais Amosrados Muios dos sinais que esamos ineressados em analisar resulam da observação das caracerísicas de sinais conínuos, nomeadamene a sua ampliude, em insanes de empo uniformemene espaçados n nts, em que T s represena o período de amosragem e n é um número ineiro. Uilizaremos a noação [ n] x( nt ), n, ±, ±, K x s A grandeza inversa do período de amosragem é designada por frequência de amosragem fs T s, dizendo-se que o sinal conínuo esá a ser amosrado, ou seja, que esão a ser recolhidas amosras, à frequência f s. Exemplo.5.n O sinal discreo x[ n] cos( n) e, referido no exemplo. e que se mosra na figura M.5, é o. sinal discreo resulane da amosragem do sinal conínuo x( ) cos( ) e, referido no exemplo. e que se mosra na figura M., com um período de amosragem T s s, ou seja, com uma frequência de amosragem f T Hz. s s Exemplo.6. Da amosragem do sinal x( ) cos( ) e com uma frequência de amosragem f s Hz, ou seja, com um período de amosragem Ts fs. 5 s, resula o sinal discreo.nt n x[ n] nts e s. 5 cos( ) cos(.5 n) e cuja evolução para n se mosra na figura M Figura M.7 Prof. José Amaral M - Versão. --

7 Malab. Recorde o que foi dio no Módulo referene à represenação gráfica em Malab. Exemplo Escreva um scrip Malab que crie a figura M.. O sinal x () a represenar é um sinal conínuo. x( ) cos( ) e, Dado que para proceder à represenação gráfica do sinal é necessário criar um vecor de valores da abcissa e um vecor dos correspondenes valores da ordenada, ou seja, dado que em Malab o sinal represenado é sempre um sinal discreo, há que er os devidos cuidados de modo a que o gráfico criado dê a ilusão de evoluir conforme o sinal conínuo que se deseja represenar. Para al basa escolher um inervalo, T s, enre os valores da abcissa, de modo a que a curva resulane da união por segmenos de reca dos sucessivos pares ordenadas enha uma evolução suficienemene suave. Não em aqui cabimeno a discussão, ou demonsração, de, para um sinal em paricular, qual deve ser a dimensão mínima de T s. Por enaiva e erro, junando uma piadinha de sensibilidade e bom senso, vai ver que não é difícil. Consideremos por exemplo T s. s. O seguine scrip dá origem à figura M. s.; :s:; x cos().*exp(-.*); figure();plo(,x) grid on Exemplo Escreva um scrip Malab que crie a figura M.5. O sinal x [ n] a represenar é um sinal discreo.n [ ] cos( n) e x n, n, pelo que a represenação gráfica em Malab é imediaa. O seguine scrip, na sequência do acima descrio, dá origem à figura M.5 n :; xn cos(n).*exp(-.*n); figure();sem(n,xn,'filled') hold on plo(,x,':'); grid on hold off Exemplo Escreva um scrip Malab que crie a figura M.. A represenação formal do sinal x ( ), <, <, <, Prof. José Amaral M - 5 Versão. --

8 deveria ser conforme se mosra na figura M.8, onde é claro se a função é definida à esquerda ou à direia nos ponos de desconinuidade, e poderia ser feia, por exemplo, aravés do scrip.5.5 [- - ;- ]; x[ ; ]; plo(,x,'-k','linewidh', ); axis([- -.5]); grid on hold on op[- ]; cp[- ]; p[ ]; p[ ]; plo(op,p,'ok'); sem(cp,p,':k','filled') hold off A figura M. pode ser obida aravés de um scrip basane mais simples, aproveiando o faco de o Malab, por defeio, unir os pares ordenados consecuivos com segmenos de reca [- - - ]; x[ ]; plo(,x); axis([- -.5]); grid on Evidenemene que a parir da figura M. não é possível saber se, nos ponos de desconinuidade, o sinal é definido à esquerda ou à direia. Noe que se fosse necessário recolher amosras do sinal com base nesa figura, seria necessário opar por uma das hipóeses, resulando, respecivamene, e uilizando um inervalo T s. s, os sinais discreos que se mosram nas figuras M.9 e M., que podem ser obidos com o scrip Figura M Figura M.9 n-:; figure() x[ ]; sem(n,x,'filled') axis([- -.5]); grid on figure() n-:; x[ ]; sem(n,x,'filled') axis([- -.5]); grid on Figura M., sendo que apenas o sinal da figura M.9 corresponde a um possível conjuno de amosras do sinal conínuo x (). Prof. José Amaral M - 6 Versão. --

