Disciplina de Princípios de Telecomunicações Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

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1 UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCE DEPARAMENO DE ENGENHARIA ELÉRICA Disciplia de Pricípios de elecomuicações Pro. MC. Leoardo Gosioroski da Silva

2 Séries e rasormadas de Fourier Aálise de um sial seoidal o empo Expressamos a oda seoidal como v ( A cos( + ϕ Ode é o valor de pico ou ampliude Ode é a reqüêcia em radiao Ode é a ase que represea o desvio do valor de pico da origem por um empo A equação ( implica que se repee com período de repeição

3 Séries e rasormadas de Fourier

4 Aalisado um sial qualquer Séries e rasormadas de Fourier A equação que rege essa orma de oda o empo é: Lembrado que : A cos( + φ A cos(π + φ A cos(π A cos(π ± 8 se cos(π 9 ( o eão podemos reescrever a equação acima desa orma: o

5 Séries e rasormadas de Fourier Desehado o especro de reqüêcias... Vamos agora ploar o domíio da reqüêcia os valores correspodees a ampliude e ase dese sial:

6 Série de Fourier Séries e rasormadas de Fourier

7 Série de Fourier Séries e rasormadas de Fourier Fourier oi levado a desevolver suas séries ao esudar a propagação do calor em corpos sólidos. Levado-se em coa de que a propagação do calor deveria se dar por odas e que a orma mais simples de uma oda é a ução seoidal, Fourier mosrou que: Qualquer ução, por mais complicada que seja, pode ser decomposa como uma soma de seos e cosseos. Seja a ução periódica (x se(x, com período π e a ução periódica g(x cos(x de período ambém π, deasado π/ da ução seo.

8 Série de Fourier Séries e rasormadas de Fourier ( a + a + a ( a cos( + a cos cos( b se( + b ( + b se( o o se( +...

9 Série de Fourier Séries e Séries e rasormadas de Fourier rasormadas de Fourier ( ( cos (... ( (... cos( cos( ( se b a a se b b se a a a o o Ode: Ode: (,,....si( (,,,....cos( ( d a d b d a

10 Séries e rasormadas de Fourier Série de Fourier Exemplo Deermiar a série de Fourier do sial (, - / < < < < / Cujo gráico em ução do empo é dado por: Como o sial é periódico, é possível o cálculo da.5 série de Fourier A area é porao o cálculo dos coeiciees da série de Fourier, lembrado que: a b a (.cos( d (.si( d ( d,,,...,,...

11 Cálculo do a e a Séries e Séries e rasormadas de Fourier rasormadas de Fourier.d.d (.d a + N a Porao : acima é ula. a iegral, Lembrado que.. si(... si(...cos(..cos(..cos( ( + + d d d a π

12 Cálculo do b Séries e Séries e rasormadas de Fourier rasormadas de Fourier.d si(.d.si( d (.si( b + se ímpar, 4 se par, cos( ( cos( cos( π π π +

13 Séries e rasormadas de Fourier A série de Fourier ica eão assim: 4 4 si(3 si(5 ( si( si( π ímpar π 3 5 A seguir açamos uma aálise da série de Fourier omado-se um úmero de ermos cada vez maior.5 4 ( (si(π +.5 π si( 6π 3 + si( π si( 4π + 7 si(8π

14 Série de Fourier Séries e rasormadas de Fourier Volado a órmula de série de Fourier, e sedo g ( um sial periódico: g ( a + ( a cos( b se( o + o e sabedo que cosseo e seo podem ser escrios a orma complexa: cos( π [exp( j π + exp( j π ] se( π [exp( jπ exp( jπ ] j Podemos reescrever a série de Fourier em ermos complexos, acresceado um coeiciee C (chamado de coeiciee complexo de Fourier dado por: c a a a, + jb, > jb, <

15 Série de Fourier Porao g ( pode ser escrio como: g C exp( j e C vale: Séries e rasormadas de Fourier / C g j ( exp( π / chamado de coeiciee complexo de Fourier ( π d

16 rasormada de Fourier Séries e rasormadas de Fourier Façamos em g ( (periódica, -> : O que sigiica dizer que: g( lim g (

17 rasormada de Fourier Eão sedo: Séries e rasormadas de Fourier g( lim g ( e azedo as seguies deiições:, e G ( C Podemos ajusar a equação : g ( C exp( j ππ + rasormada iversa de Fourier g( G( exp( jπ d da seguie orma Cosiderado a deiição de iegral: + + ( x dx lim ( x i x i xi i + rasormada direa de Fourier G( g( exp( jπ d

18 rasormada de Fourier Séries e rasormadas de Fourier rasormada de Fourier de um pulso reagular.

