VII Congresso de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade de Évora 14 a 16 de Abril de 2003

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1 VII Congresso de Mecânica Aplicada e Compuacional Universidade de Évora 4 a 6 de Abril de 003 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO ENRE IMAGENS DE OBJECOS DEFORMÁVEIS Raquel Ramos Pinho, João Manuel R. S. avares RESUMO Nesa comunicação é apresenada uma abordagem que, aravés da resolução da equação dinâmica de equilíbrio, permie que sejam deerminadas imagens inermédias de duas imagens dadas, aendendo às propriedades físicas do maerial virual uilizado na modelação. A abordagem apresenada pressupõe a modelação física dos objecos represenados nas imagens por inermédio do Méodo dos Elemenos Finios, e que foram esabelecidas correspondências enre alguns nodos por Análise Modal. Na comunicação são apresenadas a modelação uilizada, a meodologia considerada para a deerminação dos emparelhamenos, os méodos numéricos usados na resolução numérica da equação de equilíbrio, as soluções enconradas para esimar de forma razoável o deslocameno, e velocidade iniciais, as cargas envolvidas na ransformação, assim como os procedimenos empregues para resolver os problemas associados aos nodos não emparelhados com êxio por análise modal. Ese processo poderá ser aplicado enre imagens de objecos disinos, ou enre imagens de um objeco em insanes diferenes (por exemplo, para fazer a reconsrução ridimensional de objecos a parir de imagens bidimensionais).. INRODUÇÃO Exisindo já um vaso rabalho no âmbio do esabelecimeno de correspondências enre ponos de imagens disinas, nem sempre a esimação do movimeno das imagens é feia de forma coerene quer com as propriedades físicas dos objecos associados, quer com as forças aplicadas em alguns ponos dos mesmos. Devido às necessidades da visão compuacional em esimar alerações na posição, na orienação e na forma dos objecos em esudo, pode ser uilizada uma formulação física para modelisar os objecos., LOME Laboraório de Ópica e Mecânica Experimenal, DEMEGI, FEUP Faculdade de Engenharia, Universidade do Poro. {rrpinho@homail.com, avares@fe.up.p} Professor Auxiliar, DEMEGI, FEUP Faculdade de Engenharia, Universidade do Poro.

2 VII Congresso de Mecânica Aplicada e Compuacional omando por base o rabalho realizado por Nasar (994), Sclaroff (995) e avares (000), uilizamos a discreização dos objecos em causa via méodo dos elemenos finios pelo elemeno finio isoparamérico de Sclaroff, consideramos deerminadas pare das correspondências nodais enre duas imagens, e calculadas as marizes de massa e rigidez. Desa forma, represenamos o alinhameno enre imagens dadas, de acordo com as resrições físicas dos objecos associados. Foi o nosso principal objecivo, aravés de uma simulação física, deerminar e represenar as deformações aplicadas em cada inervalo de empo por inermédio da resolução da equação dinâmica de equilíbrio, sendo as equações do elemeno finio inegradas no empo aé que sejam saisfeias as condições de paragem especificadas pelo uilizador. Para resolver a equação dinâmica de equilíbrio recorremos aos méodos da Diferença Cenral, de Newmark e da Sobreposição de Modos, e comparamos a eficácia e exacidão de cada um. Uma vez que nese rabalho se preende esimar o movimeno de objecos em imagens, sem informações adicionais sobre as mesmas, são descrias as soluções enconradas para esimar, saisfaoriamene, as cargas aplicadas nos nodos emparelhados, o deslocameno inicial e a velocidade inicial. Nese rabalho assumimos que poderão exisir nodos que não são emparelhados por análise modal, porano, é apresenada a solução enconrada para esimar as cargas aplicadas neses nodos. Na práica, o rabalho desenvolvido pode ser uilizado para fazer o morphing (ransformação de um objeco nouro) segundo princípios físicos, a segmenação de objecos, a reconsrução de objecos ridimensionais a parir de alguns cores bidimensionais... Ese processo pode ser aplicado quer a objecos diferenes, quer a imagens disinas do mesmo objeco. Esa comunicação esá organizada segundo a ordem sequencial das ideias mencionadas. Assim, começamos por fazer uma breve descrição do