A DESIGUALDADE DE CHEBYCHEV HÉLIO BERNARDO LOPES 1

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1 A DESIGUALDADE DE CHEBYCHEV HÉLIO BERNARDO LOPES Resumo. A desgualdade de Chebychev cosu um resulado de grade mporâca a esmação da probabldade de acoecmeos orudos de experêcas aleaóras de que se descohece a dsrbução da correspodee população. Pode, em odo o caso, surgr de modos dversos, auralmee equvalees, como ambém em dsos domíos que êm o acaso a sua raz essecal. O presee exo expõe, precsamee, a mporâca da Desgualdade de Chebychev, mas vsa à luz da dversdade da sua aplcação. Quado se preede calcular a probabldade de poder ocorrer deermado acoecmeo e se cohece a dsrbução probablísca que esá em causa o problema, ão se colocam dfculdades parculares. É o que sucede, por exemplo, com uma varável aleaóra, coíua, cuja fução desdade de probabldade seja: x x 0, f ( x ) 0 x 0,. O valor médo de - o seu prmero momeo ordáro, porao - e o seu segudo momeo ordáro valem, respevamee: pelo que a varâca de oma o valor: E x xdx 0 E x xdx 0 V E E 9 Adma-se, agora, que se preede calcular a segue probabldade: P. Ora, edo-se: o valor da probabldade procurada vale: xdx 0, 69. Ago Professor e Membro do Coselho Ceífco da Escola Superor de Políca.

2 Esa é, pos, uma esmava da probabldade de que assuma valores o ervalo: cerado o valor médo de : e de sem-amplude gual ao desvo-padrão de :, E Nese caso fo possível ober o valor da probabldade procurada, cosegudo com a precsão que se eedeu, dado ser cohecda a dsrbução da varável aleaóra em causa. Pode, porém, acoecer que se coheçam o valor médo e o desvo-padrão da varável aleaóra, mas se descoheça a correspodee dsrbução, o que mpossbla o cálculo al como aerormee apreseado. É para uma suação dese po que a Desgualdade de Chebychev se mosra de eorme uldade, já que, segudo Pesaa (00) a mesma evolve apeas o valor médo e a varâca (de ), mosrado que o smples cohecmeo de localzação e escala perme fazer avalações de probabldades. Ese mporae srumeo da Teora da Probabldade é váldo para uma qualquer varável aleaóra, com a úca codção de ser fo o valor da respecva varâca, o que acarrea que os dos prmeros momeos ordáros o sejam ambém. Ese resulado é váldo, por gual, para o caso de dsrbuções dscreas, mas acarrea, em qualquer caso e como sera sempre de esperar, uma mprecsão a esmava achada para a probabldade do acoecmeo em causa. A Desgualdeade de Chebychev é um caso parcular da Desgualdade de Markov, que se apresea de seguda, sem demosração, e que pode ecorar-se os mauas dos auores porugueses mas cosagrados. Seja, eão, g uma fução mesurável da varável aleaóra, e que ão assuma valores egavos, ou seja, g 0. Eão, se exsr o valor médo de g, Eg, er-se-á que: Eg c R, Pg c c Como coroláro desa propredade, cosdere-se agora o caso em que a fução cosderada é: g( ). Tem-se, ese caso, a desgualdade: P E c c Reomado o exemplo da dsrbução cal, faclmee se pode mosrar que: 5 P xdx x 5 00, (5). 5 Em coraparda, se se descohecesse a dsrbução da varável aleaóra, e se recorresse ao aeror resulado, coroláro da Desgualdade de Markov, ober-se-a:

3 5 P 5 5 o que mosra que o descohecmeo da dsrbução de deerma a esmação de uma probabldade do acoecmeo em causa muo acma do seu valor real. A probabldade esmada pelo recurso ao coroláro da Desgualdade de Markov forece um lme superor da probabldade do acoecmeo: 08, 5 mas muo acma do valor real, calculável a parr do cohecmeo da dsrbução exaca. Um segudo coroláro da Desgualdade de Markov, mas que exge o cohecmeo de mas formação, pode ecorar-se se se cohecer o momeo absoluo ordáro de odem N de, forecedo o resulado: ode c R. E P c c Tedo presee que para a varável aleaóra se em: E 5 9, ese úlmo coroláro da Desgualdade de Markov perme a ova esmava: P 5 P 5 9, , que forece um lme superor para a probabldade do acoecmeo em causa: 5 já mas próxmo do verdadero valor da sua probabldade, se fosse cohecda a dsrbução exaa de. Esa maor proxmdade da probabldade esmada aravés dese segudo coroláro já requereu, coudo, o cohecmeo do quo momeo absoluo ordáro de, ou seja, uma formação maor que a requerda o caso do prmero coroláro. A Desgualdade de Chebychev é um caso parcular da Desgualdade de Markov, aplcada ao caso da fução: e omado a cosae c como sedo: e ode subsução a Desgualdade de Markov: g c são, respevamee, o valor médo e o desvo-padrão de, e ode R. Vrá, eão, por E P

