MÉTODOS MATEMÁTICOS IC

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1 MÉODOS MAEMÁICOS IC Um dos resulados mais celebrados da eoria de Fourier é o eorema abaixo: EOREMA DE RIESZ-FISCHER 907 Dado um sisema oronormal { φ n } + Cn n inia, ie,, se {C n } consiui uma seqüência al que < +, enão os {C n } são coeicienes de Fourier de algum sinal de energia L + n C n com C <, n > n φ n

2 A SÉRIE RIGOOMÉRICA DE FOURIER, a<<b, em série A represenação clássica da série de Fourier: Considera-se o conjuno: { φ } { } + m sen mw0, cos mw0 m0 em que w 0 é a chamada reqüência da undamenal, noação, o<<o+ expliciar a ampliude da Janela ecessário enaizar o inervalo no qual considera-se o desenvolvimeno, assim como a reqüência da undamenal, ourossim, o resulado não em nenhum senido

3 A reqüência undamenal w 0 deve ser escolhida como w 0 / para garanir a orogonalidade das unções {φ m }; n,m ineiros, valem as relações: < sen nw 0, cos mw 0 > < cos nw 0, sen mw 0 > 0, < sen nw 0, sen mw 0 > < cos nw 0, cos mw 0 > / δn,m n 0, m 0 enaivas e abordagens próxima à série de Fourier oram enadas por Maemáicos como Euler, d Alember, Bernoulli ec, porém, pressenindo as diiculdades envolvidas, odos alharam em ousar um pouco mais { } + i 0 φ deinido acima, consiui um conjuno orogonal compleo n 3

4 As vanagens do uso da série de Fourier: a A série minimiza o erro médio quadráico, o qual é um criério ineressane, simples e com rica inerpreação b Devido a periodicidade dos φ m s, a série adequada para o desenvolvimeno de unções periódicas c Exise ambém inerene a esa escolha, uma rica inerpreação em ermos de "componenes periódicas que consiuem o sinal" Oura apresenação: em que cn cos nw0 + φ n, w0 + n 0 b c n an + bn e n φn g an, n 4

5 As unções periódicas são adequadas para o desenvolvimeno em série de Fourier, +m, onde é período ese caso, as seguines propriedades são válidas Análise Harmônica de Sinais Reais Sinal Condição Coeicienes Par - a n 0 ; n bn 0 Impar - - n a 0 ; b 0 Apenas Harmônicos Impares - + / k a b 0 Apenas Harmônicos Pares + / k ak + bk + 0 n k k n Ouros conjunos orogonais podem ser usados na decomposição 5

6 Séries de Legendre-Fourier Os polinômios ulra-eséricos com α0 de Legendre veriicam a relação recursiva: com P 0 e P n + P + n + Pn + npn 0 n, Eses polinômios são orogonais em -<<, de acordo com + P n Pm d δ n, m n Um sinal, <, pode ser decomposo em série usando o conjuno orogonal P n n : compleo { } + 0 6

7 7 + 0 n n n P c, com + + d P n c n n o caso de sinais polinomiais, a decomposição em série de Legendre-Fourier é bem mais ingênua, como por exemplo: em < A decomposição é inia e o erro na represenação é nulo P P P P + +

8 A REPRESEAÇÃO EXPOECIAL Pode ambém ser aplicada a sinais complexos e, porano, é mais geral Produo inerno Hermiiano para unções complexas: < φi, φk > b φ a i φk d, em a<<b * { } { jnw } + 0 n e n φ, onde j A orogonalidade enre pares de unções é acilmene veriicada + n jnw0 0 F n e, 0 << 0 +, com + F n 0 e -jnw 0 d n 0, +, +, 8

9 SÉRIE BIDIMESIOAL A série de Fourier exponencial bidimensional para com o sinal x,y janela xo<x<xo+h, yo<y<yo+v, reqüências undamenais na horizonal e na verical: w ox :/H e w oy :/V, + + n m n, m jnw x+ jmw 0 x 0 y x y F e y, com coeiciene de Fourier F n,m HV - jnw x + jmw y 0x 0y x,y e dx dy 9

