Parte III. Objetivo: estudar o deslocamento de um corpo quando esta rolando

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1 Pare Objevo: esudar o deslocameno de um corpo quando esa rolando 1

2 Coneúdo programáco: 6. Movmeno de Roação Varáves da roação, Relação enre Cnemáca Lnear e Cnemáca Angular, Energa cnéca de roação, nérca Roaconal, Segunda le de Newon para a roação, Trabalho e energa cnéca de Roação. 7. Rolameno. Torque e momeno angular Noções báscas e varáves físcas assocadas ao Rolameno: ranslação e roação. Energa cnéca de rolameno. As forças de rolameno Torque e momeno angular

3 Movmeno de roação: corpos rígdos O movmeno de roação é o gro que um corpo realza ao redor de s mesmo, ou seja, ao redor do seu própro exo. Todas as pares de um corpo descrevem rajeóras crculares ao redor de um exo de roação. Posção de um pono do corpo rígdo veor posção r. x ˆ 1 y 1 ˆj veor posção ângulo e módulo r r r x 1 y θ = θ() 1 módulo ou rao da rajeóra posção angular ângulo enre o exo x e o veor posção r 3

4 Movmeno de roação: corpos rígdos Trajeóra : S() lugar geomérco das posções ocupadas pelo corpo no decorrer do empo. S( 0, r, θ 0 ): Posção ncal; S(, r, θ): Posção fnal; r r 0 x x 0 ˆ ˆ 1 1 y 1 ˆj. 4

5 Movmeno de roação: corpos rígdos Varação da posção angular em relação ao empo: ω θ 1 : posção angular num empo 1 S 1 (pos.ncal) θ : posção angular num empo S (pos.fnal) Δ: deslocameno angular enre 1 e ΔS Δ = 1 velocdade angular méda: f f o o velocdade angular nsanânea Lm 0 d 5

6 Movmeno de roação: corpos rígdos Varação da velocdade angular no empo: α Aceleração angular méda f f o o Aceleração angular nsanânea Lm0 d 6

7 Roação com aceleração angular consane: α As equações para roação são obdas negrando a equação de movmeno: d d a velocdade angular, ω, enre e 0 : 0 d para 0 = 0, emos: ( 0 ) (1) a posção angular, θ, enre e 0 : para 0 = 0, emos: d 0 d 0 o o () Assm como: (3) o ω e α: não dependem do rao r 0 ( 0 0 ) 7

8 Pono de verfcação Em que suações,, e v: a) a aceleração angular é consane b) a velocdade angular consane c) a velocdade angular vara ) ) ) v)

9 Exemplo: Um pão gra com aceleração angular α = 5 3-4, onde esá em segundos e α em radanos por segundo ao quadrado. Em = 0 a velocdade angular do pão é 5 rad/s e uma rea de referênca raçada no pão esá na posção angular θ= rad. (a) Obenha uma expressão para a velocdade angular do pão, ω(). (b) Obenha uma expressão para a posção angular do pão, θ(). Rpa: (a) (b) 9

10 Relação enre as varáves lneares (s,v,a) e angulares (θ, ω,α) Consderando uma parícula no corpo rígdo na posção r : Posção espacal, S (θ) S r (1) Velocdade escalar lnear para uma parícula no corpo rígdo na posção r que percorre uma rajeóra S: Dervando (1): v ds d d dr ( r ) r como r = ce dr 0 ds d r v r = ω: velocdade angular do corpo, ds 10

11 11 r r d dv a ) ( r r r a a a r a r r v r a a a a R Para a parícula de um corpo rígdo, a aceleração esá composa por duas componenes: aceleração radal Desa manera emos : aceleração escalar lnear Aceleração aceleração angencal, da fgura observa se: r a a a aceleração cenrípea a C aceleração Normal a N r N r C a a a a a a r a

12 Exemplo 1 Quaro polas esão conecadas por duas correas conforme mosrado na fgura a segur. A pola A ( r A = 15cm ) é a pola morz e gra a 10rad/s. A pola B ( r B = 10cm ) esá conecada à A pela correa 1. A pola B' (r B' = 5cm) é concênrca à B e esá rgdamene lgada à ela. A pola C ( r C = 5cm ) esá conecada à pola B' pela correa. a) Calcule a velocdade lnear de um pono na correa 1. b) Calcule a velocdade angular da pola B. c) Calcule a velocdade angular da pola B'. d) Calcule a velocdade lnear de um pono na correa. e) Calcule a velocdade angular da pola C. 1