9 . Sinais pares e sinais ímpares Os sinais podem ser classificados com base em relações de simeria com os eixos coordenados. Sinal par Um sinal diz-se um sinal par quando é simérico em relação ao eixo das ordenadas. No caso conínuo um sinal par saisfaz, por definição, a condição x( ) x( ), e no caso discreo, a condição x [ n] x[ n], n Exemplo.7 O sinal conínuo x (), definido por x( ) cos( ) e., cuja evolução para se mosra na figura M., é um sinal par. Exemplo.8 O sinal discreo x [ n], definido por. n [ ] cos( n) e x n cuja evolução para n se mosra na figura M., é um sinal par Figura M. -.6 Um sinal diz-se um sinal impar quando é ani-simérico em relação ao eixo das ordenadas. No caso conínuo um sinal impar saisfaz, por definição, a condição x( ) x( ), e no caso discreo, a condição x Sinal impar [ n] x[ n], n Exemplo.9 O sinal conínuo x (), definido por x( ) sen( ) e Figura M Figura M. Prof. José Amaral M - 7 Versão. --

10 , cuja evolução para se mosra na figura M., é um sinal impar. Exemplo. O sinal discreo x [ n], definido por. n [ ] sen( n) e x n cuja evolução para n se mosra na figura M., é um sinal impar Figura M. Qualquer sinal conínuo x (), pode ser decomposo nas suas componenes par e impar: x( ) x ( ) x ( ) x( ) + x( ) xp ( ) x( ) x( ) xi( ) Para um sinal discreo, x[ n] x [ n] x [ n] x x p i [ n] [ n] x n x n Decomposição par-impar [ ] + x[ n] [ ] x[ n] p + i p +, as componenes par e impar são dadas pelas expressões i Prof. José Amaral M - 8 Versão. --

11 Exercício., Considere o sinal definido por x ( ) <, <, <, Esboce o sinal. Calcule e esboce as suas componenes par e impar. O modo mais fácil de resolver o problema é aravés de uma análise gráfica. Devemos começar por esboçar x( ), como se mosra na figura M.6. Seguidamene, e aendendo à expressão que nos dá a componene par, somamos pono a pono as duas figuras e dividimos por dois, obendo assim a figura M.7. Para ober a componene impar subraímos, pono a pono, a figura M.6 à figura M.5, obendo assim figura M.8 Noe que nas figuras obidas não esá especificado o valor das componenes par e impar nos ponos de desconinuidade (o que não é difícil de ober a parir da soma pono a pono) Figura M Figura M Figura M Figura M.7 Resolvendo analiicamene o problema, emos, a parir da expressão analíica de x (), a expressão de x( ) x ( ),, <, <, > Prof. José Amaral M - 9 Versão. --

12 Prof. José Amaral M - Versão. -- Recorrendo às expressões que permiem o cálculo da componene par e impar de um sinal, obemos > < < < < < +,,,.5,,.5,, ) ( ) ( ) ( x x x p e > < < < < <,,,.5,,.5,, ) ( ) ( ) ( x x x p Podemos confirmar a simeria e a ani-simeria relaivamene ao eixo da ordenadas, respecivamene, das expressões obidas para a componene par e impar do sinal.

