Projecções Cartográficas. João Matos Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Transcrição

1 Projecções Cartográficas João Matos Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura (Versão.1) 7 Março 007

2 Motivação Embora seja actualmente possível realizar cálculos sobre uma superfície elipsoidal, e até mesmo a sua representação para visualização, é mais prática a utilização de representações planas da superfície terrestre e das características geográficas sobre ela distribuídas. A uma projecção cartográfica corresponde um sistema de coordenadas no plano cartográfico.

3 O mais antigo mapa conhecido Babilónia ( ac)

4 Cláudio Ptolomeu (87-150) Ptolomeu é considerado o primeiro cartógrafo moderno. Activo no século II, compila um mapa com mais de 8000 nomes de locais em função da latitude e da longitude. Os erros cometidos, principalmente na medição de longitude, deram origem a erros de escala que reduziram a dimensão da Terra a cerca de ¾ da dimensão real. O seu mapa foi utilizado até ao início da época dos descobrimentos e o problema da dimensão da Terra terá induzido Colombo a fazer a viagem para o Oriente dirigindo-se para Ocidente.

5 Mapa de Hereford (se. XIII) ÁSIA EUOPA ÁFICA Mapa do tipo T em O, preenchido principalmente com referências bíblicas e outras referências mitológicas

6 Gerardus Mercator e Pedro Nunes Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569)

7 Projecção Cartográfica Uma projecção cartográfica é uma função que transforma coordenadas geodésicas elipsoidais em coordenadas cartográficas

8 Deformação O elipsóide, assim como a esfera, não é uma superfície planificável. De um modo simplificado, pode dizer-se que o princípio genérico de uma projecção cartográfica é a aplicação do elipsóide (ou da esfera) numa superfície plana ou planificável (cilindro e cone). A projecção implica necessariamente a existência de deformação da geometria. Os valores de ângulos, distâncias e áreas surgem alterados relativamente aos valores correspondentes no elipsóide. As deformações têm valores que podem ser calculados, não se tratam de erros, e por uma adequada escolha da função de projecção e dos respectivos parâmetros é possível manter os valores de deformação dentro de limites toleráveis. As projecções cartográficas classificam-se em conformes (quando preservam os ângulos de figuras infinitesimais), equivalentes (quando preservam as áreas de figuras infinitesimais) e equidistantes (quando preservam as distâncias a um ponto).

9 Projecções da Esfera Projecção de Eratóstenes M 0 = ( λ - λ 0 ) = Δ λ, P = ( - ) = Δ, onde é o raio da esfera e (0,λ0) são as coordenadas do ponto central. Inversa da Projecção de Eratóstenes M λ = λ 0, = 0 P.

10 Projecções Gnomónica, Estereográfica e Ortográfica Estereográfica Gnomónica Ortográfica

11 A = Cos Sen Δ λ, B = ( Cos Sen - Sen Cos Cos Δ λ ), C = Sen Sen Cos Cos Cos Δ λ, M = A C, P = B C, Gnomónica M = A 1 C, P = B 1 C, Estereográfica M = A, P = B Ortográfica

12 Projecção de Mercator

13 Projecções do Elipsóide Dado um ponto central (f o, l o ), o ponto de coordenadas geodésicas (f, l) é transformado pela projecção de Bonne no ponto de coordenadas cartográficas: ), ( )cos ( ) ( )sen ( θ β β θ β = = o P M, ) ( ) )( ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); )cotg( ( β λ λ θ σ σ β β β = = = p M sendo s(f), M(f), e p(f) respectivamente o comprimento do arco de meridiano do equador até à latitude, o raio de curvatura do meridiano e o raio de curvatura do paralelo. em que A projecção de Bonne é uma projecção pseudo cónica equivalente.

14 [ ],...) cos cos cos (1 cos sen = k k k k P N λ λ λ λ σ...), cos cos cos (1 cos = k k k k M N λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ). tg 543 tg 3111tg 1385, tg 179 tg 479 tg 61, tg tg 3 tg 1 6 tg tg 11, 9 tg 40 tg 58 tg 14, tg 4, tg = = = = = = k k k k k k M N M N M N M N M N M N M N M N M N Dado um ponto central (f o, l o ), o ponto de coordenadas geodésicas (f, l) é transformado pela projecção de Gauss-Kruger no ponto de coordenadas cartográficas:

15 Polo Norte Ponto Central coord. geodésicas Equador POJECÇÃO CATOGÁFICA P M coord. cartográficas

16 Projecções Cartográficas em Portugal Ponto Central Latitude: 39º 40 Longitude: 1º Leste do Castelo de S. Jorge (correspondia a -8º 7 54,86 ) Projecção Gauss-Kruger sobre datum Lisboa Projecção de Bonne sobre datum Lisboa (variante com elipsóide de Bessel) Projecção Gauss-Kruger sobre datum Lisboa com falsa origem DX=00km; DY=300km Projecção Gauss-Kruger sobre datum 73 com falsa origem DX=180,598m ; DY=-86,990 Projecção Gauss-Kruger / ETF89 Meridiano Central: -8º 7 59,19,Latitude do Ponto Central : 39º 40 05,73 ; Factor de Escala=1; Falsa Origem: DX=00km,DY=0 Projecção Gauss-Kruger / UTM ED50 Meridiano Central: 9º E; Factor de Escala=0,9996; Falsa Origem: DX=500km,DY=0 UTM Madeira, Porto Santo e Selvagens (Fuso 8); Açores Grupo Central e Oriental (Fuso 6); Açores Grupo Ocidental (Fuso 5)