13 Exemplo Uma cera moeda de massa M é colocada a uma dsânca R do cenro de um prao de um oca dscos. O coefcene de aro esáco é μ E. A velocdade angular do oca dscos va aumenando lenamene aé ω 0, quando, nese nsane, a moeda escorrega para fora do prao. Deermne ω 0 em função das grandezas M, R, g e μ E. Da fgura, vsa superor: A endênca da moeda é sar em línea do oca dscos. Vsa superor Para a moeda fazer uma rajeóra crcular uma força dever ser aplcada com dreção e sendo ao cenro. Porano esa força de ser a força de aro, F a. Vsa de lado 13

14 Exemplo ma F R Da fgura, vsa de lado: F a a x P N ma a c Enão Como v R e F a F F x y N E F a ma N P v Emg m R v 0 R E x 0 v g R N mg gr E Vsa superor Vsa de lado 14

15 O corpo composo por n parículas de massa m Caraceríscas da parícula : m : massa v : velocdade lnear (angencal) r : dsanca ao exo. K 1 K m v m v Energa cnéca de roação Corpo rígdo grando em orno de um exo: N parículas Enão, a energa cnéca dese ssema é: 1 m m ( r ) v 1 1 m v 3 m 3... como v = r e =, enão emos: v = r r 15

16 Momeno de nérca ou nérca à roação, do conjuno de parículas (). m r grandeza escalar. Ssema S: Kg.m Exemplo: Ssema de 3 parículas Esa relação pode ser nerpreada como a dsrbução da massa do corpo ao redor de seu exo de roação. Quano maor for o momeno de nérca de um corpo, mas dfícl será fazê-lo grar ou alerar sua roação. Esa grandeza é consane para um dado corpo rígdo e um exo de roação parcular. Como: K 1 m r Enão: K 1 Energa cnéca de um corpo rígdo em roação pura. 16

17 Pono de verfcação A fgura mosra rês pequenas esferas que gram em orno de um exo vercal. A dsânca perpendcular enre o exo e o cenro de cada esfera é dada. Ordene as rês esferas de acordo com seus momenos de nérca em orno de exo, em ordem decrescene. 17

18 Momeno de nérca de um corpo rígdo Procedmeno: 1. Dvdmos o corpo rígdo em n pequenas pares guas, Δm : = 1,...n, consderando que esá composo por um conjuno de n parículas. Enão o momeno de nerca oal é: so é: P m r n P r m 1 e a massa oal do corpo: M N 1 m m r... m 1 1 n n r (1) Com o objevo de aproxmar para um valor real do momeno de nerca oal: enão, m 0, eremos de (1): P Lm m0 N r m 1 r dm Momeno de nérca no pono P para um corpo rígdo. 18

19 Alguns momenos de nerca P r dm 19

20 Condção necessára: Teorema dos exos paralelos Conhecer o momeno de nérca do corpo no cm, cm Traçar um exo qualquer que passe por seu cenro de massa, O(cm). Traçar qualquer exo paralelo que passe pelo pono a ser deermnado, ex: P. Por exemplo: o exo x'y' que passa por P x'y' J xy cm : momeno de nérca no cm h: Dsânca enre os dos exos xy (cm) e x'y'(p) P : orgem das coordenadas x'y' (x,y) Porano, o momeno de nerca pelo exo que passa pelo pono P, é dado por: P cm M h 0

21 Pono de verfcação A fgura mosra um lvro e quaro exos de roação, odos perpendculares à capa do lvro. Ordene os exos de acordo com o momeno de nérca do objeo em relação ao exo, em ordem decrescene. 1

22 Exemplo: a. Momeno de nérca de um basão fno de massa M e comprmeno L em relação a um exo perpendcular ao basão e que passa por seu cenro de massa, O. O momeno de nerca no pono O: O CM r dm (1) Vamos dvdr o corpo em pedaços de massa dm e amanho dx. Posção de dm na fgura é x com relação a orgem (CM). Como a barra é homogênea enão a densdade lnear é consane, enão: M dm M dm dx () L dx L Subsundo () em (1): CM CM r M L dm 3 x 3 L / L / L / L / x M L M L 3L dx 3 M L L / L / 3 L x dx ML 1