19 rasormada de Fourier Séries e rasormadas de Fourier

20 rasormada de Fourier Exercícios da Lisa Séries e rasormadas de Fourier 4 a Quesão Apeas direamee usado a deiição de rasormada. a Quesão Usado a deiição de rasormada Iversa.

21 Séries e rasormadas de Fourier Propriedades da rasormada de Fourier Liearidade ou Superposição g G ( g G ( ( ( Seja e, eão: c g( + cg( cg ( + cg( c c Para odo e cosaes. Dilaação g( G ( Seja, eão: g( a a G( a a Ode é um úmero real.

22 Séries e rasormadas de Fourier Propriedades da rasormada de Fourier Regra da Cojugação g( G ( Seja, eão: g * * ( G ( Dualidade g( G ( Seja, eão: G( g(

23 Séries e rasormadas de Fourier Propriedades da rasormada de Fourier Deslocameo o empo g( G ( Seja, eão: g ( G ( e jπ Deslocameo a Freqüêcia g( G ( Seja, eão: jπc e g( G( c

24 Séries e rasormadas de Fourier Propriedades da rasormada de Fourier Exercício: Deslocameo o empo Sabedo que um sial x( em rasormada de Fourier X(, ecore a rasormada de Fourier de y( x(3- + x(-- em ução de X(.

25 Séries e rasormadas de Fourier Propriedades da rasormada de Fourier Diereciação o domíio do empo g( G ( Seja, eão: d d d g ( j π G ( geeralizado para g ( ( j π G ( d Iegração o domíio do empo g ( G ( Seja, eão: c g( τ G( jπ

26 Séries e rasormadas de Fourier Propriedades da rasormada de Fourier Exercício: Fução de raserêcia e Diereciação o empo A igura abaixo mosra o circuio elerôico de um ilro RC passa-baixa passivo que permie a passagem de baixas reqüêcias sem diiculdades e aeua (ou reduz a ampliude das reqüêcias maiores que a reqüêcia de core. Com base ese circuio e uilizado rasormadas de Fourier ecore a ução de raserêcia do ilro.

27 Propriedades da rasormada de Fourier eorema da Modulação Séries e rasormadas de Fourier g G ( g G ( ( ( Seja e, eão: g( g( G ( λ G( λ dλ G ( G( Esa iegral é cohecida como iegral de covolução, expressa o domíio da requêcia e a expressão: G é chamada de covolução de ( G( com. Cocluímos que: G ( G ( A muliplicação de dois siais o domíio do empo é igual a covolução de seus especros o domíio da reqüêcia

28 Fução Dela de Dirac Séries e rasormadas de Fourier δ (

29 Séries e rasormadas de Fourier Fuções expoecial complexa e seoidal cos( π c [ δ ( c + δ ( + c ] Cosseo Seo se ( π c [ δ ( c δ ( + c ] j

30 Séries e rasormadas de Fourier Fução Sial Aproximação de um pulso expoecial dobrado g( e a,, > e a, < sg( jπ

31 Séries e rasormadas de Fourier Fução Degrau O degrau pode ser viso como a soma de uma ução sial +., > u(,, < u ( [ sg( + ] u( ( δ jπ +

32 Séries e rasormadas de Fourier Exercícios Exercícios da Lisa a Quesão Use a propriedade rigoomérica 8 a Quesão se x [ cos x]

33 Séries e rasormadas de Fourier Cocluido...

34 Siais e Sisemas Eergia de um Sial Por deiição a eergia de um pulso é dada por: E g( d g( Ω Sedo a volagem aplicada a um resisor de. eorema da Rayleigh O eorema de Rayleigh mosra que a eergia de um pulso pode ser obida aravés de sua rasormada de Fourier. g( d G( d

