Secção 7. Sistemas de equações diferenciais.

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1 7. Sisemas de equações difereciais Secção 7. Sisemas de equações difereciais. (Farlow: Sec. 6., 6.4 e 6.6) No caso geral, um sisema de equações difereciais de primeira ordem pode ser represeado da seguie forma: d d d F(, x,..., x, x',..., x') F (, x,..., x, x',..., x') F (, x,..., x, x',..., x') 3 Traa-se assim de um sisema com ariáeis depedees, x i, e uma ariáel idepedee,. Nesa secção, o eao, amos apeas abordar sisemas de EDOs lieares de primeira ordem, ou seja, sisemas com a forma geral: d d d a () x + a () x a () x + f () a () x a () x... a () x f () a () x + a () x a () x + f () Aleraiamee, podemos usar oação maricial, mais compaca: Represeação maricial de um sisema liear de ª ordem Ax () + f (). d Se f (), o sisema é dio homogéeo, de corário será ão homogéeo. Esa forma maricial permie-os esabelecer um paralelismo com a forma geral das EDOs lieares de primeira ordem: px () f() d +. Págia da Secção 7

2 7. Sisemas de equações difereciais Redução de uma EDO liear de ordem a um sisema de EDOs lieares de primeira ordem Uma EDO lieares de ordem pode ser reescria como um sisema de EDOs lieares de primeira ordem. Vamos er como. Cosideremos uma EDO liear de ordem a forma ormalizada: sujeia às codições iiciais: y + a () y a () y' + a () y f(), ( ) ( ) ( ) y ( ) A, y '( ) A,..., y ( ) A. Se efecuarmos as seguies mudaças de ariáel: x y x y x y ( ), ',...,, eão a EDO origial pode ser subsiuída pelo seguie sisema de EDOs lieares de primeira ordem: sujeio às codições iiciais: x d x3 d x d a() x... a() x + f() d x( ) A x( ) A x ( ) A x( ) A Ou seja, resoler uma EDO liear de ordem equiale a resoler um sisema de EDOs lieares de primeira ordem. Ieressae, mas como se resole esse sisema? Vamos discuir aqui dois méodos: o méodo de elimiação e o méodo maricial. Págia da Secção 7

3 7. Sisemas de equações difereciais Méodo de elimiação Ese méodo aplica-se a sisemas lieares homogéeos ou ão homogéeos. Baseiase essecialmee o méodo de elimiação usado a resolução de sisemas lieares algébricos. O operador diferecial é raado como um coeficiee do sisema: d. Defiir o operador D. d i. Cosiderar d ariáel x i. Dx como sedo o produo algébrico do coeficiee D pela i 3. Elimiar ariáeis, aé ober uma equação com uma úica ariáel depedee (são permiidas muliplicações por D mas ão diisões por D!). Exemplo x' 4x x x' x + x Comecemos por iroduzir o operador D: x' 4x x x' x + x Dx 4x x Dx x+ x Rearrajado: ( D 4) x+ x x + ( D ) x Vamos agora elimiar x. Para al, muliplicámos a primeira equação por -(D-), a seguda por e somámos ambas as equações: ( D)( D 4) x( D ) x x + ( D ) x ( D)( D4) x x Obém-se assim uma equação em x : ( D)( D4) x x ( D 5D + 4) x+ x Dx Dx x Págia 3 da Secção 7

4 7. Sisemas de equações difereciais d Ou, recordado que D : d x '' 5 x ' + 6x. Trasformamos assim a resolução do sisema de duas EDOs a resolução de uma EDO homogéea de seguda ordem, o que ão os deerá surpreeder, uma ez que já discuimos a aalogia ere um sisema de EDOs lieares de primeira ordem e uma EDO liear de ordem. A solução geral desa equação é fácil de ober: x Ce + Ce. 3 Da primeira equação do sisema origial obemos uma relação ere x e x : Logo: x (4 x x '). 3 x Ce + Ce. Méodo maricial A aplicação do méodo maricial é de cera forma aáloga ao raameo que efecuamos aeriormee para as EDOs lieares de ordem ou superior. Da mesma forma, amos primeiro esudar os sisemas homogéeos e depois os ão homogéeos. a) Sisemas lieares homogéeos Vimos a Secção 4 que a solução geral de uma EDO liear homogéea de ordem é dada pela combiação liear de soluções pariculares liearmee idepedees. Um resulado semelhae pode ser deriado para um sisema liear homogéeo de equações: Teorema Solução geral de um sisema liear homogéeo Se () () ( ) x (), x (),..., x () forem soluções pariculares, liearmee idepedees, do sisema homogéeo liear de equações: Ax () d A parir daqui iremos omiir a desigação da ordem das equações do sisema, pois esamos a assumir que se raa sempre de EDOs de primeira ordem. Págia 4 da Secção 7

