Exercícios de Comunicações Digitais

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1 Deparameno de Engenharia Elecroécnica e de Compuadores Exercícios de Comunicações Digiais Sílvio A. Abranes DEEC/FEUP Modulações digiais 3.. Considere as rês funções da figura seguine: S () S () S 3 () a) Uilize o processo de orogonalização de Gram-Schmid e deermine uma base oronormada para represenar as rês funções dadas. b) Expresse cada uma das funções na base oronormada que enconrou e apresene os vecores s, s e s 3. Qual a disância euclidiana enre s e s 3? c) Deermine o coeficiene de correlação enre as funções s () e s 3 (). d) Calcule a probabilidade de erro numa decisão binária enre as funções s () e s 3 (), na presença de ruído AWGN com densidade especral de poência N /. 3.. Considere as rês funções seguines: ψ () ψ () ψ () 3 A A A -A -A Exercícios de modulações digiais

2 e) Mosre que as rês funções são orogonais duas a duas no inervalo [-; ]. f) Deermine o valor da consane A que orna as funções em funções-base de um espaço oronormado (o. n.). g) Expresse a seguine forma de onda, x(), em função do conjuno oronormado que obeve. x () = ouros valores h) Exprima x() como um vecor no espaço o. n Deermine o número esperado de bis deecados erradamene ao longo de um dia com um recepor BPSK a funcionar coninuamene. A axa de ransmissão é de 5 kbi/s. As formas de onda de enrada são s () = A cos w = s (), em que A = mv, e a densidade especral de poência de ruído unilaeral é N = W / Hz Um sinal binário com débio de kbi/s modula em PSK uma poradora com uma poência de 5 W. O sinal PSK é ransmiido por um canal com ruído adiivo gaussiano, de média nula e branco ( N = W / Hz ). No recepor coerene é uilizado um filro passa-baixo ideal com largura de banda de 8 khz. a) Sabendo que a aenuação do canal é db, calcule a probabilidade de erro. b) Qual a poência que deve ser ransmiida se se quiser er uma probabilidade de 5 erro de? Considere um sisema PSK binário com formas de onda equiprováveis s () = cos w = s (). No deecor de filro adapado a referência é cos( ω + φ), em que φ é um erro de fase. Calcule o valor do erro de fase que aumenaria a probabilidade de bi errado de. 3 para,5. 3 relaivamene a um erro de fase nulo, num canal AWGN. Exercícios de modulações digiais

3 3.6. Considere uma modulação QPSK para a qual se em E π si ( ) = cos πf c + i T 4 ( ) V com i =,, 3, 4 e símbolos equiprováveis codificados segundo o código de Gray. a) Desenhe a conselação dese sisema e os diagramas de blocos do emissor e de um recepor coerene. b) Para um canal com ruído adiivo gaussiano branco, de média nula e com N o = -9 W/Hz, obenha a energia a receber por símbolo que garane, para um recepor coerene, uma probabilidade de erro nos bis de Considere uma modulação QPSK para a qual a poência ransmiida por símbolo (ou dibi ) é W e a duração de cada símbolo é ms. O canal de ransmissão é do ipo AWGN com uma densidade especral de poência de ruído unilaeral de valor 6 W/Hz. Sabendo que o canal aenua db/km, calcule a disância máxima enre emissor e recepor que ainda garane uma probabilidade de bi errado de Um sinal binário com débio R =,5 Mbi/s é aplicado na enrada de um modulador FSK binário. O sinal modulado é enviado por um canal com ruído adiivo gaussiano branco de média nula e N o = W/Hz. Na ausência de ruído e independenemene do bi enviado ser ou a ampliude da onda sinusoidal recebida é µv. a) Calcule a probabilidade de erro se uilizar um recepor FSK coerene. b) Repia a alínea anerior para o caso de o recepor ser não-coerene. c) Obenha a probabilidade de erro se modificar a modulação para MSK e uilizar um recepor coerene Considere um sisema PSK diferencial (DPSK). a) Calcule a probabilidade de erro para o caso de Eb N =. Exercícios de modulações digiais 3

4 b) Suponha agora que uiliza uma modulação BFSK e um deecor não coerene. Deermine a relação enre as energias por bi nos dois sisemas se preender maner o valor da probabilidade de erro. 3.. Considere um sisema 6-PSK e um sisema 6-QAM ambos com símbolos equiprováveis, com codificação de Gray, deecção coerene e energias médias por símbolo ( < E > ) iguais. a) Obenha as probabilidades de erro para os dois casos, se < E > N = 5. b) Recorrendo às conselações dos dois sinais explique, de forma qualiaiva, o desempenho superior do sisema 6-QAM. 3.. Considere um conjuno de rês sinais s (), s () e s 3 (), apresenados na figura. Se as funções-base forem ψ () e ψ (), desenhe a conselação dos sinais. s () s () s 3 () - φ () φ () 3.. a) Decomponha os quaro sinais s k (), k =,, 3, 4, apresenados na figura abaixo, usando como funções-base as funções orogonais f () e f (). b) Represene o diagrama de espaço de sinal. c) Esboce as formas de onda das componenes em fase e em quadraura do sinal modulado produzidas pela sequência binária de enrada (a aribuição dos símbolos deve procurar minimizar a probabilidade de erro). Exercícios de modulações digiais 4