10 O sinal normalmene é paramerizado no empo,, aravés das velocidades de varredura s, xs h e ys v Assim, vis h, s v Ix,y Considerando a expressão da série bidimensional de Fourier, em-se: + + n m n, m jnw S + jmw 0 x h 0 y v F e S v Imagine um único plano ininio parede ininia onde são reproduzidas elas janelas de um número ininio de imagens idênicas! 0

11 Uma imagem esáica é um sinal duplamene periódico coném harmônicos das reqüências de linha H e das reqüências de quadro V, somas e dierenças Desde que usualmene w0h>>w0v e Fn,m decresce rapidamene com o produo nm, as linhas especrais vão se agrupar em orno de harmônicos de 0h, com largas "lacunas" enre os aglomerados 0v 0h 3 0h 0h Figura Especro ípico de um sinal de vídeo V - preo e branco

12 COVERGÊCIA POUAL Se o sinal é inegrável e absoluamene inegrável, enão os coeicienes de Fourier esão bem deinidos : + + a 0 n cos nw0 d 0 d < +, b 0 n sen nw 0 d 0 d < os coeicienes esão bem deinidos, embora a série possa não convergir

13 A orma com que se aproximam de zero quando cresce depende do comporameno do sinal L enão a n, b n <+ K an, b <, L enão n n K an, b < n 3,, L enão n Convergência ponual da série de Fourier: as quesões são mais complicadas a du Bois-Reymond b Andrey Kolmogorov

14 Seja a série de Fourier runcada: 0 : c e n n jnw, 0 < < 0 +, w / 0 De que modo ende a quando aumena? É verdade que lim? Isso é verdade para odo? Convergência de unções: Em média quadráica Convergência ponual 3 Convergência uniorme 4

15 A relação enre esses criérios é ilusrada abaixo por exemplo, se converge uniormemene, enão ambém converge ponualmeneec EMQ POUAL UIFORME Diagrama de Convergência 5

16 PROBLEMAS DE COVERGÊCIA úcleos e Janelas A versão runcada da série exponencial de Fourier esá obviamene relacionada com a unção que ela represena A série runcada pode ser escria como / jnw / 0 jnw0 e d / / e n d Digressão: Os polinômios rigonoméricos de Dirichle de grau D x : e n jnx 6

17 7 Claramene, pela órmula de Euler, + n nx x D 0 cos : Eeuando-se a soma, mosra-se que + sen sen x x x D Assim, / / d D Essa é a relação enre a série runcada e o sinal original

18 O sinal é observado aravés de uma Janela de Dirichle D, como se viso aravés de um ilro linear As propriedades de convergência da série de Fourier: A convergência da série em um pono depende apenas de uma vizinhança arbirariamene pequena no enorno desse pono EOREMA DA LOCALIZAÇÃO As propriedade de convergência ponual da série de Fourier dependem essencialmene da vizinhança do pono; para pequeno, enão L, Dado 0<δ</, podendo ser arbirariamene / lim δ + / δ D d 0 8

19 9 Prova Fixe pono a analisar a convergência e seja / sen 0 : h < δ δ Enão + δ δ / / sen d h d D

20 0 Desenvolvendo a soma de arcos, + cos sen sen cos h h Ambas cos : h h e sen : h h são L Isso decorre da inegrabilidade de, pois δ h h i sen Enão + / / / / cos sen d h d h d D δ δ

21 Eses ermos são proporcionais aos coeicienes de Fourier b a a para sinais dierenes para h e h, respecivamene Como QED lim a 0 e lim 0 b, o resulado segue Criérios de convergência ponual da série condições de suiciência, porém não de necessidade o criério de Jordan ou o criério de Ulisse Dini

22 Proposição Criério de Dirichle, circa 830 Se é limiada e em um número inio de máximos e mínimos locais, bem como um número inio de ponos de desconinuidade as conhecidas condições de Dirichle, enão: m a + lim a cos nw + b sen nw 0 n 0 n 0 n Gusav Dirichle

23 Proposição eorema de Fourier Se é uma unção seccionalmene dierenciável, enão vale o resulado da proposição anerior Fórmula de de Oliveira para os polinômios de Dirichle: D de modo que D x P cos x [ cos x cos nx0 ] x, x < n 3