13 Malab. Recorrendo ao Malab, resolva graficamene o exercício. Para um esboço rápido podemos escrever o scrip seguine xdones(,); x[*xd *xd xd *xd]; s(8/lengh(x)); -:s:-s; xp(x+fliplr(x))/; figure();plo(,xp) axis([- -.5]); grid on xi(x-fliplr(x))/; figure();plo(,xi) axis([- -.5]); grid on Obendo assim rapidamene as figuras M.7 e M.8. Podemos verificar que, embora os esboços obidos dêem uma boa ideia da evolução das componenes par e impar, o cálculo de x p () e x i () não esão feios correcamene. Vamos refazer os gráficos com um menor número de ponos Figura M.9 xdones(,); x[*xd *xd xd *xd]; s(8/lengh(x)); -:s:-s; figure();plo(,x,'-*') axis([- -.5]); grid on xp(x+fliplr(x))/; figure();plo(,xp,'-*') axis([- -.5]); grid on xi(x-fliplr(x))/; figure(5);plo(,xi,'-*') axis([- -.5]); grid on Observe as figuras M.9 a M.. Noe que embora o sinal x () eseja bem definido (com amosragem à esquerda), x p () e x i () esão mal calculados. Basa noar que o gráfico da figura M. não corresponde a um sinal par, e gráfico da figura M. não corresponde a um sinal impar Figura M Figura M. Para ober a componene par e impar do sinal o scrip em de ser um pouco mais complexo xdones(,); x[*xd *xd xd *xd]; s(8/lengh(x)); -:s:-s; inv-fliplr(); invmin([,inv]); invmax([,inv]); invinv:s:inv; m()-inv(); :lengh(); xzeros(,lengh(inv)); Prof. José Amaral M - Versão. --

14 x(+m)x; xx; xp(x+fliplr(x))/; xi(x-fliplr(x))/; figure(6);plo(inv,xp,'-*') axis([- -.5]); grid on figure(7);plo(inv,xi,'-*') axis([- -.5]); grid on Obemos assim os gráficos das figuras M. e M. Compare com as expressões analíicas obidas para x p () e x i () no Exercício., e verifique que agora os valores numéricos correspondenes às componenes par e impar esão correcos. Verifique que, efecivamene, como eria que ser, a figura M. represena um sinal par e a figura M. represena um sinal impar. Para uma represenação mais conducene com o carácer conínuo do sinal podemos agora fazer uma represenação com um maior número de ponos xdones(,); x[*xd *xd xd *xd]; s(8/lengh(x)); -:s:-s; inv-fliplr(); invmin([,inv]); invmax([,inv]); invinv:s:inv; m()-inv(); :lengh(); xzeros(,lengh(inv)); x(+m)x; xx; xp(x+fliplr(x))/; xi(x-fliplr(x))/; figure(8);plo(inv,xp,'.') axis([- -.5]); figure(9);plo(inv,xi,'.') axis([- -.5]); Observe as figuras M. e M Figura M Figura M. Figura M Figura M.5 Prof. José Amaral M - Versão. --

15 5. Sinais Periódicos e não Periódicos Um sinal conínuo, x (), diz-se um sinal periódico se saisfaz a condição x ) x( + T ), ( Os sinais podem ser classificados com base nos padrões de comporameno dos valores que assumem ao longo do empo. em que T é uma consane posiiva. Sinais Conínuos Periódicos O menor valor posiivo de T que saisfaz a condição é designado por período fundamenal do sinal, vulgarmene designado apenas por período do sinal. O inverso do período é designado por frequência do sinal f T, e o correspondene valor angular é designado por frequência angular do sinal ω πf π T Um sinal discreo, x [ n], diz-se um sinal periódico se saisfaz a condição x [ n] x[ n + N ], n ineiro em que N é um ineiro posiivo. Um sinal para o qual não exisa nenhum valor T al que x( ) x( + T),, diz-se um sinal não periódico ou sinal aperiódico. Sinais Discreos Periódicos O menor valor de N que saisfaz a condição é designado por período fundamenal do sinal. No caso discreo a frequência angular é represenada pelo carácer maiúsculo π Ω N Caso o sinal discreo resule da amosragem de um sinal conínuo, emos T NTs ou seja Ω π T s π ωts N T f π f s Prof. José Amaral M - Versão. --

16 Exercício. x ) cos(π Considere o sinal conínuo ( ) Calcule a sua frequência angular, frequência e período fundamenal. Escreva a expressão do sinal discreo resulane da amosragem do sinal x () com uma frequência de amosragem fs k kf e calcule a sua frequência angular e período. Paricularize a expressão obida para k,, 6, 8 e. Para cada um dos valores de k calcule a frequência angular e o período dos sinais discreos. Sabemos que o coseno pode ser escrio genericamene na forma cos( ω + θ), sendo ω a frequência angular e θ a fase na origem. Para o sinal paricular emos ω f T π rad s ω π f 5 Hz. s Amosrando o sinal x ( ) cos( πf ) com uma frequência de amosragem fs k kf resula o sinal discreo [ ] x n x( nt ) cos s [ πf nt ] f π cos n fs π cos n k Sendo a frequência angular e período dados por s Ω f π f s π k, N π Ω k Noe que no caso discreo o co-seno (de fase nula na origem) pode ser escrio genericamene na cos Ω. forma [ ] n Para k,, 6, 8 e emos em paricular [ ] cos[ nπ] π [ ] cos n x n x n π x[ n] cos n π x[ n] cos n π x n 5, Ω, Ω, Ω, Ω π π π π π 5, N, N, N 6, N 8 [ ] cos n, Ω, N Prof. José Amaral M - Versão. --