4 ou seja: P É esa expressão, ou a medaamee aeror, que cosu a mporae Desgualdade de Chebychev para o caso de uma úca varável aleaóra. Mas esa desgualdade pode ada assumr uma oura forma, se ela se fzer: V forma essa que é: P V Tomado, mas uma vez, a varável aleaóra calmee cosderada, calcule-se a probabldade:, P P,,. Se se cohecer a dsrbução de, esa probabldade vale:,, xdx 0, 69. Coudo, se essa dsrbução for descohecda, e se recorrer à Desgualdade de Chebychev, vrá, dado ser: o valor da probabldade em causa: P,, 0, 7, que é um lme mímo para a probabldade procurada, embora muo dsae do verdadero valor. O que já pôde perceber-se é que a Desgualdade de Chebychev se mosra muo lmada ao ível das probabldades esmadas. É o preço que a sua grade geeraldade compora. O úco camho para melhorar o valor das suas corbuções é resrgr o cojuo das dsrbuções a que se aplca, havedo ecessdade de se cohecer, ao meos, que o seu comporameo em maor proxmdade com o de po gaussao. No caso da varável aleaóra com valor médo ulo, que, se for cohecdo o momeo absoluo ordáro de quara ordem: se em: E 0, e varâca, Murera (990) mosra P

5 com. Adma-se agora que se possuem varáves aleaóras, semelhaes e depedees, cada uma com valor médo e varâca, sedo N. A méda arméca das varáves aleaóras é a varável aleaóra: cujo valor médo e varâca são, respecvamee: E V Recorredo à Desgualdade de Markov, mas omado agora a ova fução g: RR, defda por: g para a qual: E vrá: P P Esa úlma expressão é, pos, a da Desgualdade de Chebychev, quado a varável aleaóra é a méda arméca de varáves aleaóras, semelhaes e depedees, suação que se coloca frequeemee a práca. Seja uma população ormal, de valor médo, 6, e varâca, 06, dmesão 00, oruda dessa população. Ter-se-á, eão: pelo que será: E V 6 06, ,. 0, 006, e supoha-se uma amosra de vrá: Se ese caso se preeder esmar um valor para a probabldade do acoecmeo: 6

6 P 6 P ,, , 0, Esa é uma esmava do mímo da probabldade procurada. De faco, se se soubesse que: ~ N 6; 0, 006 Z 6 ~ N( 0, ) 006, rar-se-a da abela da dsrbução Normal reduzda que: P 6. A maor proxmdade ere a aeror esmava, 0,99996, e o valor real da probabldade, quado se cohece a dsrbução, deve-se ao faco de se er usado uma amosra já grade, aravés da dsrbução da sua méda arméca. Se a aeror expressão da Desgualdade de Chebychev para a méda arméca de varáves aleaóras se fzer: a expressão da desgualdade assumrá a forma: P ode N é o úmero de varáves aleaóras. No caso de se esar perae uma sucessão de provas de Beroull, sedo k o úmero de êxos essas provas, a Desgualdade de Chebychev oma a forma, faclmee deduível: P k p p( p) ode p é a probabldade de ocorrer um êxo um qualquer esao e R. Mas a Desgualdade de Chebychev pode ser ada geeralzada a suações mas amplas, como se mosra com as duas propredades que se seguem. Sejam,,...,, varáves aleaóras depedees, para as quas se em: E V e seja: L sup,...,. Eão, sedo R, em-se que:

7 P L Embora depedees, as varáves aleaóras ão possuem ecessaramee o mesmo valor médo e a mesma varâca. No caso da sucessão de provas de Beroull, adma-se que a probabldade de êxo a -ésma prova é p. Eão, sedo k o úmero de êxos as provas, em-se: E p V p p pelo que vrá a Desgualdade de Chebychev correspodee à presee suação: P k p Ora, a Desgualdade de Chebychev a que se chegou calmee refere-se a um ervalo cerado o valor médo da varável aleaóra em causa. Podem cosderar-se, coudo, ervalos cerados um valor real qualquer,, ão ecessaramee cocdee com o valor médo. Reomado a Desgualdade de Markov e fazedo: g( ) er-se-á: P E ou seja: P E ou ada: P E E E ou, falmee: P ( )

8 dado que o prmero momeo ceral de é ulo: e que: E E E 0 A expressão () pode omar a forma: P ( ) ode () forece uma esmava do lme feror da probabldade de assumr valores o ervalo:, cerado em e ão em. De gual modo, se se ver a fução: g a Desgualdade de Chebychev vrá ese ouro formao: P que é ambém de muo fácl obeção. A Desgualdade de Chebychev, que se em vdo a raar de um modo abragee, pode apresear-se de um ouro modo mas geral. Cosderem-se, de ovo, N, varáves aleaóras depedees,, ( =,..., ), odas elas de méda ula, Seja, agora, a varável aleaóra: 0, e varâca,, ( =,..., ). para a qual se em: E E. Sejam, eão, os acoecmeos: D D D...