24 5 0 D, x D, x 0 D 3, x D 9, x x Comporameno dos úcleos de Dirichle D x para alguns valores de 5 4

25 EEDEDO O FEÔMEO DE GIBBS Josiah Gibbs Mais conhecido por seus rabalhos em ermodinâmica A runcameno da série de Fourier para um sinal periódico produz um eeio ineressane em orno de uma desconinuidade, analisado por Gibbs 899 5

26 Sem perda de generalidade, suponha que há uma única desconinuidade na origem Separando a pare conínua de, denoada por c, em-se c + [ 0+ 0 ] u * oe que represena o salo, que só ocorre a parir de 0 6

27 7 Claro que c 0-0- e de modo que , como esperado, assumindo u0/ Usando a janela de Dirichle, τ τ τ d D 0 ** Subsiuindo-se a expressão * em **, em-se [ ] τ τ τ τ τ τ d u D d D c

28 o limie +, a primeira inegral reproduz a pare conínua de, ie, 0 c τ D τ dτ c Resa esudar o comporameno do ermo lim + [ 0+ 0 ] D τ dτ : 0 Com a mudança de variável x τ, lim + 0 / [ 0+ 0 ] D xdx 8

29 Em uma vizinhança da origem x0, x <δ, arbirariamene pequena, D x x sen x / sen + x x + Sa Sa + x x / Com uma aproximação suicienemene boa, D x + Sa + x Segue-se com ζ + x, que sen ζ ϕ [ 0+ 0 ] dζ 0 ζ ϕ +, em que 9

30 A inegral acima não é deerminada de orma echada e é chamada de "Inegral seno" Si x : x Sa ζ dζ valores da Inegral Seno enconram-se em abelas, gráicos da unção Six e uma aproximação linear S ix : 0 ~ Six / / x Função Inegral Seno e sua aproximação linear 30

31 o limie, [ 0+ 0 ] Si ϕ lim 0 + [ 0+ 0 ] Sa ζ dζ [ 0+ 0 ] Si Em 0 em-se lim [ 0+ 0 ] [ ], como seria de se esperar o enano 3

32 Para inio, mesmo grande, os valores de em orno da origem incluem / *: + / possivelmene muio pequeno, pois é ixo e aumena, o qual resula em Si O máximo salo, para a unção Six ocorre com um valor acima de / Assim, para qualquer inio, o salo na desconinuidade inclui o inervalo,089 [0+-0-] 3

33 Para inio, há sempre um valor de al que ocorre uma oscilação overshoo cerca de 9% Para uma desconinuidade simples no pono, o inervalo de Gibbs é /, + / + / + /, cada vez menor a medida que cresce, resulando em um enômeno ponual numa vizinhança da desconinuidade 33

34 Fenômeno de Gibbs série runcada com 5 e 50 harmônicos 34

35 Série de Fourier com aor de convergência de Lanczos Seja, 0 << 0 +, um sinal possivelmene desconínuo, com série de Fourier exponencial runcada, conendo harmônicos O enômeno de Gibbs numa desconinuidade ocorre essencialmene no inervalo + /, + / +, o qual em ampliude + 35

36 36 Visando melhorar o comporameno da convergência da série runcada, Lanczos propôs a versão suavizada série suavizada deinida por: / / : ~ d 0, 0 + Cornelius Lanczos

37 O enômeno de Gibbs é oremene aenuado em odas as desconinuidades pela inclusão desses apers, ao ilusrado na igura a seguir Aproximações da rampa usando série de Fourier e série de Fourier com aor de Lanczos 37

38 Manipulação de séries de Fourier: resulados imporanes EOREMA DERIVADO SÉRIES Se é conínua e periódica e é seccionalmene conínua, enão a série de Fourier de pode ser obida dierenciando cada ermo da série de Fourier de EOREMA IEGRADO SÉRIES Qualquer série de Fourier pode ser inegrada ermo a ermo enre quaisquer limies A série inegrada converge para a inegral da unção periódica da série original 38

39 EOREMA DE KOLMOGOROV-SELIVERSOV-PLESSER + n 0 an + bn Se log n < + converge em quase oda pare pp enão a série rigonomérica + n 0 a n cos nw0 + bn sen nw0 39