Métodos de Modelagem Numérica

Transcrição

1 Disciplina: Méodos de Modelagem Numérica Enilson Palmeira Cavalcani Universidade Federal de Campina Grande Cenro de Tecnologia e Recursos Naurais Unidade Acadêmica de Ciências Amoséricas Programa de Pós-Graduação em Meeorologia

2 Tipos de modelos Modelo de pono de grade Modelo especral Modelo de elemenos inios Modelos de pono de grade e especral e elemenos inios são baseados nas mesmas equações primiivas. Enreano, cada ipo ormula e resolve as equações de orma dierene. Dierenes ones de erro são associados a cada ipo de modelo.

3 Modelo de pono de grade Represena os dados de orma discrea em ponos ios de uma grade ou malha.

4 Modelo de pono de grade Esruura de GRADES ou Malhas segundo ARAKAWA e LAMB (1977) u e v são as componenes do veno e h uma variável ermodinâmica qualquer.

5 Modelo de pono de grade Caracerísicas 1) Os dados são represenados em ponos de grade. ) Resolução é unção do espaçameno da grade. 3) Todos os cálculos são eeuados para os ponos de grade por dierenças inias. 4) Dierenças inias induz erros de runcameno. 5) O erro de runcameno é unção do espaçameno da grade e do ime-sep.

6 Modelo de pono de grade Dierenças inias Considere a variável: (,, ) i j n, (Para rene),,,,,,,, (Para rás) 1, 1, 1,, 1, (Cenrada),,,,, (Cenrada)

7 Modelo de pono de grade Dierenças inias ( ) 3... ( ) [ ( )] k 1 1 ( k ) [ k ( k )] Avaliação de derivadas em,,,, 1, 1,,,

8 Modelo de pono de grade Dierenças inias em,,,,, 1, 1,, Dierenças inias em,,,, 1 1,,,,

9 Modelo de pono de grade Análise do erro 1 1 1! 3! n! 3 n 3 n,, ( ) ( )... ( ) 3 n,, Erro 1! ( ) 1 1 1! 3! n! 3 n 3 n,, ( ) ( )... ( ) 3 n,, Erro 1! ( ) Uilizando dierença inia para ree ou para rás observa-se o mesmo erro.

10 Modelo de pono de grade Análise do erro (cenrada) 1 1 1! 3! n! 3 n 3 n,, ( ) ( )... ( ) 3 n 1 1 1! 3! n! 3 n 3 n,, ( ) ( )... ( ) 3 n Subraindo a segunda da primeira equação, em-se: 1 3! ( n 1)! 3 ( n 1) 3 ( n 1),, ( )... ( ) 3 n,, Erro 3! 3 3 ( ) 3

11 Modelo de pono de grade E. Cálculo da advecção de emperaura T AT V. T u v T Porano, uilizando dierença inia cenrada, em-se T T T T A u v,,,, T,, T T T T A u v n n n n n i 1, j i 1, j n i, j 1 i, j 1 T i, j i, j

12 Modelo especral Usa unções conínuas em orma de ondas, os dados são represenados aravés de harmônicos de Fourier. No modelo especral a variação espacial da variável meeorológica é represenada por um número inio de harmônicos com dierenes comprimenos de onda. Na inegração numérica os componenes lineares são obidos pelo méodo especral. No enano, em-se processos ísicos, advecção verical e alguns ermos dinâmicos obidos em pono de grade por dierenças inias. Nese senido, o modelo especral é na verdade uma combinação de écnicas especrais e de pono de grade.

13 Modelo especral Na inegração numérica os componenes lineares são obidos pelo méodo especral. No enano, em-se processos ísicos, advecção verical e alguns ermos dinâmicos que são obidos em pono de grade por dierenças inias. Nese senido, o modelo especral é na verdade uma combinação de écnicas especrais e de pono de grade.