elemeno finio isoparamérico de Sclaroff, seguindo-lhe a apresenação da solução uilizada para esabelecer as correspondências enre nodos por análise modal. No pono seguine é feia uma breve descrição dos méodos de inegração uilizados. Após o que são descrias as soluções enconradas para esimar o deslocameno e a velocidade iniciais. É ambém descria a solução adopada para permiir a uilização de objecos com alguns nodos não emparelhados. De seguida, são apresenados alguns resulados experimenais. E, por úlimo, são apresenadas algumas conclusões finais e perspecivas de desenvolvimenos fuuros.. ELEMENO ISOPARAMÉRICO DE SCLAROFF Usando o méodo de Galerkin (ver, por exemplo, Bahe (996)) para discreizar um dado objeco real, pode-se ober um sisema de funções de forma que relacionam o deslocameno de um único pono com o deslocameno de odos os ouros nodos do objeco, no caso presene, o elemeno isoparamérico de Sclaroff (995). Assim, para consruir a mariz de proximidade, H, que raduz as disâncias enre os ponos do objeco, uilizam-se, as funções gaussianas /( σ ) X Xi gi ( X) = e, () onde X i é o cenro de dimensão n do objeco e σ é o desvio padrão que conrola a ineracção enre os dados do objeco, para consruir as funções de inerpolação, h i, dadas por m hi( X) = aikgk( X), () k =

3 Sessão Modelação Numérica 3 onde a ik são coeficienes ais que h i ome valores não-nulos apenas no nodo i, e m é o número de ponos amosrais da imagem. A mariz, A, dos coeficienes de inerpolação, a ik, pode ser deerminada por inversão da mariz G definida como: g( x) g( xm ) G =. (3) gm( x ) gm( xm) Dese modo, a mariz de inerpolação do elemeno isoparamérico de Sclaroff, para um objeco bidimensional, será da forma h hm 0 0 H( x) = 0 0 h. (4) hm A consrução das marizes de massa, M, e rigidez, K, pode ser consulada em Sclaroff (995) ou avares (000). A mariz de amorecimeno uilizada nese rabalho, C, consise na combinação linear das marizes de massa e rigidez previamene deerminadas: C = ˆ αm + ˆ β K, (5) onde ˆα e ˆ β são, respecivamene, as consanes de massa e rigidez do amorecimeno proporcional, deerminadas em função das fracções de amorecimeno críico (Cook, (986)). 3. EMPARELHAMENO MODAL O esabelecimeno das correspondências enre os m e n nodos dos modelos inicial,, e objecivo, +, respecivamene, é feio aravés da resolução do problema de valores próprios generalizado de cada um: KΦ= MΦΩ, (6) onde (para um modelo bidimensional com m nodos) u ω O u m Φ= [ φ φm ] =, e Ω= v, (7) O ω m v m sendo que o vecor de forma do modo i, φ i, para objecos bidimensionais descreve o deslocameno (u, v) para cada nodo devido a esse modo, e na mariz diagonal Ω os quadrados das frequências de vibração são ordenados de forma crescene. Consruídas as marizes modais Φ e Φ +, para os modelos e +, respecivamene, as correspondências obém-se por comparação dos deslocamenos de cada nodo nos respecivos espaços modais. Assim, é consruída uma mariz de afinidades, Z, cujos elemenos são dados por: Z ij, i, j, i, j = u u + v v, (8) onde os melhores emparelhamenos são indicados pelos mínimos na sua linha e na sua coluna. De salienar que a afinidade enre os ponos i e j será nula se o emparelhameno for perfeio, e aumenará à medida que o emparelhameno piora (avares (000)). Na consrução

4 VII Congresso de Mecânica Aplicada e Compuacional 4 desa mariz é normal desprezar-se os modos não rígidos e/ou os modos de ala ordem (avares e Barbosa (000)). 4. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DINÂMICA DE EQUILÍBRIO Nese rabalho esimamos o alinhameno de dois modelos por simulação física, que é conseguido aravés da inegração no empo da equação do elemeno finio isoparamérico de Sclaroff. Por ese processo as deformações são calculadas a cada insane aravés da equação dinâmica de equilíbrio de Lagrange: U + C U +Ω U =Φ R, (9) onde U e U são, respecivamene, a segunda e primeira derivadas emporais do vecor dos deslocamenos modais e C é a mariz diagonal de amorecimeno global. De salienar que os deslocamenos nodais, U, que alinham ponos correspondenes podem ser descrios por: U = X X, (0) i, i, i onde X,i é o i-ésimo nodo da primeira forma, e X,i o da segunda forma, e U i é o deslocameno do