23 b. Momeno de nérca de um basão fno de massa M e comprmeno L em relação a um exo perpendcular ao basão e que passa por uma de suas exremdades, O. O r dm Do exemplo a: O L 3 M M x ML r dm x dx L L Ou, aplcando o eorema dos exos paralelos L 0 P CM M h O ML 1 M L ML 3 3

24 Corpo rígdo: Torque (τ) Torque é uma palavra que vem do lam e sgnfca orcer. Torcer pode ser denfcada de forma mas nuva como a ação de grar, para so precsa-se de uma força F. Da fgura, analsando as componenes da força F: Fao expermenal: A componene paralela a r, não provoca nenhum movmeno: F r = F cos A componene perpendcular a r, provoca o gro do corpo: F = F sen A capacdade de grar o corpo depende da nensdade de sua componene angencal F e da dsânca ao pono O em que a força é aplcada. 4

25 Analse quanavo do orque Esa capacdade pode ser quanfcada aravés da relação: τ = r (F sen ) = r F Rearranjando, podemos nerprear como = (r sen ) F = r F r : componene perpendcular de r Da Fgura: r = r sen: dsânca perpendcular enre a "lnha de ação da força F e o pono O, sobre o exo de roação. Obs: Quando a lnha de ação da força passa pelo exo de roação (ver fgura), o orque é zero, F r. 5

26 Analse quanavo do orque A força provoca um movmeno de roação, e o corpo pode adqurr um movmeno em dreção do exo. Nese caso sando do plano, smlar a um parafuso. O orque é uma varável veoral porque ela em um sendo e dreção. A nensdade depende do ângulo enre e, assm como, o sendo. o ângulo é meddo parndo de r em sendo an-horáro. Enão o orque τ pode ser posvo (horáro) e negavo (an-horáro). = (r sen ) F Porano o orque na forma veoral em orno do pono O r F 0 r F O módulo é: 0 = r F sen Φ ϕ: ângulo enre r e F (an-horáro) 6

27 Pono de verfcação A fgura mosra uma vsa superor de um basão de uma régua de um mero que pode grarem orno de um exo que passa na posção 0cm. As cnco forças aplcadas à régua são horzonas e êm o mesmo módulo. Ordene as forças de acordo com o módulo do orque que produzem, do maor para o menor. 7

28 Segunda Le de Newon para a Roação Torque sobre uma parícula A fgura abaxo mosra uma parícula presa a uma barra no plano xy F : força que age sobre a parícula r : posção da parícula cujo módulo é consane Sabemos que o orque esa dado por: r F 8

29 Da segunda Le de Newon F m a F Fr m a m a r Comp. ang comp. rad. Da fgura, o orque: ( ) [ ( )] ( r F ) r ma r m r mr Porano, o orque de uma parícula será: = α : momeno de nérca da parícula α: Aceleração angular O momeno de nérca, ou nérca roaconal, é uma medda da ressênca que um corpo oferece ao movmeno de roação 9

30 Exercíco 30

31 a) a aceleração angular, α: para = 0 θ o = 0 ω o = 0 = θ o = 0 ω o = 0 a = α R Sabemos que: 0 0 b) a aceleração dos dos blocos, concde com a velocdade angencal da pola: a R a R 31

32 c) As ensões na pare superor T e pare nferor T 1 : Para deermnar T 1 = F 1 do corpo 1: T1 P Ma F P Ma como : a a 1 F g a ) M 1 ( a 1 1 R a R R F 1 ( g ) M Para deermnar T devdo a que se desconhece o aro enre a mesa e o corpo enão, será ulzada a roação da pola, a qual deve-se às forças aplcadas, enão analsando o orque no pono O: O F1 R F R F F1 R Subsundo o valor de F 1, emos F Mg M R R 3

33 Trabalho, o eorema do rabalho e Poênca uma parícula Para calcular o rabalho elemenar dw execuado por uma força F emos que: Da fgura dw F. ds F ds F r d Enão: Teremos: dw F r d dw d mas, ambém: d mulplcando por dθ, emos: d d d d d d ou seja f f f W d d W W W f d K f K e como ds = r dθ (módulo) F 1 r f 1 (Teorema do rabalho) 33

34 Trabalho, poênca e o eorema do rabalho uma parícula Para calcular a poênca, P, assocada à auação da forca, F, devemos consderar que Sabemos que dw d Enão a poenca é: P dw d P Smlar P = F v 34