17 Malab. [ π 5]. Recorra ao Malab para esboçar os sinais definidos no Exercício., no inervalo.5.5 Escrevendo o scrip f5; :.:pi/5; xcos(*pi*f*); subplo(,,) plo(,x); grid on axis([min() max() min(x) max(x)]) for k:: fsk*f; s/fs; n:s:pi/5; xncos(*pi*f*n); subplo(,,+k/) sem(n,xn,'filled'); axis([min(n) max(n) min(xn) max(xn)]) hold on plo(,x,'r:'); hold off end obemos os gráficos da figura M.6. Noe que os sinais amosrados, sendo sinais discreos, devem ser indexados a n, e não expliciamene aos insanes de empo em que as amosras foram obidas Figura M for k:: Nk; om*pi/n; n:*n; xncos(om*n); subplo(,,+k/) sem(n,xn,'filled'); axis([min(n) max(n) min(xn) max(xn)]) end Observe a figura M.7. Confirme a periodicidade N para cada um dos sinais resulanes das diversas frequências de amosragem. Noe que cada um dos sinais discreos pode ser referido independenemene da expressão analíica que lhe dá origem, fazendo-se referência apenas à sequência de valores, nos presenes casos periódica, que os consiuem cos [ n π] [ ] π cos n [ ] ec Figura M.7 - Prof. José Amaral M - 5 Versão. --

18 6. Sinais de energia e sinais de poência Energia de um sinal Os sinais podem ser classificados quano às suas caracerísicas de energia e poência. Dado um sinal conínuo x (), define-se a energia do sinal, E, como E x( ) d Dado um sinal discreo x [ n], a energia do sinal é definida por E n [ ] x n Poência de um sinal Dado um sinal conínuo x (), define-se a poência média do sinal, P, como P T lim x( ) T T T d Se o sinal for periódico, de período T, resula simplesmene P T x( ) T T d Dado um sinal discreo x [ n], a poência média do sinal é definida por P lim N N N n N [ ] x n sendo no caso de um sinal discreo periódico, de período N, P N n N [ ] x n Dizemos que um sinal é um sinal de energia se a sua energia for finia não nula, Resula das definições aneriores que um sinal de energia em poência média nula. Dizemos que um sinal é um sinal de poência se a sua poência for finia não nula, Resula das definições aneriores que um sinal de poência em energia infinia. < E <. < P <, Prof. José Amaral M - 6 Versão. --

19 Exercício. Exemplo Calcule a energia do sinal conínuo definido por x ( ),, [, ] Sendo a energia de um sinal conínuo x () definida por E x( ) d, emos em paricular E d Exemplo Calcule a poência do sinal conínuo definido por x( ) cos(π) Sendo a poência de um sinal conínuo periódico x () definida por P T x( ) T T d, emos em paricular π ω π π T T 5 P 5 5 cos(π) sin(π) + π 8 cos (π) d, o que não consiui novidade, já sabia (?), ceramene, que a poência do sinal x ( ) A cos( ω ) é igual a A. Prof. José Amaral M - 7 Versão. --

20 Exemplo Calcule a energia do sinal discreo x [ n] definido por x [ n] n + n < n < n Sendo a energia de um sinal discreo x [ n] definida por E n [ ] x n , emos em paricular E ( ) + ( ) + () + () + () + () 5 Exemplo Calcule a poência dos sinais discreos [ n] x [] n definidos por π x [] n cos n x [ n] cos n π 5 x e Sendo a poência de um sinal discreo periódico x n definida por [ ] P N N n, emos em paricular [ ] x n Ω n π n π n π n N N P () + (.5) + (.5) + ( ) + (.5) + (.5) ). 5 5 π cos 6 n 6 n Para o segundo sinal emos N, pelo que 9 π P cos n 5 n.5 Prof. José Amaral M - 8 Versão. --