nodo i. E que a mariz Φ é a ransformação de coordenadas generalizada uilizada para ransformar os deslocamenos modais, U, nos nodais, U, e vice-versa: U = ΦU. () 4. Méodo da Diferença Cenral O méodo da Diferença Cenral considera ( ) U U U U + = +, e, U = ( U + + U ), () cujo erro de runcaura é da ordem de. Assim, a solução do campo de deslocamenos para + é obida a parir da consideração da equação dinâmica de equilíbrio no insane, MU + CU + KU = R, (3) onde se subsiuem as igualdades em () para ober + M + C U = R K M U M C U (4) + que é resolvida em ordem a U. Convém noar que para iniciar o processo resoluivo são necessários o deslocameno e velocidade iniciais, assim como as cargas aplicadas a cada insane. ambém, é necessário U (uma vez que o cálculo de U é feio a parir dos dois insanes de empo imediaamene aneriores, U e U ), o que pode ser calculado a parir de (), obendo-se 0 0 Ui = Ui U i + U i, (5) onde o índice i indica a i-ésima componene do vecor considerado. Ese méodo geralmene só é aplicado quando se pode assumir que mariz de massa é diagonal e o amorecimeno pode ser negligenciado, uma vez que nesas circunsâncias o seu cuso compuacional é menor (Bahe (996)). Caso as marizes de massa e de rigidez sejam diagonais, (3) represena um sisema de equações desacopladas, e nese caso o méodo apresenado é economicamene compeiivo com os méodos ímplicios (Cook (989)). Conudo, as marizes de massa e de amorecimeno de Rayleigh uilizadas, não são diagonais, e o méodo da Diferença Cenral al como foi descrio acima é mais preciso para

5 Sessão Modelação Numérica 5 marizes de massa e de amorecimeno diagonais (Cook (989)). Ese problema é conornado, subsiuindo as aproximações da aceleração e velocidade em () por + U = U U, e, U = ( U U ). (6) Assim a equação (3) sofre um araso na velocidade em meio inervalo de empo: MU + CU + KU = R, (7) e o esquema do méodo da Diferença Cenral adequado às siuações em que C e M não são diagonais é dado por: + sendo que MU = R KU + M U U CU +, (8) U é acualizado em cada ieração aravés de (6). Para ser inicializado, ese 0 méodo requer U e U (que foi aproximado por U ). Ainda que as equações (6) sejam de segunda ordem, ese esquema em precisão de primeira ordem quando a mariz de amorecimeno é não nula, uma vez que as forças viscosas, CU, esão arasadas meio inervalo de empo. Conudo, uma desvanagem do méodo da Diferença Cenral é o amanho do passo de empo, que deve ser relaivamene reduzido, já que ese méodo é condicionalmene esável (Bahe (996)). Se para o esquema (4) era necessário que, (9) ωmax já o esquema (8) é mais resriivo uma vez que ( + ξ ξ ), (0) ωmax onde ξ é a fracção de amorecimeno críico na maior frequência naural sem amorecimeno, ω max (Cook (989)). 4.. Méodo de Newmark O méodo de Newmark considera + + U = U + [( δ ) U + δu ] + + = U U U α U () αu onde α e δ são parâmeros a deerminar por forma a que sejam obidos resulados saisfaórios e esáveis (Bahe (996)). Subsiuindo () na equação dinâmica de equilíbrio obém-se δ + δ δ M + C + K U = R + M + C U + M C U α α α α α α () + M ( ) C U δ δ α α Segundo Cook (989), ese méodo é incondicionalmene esável para α δ 0.5. Conudo, convém salienar que para qualquer valor de α, se δ =0.5, ese méodo não possui amorecimeno numérico. Se δ >0.5, é inroduzido amorecimeno arificial, mas ambém, se 0

6 VII Congresso de Mecânica Aplicada e Compuacional 6 obém valores menos exacos, uma vez que os resulados obidos êm precisão de primeira ordem. Quando α = δ + 4, (3) é maximizada a dissipação de ala frequência para qualquer valor de δ >0.5 (Cook (989)) Méodo da Sobreposição de Modos Ese méodo propõe a seguine ransformação: U () =ΦX (), (4) e assim, obêm-se como equações de equilíbrio correspondenes aos deslocamenos modais generalizados X () +Φ CΦ X () +Ω X () =Φ R (), (5) já que Φ KΦ=Ω e Φ M Φ= I, (6) onde I represena a mariz idenidade. O objecivo desa ransformação consise em ober novas marizes de rigidez, massa e amorecimeno com menor largura de banda, diminuindo, desa forma, o esforço compuacional (Bahe, (996)). Nese rabalho uilizamos o méodo da Diferença Cenral ou o méodo de Newmark para resolver (5). Assim, a resolução do méodo da Sobreposição de Modos