Receita do Método da Aproximação Polinomial Global Aplicado a Problemas. Unidirecionais sem Simetria

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1 Recea do Méodo da Aromação olomal Recea do Méodo da Aromação olomal Global Alcado a roblemas Esruura Geral do roblema: Udrecoas sem Smera y y y F y o domío : 0 < < e >0. Suea às codções de cooro: CC: G y 0 y 0 0 E à codção cal: y y 0 cal e CC: G y y 0 roodo-se a aromação olomal de grau + em ara y( ) : ( ) ( ) ( ) 0 y( ) y ( ) y y y e os olômos base de Lagrage: k. k odal sedo : odal odal k0 k k0 k Um ossível algormo de mlemeação da erolação de Lagrage é a segur descro: Esecfque os valores dos oos de erolação 0 0 dos corresodees valores dscreos da fução: y0 y y y y e do valor geérco de em que se desea erolar a fução y: sea ese valor desgado or z Faça: yerolado 0 ara = 0 faça ara k = 0 faça se k z k k yerolado yerolado y Como o olômo erolador da Lagrage é eao ara fuções cosaes (que é uma fução olomal de grau zero!) em-se: 0

2 Recea do Méodo da Aromação olomal As rmera e seguda dervadas dessa aromação olomal odem ser calculadas em cada um dos oos de erolação segudo: A y e B y. ( ) ( ) y ( ) y ( ) Em que: 0 0 d d d d A e B ara 0. Algumas observações moraes devem ser feas em relação essas marzes: () B A ; ( ) () No caso arcular de ara odo valor de assm: mesma lha das marzes ( ) ( ) e y ( ) y ( ) y C 0 e 0 A B 0 0 A e B é ula; = 0 e = 0 : a soma dos elemeos de uma () Os elemeos da marz A só deedem dos valores das dervadas do olômo odal em cada um dos oos de erolação os: odal odal odal logo: odal Com mas 0 eão: odal A ara odal odal odal odal odal Como: A = 0 A A 0 0 A segur aresea-se o algormo de cômuo da marz A.

3 Recea do Méodo da Aromação olomal ara = 0 faça e v 0 ara = 0 faça: ara = 0 faça A 0 ara = 0 faça se A subsução da aromação olomal roblema dá orgem às equações algébrcas: ( y ) q v q v q v A : v A A A as duas codções de cooro do CC: G 0 y0 A0 y 0 e CC: G y A y A subsução da aromação olomal dá orgem à eressão do resíduo: ( y ) a equação dferecal do roblema R ( ) y y y ( ) F y dy y Em que: ; y y ; d 0 0 y A k yk k A k y 0 k0 0 k0 y k k k k 0 k0 0 k0 B y B y Ese resíduo mede a qualdade da aromação oo a oo do ervalo: 0 < < ara quafcá-lo globalmee o méodo dos momeos o mesmo é assocado à ( ) ( ) segue forma egral: R ( ) R ( ) d 0 ara

4 Recea do Méodo da Aromação olomal Calculado R () or quadraura de Gauss em-se: R H R 0 ara =... em que 00 ( ). A equação acma é sasfea se: ( R R ) ( ) e 0 são as raízes de ( ) dy R R ( ) 0 F y A k yk B k yk d k0 k0 ara.... Com as codções cas: y 0 y cal Sedo ese o Méodo da Colocação Orogoal em que os oos de Colocação são as raízes de 00 ( ). Nesse caso chega-se a um ssema elíco de equações dferecas ão leares acolado às duas equações algébrcas orudas das duas codções de cooro assocadas ao roblema: CC: G 0 y0 A0 y 0 e CC: G y A y Calculado R 0 0 ( ) or quadraura de Lobao em-se: R ( ) H R ( ) 0 ara =... sedo Em que: 0 são as raízes de a eressão de R () as eressões dos resíduos em vsa de: 0 0 ( ) R ( ) R ( ). ( ) 0 0 e. Subsudo dy H H F y A k yk B k yk d 0 0 k0 k0 ara. Resulado em um ssema algébrco dferecal comoso or equações dferecas ordáras acoladas às duas equações algébrcas orudas das duas codções de cooro assocadas ao roblema: 4

5 Recea do Méodo da Aromação olomal CC: G 0 y0 A0 y 0 e CC: G y A y ara evar a forma ão elíca das equações dferecas ordáras do ssema aeror 0 defe-se uma ova varável: erme escrever: d d H y ara o que H F y A k yk B k yk ara. 0 k0 k0 cal 0 Com as codções cas: 0 H y Essas equações dferecas ordáras (agora em forma elíca) esão acoladas ao ssema algébrco: G y A y H y = ara 0 G ` y A y 0 0 Recea do Méodo da Aromação olomal Global Alcado a roblemas Udrecoas com Smera Esruura Geral do roblema: y y y F y o domío : 0 < < e >0. Suea às codções de cooro: 5

6 Recea do Méodo da Aromação olomal CC: y 0 0 y 0 e CC: G y E à codção cal: y y A CC: y 0 0 cal 0 ode ambém ser erreada como uma codção de cooro de smera raduzda or: y y ou sea Tal roredade sugere a mudaça da varável deedee ara y é uma fução ara em. u y y u y u y y u u e u u u u y y u y u y u 4 4u y u u u u y u y u y u F u y u o domío : 0 < u < e >0. u u Suea às codções de cooro: CC: y u u u0 é fa e CC: G y u E à codção cal: yu ycal u 0 y u 0 u u roodo-se a aromação olomal de grau em ara y( u ) : ( ) ( ) ( ) y( u ) y ( u ) u y y y u e os olômos base de Lagrage: u u k odal u u sedo : odal u u u u u u u odal u assm: k. k k u k k As rmera e seguda dervadas dessa aromação olomal odem ser calculadas em cada um dos oos de erolação segudo: 6