21 Malab. Recorra ao Malab para resolver os exemplos de Exercício.. Exemplo Traando-se de um sinal conínuo, podemos convenienemene recorrer à Symbolic Mah Toolbox >> syms ; >> x.^; >> Ein(x.^,,) E /5 >> /5 ans.8 >> Exemplo Recorrendo à Symbolic Mah Toolbox >> /5; >> syms ; >> x*cos(*pi*); >> P(/)*in(x.^,-/,/) P 8 >> Exemplo Traando-se de um sinal discreo emos facilmene >> n-:; >> xn+; >> Esum(x.^) E 5 >> Exemplo Traando-se de sinais discreos emos facilmene >> N6; >> n:n-; >> xcos(*pi*n/n); >> P(/N)*sum(x.^) P.5 >> >> >> N; >> n:n-; >> xcos(*pi*n/n); >> P(/N)*sum(x.^) P.5 >> Prof. José Amaral M - 9 Versão. --

22 7. Transformações lineares da variável independene Vamos agora inerprear as relações enre um sinal original e o sinal resulane de uma ransformação linear operada sobre a variável independene x( ) x( a b), sendo a e b consanes reais. Uma ransformação do ipo x( ) x( a b) a, b, ou seja x( ) x( ) Inversão é designada por inversão. com - O sinal resulane é uma versão do sinal original reflecida em relação ao eixo das ordenadas Exemplo.. Da inversão do sinal x( ) cos( ) e, cuja evolução para se mosra na figura M.8, resula o sinal. y( ) x( ) cos( ) e, cuja evolução para se mosra na figura M.9. Figura M.8 Exemplo..n Da inversão do sinal x[ n] cos( n) e, cuja evolução para n se mosra na figura M., resula o sinal.n y[ n] x[ n] cos( n) e, cuja evolução para n se mosra na figura M Figura M Figura M Figura M. Prof. José Amaral M - Versão. --

23 Compressão Uma ransformação do ipo x( ) x( a b) a >, b, ou seja x ( ) x( a), a > com é designada por compressão. O sinal resulane é uma versão do sinal original comprimida segundo o eixo das abcissas (em ambos os senido em direcção à origem) Figura M. Exemplo. Da compressão com um facor a do sinal. x( ) sen( ) e, cuja evolução para se mosra na figura M., resula. o sinal y( y) x() sen() e, cuja evolução para se mosra na figura M.. Exemplo. Da compressão com um facor a do sinal. n x[ n] sen( n) e, cuja evolução para n se mosra na figura M.,. n resula o sinal y[ n] x[ n] sen(n) e, cuja evolução para n se mosra na figura M.5. Noe que no caso de uma compressão efecuada sobre um sinal discreo, x[] n x[ an] em que an é obrigaoriamene um ineiro posiivo, há amosras do sinal que se perdem Figura M Figura M Figura M.5 Prof. José Amaral M - Versão. --

24 Expansão Uma ransformação do ipo x( ) x( a b) < a <, b, ou seja x ( ) x( a), < a < com é designada por expansão. O sinal resulane é uma versão do sinal original expandida segundo -.8 o eixo das abcissas (a parir da origem e em ambos os senidos) Figura M.6 Exemplo.5 Da expansão com um facor a. 5 do sinal. x( ) sen( ) e, cuja evolução para se mosra na figura M.6, resula..5 o sinal x(.5) sen(.5) e, cuja evolução para se mosra na figura M Exemplo.6 Da expansão com um facor a. 5 do sinal. n x[ n] sen( n) e, cuja evolução para n se mosra na figura M.8, resula o sinal y[ n] x[. 5n]..5n sen(.5n) e, cuja evolução para n se mosra na figura M.9. Noe que no caso de uma expansão efecuada sobre um sinal discreo, há amosras do novo sinal que devem ser esimadas. Não endo aqui cabimeno a discussão do problema da esimação, aribuímos o valor zero às novas amosras Figura M Figura M Figura M.9 Prof. José Amaral M - Versão. --