usando o méodo da Diferença Cenral é feia aravés de + I + Φ CΦ X = Φ R Ω I X I Φ CΦ X. (7) De salienar que quando se resolve a equação (5) pelo méodo da Diferença Cenral o esquema a uilizar é o primeiro apresenado, (4), uma vez que Φ CΦ é uma mariz diagonal. Quando se uiliza o méodo de Newmark para resolver a equação dada pelo méodo de Sobreposição de Modos (de maneira análoga ao que foi feio para o méodo da Diferença Cenral), uiliza-se o esquema proposo aneriormene para o méodo de Newmark, com subsiuição das marizes M, C e K por I, Φ CΦ e Ω, respecivamene. Ese méodo possibilia que apenas alguns modos sejam uilizados nos cálculos, já que em alguns problemas os modos de ala frequência paricipam pouco no movimeno, e apenas uma pare dos modos de baixa frequência precisa de ser usada. A medida referida reduz o cuso compuacional associado ao processo de resolução da equação dinâmica de equilíbrio e despreza, essencialmene, as componenes locais da ransformação. 5. ADAPAÇÕES Nese pono descreveremos a resolução de alguns problemas relacionados com a fala de informações relaivas aos objecos em esudo e ao seu movimeno/deformação. 5. Deslocameno e Velocidade Iniciais odos os méodos de inegração uilizados nese rabalho requerem para o arranque do processo resoluivo o deslocameno e velocidade iniciais. A solução enconrada para esimar o deslocameno inicial e a velocidade inicial em função do deslocameno preendido,

7 Sessão Modelação Numérica 7 obedecendo a uma necessidade de comodidade da sua especificação por pare dos uilizadores da meodologia, foi a que se segue: 0 U () i = cu* ( X, i X, i), (8) onde 0 () U i represena a i-ésima componene do vecor deslocameno inicial, e cu é uma consane compreendida enre 0 e a especificar pelo uilizador. A velocidade inicial é calculada em função do deslocameno inicial: 0 0 U i = cu i () (), (9) v onde c v é uma consane a definir pelo uilizador. De salienar que nese rabalho uilizamos os mesmos valores de c u e c v para odos os nodos. 5. Nodos não emparelhados As cargas aplicadas sobre os nodos emparelhados foram esimadas por R i k X X, (30) () = *(, i j, i) onde R( i ) represena a i-ésima componene do vecor de cargas quando i é um nodo emparelhado pelo méodo modal, X,i são as coordenadas na imagem final do nodo i, X j,i represena as coordenadas do nodo i na imagem j, e k é a consane global de rigidez (nese rabalho consideramos a consane global de rigidez igual para odos os componenes de R). O problema associado aos nodos não emparelhados da imagem inicial consise em não serem conhecidas as coordenadas desses nodos na imagem objecivo. Assim, nese rabalho se B for um nodo não emparelhado compreendido enre os nodos A e C, emparelhados com A' e C' respecivamene, e se B corresponder ao i-éssimo nodo da imagem inicial, a componene do vecor de cargas referene a ese nodo é dada por: D D B Ri () = k ( X, B' X, i) B ' odos os D, (3) nodos enre A' e C' onde D represena a soma das disâncias de odos os nodos envolvidos no cálculo do vecor de cargas para o nodo não emparelhado, e D B represena a disância do nodo B ao nodo não emparelhado. Conudo, a fórmula do deslocameno inicial, (8), não esá definida para os nodos não emparelhados da imagem final. O que se opou por fazer, aendendo a que esa mesma dificuldade foi ulrapassada no cálculo dos vecores de cargas aplicadas para nodos não emparelhados, foi especificar o deslocameno inicial em função do vecor de cargas inicial. omando, 0 c () u U i = R() i se k 0 k (3) 0 U () i = 0 se k = 0 noamos que (a menos que k seja nulo) o deslocameno inicial dos nodos emparelhados é idênico ao que foi esipulado em (8). Para cada nodo não emparelhado da imagem inicial, o deslocameno inicial vai ser influenciado, al como as cargas, pelos nodos da imagem final que esão compreendidos enre os nodos que emparelham os adjacenes ao nodo não emparelhado. O peso aribuído a cada nodo da imagem final para o vecor de deslocameno inicial será igual ao que foi aribuído na consiuição do vecor de cargas para nodos não emparelhados. Noe-se que esa solução baseia-se no princípio de vizinhança, iso é, nodos vizinhos na imagem inicial devem maner-se como al na imagem final.

