2-TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS: PARÂMETROS DE REPRESENTAÇÃO

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1 2-TANSFOMAÇÃO DE COODENADAS: PAÂMETOS DE EPESENTAÇÃO 2.1 Cosseos Dreores e a Mar de oação Seam dos ssemas caresaos um de referêca e ouro fo um corpo rígdo defdos pelos ssemas ( e ( respecvamee que são ssemas oroormas posvos. Ieressa-os eprmr as coordeadas a relação ere os dos ssemas de coordeadas correspodees (Fg. 2.1 ou sea ( e (. O Corpo rígdo O' Fgura 2.1. elação ere 2 os ssemas ercal e fo o corpo rígdo. Podemos epressar os versores do ssema fo o corpo em fução dos versores do ssema ercal: Ou sea a forma marcal emos: e Cada um desses veores é uma das coluas da mar de roação que rasforma as coordeadas meddas o ssema fo o corpo as coordeadas do ssema de referêca:

2 Ou sea [ ] Uma propredade mporae é a orogoaldade da mar de roação: T T Esse resulado os mosra que apesar de 9 parâmeros serem usados para relacoar os 2 ssemas de coordeadas a orogoaldade da mar de roação mplca em 6 relações ecessáras ere os versores ( ou ( correspodee aos produos escalares ere os mesmos. Iso sugere que somee 3 parâmeros depedees poderam ser sufcees para defr a mar de roação o que é uma das movações para as ouras represeações de rasformação ere ssemas de coordeadas apreseadas as prómas seções. Sedo cohecda a velocdade agular do corpo rígdo em relação ao ssema de referêca a varação da mar de cosseos dreores com o empo pode ser faclmee calculada. Para usfcar al afrmação asa cosderar a dervada de um veor arráro que de aemão mpomos que sea cosae: X ' X X ' é cosae X ' X X Por ouro lado um resulado cohecdo da mecâca o qual relacoa a dervada asolua de um veor com a sua varação um ssema móvel mplca em:

3 d X d X Ω X X Ω X Ode Ω represea o veor velocdade agular do referecal móvel (velocdade agular de arrasameo epresso o ssema soldáro ao corpo rígdo: Ω ω ω ω Das 2 relações aerores emos: X Ω X X Ω X Noe que a úlma passagem para represear o produo veoral do veor velocdade agular por ouro veor qualquer defmos Ω a forma marcal: Ω ω ω ω ω ω ω Como o veor X é arráro chegamos ao resulado: Ṙ Ω 2.2- Âgulos de Euler Na represeação ulado os cosseos dreores as 6 equações orgáras das codções de oroormaldade os dem que os 9 elemeos da mar de roação ão são depedees. A ulação dos 3 âgulos de Euler que amém podem servr como coordeadas geeraladas a formulação Lagrageaa forece a represeação míma. Uma deermada cofguração de eos caresaos pode ser oda a parr de uma seqüêca de 3 roações aplcada a cofguração orgal. Cada roação é realada em oro de um dos eos do ssema caresao. Duas roações segudas ão podem ser realadas em oro do mesmo eo. Com esa lmação emos 12 possldades para a seqüêca de roações:. Escolheremos uma dessas seqüêcas para cosrur a mar de roação. Esa é ulada a aeroáuca ode os âgulos de Euler defem os movmeos de aw Pch e oll. Cosderamos posvas as roações o sedo a-horáro. Pardo-se do ssema X Z fo a erra e oreado coforme a fgura 1 o ssema móvel reala a seqüêca:

4 Z X Fgura 2.2. Ssema de eferêca fo a erra (cosderado ercal. 1 oação em oro de Z : X Z ( Z ψ Z ' X cosψ seψ X Fgura 2.3 Movmeo de aw. ' Xseψ cosψ ' Z 2 oação em oro de : (. θ Φ Ψ " ' cosθ ' seθ " ' " ' seθ ' cosθ Fgura 2.4. Movmeo de Pch. 3 oação em oro de : (. " φ " " seφ " seφ " Ψ cosθ Fgura 2.5. Movmeo de oll. Θ

5 As relações ere os ssemas de coordeada sucessvos eposas as fguras 2 3 e 4 a forma marcal fcam: cos ψ seψ X seψ cosψ ; 1 Z cosθ seθ 1 1 ; seθ cosθ seφ seφ Ulado a composção de roações a mar de roação que relacoa o ssema orgal e o aual fca: " ' " ' X Z X Z em ermos dos âgulos de Euler a mar fal de roação que é oda pela mulplcação das aerores. Ou sea relação ere as coordeadas do ssema orgal (fo e o ssema de coordeadas soldáro ao corpo rígdo (móvel resula do produo ere as mares a ordem correspodee à seqüêca de roações defdas acma: cosψ cosθ (cosψseθseφ seψ (seψseφ cosψseθ seψ cosθ (cosψ seφseψseθ ( seψ se seφ cosψ seθ X cosθseφ cosθ Z Noe que esa sedo a mar de roação possu a propredade de orogoaldade demosrada aerormee o que facla o cálculo de sua versa. Uma ve cohecda a mar de roação um sae qualquer sua evolução o empo pode ser deermada cohecedo-se a velocdade agular do referecal móvel. As dervadas dos âgulos de Euler são represeadas os dagramas aerores aravés dos veores Ψ Θ e Φ. Podemos deermar eses veores a cada sae a parr dos valores da velocdade de arrasameo do referecal móvel epressa os eos dese mesmo referecal. Ou sea supoha cohecdos (aravés de sesores ercas por eemplo os valores de ω ω e ω que são as compoees da velocdade agular do referecal

6 móvel os eos e dese mesmo referecal. As relações ere esas e as dervadas dos âgulos de Euler podem ser dedudas a parr das fguras e 2.5 ode os veores Ψ Θ e Φ são represeados. Podemos escrever porao: ω Φ Ψ seθ ω Θ Ψ cosθseφ ω Θ seφ Ψ cosθ Isolado-se Ψ Θ e Φ e colocado a forma marcal emos: Φ 1 Θ Ψ seφgθ gθ ω -seφ ω seφsecθ secθ ω Iegrado-se esas relações podemos deermar a evolução dos âgulos de Euler com o empo e assm deermar a evolução da aude do corpo rígdo.