25 Avanço De uma ransformação do ipo x( ) x( a b) a, b <, ou seja x ( ) x( + b ) com resula um sinal que esá em avanço relaivamene ao sinal original. A forma do sinal manêm-se inaca, regisando-se um ranslação segundo o senido decrescene do eixo das abcissas Figura M. Exemplo.7 A figura M. mosra a evolução para do sinal. x( ) sen( ) e. O. + sinal y ( ) x( + ) sen( + ) e, cuja evolução para se mosra na figura M., esá em avanço relaivamene a x () Exemplo.8 A figura M. mosra a evolução para. n n do sinal x[ n] sen( n) e.. n + O sinal [ n] x[ n + ] sen( n + ) e y, cuja evolução para n se mosra na figura M., esá em avanço relaivamene a x n. [ ] Figura M Figura M Figura M. Prof. José Amaral M - Versão. --

26 Araso De uma ransformação do ipo x( ) x( a b) a, b >, ou seja x( ) x( b ) com resula um sinal que esá em araso relaivamene ao sinal original. A forma do sinal manêm-se inaca, regisando-se um ranslação segundo o senido crescene do eixo das abcissas Figura M. Exemplo.9 A figura M. mosra a evolução para do sinal. x( ) sen( ) e. O. sinal y ( ) x( ) sen( ) e, cuja evolução para se mosra na figura M.5, esá em araso relaivamene a x () Exemplo. A figura M.6 mosra a evolução para. n n do sinal x[ n] sen( n) e.. n O sinal [ n] x[ n ] sen( n ) e y, cuja evolução para n se mosra na figura M.7, esá em araso relaivamene a x n. [ ] Figura M Figura M Figura M.7 Prof. José Amaral M - Versão. --

27 Exercício. Exemplo Dado o sinal discreo x [] n represenado na y n x n. figura M.8, esboce o sinal [ ] [ ] O sinal [ n] y resula de um araso e de uma compressão do sinal x [] n. A quesão que se nos coloca é a de saber se, para esboçar x [ n ], devemos primeiro proceder à ranslação e depois à compressão ou vice versa. Vejamos o sinal que resula de cada uma das opções. Se procedermos primeiro à compressão obemos o sinal y [ n] x[ n] e seguidamene a ranslação dá origem ao sinal y [ n] y [ n ]. Mosram-se os esboços dos dois sinais nas figuras M.9 e M Figura M Figura M Figura M.9 Se procedermos primeiro à ranslação obemos o sinal [ n] x[ n ] compressão dá origem ao sinal y [ n] y [ n] M.5 e M.5. y e seguidamene a. Mosram-se os esboços dos dois sinais nas figuras Figura M Figura M.5 Prof. José Amaral M - 5 Versão. --

28 Qual dos procedimenos é o correco? Noe que y [ n] x[ n ] implica que [] x[ ] x [] y[ ] Por inspecção das figuras concluímos que y [ n] é o sinal desejado. y e Para obermos um sinal resulane duma operação de ranslação e escalameno sobre a variável independene de um sinal original, devemos primeiro proceder à operação de ranslação e seguidamene à operação de escalameno. Noe que é fácil verificar analiicamene qual dos sinais obidos, y [ n] ou y [ n] sinal y [ n] desejado. Na verdade, sendo y [ n] y [ n] e [ v] x[ v ] pelo que y [ n] x[ n ] [ n] y [ n] x[ n ] y[ n] y No enano, sendo e y [ n] y [ n ] [ v] x[ v] y, enão, fazendo v n, resula pelo que y y [ n ] x[ ( n ) ] x[ n 8] [ n] y [ n ] x[ n 8] y[ n] y, enão, fazendo v n, resula, corresponde ao Exemplo Deermine as relações enre o sinal x () e os sinais ( ) a M.55. y e y ( ) represenados nas figura M.5 Ignorando a possibilidade de exisência de uma inversão do sinal, que, dado que o sinal original é par, não é possível de disinguir, resula da figura y ( ) x( ) y ( ) x() y () x( ) y () x() Esando os sinais relacionados genericamene por y( ) x( a b) Prof. José Amaral M - 6 Versão. --

29 resula facilmene para y.5 y( ) x( a b) x( ) y( ) x( a b) x().5 logo logo a b a b a b.5 Figura M.5 pelo que y ( ) x( + ) Resulando para y que.5.5 b a b logo a b pelo que Figura M.5 y ( ) x( ) Figura M.55 Prof. José Amaral M - 7 Versão. --