9 A Desgualdade de Chebychev garae, eão, que: PD D D P D... Traa-se de uma propredade de essecal eresse para a obeção de uma codção sufcee para a cohecda le fore dos grades úmeros. Falmee, a Desgualdade de Chebychev esá ambém presee o âmbo dos processos esocáscos, coceo ese que cosu, pode dzer-se assm, uma geeralzação do de varável aleaóra. De faco, o processo esocásco mas ão é que um cojuo de varáves aleaóras, odas gualmee dsrbuídas, mas cada uma delas depedee de um parâmero defdo em cero domío. Para cero valor desse parâmero obém-se uma varável aleaóra, com a referda dsrbução. Em coraparda, para cero valor da varável aleaóra, obém-se uma fução do parâmero aes referdo, defdo o domío cosderado. Ao domío ode se ecora defdo o parâmero cosderado dá-se o ome de cojuo-ídce do processo esocásco correspodee. De um modo geral, os casos mas mporaes são aqueles em que o parâmero do processo esocásco é a varável empo. Se o cojuo-ídce é o cojuo dos úmeros auras, N, ou o dos eros, Z, ou uma sua pare própra, o processo esocásco dz-se de parâmero dscreo. Se o cojuo-ídce é o corpo real, ou uma sua pare própra, o processo esocásco desga-se de parâmero coíuo. Também o caso de um processo esocásco: (): T ode é o parâmero do processo, com valores o domío T, se pode cosderar uma fução de valor médo do processo esocásco. Em oro desa fução de valor médo dspõem-se, para um e ouro lado, as dversas realzações do processo esocásco, cada uma defda para um cero valor de T. É, eão, possível mosrar que, se o processo esocásco: for dferecável em méda quadráca, e fazedo: se em: (): a, b g () E () g () E () b E sup ( ) g ( a) g ( b) g ( ) g ( ) d. a a, b E desa propredade se pode ober, como coroláro, a Desgualdade de Markov para o caso dum processo esocásco as codções dcadas: c R, P sup ( ) c a, b E sup ( ) a, b c

10 Se for m () a fução de valor médo do processo esocásco (), pode ober-se a Desgualdade de Chebychev para o caso de um processo esocásco as codções referdas, ou seja: b a P () m() c c c ( a) ( b) () () ode a,b e c R. Traa-se, pos, de um lme feror para a probabldade de o processo esocásco se suar o eror de cera regão cerada a sua fução de valor médo. Se se cosderarem duas realzações do processo esocásco em causa, sejam e Y, ambas com valor médo ulo e varâca uára, e se for o coefcee de correlação ere as duas realzações - varáves aleaóras, porao -, pode mosrar-se que se em: e ambém que: Emax Y, P E Y EY Y E é claro que se fory cosae, será 0, obedo-se, eão, a expressão já aes achada para a Desgualdade de Chebychev o caso de uma só varável aleaóra: P E Fca assm raada a Desgualdade Chebychev, mas uma varedade muo mas vasa de suações que as ormalmee coempladas os exos de uso corree ao ível dos cursos de lcecaura ode o ema esá usualmee presee. BIBLIOGRAFIA GNEDENKO, B. V. (976): The Theory of Probably, MIR, Moscovo. MELLO, F. Galvão de (99): Probabldades e Esaísca, Coceos e Méodos Fudameas - Volume I, Escolar Edora, Lsboa. MURTEIRA, Beo José Ferrera (990): Probabldades e Esaísca - Volume I, ª Edção Revsa, Edora McGraw- Hll de Porugal, Lda.. OLIVEIRA, J. Tago de (990): Probabldades e Esaísca: Coceos, Méodos e Aplcações, Volume I, Edora McGraw-Hll de Porugal, Lda.. PARZEN, Emauel (97): Processos Esocascos, Parafo, Madrd. PESTANA, Ds Duare e Sílvo Flpe Velosa, (006): Irodução à Probabldade e à Esaísca, Volume I, ª Edção Revsa e Acualzada, Fudação Calouse Gulbeka, Servço de Educação e Bolsas. VENTZEL, H. (97): Théore des Probablés, MIR, Moscovo d