17 Datum LX (elipsóide de Hayford) Projecção Gauss-Kruger Ponto Central Latitude: 39º 40 Longitude: -8º 7 54,86 Falsa Origem DX=0 m DY=0 m Y X HGDLx

18 Datum LX (elipsóide de Hayford) Projecção Gauss-Kruger Ponto Central Latitude: 39º 40 Longitude: -8º 7 54,86 Y Falsa Origem DX= m DY= m (00,300) HGDLxMil X

19 Datum 73 (elipsóide de Hayford) Projecção Gauss-Kruger Ponto Central Latitude: 39º 40 Longitude: -8º 7 54,86 Y Falsa Origem DX=180,598m DY=-86,990 X HGD73

20 Datum LX (elipsóide de Bessel) Projecção Gauss-Kruger Ponto Central Latitude: 39º 40 Longitude: -8º 7 54,86 Falsa Origem DX=0 m DY=0 m X Y BBDLx

21 Datum ETF89 (elipsóide GS80 a = m f = 1 / 98,57 101) Projecção Gauss-Kruger Ponto Central Latitude: 39º 40 05,73 Y Longitude: -8º 7 59,19 Falsa Origem DX=0 m DY=0 m X GKETF89

22 Datum ED50 (elipsóide de Hayford) Projecção Gauss-Kruger Ponto Central Latitude: 0º 0 00,000 Y Longitude: -9º 0 00,000 Falsa Origem DX= m DY= 0 m Factor de escala: 0,9996 X UTMED50

23 O Sistema UTM (Universal Transverse Mercator) Sistema introduzido pela NATO com vista a normalizar projecções cartográficas e identificação de locais. Consiste numa colecção de projecções, com as seguintes características: Projecção de Gauss-Kruger, Elipsóide de Hayford, Factor de Escala: 0,9996, Falsa origem em X de 500 km e Falsa Origem em Y de 10000km aplicada no hemisfério Sul O elipsóide é dividido em 60 fusos de 6º, sendo a cada fuso associado um meridiano central de projecção (,-9º,-3º,3º,9º, ) O datum é variável até dentro de um mesmo fuso

24 Divisão por fusos e por intervalos de latitude (a cada intervalo de 8º corresponde uma letra, a letra X corresponde a um intervalo de 1º ; não se utiliza o I e o O, as letras A,B,Y,Z são reservadas para os polos)

25 A utilização da quadrícula UTM, principalmente em utilizações militares, é feita com a seguinte estrutura: <Fuso> <Zona>< Quadrado de 100 km> <eferência numérica ao canto inferior esquerdo de um quadrado um número par de algarismos em que a primeira metade representa o valor de X e a segunda o valor de Y> Exemplo: 18S UT 9 epresenta um quadrado de 10km no fuso 18, zona S, quadrado de 100km UT, X=90km, Y=0km 18S UT 916 epresenta um quadrado de 1km no fuso 18, zona S, quadrado de 100km UT, X=91km, Y=6km 18S UT epresenta um quadrado de 100m no fuso 18, zona S, quadrado de 100km UT, X=91,3km, Y=6,5km Em geral é utilizada a referência a um quadrado de 100m mas pode aumentar-se o número de dígitos se necessário

26 Questões de consolidação e revisão de conhecimentos Porque razão, em trabalhos topográficos, não se utiliza uma única projecção para todo o planeta? Tendo em conta a existência de deformação, o que significa representação à escala 1/1000? Uma mesma projecção, aplicada sobre dois data diferentes com os mesmos parâmetros e para um mesmo ponto, produz coordenadas cartográficas iguais? Qual a relação entre o Norte Cartográfico, o Norte Geográfico e o Norte Magnético? Sugestões de Pesquisa Understanding Maps : A Systematic history of their use and development; Alan Hodgkiss, Ed. Wm Dawson & Son, 1981 Map Projections ; Erik Grafarend; Friedrich Krumm, Ed. Springer-Verlag, 006

27 Exercícios Considerando o vértice geodésico IST (f IST = 38 o , l IST = - 9 o ), determine qual a diferença entre os valores das suas coordenadas cartográficas no sistema de projeccção Hayford-Gauss Datum 73 e numa projecção estereográfica, sendo esta construída com o mesmo ponto central e a mesma falsa origem que a projecção referida. Quais as coordenadas cartográficas do vértice IST, projectadas com a projecção ortográfica aplicada a um plano tangente num ponto de coordenadas: f =39 o 30 0,0 l =8 o 10 0,66 (Considere uma esfera com raio igual a 6374 km).

28 Casos de aplicação O território de Timor-Leste é coberto pelos fusos 51 e 5 do sistema UTM, tendo-se optado por utilizar somente a projecção no fuso 51, considerando o valor da deformação no extremo Leste como negligenciável face à complexidade introduzida por dois sistemas de projecção. Datum: WGS84 (ITF 000) Projecção: Gauss-Kruger Meridiano Central : 13 o E Latitude do P.Central: 0 o Factor de escala: 0,9996 Falsa origem: DX: 500 km DY: km