30 Malab. Recorra ao Malab para resolver o Exercício. Exemplo. Começamos por definir [ n] [ 6, 6] x no inervalo >> n-6:6; >> x((n>-)&(n<)).*(n+); >> figure();sem(n,x,'filled') >> grid on >> axis([ ]) >> Seguidamene calculamos os novos valores da variável independene Figura M.56 >> m(n+)/ m >> >> Aendendo a que a variável independene não pode assumir valores não ineiros, seleccionamos os valores ineiros da variável m criada, aribuindo-os a uma nova variável, m >>>> mm(mod(m,)) m - 5 >> Por fim criamos um novo sinal reposicionando os valores do sinal original >> xx(mod(m,)) x - >>, e procedemos ao esboço do sinal resulane da ransformação >> figure();sem(m,x,'filled') >> axis([ ]) >> grid on >> O scrip poderia ser compleado de modo a preencher com zeros as resanes posições do sinal Figura M.57 Prof. José Amaral M - 8 Versão. --

31 Demo : Decomposição par-impar facilmene reduzíveis. Seja um sinal conínuo x () soma de dois sinais As relações que nos permiem decompor um sinal nas suas componenes par e impar são. Podemos em qualquer caso decompô-lo na x ) x ( ) + x ( ) () ( Admiamos agora que x ( ) é um sinal par, e x ( ) é um sinal impar. Assim sendo, verificam-se as relações e x ( ) x ( ) x( ) x( ) Podemos enão, por subsiuição das relações aneriores em (), escrever x ) x ( ) x ( ) () ( Resolvendo o sisema consiuído pelas equações () e () x( ) x( ) + x( ) x( ) x( ) x( ),em ordem a x ( ) e x ( ), obemos facilmene a expressão das componenes par e impar do sinal x () Prof. José Amaral M - 9 Versão. --

32 9. Exercícios M Exemplo x ( Escreva uma função Malab que, recebendo como parâmeros uma sring com a expressão analíica de um sinal ), o inervalo em que o sinal esá definido, e a frequência de amosragem, devolve os pares ordenados correspondenes às amosras do sinal funcion [,x] amosras_de(sinal, min, max, fs) Podemos execuar uma sring passada como parâmero de uma função recorrendo à função eval. Assim, criando a função funcion [,x] amosras_de(sinal, min, max, fs) s/fs; min:s:max-s;.8 xeval(sinal,); Podemos agora execuar a função na consola.6. >> [,x]amosras_de('cos().* sin(*).^',-pi,pi,8/pi); >> plo(,x) >> Noe que a função definida na sring sinal deve er o mesmo parâmero do argumeno da função eval. Noe ainda que a sring pode ser predefinida. Por exemplo >> u'cos().*sin(*).^'; >> [,x]amosras_de(u, -pi,pi,8/pi); >> plo(,x) >> Exemplo Escreva uma função Malab que, recebendo como argumenos um sinal discreo x [ n], o conjuno de valores n em que esá definido, e as consanes reais a e b, devolva o sinal resulane da ransformação linear y[ n] x[ an b], e o conjuno de valores em que esá definido Figura M funcion [m,y] ransf_n(n,x,a,b) Reescrevendo o scrip da página M-8 emos Figura M.59 funcion [m,y] ransf_n(n,x,a,b) m(n+b)/a; xx(mod(m,)); mm(mod(m,)); mmin(m):max(m); y(m-min(m)+)x; Podemos verificar o código da função >> n-6:6; >> x((n>-)&(n<)).*(n+); >> figure();sem(n,x,'filled') >> [m,x] ransf_n(n,x,.5,); >> figure();sem(m,x,'filled') Figura M.6 Prof. José Amaral M - Versão. --