35 Siais e Sisemas eorema da Auocorrelação R g g * ( τ ( g ( τ d g( g Se raduz como sedo uma comparação de similaridade ere um sial e sua réplica deasada o empo. Desidade Especral de Eergia (DEE R g ( * ( d g( g( g * ( d A Desidade Especral de Eergia de um sial é deiido com sedo: g( d ψ g ( G( g( A Fução Auocorrelação de um sial e a Desidade Especral de Eergia, ormam o seguie par de rasormada de Fourier. ψ ( g R g ( τ exp( jπτ dτ R g ( τ ψ ( exp( jπτ d g ψ ( F[ R ( τ ] g g R g ( τ F [ ψ ( g ]

36 Siais e Sisemas Exercícios Exercícios da Lisa 9 a Quesão a Quesão

37 Siais e Sisemas Desidade Especral de Poecia (DEP g( Sedo um sial de Poêcia, e a AuoCorrelação dese sial dada por R g (τ. Podemos dizer que: A rasormada de Fourier de R g (τ é igual a Desidade Especral de Poêcia S g ( do sial g( S g ( + ( j πτ τ Rg ( e d τ

38 Siais e Sisemas Exercícios Exercícios da Lisa a Quesão

39 Sisema rasmissão de Siais de Sisemas Lieares Um Sisema do poo de visa de Comuicações é uma eidade que, exciado por um sial de erada x(, realiza uma rasormação sobre ese e apresea como resposa um sial de saída y(. Se desigarmos por a rasormação que o Sisema realiza sobre o sial de erada, emos eão que o sial de saída y( pode ser expresso maemaicamee por: y [ x( ] ( Erada x( Sisema Saída y ( [ x( ] Imporaes caracerísicas: Liearidade [ α x + β x ( ] α [ x ( ] + β [ x ( ] ( Ivariâcia o empo [ x( ] y( [ x( ] y(

40 rasmissão de Siais de Sisemas Lieares Sisemas Lieares Ivariaes o empo (LI Os sisemas de comuicações são ormados por diversos sub-sisemas. Uma classe de sisemas de muio ieresse são os Sisemas LI. Num Sisema LI, um sial de saída y(, quado exciado por um sial de erada é x(, ica pereiamee deermiado pela sua resposa ao impulso h(. Resposa ao Impulso: é o comporameo assumido a saída de um sisema quado a sua erada é um impulso uiário δ(. δ( h( Num Sisema LI em-se que: [ δ( ] h( τ τ [ δ( ] h( Um impulso deslocado o empo a erada do sisema produz uma resposa ao impulso a saída deslocada exaamee o mesmo valor, ou seja, a resposa ao impulso de um Sisema LI é a mesma idepedee de quado o impulso é aplicado ao sisema.

41 rasmissão de Siais de Sisemas Lieares Resposa de um Sisema LI a um sial x( Domíio do empo: No domíio do empo, um sisema liear é descrio em ermos de sua resposa ao impulso. Imporae: No domíio do empo a saída de um sisema LI é a covolução da erada com sua resposa ao impulso.

42 rasmissão de Siais de Sisemas Lieares Domíio da Freqüêcia: Para examiar o sisema o domíio da reqüêcia vamos cosiderar iicialmee que a erada do sisema é uma expoecial complexa: Ode H( é a Fução de raserêcia ou Resposa em reqüêcia de um Sisema LI, sedo deiida eão como a rasormada de Fourier da resposa ao impulso do Sisema. OBS: Noe que a resposa de um Sisema LI a uma expoecial complexa com reqüêcia é uma expoecial complexa com mesma reqüêcia. A ampliude da saída é igual a ampliude da erada muliplicada por H( e a ase da saída é igual a ase da erada somada com a ase de H(.

43 rasmissão de Siais de Sisemas Lieares Agora vamos geeralizar e cosiderar uma erada qualquer x( Ouras caracerísicas de Sisemas Causalidade: Um sisema é dio ser Causal se ele ão respoder aes da exciação ser aplicada, ou seja, sua resposa ao impulso deve desaparecer para empos egaivos. h(, < Esabilidade: O Sisema é dio Esável se o sial de saída é limiado para odo sial de erada limiado (Criério BIBO- Bouded Ipu-Bouded Oupu, ou seja, Se x ( é um Sial de erada limiado, ode x ( < M para odo. Eão: + h ( d <

44 Siais e Sisemas Exercícios Exercícios da Lisa a Quesão

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