8 VII Congresso de Mecânica Aplicada e Compuacional 8 6. RESULADOS EXPERIMENAIS Ese rabalho foi inegrado numa plaaforma genérica de desenvolvimeno e ensaio de algorimos de processameno, análise de imagem e compuação gráfica (cuja apresenação dealhada poderá ser enconrada em avares (000)). Apresenaremos, de seguida alguns dos resulados obidos, mas uma análise mais cuidada pode ser enconrada em Pinho (00). De salienar que odas as imagens apresenadas incluem os nodos das imagens inicial e objecivo (não ligados por segmenos de reca), e os resulados obidos esão represenados em escala de cinzenos por inensidade das cargas aplicadas (unindo os nodos obidos em cada ieração por segmenos de reca), correspondendo cargas menos inensas a níveis mais escuros de cinzeno. Consideremos os conornos, A e B, represenados na figura, consiuídos por 6 nodos (cada) dos quais 59 emparelhados por análise modal. Uilizando como maerial virual o polieileno, consane de rigidez global k =, passo de empo =, níveis de amorecimeno críico enre 0.5% e 3%, e saisfazendo-nos a obenção de uma imagem que aproxime a imagem objecivo a menos de 40 pixels 3 (a que corresponde uma aproximação média de cada nodo a menos de,3 pixels) obivemos os resulados apresenados nas figuras e 3. A resrição de paragem considerada permie que o processo resoluivo ermine anes que seja aingido o equilíbrio, pelo que os resulados aqui apresenados poderão ser melhorados, à cusa do aumeno significaivo do número de ierações uilizadas. Nas condições referidas, o méodo da Diferença Cenral uilizou 8 ierações, enquano que o méodo de Newmark conseguiu uma aproximação equivalene à 9ª ieração. No méodo de Sobreposição de Modos considerando apenas /3 dos modos a precisão dos resulados obidos é afecada, pelo que aumenamos o criério de paragem para 0 pixels (iso é, uma média de 3,7 pixels de disância de cada nodo). Assim, o méodo de Sobreposição de Modos com o méodo da Diferença Cenral uilizou 9 ierações, enquano que com o de Newmark uilizaram-se 0 ierações (figuras 4 e 5). Na figura 6 esão represenados os emparelhamenos dos conornos C e D, composos por 3 e 8 nodos, respecivamene, dos quais 6 foram emparelhados por análise modal. Quando se uiliza como maerial virual o polieileno, consane de rigidez global k =, amorecimeno críico enre 0.5% e 3%, parando o processo quando os resulados obidos disam menos do que 30 pixels da imagem objecivo, obemos os resulados obidos nas figuras 7 a 0. Nas condições mencionadas o méodo da Diferença Cenral pára em 8 ierações, enquano que os resanes param em 9 ierações. B A Fig. Emparelhameno modal dos conornos A e B Fig. Passos do méodo da Diferença Cenral Fig. 3 Passos do méodo de Newmark 3 Pela forma como foram esimadas as cargas aplicadas sobre os nodos, à medida que se obém melhores aproximações da imagem final, as inensidades das cargas aplicadas vão diminuíndo. Assim, o criério de paragem referido é equivalene a um criério de equilíbrio baseado na inensidade das forças aplicadas.