5 s () s () s 3 () E E - E s 4 () f () f () - E 3.3. Um sisema a ransmiir kbis/s aravés de um canal AWGN usando modulação MPSK deecada coerenemene requer uma probabilidade de bi errado P B = 3. A largura de banda do sisema é 5 khz e o filro em um facor de "rolloff" uniário. Para a aribuição de símbolos a bis usa-se o código de Gray. a) Qual é a relação E s N necessária para garanir a probabilidade P B especificada? b) E qual é a relação E b N necessária? 3.4. Com um conjuno de oio sinais orogonais deecados coerenemene obém-se uma probabilidade de bi errado de -6. Se a poência ransmiida for reduzida para meade, qual é a nova axa de erros? 3.5. Um sisema coerene de FSK binário ransmie informação à cadência de,5mbis/s aravés de um canal afecado de ruído gaussiano branco adiivo com densidade especral de poência por N = W / Hz. A forma de onda do sinal é dada 6 f s () = cos π fc Tb (bi ) Exercícios de modulações digiais 5

6 6 f s () = cos π fc + Tb (bi ) com f c >> f, podendo o coeficiene de correlação enre s ( ) e s ( ) ser aproximado por um seno cardinal, como poderá confirmar. a) Qual é o valor mínimo de f para o qual os sinais s () e s () são orogonais? b) Suponha que s ( ) e s ( ) são orogonais. De quano deve aumenar a relação E b N, em db, para que ese sisema FSK apresene a mesma probabilidade de erro que um sisema PSK binário coerene? c) Qual é o valor de f que minimiza a probabilidade de erro P B? Calcule o valor mínimo de P B. d) Considere agora f =,5MHz e calcule o aumeno, em db, da relação Eb N de FSK relaivamene a PSK binário coerene Com o propósio de sincronizar o recepor com o emissor incluiu-se uma poradora num sinal de PSK, de modo que se recebe o sinal s () = 5ksen( π f ) ± 5 k cos( π f ) T p em que o sinal + corresponde ao símbolo e o sinal - ao símbolo. O débio binário é kbis/s e o canal é afecado de ruído gaussiano branco adiivo com média nula e densidade especral de poência N 4 poradora é % da poência do sinal oal: a) deermine a probabilidade de erro, P B. p =, 5. V / Hz. Supondo que a poência da b) calcule a nova relação E / N, em db, necessária para que =. c) deermine o valor de E / N necessário em BPSK convencional para se aingir a b b mesma probabilidade de erro da alínea anerior. Comene. P B 4 Exercícios de modulações digiais 6

7 3.7. A axa de ransmissão de dados binários num deerminado sisema de comunicações é de Mbis/s e a densidade especral de poência do ruído na enrada do recepor é - W/Hz. Deermine a poência média necessária para se ober uma probabilidade média de erro P e -4 com a) FSK binário coerene. b) FSK binário não-coerene. c) PSK binário Um sinal em uma conselação de seis símbolos equidisanes disposos numa circunferência de raio E, em que E = mj represena a energia de cada s símbolo. Baseando-se num majorane válido para relações sinal-ruído elevadas, a) calcule a energia média dos bis recebidos; N b) deermine a probabilidade de símbolo errado, supondo que 4 = V / Hz. s c) deermine a probabilidade de bi errado, admiindo que a aribuição de símbolos a conjunos de bis minimiza essa mesma probabilidade (como na codificação de Gray). E 3.9. Considere uma modulação ASK para a qual s b ( ) = cosπf c V durane a T duração T b de cada símbolo binário, e s () = V durane a duração de cada símbolo. Supondo que os bis e são equiprováveis e que o ruído do canal de ransmissão é adiivo, gaussiano de média nula e branco com densidade especral N /, mosre que a probabilidade de errar num recepor coerene é dada por b P e Q = b E N. o 3.. Considere um esquema de modulação binária anipodal cujos sinais esão à disância d e não são equiprováveis. Sejam p e p as probabilidades de ocorrência Exercícios de modulações digiais 7

8 dos dois sinais. Mosre que o desmodulador ópimo (correlacionador) deve er o limiar regulado para o valor N ln Iso significa que a froneira enre as duas regiões de decisão não esá na origem mas sim mais próxima do sinal com menor probabilidade. Deermine ainda o valor da probabilidade de erro resulane. p p 3.. Os oio sinais equiprováveis da figura seguine são ransmiidos aravés de um canal AWGN com densidade especral de poência N. a) Calcule a probabilidade de erro obida com o desmodulador coerene ópimo. Exercícios de modulações digiais 8