14 Modelo especral Caracerísicas 1) Os dados são represenados por unções ipo onda (harmônicos). ) A resolução é unção do número de onda (harmônico) usado no modelo. 3) A resolução do modelo é limiada pelo máimo número de ondas. 4) Os ermos lineares das equações podem ser calculadas sem inroduzir erro compuacional. 5) É usado grade para calcular ermos não lineares e ouros processos ísicos. 6) Ocorrem ransormações enre especral e pono de grade. 7) As equações podem ser inegradas com grande ime sep e por longo período. 8) Originalmene projeado para domínio global.

15 Modelo especral Formulação dos harmônicos de Fourier ase média p período A ampliude requência 1 p w requênciaangular ase angular X() μ Acosπ( θ) X() μ Acos(w ) p/ 1,, 3,...,T

16 Modelo especral Acos(w ) A( cosw cos senw sen ) αcosw X() μ αcosw βsenw p/ 1,, 3,...,T βsenw α Acos Asen α ag β A ( sen, cos cos sen ) arcag A sen cos Generalizando para N=T/ X() μ N j 1 A j cos(w j j ) p/ 1,, 3,...,T X ( ) j j N 1 ( j cosw j j senw ) j p/ 1,,3,..., T

17 Modelo especral Os coeicienes são obidos por: ˆ j T T X ( )cos w j 1 p/ j 1,,3,..., N 1 1 T T X ( )cos w j 1 p/ j N ˆ j T T X ( ) senw j 1 p/ j 1,,3,..., N 1 1 T T X ( ) senw j 1 0 p/ j 0, N

18 Modelo especral j j j w j p/ j 1,,3,..., N T 1, w1 T N, w N N T Onda mais lena Onda mais rápida (requência Nquis)

19 Coordenada Verical Tipos de Coordenadas Caresiana (,, z, ) Isobárica (,, p, ) Isenrópica (,,, ) Sigma (,,, )

20 Coordenada Verical Tipos de Coordenadas (a) (b) (c) (d) Esquema ilusrando as coordenadas: a) caresiana, b) isobárica, c) isenrópica e d) sigma, como visas em um sisema de coordenas caresianas.

21 Coordenada Verical Coordenadas sigma - eemplo p p s Topo Sup. 0 1 ( p p ) s ( p p ) T s 1 0 z ( z z ) T s ( z z ) T s Topo Sup. z T 0 ( ) T ( ) s T 0 1

22 Coordenada Verical Coordenadas ETA A coordenada ETA oi criada em 1980 para reduzir o erro no cálculo da orça do gradiene de pressão em modelos que usam coordenadas sigma. [ pr ( zs ) pt ]/[ pr ( z 0) pt ] Em que, p T é a pressão no opo do modelo; p r (z=0) é a pressão ao nível médio do mar 1013 hpa e p r (z s ) é a pressão amosérica para o nível z s.

23 Coordenada Verical Híbrido (sigma isenrópico) isenrópico híbrido sigma

24 Coordenada Verical Equações em coordenadas sigma?

25 Resolução horizonal Pono de grade Especral A resolução horizonal do modelo é deinida em ermos do espaçameno da grade (E.: 100 km, 10 km). A resolução horizonal do modelo é deinida em ermos do número de ondas (E.: T80, T60, T10). O que é ala ou baia resolução?

26 Resolução horizonal Maior onda Menor onda 360 Númerode onda N 360 Resolução TN o o N Maior Onda Menor Onda Eemplo : 0 1,5 3 4,5 6 7,5 Modelo T80 Menor onda 360 o 80 4,5 o

27 Resolução horizonal Equivalência com pono de grade Δ N o 1 3 Eemplo : Modelo T o ,95 o 100 km

28 Resolução Verical Em modelos a amosera é dividida em várias camadas. Os primeiros modelos inham enre 5 e 7 camadas, aualmene os modelos usam de 30 a 70 camadas na verical. Todo modelo usa uma esruura discrea na verical. Dada a imporância e escala dos processos na Camada Limie Planeária CLP os modelos apresenam maior densidade de camadas nos níveis baios. Em aliudes mais elevadas esas camadas ornam-se mais aasadas umas das ouras.