9 Sessão Modelação Numérica 9 Fig. 4 Passos do méodo da Sobreposição de Modos (com /3 dos modos), usando o méodo da Diferença Cenral Fig. 5 usando o méodo de Newmark C D Fig. 6 -Emparelhameno modal dos conornos C e D Fig. 7 - Passos do méodo da Diferença Cenral Fig. 8...de Newmark Fig. 9...da Sobreposição de Modos (/3 dos modos), com o méodo da Diferença Cenral Fig. 0 de Newmark 7. CONCLUSÕES E PERSPECIVAS DE RABALHO FUURO Nese rabalho propusemo-nos a esimar o campo de deslocamenos enre imagens de objecos deformáveis, aendendo às propriedades físicas dos modelos uilizados. Caso as imagens dadas enham odos os nodos emparelhados enão as cargas aplicadas são proporcionais às disâncias de cada nodo e o seu correspondene na imagem final. Mas, ambém uilizamos uma solução que permie alargar o domínio de aplicabilidade da resolução da equação de Lagrange a objecos cujos nodos não esejam odos emparelhados. Assim, para cada nodo não emparelhado aplicamos uma força resulane, que consise na média ponderada das forças que araem esse pono para os nodos da imagem final, compreendidos enre os nodos que correspondem aos nodos emparelhados adjacenes a esse pono (baseado no criério de vizinhança). Assim, afinando os valores da consane global de rigidez, podem ober-se aproximações razoáveis da forma objecivo, mesmo quando os objecos dados não foram oalmene emparelhadas com sucesso pela análise modal. Nese rabalho a equação dinâmica de equilíbrio foi resolvida com o méodo da Diferença Cenral, com o méodo de Newmark e com o méodo de Sobreposição de Modos. Quano à eficácia dos méodos de inegração uilizados, verificou-se que, salvo raras excepções, odos os méodos obiveram resulados análogos, a menos do méodo da Diferença Cenral, já que quando se uiliza o algorimo com as forças viscosas desfasadas em meio passo de empo, ese méodo em precisão de primeira ordem. Os resanes méodos

10 VII Congresso de Mecânica Aplicada e Compuacional 0 uilizados êm precisão de O( ) (de salienar que uilizamos o méodo de Newmark com δ = 0.5). Por ouro lado, quando recorremos ao méodo da Sobreposição de Modos, e se uilizou apenas uma pare dos modos, o cuso compuacional foi reduzido, conudo a exacidão dos resulados obidos foi, claramene, afecada. Fizemos a análise do campo de deslocamenos enre imagens bidimensionais de objecos deformáveis. O rabalho desenvolvido pode, em rabalhos fuuros, ser expandido para imagens ridimensionais. Para esimar as cargas aplicadas sobre os nodos uilizamos uma consane de rigidez global e um inervalo de empo fixo. Conudo poder-se-á fazer um esudo análogo ao que foi feio, mas em que se vão acrescenando as informações obidas acerca do comporameno do objeco em cada ieração, e afinar os parâmeros iniciais, no senido de, evenualmene, poder melhorar os resulados obidos. Foi necessário esimar as cargas aplicadas sobre os nodos consiuines da imagem inicial. Assim, ese rabalho poderá ser desenvolvido aravés da procura de modelos alernaivos de represenação das forças aplicadas (aendendo sempre à possibilidade de exisência de nodos não emparelhados). 8. REFERÊNCIAS Bahe, K., Finie Elemen Procedures, Prenice-Hall, 996. Cook, R., Malkus D., Plesha M., Conceps and Applicaions of Finie Elemen Analysis, Wiley, 989. Nasar, C., PhD hesis: Modèles Phisiques Déformables e Modes Vibraoires pour l Analyse du Mouvemen non-rigide dans les Images Mulidimensionnelles, L École Naionale des Pons e Chaussées, 994. Pinho, R., Disseração submeida para aribuição do grau de mesre em Méodos Compuacionais em Ciências e Engenharia: Deerminação do Campo de Deslocamenos a parir de Imagens de Objecos Deformáveis, FCUP, FEUP, Universidade do Poro, 00. Sclaroff, S., PhD hesis: Modal Maching: A Mehod for Describing, Comparing, and Manipulaing Digial Signals, MI, 995. avares, J., ese de Douorameno: Análise de Movimeno de Corpos Deformáveis usando Visão Compuacional, FEUP, 000. avares, J., Barbosa, J., Padilha, A., Deerminação de Correspondência enre Modelos de Conorno e de Superfície, uilizando Modelização por Elemenos Finios e Análise Modal, em Visão por Compuador, VI Congresso Nacional de Mecânica Aplicada e Compuacional, Aveiro, 000.