33 Ficha de Avaliação M - Sem. Verão N: Nome: Turma: Daa limie de enrega 7-- (A ficha deve ser colocada, aé à daa limie, no recipiene apropriado exisene juno ao Gabinee C CEDET) Grupo C Exercício Represene o sinal conínuo j. x( ) cos( ) e no inervalo [ π, π]..5 Represene o sinal discreo [ n] x resulane da amosragem do sinal x () com uma frequência de amosragem f s Hz..5 Crie o sinal conínuo y () represenado na figura M.6 e reproduza a referida figura. Represene o sinal discreo [ n] y resulane da amosragem do sinal y () com uma frequência de amosragem f s 8 Hz Figura M.6 Exercício Considere o sinal x ( ) cos( ) sen() com [ π, π]. Represene o sinal. Calcule a sua frequência, período, e frequência angular. Considere o sinal [ n] x resulane da amosragem do sinal x () com uma frequência de amosragem f s π. Represene o sinal x [ n]. Calcule o período e a frequência angular do sinal Exercício Represene o sinal conínuo x( ) e com [, ], sendo nulo fora dese inervalo. Calcule a energia do sinal. Calcule a poência do sinal conínuo periódico x ( ) cos( ) sen() Figura M.6 Calcule a energia do sinal discreo x [ n] represenado na figura M.6 Calcule a poência do sinal discreo periódico represenado na figura M Figura M.6 Prof. José Amaral M - Versão. --

34 Exercício Explique cada uma das linhas de código da função ransf_n(n,x,a,b do Exemplo dos Exercícios M. Considere o sinal conínuo x () represenado na figura. Represene o sinal y ( ) x( + )..5.5 Considere o sinal discreo [ n] x resulane da amosragem do sinal x () com uma frequência de amosragem f s 8 Hz. Represene o sinal. Represene o sinal y n x.5n. [ ] [ ] Figura M.6 Grupo B Exercício 5 Escreva uma função Malab que, recebendo como argumenos um sinal discreo x [ n] e o conjuno de valores n em que esá definido, devolva as componenes par e impar do sinal e o conjuno de valores m em que esão definidas: x p [ m], x i [ m] e m funcion [xp,xi,m] xp_xi(n,x) Noa: Relembre o scrip uilizado na página M- para sinais conínuos. Simplifique-o de modo a adapá-lo a sinais discreos, explicando a necessidade e função de cada uma das linhas de código., em que represena a versão discrea da função de Heaviside (página M-8), no inervalo Represene a componene par e impar do sinal y [ n] u[ n] u[ n ] u[ n] [, ]. Uilize (de preferência) a função definida no pono anerior. Prof. José Amaral M - Versão. --

35 Ficha de Avaliação M - Sem. Inverno Daa limie de enrega: -- Grupo C ( A resolução da ficha deve ser enviada, aé à daa limie, para o endereço jda@isel.p.. Faça download da pasa b_xxxxxx, renomeie a pasa para o seu número de aluno (exemplo: b_5), uilize o(s) ficheiro(s).m nela conidos para a resolução da ficha, e envie a pasa para o endereço referido. Coações: Grupo C a ; Grupo B a 7; Grupo A 8 a. Noe Bem: A enrega da ficha para além da daa limie é foremene penalizada. ) Exercício. Considere o sinal x ( ) cos()sen() com [ π, π]... Represene o sinal... Calcule a sua frequência, período, e frequência angular... Calcule a poência do sinal.. Considere o sinal x [ n] resulane da amosragem do sinal x () com uma frequência de amosragem f s π... Represene o sinal x [ n]... Calcule o período do sinal ( N )... Calcule a poência do sinal. Exercício. Considere o sinal conínuo x( ) sen( π) π com [, ], sendo nulo fora dese inervalo... Represene o sinal no inervalo [ 8, 8]... Calcule a energia do sinal... Represene o sinal y ( ) x( 8).. Considere o sinal x [ n] resulane da amosragem do sinal x () com uma frequência de amosragem f s... Represene o sinal x [ n]... Calcule a energia do sinal... Represene o sinal y [ n] x[.5n ]... Represene o sinal y[ n] x[ n]. Grupo B Exercício. Escreva uma função Malab que, recebendo como argumenos um sinal discreo x [ n] e o conjuno de valores n em que esá definido, devolva as componenes par e impar do sinal e o conjuno de valores m em que esão definidas: x p [ m], x i [ m] e m funcion [xp,xi,m] xp_xi(n,x) Noa: Relembre o scrip uilizado na página M- para sinais conínuos. Simplifique-o de modo a adapá-lo a sinais discreos.. Represene a componene par e impar do sinal y [ n] u[ n] u[ n ], em que u[ n] represena a versão discrea da função de Heaviside (página M-8), no inervalo [, ]. Uilize a função definida no pono anerior. Prof. José Amaral M - Versão. --