29 Resolução Verical A resolução verical de um modelo deve ser suicienemene capaz de: 1) incorporar os eeios de aquecimeno e resriameno diurno; ) Incorporar eeios locais das caracerísica espaciais da superície (solo, vegeação, umidade, ec.); 3) Resolver o escoameno e o cisalhameno na CLP; 4) Capurar regimes ageosróicos, como Correne de Jao na ala roposera; 5) Deecar inerações enre a esraosera e roposera incluindo múliplos jaos em alos níveis.

30 Resolução X Recursos compuacionais Aumeno da resolução (horizonal e verical) + ponos de grade + ísica e dinâmica + empo de inegração Lembrar Criério C.F.L. c 1 Aumeno do processameno

31 Condições de conorno Objeiva minimizar a releão de inormações indesejáveis para denro do domínio do modelo. Enreano, deve-se permiir a enrada de inormações de larga escala. C.C. Topo C.C. Superície C.C. Laeral

32 Condições de conorno laeral A condição de conorno laeral, ou de roneira laeral, em por princípio permiir que ondas de gravidade e ouros enômenos advecados enham passagem livre pela roneira e, assim, não consenir releão para o inerior da área de domínio. 1) Gradiene Maner na roneira um gradiene nulo ) Radiaivo ( n 1) ( n) 0 Supõe-se que esas ondas se movem como a propagação de uma onda linear, ormulada maemaicamene por: u c ( u )

33 Condições de conorno laeral Alguns méodos uilizados se dierenciam, basicamene, pela orma da obenção de c. # Orlanski (1976) propõe o cálculo pela epressão abaio. É calculada no passo de empo anerior e no primeiro pono inerior à roneira. c ( u ) /( u ) # Klemp & Lill (1978) sugerem que se aplique o valor da média verical segundo Orlanski, para oda a coluna do domínio. # Klemp & Wilhelmson (1978) sugerem o uso de um valor ípico para a velocidade de ase da onda de gravidade (10-30 m/s). Na práica, qualquer méodo aplicado como condição laeral não evia oalmene a releão, mas é alamene relevane que a releão seja mínima. 3) Esponja r 0 0 Em que é o coeiciene de relaação, é o valor desejado de para o conorno. u r( 0)

34 Condições de conorno laeral 4) Cíclica O valor da variável dependene para uma borda do domínio do modelo assume de orma idênica o mesmo valor da borda oposa. ( ) ( ) D 0 Em resumo, pode-se observar: 1) É ineressane remover o conorno laeral dando imporância a área de ineresse. ) Que as inormações de larga escala possam inluenciar aravés das bordas. 3) A condição Radiaiva possibilia uma epansão da área úil do modelo. Área úil

35 Condições de conorno no opo O opo do modelo deve ser suiciene para possibiliar a reirada de um camada deiando apenas uma alura úil (a eemplo do conorno laeral). Nese coneo é proposo que o opo do modelo alcance, a depender do ineresse, uma das seguines condições: 1) a base da Esraosera; ) a alura da Tropopausa e 3) a alura de uma camada esável. Parede Rígida ou Esponja

36 Condições de conorno à superície # Único conorno que em signiicado ísico. # Dierenes gradienes de variáveis dependenes geram circulações de mesoescala. # Topograia, solo nu, solo vegeado, corpo d água, ec. geram circulações. # Mudanças provocadas pelo homem ou animais podem acarrear subsanciais mudanças. Devido a imporância das Condições de Conorno à Superície, esas devem ser bem represenadas num modelo numérico da amosera. Obs.: É comum raar Terra e Água separadamene Corpos d água ( lagos, mares e oceanos) # Faz-se necessário permiir inerações dinâmicas e ermodinâmicas enre o ar e a água (ondas, correses oceânicas, gradienes de emperaura e salinidade, variações diurnas no gradiene verical de emperaura e salinidade, evaporação poencial, balanço de energia, ec.)

37 Condições de conorno à superície Desaio acoplameno de Modelos Oceânicos.

38 Condições de conorno à superície Solo nu # Tipo, balanço hídrico (evaporação real), balanço de energia. Solo vegeado Modelo Solo- Vegeação # Tipo de solo, ipo de vegeação, balanço hídrico (evaporanspiração real) - balanço de energia. Releividade

39 Fim do Módulo