35 Rolameno, orque e momeno angular nrodução Consdere um aro de rao R, rolando sem deslzar. Quando essa roda grar de um ângulo θ, o pono de conao do aro com a superfíce horzonal se deslocou uma dsânca s, al que; s = R θ (1) O cenro de massa do aro ambém deslocou se da mesma dsânca. Porano, a velocdade de deslocameno do cenro de massa do aro é: a v CM CM ds d R v CM CM R De manera equvalene podemos enconrar a forma da aceleração do cenro de massa do aro: dv d R a CM R () (3) 35

36 O Rolameno Descro como uma combnação de roação e ranslação Fgura a. Todos os ponos na perfera da roda êm uma velocdade lnear v Fgura b. Movmeno de ranslação (não roda) puro, os ponos da roda se movem para a drea com uma velocdade v CM. Fgura C. Represena o rolameno da roda. Na exremdade nferor v=0, na exremdade superor v = v CM 36

37 Descro como uma roação pura O rolameno pode ser enenddo como uma roação pura se observarmos que a cada nsane o corpo esá grando em orno de um exo nsanâneo, que passa pelo pono de conao P enre esse corpo e a superfíce que o supora. Esse exo é perpendcular à dreção do movmeno. A velocdade do cenro da roda é v CM = ω R O Rolameno a velocdade do opo da roda é v Topo = ω (R) = v CM a velocdade da base da roda é v base = 0 Esa equação concde com a Fgura c 37

38 A energa cnéca: Rolameno Um corpo que rola sem deslzar pode ser vso a cada nsane como grando em orno de um exo nsanâneo que passa pelo pono de conao P desse corpo com a superfíce, sendo esse exo é perpendcular à dreção do movmeno do corpo. Enão a energa cnéca pode ser descra como se fosse uma roação em orno do P, so é: 1 k P onde P é o momeno de nérca do corpo em relação ao exo menconado que passa pelo pono P. Do eorema dos exos paralelos, emos que: P CM M R Porano 1 1 k CM M v CM Observa-se que esa equação esá composo de um movmeno de roação ao redor do cenro de massa e de um movmeno de ranslação desse cenro de massa num referencal fxo na superfíce. 38

39 39

40 40

41 Exercco Um clndro de comprmeno L e rao r em peso P. Dos cordões são enrolados em vola do clndro, cada qual próxmo da exremdade, e suas ponas presas a ganchos fxos no eo. O clndro é mando horzonalmene com os dos cordões exaamene na vercal e, em seguda, é abandonado. Clndro = Mr / a)deermne a aceleração lnear do clndro durane a queda. Da fgura: F 1 = F = F Como a força peso P não produz orque em relação ao exo de roação emos que: Mas logo F r F r F r a = a = r F a r F r O clndro sofre uma ranslação devdo as forças que auam sobre ele, da segunda le de Newon emos que: P F1 F M a Enão: a F P F M a Mg x 0 e Fy Ma r M a 41

42 Enão: g a 1 g a 1 M r M r Consderando que o momeno de nérca do clndro em a forma 4

43 Momeno angular Também chamado quandade de movmeno angular de um corpo é a grandeza físca assocada à roação e ranslação desse corpo. No caso específco de um corpo rodando em orno de um exo, acaba por relaconar sua dsrbução da massa com sua velocdade angular. L r Exse uma conexão enre o momeno angular de uma parícula e o orque assocado à força resulane que aua sobre ela. Vamos consderar a varação do momeno angular no empo: p dl d r p dl dr dp p r r F 43

44 dl d r p dl dr dp p r Enão 44

45 Fazendo uma analoga com : p m v L como: dl 45

46 Enão d d 0 46

47 Translação Roação P = m v momeno lnear F = m a força m massa dp F R L = momeno angular = orque = m R momeno de nérca dl R

48 - Conservação do momeno angular No ssema homem - haleres só há forças nernas e, porano, L ( z) cons. f f f f

49 - Exemplo Dados bc 1, kg. m ; o 6,8 kg. m e 3,9ro / s Queremos calcular a velocdade angular fnal do ssema após o menno nverer o exo de roação da roda de bcclea (ver fgura) Momeno angular ncal do ssema roda de bcclea menno (+ banco) L L bc bc Menno nvere o exo de roação da roda de bcclea L bc L

50 - Exemplo Momeno angular fnal do ssema L Conservação do momeno angular pos só há forças nernas no ssema L f f L L L men bc L L L men men o L L men L L 1,4 ro / o s