7 Recea do Méodo da Aromação olomal A y e B y. ( ) ( ) y ( u ) y ( u ) u u u u Em que: du u du d u d u A e B ara. u A subsução da aromação olomal ( y ) ( u ) a codção de cooro dá orgem à 0 equação algébrca: G y A y A subsução da aromação olomal orgem à eressão do resíduo: ( y ) ( u ) a equação dferecal do roblema dá R ( ) y u y u y u ( u ) F u y u u u y u dy Em que: ; u y u u y ; d y u u A k yk k u A k y u k k y u u k k k k k k u B y u B y Ese resíduo mede a qualdade da aromação oo a oo do ervalo: 0 < u < ara quafcá-lo globalmee o méodo dos momeos o mesmo é assocado à u ( ) ( ) segue forma egral: R u R ( u ) du 0 ara... u0 7

8 Recea do Méodo da Aromação olomal Em muos roblemas com geomeras regulares (laa olar ou esférca) as egras evolvdas esão assocadas ao elemeo fesmal de volume o que ode ser geeralzado aravés da forma: s ( ) d 0 s 0 geomera laa; s geomera olar; s geomera esférca. Caso a fução ( ) for uma fução smérca em relação a so é: s ( ) ( ) sugere-se a mudaça da varável de egração ara du u u e d logo: u s u s s s d u du u ( u ) du. Nese caso os resíduos u0 oderados seram: u s ( ) s ( ) R u u ( u ) du 0 ara... R u0 Calculado R () or quadraura de Gauss em-se: R ( ) H u R 0 ara =... em que ( R R ) ( u ) e 0 u u u são as raízes de 00 ( u ) ou o caso das geomeras regulares areseadas aerormee A equação acma é sasfea se: R dy u F y A y B y ( ) R ( ) 0 k k k k d k k ara.... Com as codções cas: y 0 y u cal s 0 ( u). Sedo ese o Méodo da Colocação Orogoal em que os oos de Colocação são as raízes de 00 ( u ) ou o caso das geomeras regulares areseadas aerormee s 0 ( u). 8

9 Recea do Méodo da Aromação olomal Nesse caso chega-se a um ssema elíco de equações dferecas ão leares acolado a uma equação algébrca oruda da codção de cooro assocada ao roblema: 0 CC: G y A y Calculado R ( ) or quadraura de Radau com eremdade sueror em-se: R ( ) H u R ( ) 0 ara =... sedo Em que: u 0 u u u são as raízes de ( ) R ( ) R ( u ). 0 ( u ) ou o caso das geomeras regulares areseadas aerormee s ( u). Subsudo a eressão de R () as eressões dos resíduos em vsa de: dy H u H u F y A k yk B k yk d k k ara. Resulado em um ssema algébrco dferecal comoso or equações dferecas ordáras acolado a uma equação algébrca oruda da codção de cooro assocada ao roblema: 0 CC: G y A y ara evar a forma ão elíca das equações dferecas ordáras do ssema aeror defe-se uma ova varável: erme escrever: d d H u y ara o que H u F y A k yk B k yk ara. k k 9

10 Recea do Méodo da Aromação olomal Com as codções cas: 0 H u ycal u Essas equações dferecas ordáras (agora em forma elíca) esão acoladas ao ssema algébrco: H u y = ara G y A y 0 Geração dos olômos de Jacob e Deermação Numérca das Raízes Cosderado a forma de adrozação dos olômos de Jacob desgada or a qual o coefcee de é semre gual a [a forma mas usual ecorada a leraura de adrozação dos olômos de Jacob é cosderar o ermo deedee de gual a ]. ode-se gerar recursvamee segudo o rocedmeo: g h ara = 3 com 0 e Em que: g e h ara 3 Tal rocedmeo em comaração com os demas é o mas arorado à mlemeação comuacoal e ara o cálculo do valor umérco do olômo com dferees valores do argumeo. ara deermar as raízes de será alcado o méodo de Newo-Rahso que ecessa do cálculo da dervada de : d ( ) ( ) q que ode ambém d 0

11 Recea do Méodo da Aromação olomal ser obda de forma recursva aravés da dferecação da forma recursva aeror. Reescrevedo a forma recursva aeror a forma: ( ) g ( ) h ( ) ara = resula: q g q h q ara = com q 0 e q0 As duas formas recursvas devem ser assocadas dado orgem a: q g q h q g h ara =. Com: q 0 ; q0 ; 0 e Um ossível algormo de mlemeação da geração de descro. rocedmeo: Jacob e q esecfque os valores de e. é a segur Faça: q dq 0 e d Se ara = faça: g h 3 d g d h dq g h q q dq d d d Saída: F d

12 Recea do Méodo da Aromação olomal A roredade de orogoaldade de assegura que odas suas raízes eseam codas o eror do ervalo de orogoaldade 0. Tal caracerísca erme deermar a meor das raízes de cosderado o 0 chue cal r dado orgem ao rocedmeo recursvo: 0 k k 0 k k r r com r 0 ara k 0 aé r r ol q k r As demas raízes são deermadas segudo o rocedmeo ara : k q k k r r r k q k r r r 0 k k com r r + ara k 0 aé r r ol Sedo r ara os valores covergdos das raízes aerores