9 b) Inerpree o resulado usando um canal binário simérico. 3.. Dados binários são ransmiidos à cadência de 5 kbis/s aravés de um canal de rádio com uma largura de banda de 4 khz. a) deermine o ipo de modulação que necessia da menor energia de sinal e calcule o valor de E b /N em db para que P b -5 com deecção coerene. b) Repia a alínea anerior com deecção não-coerene Dados binários são ransmiidos à cadência de Mbis/s aravés de um canal de rádio com uma largura de banda de 4 khz. a) deermine o ipo de modulação que necessia da menor energia de sinal e calcule o valor de E b /N em db para que P b -5 com deecção coerene. b) Repia a alínea anerior com deecção não-coerene Um sisema de ransmissão binária em poência de emissão S T = mw, perdas de L = 9 db e densidade especral de poência unilaeral de ruído N = -5 W/Hz. A probabilidade de erro deve ser P e -4. Deermine o máximo débio binário se se usar: a) FSK não-coerene; b) DPSK; c) BPSK coerene A ligação saélie-terra de uma comunicação possui os seguines parâmeros: Poência de emissão do saélie: 35 dbw Frequência da poradora: 7,7 GHz Área efeciva da anena do emissor: m Ganho da anena recepora: 6 db Exercícios de modulações digiais 9

10 Temperaura de ruído do recepor, incluindo a anena: Largura de banda do sinal: Disância enre emissor e recepor: Ouras perdas: K MHz 4 km 5 db a) Calcule a poência do sinal recebido em dbw. b) Calcule a poência de ruído no recepor em dbw. c) Calcule a relação sinal-ruído em db. d) Considerando B = /T deermine a probabilidade de erro em PSK binário, DPSK binário, BFSK não-coerene e QPSK. Fórmulas úeis: λ Aenuação em espaço livre: L = 4π d Ganho de anenas: A G = 4π λ Poência de ruído érmico: N = kt B (se T = 9 K: kt ( db) = 4dB ) e 3.6. (Tele, 8--5) Considere as formas de onda s (), i i =,, 3, 4: s () A T/ T s () A -A T s 3 () -A s 4 () T/ T A T -A O sinal ransmiido é s () = s ( kt), em que ik é uma sequência de valores i k k= independenes disribuídos uniformemene no conjuno {,, 3, 4}. No recepor é usado um filro adapado. a) Supondo que os símbolos (formas de onda) que ransporam os bis são ransmiidos aravés de um canal AWGN com d.e.p. N /, sugira um mapeameno de bis a símbolos que minimize a probabilidade de bi errado e Exercícios de modulações digiais

11 desenhe a conselação correspondene num espaço de sinal oronormado. Não se esqueça de aí indicar as coordenadas dos ponos em função da energia dos sinais, E. b) Supondo que A = V, T = ms e N =, V /Hz deermine a probabilidade de símbolo errado exaca. Exprima o resulado na função Q(x) (Tele, 8--5) Considere as seguines conselações de oio ponos equiprováveis: d d d a) Deermine a energia média de cada sinal em função do parâmero d. Essas energias são mínimas? Porquê? b) Responda sem efecuar qualquer cálculo: com qual dos sinais, 8-PSK ou 8-QAM, oberia uma melhor probabilidade de símbolo errado, P e? Jusifique. c) Admia que E N. Nessas condições deermine os valores aproximados de P e em ambos os casos. Como inerprea os resulados face à alínea anerior? 3.8. (Tele, 8--5) Um sinal de MSK, represenado por = b θ ψ b θ b ψ s () E cos () () E sen ( T) (), é ransmiido aravés de um canal e deecado coerenemene. Os sinais s () e s () da figura seguine são obidos à saída dos inegradores dos ramos em fase e em quadraura, respecivamene. Exercícios de modulações digiais

12 A s () -A /T b A s () -A /T b a) Deermine o espaçameno enre as frequências represenaivas de cada bi, se cada um deles iver uma duração de µs. b) Desenhe a reliça de fases consruída pelo recepor. c) Esime a mensagem de onze bis enviada (Tele, 7--5) Quaro formas de onda são represenadas num espaço de T [ ] T T T sinal pelos vecores s =, =, s3 = e [ s4 = ] s [ ] [ ]. As funções-base são as da figura seguine: ψ () ψ () ψ 3 () ψ 4 () a) Esboce as formas de onda s (), s (), s 3 () e s 4 (). b) Calcule a disância euclidiana enre os vecores s e s. c) Deermine o coeficiene de correlação enre as formas de onda s () e s 3 (). d) Um mesmo conjuno de M formas de onda pode ser represenado por vecores em diferenes espaços de sinal definidos por N M funções-base. Assim, considere que as formas de onda r (), r () e r 3 () são represenadas pelos r [ ] r [ ] [ ] T T T vecores = 4, = e r 3 = 6 3 num dado espaço de Exercícios de modulações digiais

13 sinal oronormado ridimensional. A parir deses vecores deermine as coordenadas, naquele espaço, das novas funções-base que definem um ouro espaço de sinal oronormado com a menor dimensão possível (menor N). Qual é o valor de N no novo espaço de sinal? 3.3. (Tele, 7--5) Um sisema OOK ransmie bis equiprováveis à cadência de 6 Mbis/s aravés de um canal de ruído branco gaussiano. À enrada do recepor a densidade especral de poência do ruído vale N / = -8 W/Hz. a) Qual é a largura de banda ocupada pelo sinal OOK? b) Calcule a poência média, em dbm, necessária no recepor para que a probabilidade de bi errado seja de (Tele, 7--5) Uma modulação 8-QAM usa a seguine conselação, onde os ponos 4 e 5 esão no cenro dos quadrados racejados: d 7 8 a) Calcule a energia média por símbolo, <E>, em função da disância mínima enre ponos, d. b) Desenhe as froneiras das regiões de decisão, admiindo que os erros ocorrem apenas enre ponos mais próximos. c) Esando em presença de ruído AWGN com densidade especral de poência N / e admiindo que E N mosre que a probabilidade de símbolo errado é aproximadamene igual a P e 9 E = Q. 4 5 N Exercícios de modulações digiais 3

14 3.3. (Tele, --6) Considere a ransmissão de informação à axa binária de kbis/s aravés de um canal de comunicações AWGN com N = - W/Hz. a) Suponha que se usa QPSK e que a probabilidade de símbolo errado no recepor é P e = Deermine a poência do sinal recebido. b) Considere 4-FSK em vez de QPSK. Se a poência do sinal recebido for -59 dbw e a deecção for coerene qual é a probabilidade de bi errado previsa? (Tele, --6) Considere as duas conselações 8-QAM da figura. A unidade de medida dos eixos é d/ e os símbolos são equiprováveis. 3 8-QAM QAM Para ambas as conselações: a) Deermine a energia média E em função de d e a disância mínima enre ponos se E =. b) Desenhe as regiões de decisão (Tele, 3--6) As quaro formas de onda da figura ransmiem informação aravés de um canal que inroduz ruído gaussiano adiivo com densidade especral de poência N /. Suponha que N = e b= 6 T. b s () s () b T/ T -b T/ T b -b s 3 () T/ T -b s 4 () T/ T Exercícios de modulações digiais 4

15 a) a) Desenhe um conjuno de funções-base que defina um espaço de sinal oronormado (o. n.) adequado a ese conjuno de formas de onda; a) Mosre que as funções-base que desenhou são orogonais; a3) Quanas dimensões em o espaço o. n.? (Noa: o procedimeno de Gram-Schmid pode não ser a solução mais simples) b) Esboce a conselação dos ponos s, s, s 3 e s 4 no espaço o. n. c) Calcule a energia média das formas de onda. d) Seja r o vecor do sinal recebido à saída do canal. Para o caso especial de probabilidades P(s ) = /3, P(s ) = /3 e P(s 3 ) = P(s 4 ) = apresene a regra de deecção MAP e esboce as regiões de decisão no espaço o. n (Tele, 3--6) Ese problema envolve probabilidades de erro em várias modulações digiais afecadas de ruído gaussiano branco. a) Deermine o valor de E b /N, em db, al que a probabilidade de bi errado em DPSK seja um quaro da probabilidade de bi errado em BFSK deecado não-coerenemene. b) Com E b /N, = 8 db obém-se uma cera probabilidade de bi errado em PSK binário. De que relação E b /N, necessiamos em FSK binário com deecção coerene para obermos a mesma probabilidade de erro? c) Considere uma conselação de quaro ponos localizados em (±,± 5 ). Quano vale a probabilidade exaca de símbolo errado se N =? (Tele, 3--6) Símbolos equiprováveis com mapeameno de Gray são modulados em QAM. a) Considere 6-QAM. Deermine o valor aproximado da probabilidade de bi errado se Es N = db. b) Agora considere a conselação de 64-QAM. Calcule o número médio de vizinhos mais próximos. Exercícios de modulações digiais 5

16 c) Um canal passa-banda de 4 khz é usado para ransmiir dados à axa de 96 bis/s. Deseja-se usar modulação M-QAM e impulsos de sinal de cosseno elevado com um facor de roll-off de, no mínimo,,5. Qual é o menor valor de M? Exercícios de modulações digiais 6

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