5 7. Sisemas de equações difereciais um ieralo I em que os elemeos de A são coíuos, eão a solução geral do sisema pode ser escria como: () () ( ) x () cx () + cx () cx () h em que c, c,, c são cosaes. () () ( ) O cojuo { (), (),..., ()} x x x é desigado por cojuo fudameal de soluções. Coloca-se agora a quesão de como ecorar as soluções pariculares liearmee idepedees? Vamos cosiderar apeas o caso em que os coeficiees de A são cosaes (idepedees de ): d Ax. Se o problema iesse dimesão, iria: dy a ay y ce d. Iso sugere que procuremos soluções de forma semelhae para o problema de dimesão, subsiuido a cosae c por um ecor cosae, : Ax x d λ e. Como ober λ e? Subsiuido a solução proposa o sisema de equações obemos: λ λ e λ A e λ A ( A λ I ). Valores próprios e ecores próprios da mariz dos coeficiees Ou seja, x λ e será uma solução do sisema de equações difereciais se λ e erificarem a equação ( A λ I ). Para que ese sisema algébrico eha soluções para além da solução riial, é ecessário que o deermiae da sua mariz de coeficiees seja ulo: A λi. Págia 5 da Secção 7

6 7. Sisemas de equações difereciais A expasão dese deermiae dá-os um poliómio de ordem em λ (equação caracerísica), cujas raízes (λ) são desigadas por alores próprios da mariz A. Para cada alor próprio obido, resole-se o sisema algébrico ( A λ I ) e calcula-se o alor correspodee de, o qual é o ecor próprio associado ao alor próprio λ. O seguie eorema sisemaiza ese resulado: Teorema Cosruir a solução geral de um sisema liear homogéeo com base os alores e ecores próprios da mariz dos coeficiees Se A for uma mariz cosae com ecores próprios liearmee idepedees (),, ( ), correspodees a alores próprios reais λ, λ,, λ, eão λ { } () λ, () λ,..., ( e e e ) é um cojuo fudameal de soluções do sisema liear homogéeo d Ax. A solução geral do sisema é eão dada por: () () ( ) λ λ λ x () ce + ce ce em que c, c,, c são cosaes. (), Exemplo x' x+ x x() x ' x+ x x() 3 Na forma maricial, o sisema é escrio como: x' x x 3. A solução geral ai ser uma combiação liear de duas soluções pariculares liearmee idepedees: () () x cx + cx. Essas soluções pariculares erão a forma: () i λi () i, x ce em que λ i é um alor próprio e () i é o ecor próprio correspodee. Págia 6 da Secção 7

7 7. Sisemas de equações difereciais coeficiees: O primeiro passo cosise assim em ecorar os alores próprios da mariz de A λi λ λ ( λ) 4 λ, λ 3 Seguidamee, amos ecorar os ecores próprios correspodees: ( A λ I ) Para o primeiro alor próprio, λ : ( ) ( ). Os elemeos de são assim obidos do sisema liear algébrico: + + Logo, o primeiro ecor próprio deerá er a forma: Vamos assumir : (). (). Para o segudo alor próprio, λ 3 : () Podemos agora cosruir a solução geral: x ce + ce 3, Págia 7 da Secção 7

8 7. Sisemas de equações difereciais e aplicar as codições iiciais: 3 x ce ce + 3 c+ c c, c c+ c 3 Assim, a solução paricular dese problema é: 3 x e + e x e + e 3 x e + e 3. Valores próprios complexos Pode suceder que exisam raízes complexas do poliómio caracerísico, obedo-se assim alores próprios que são complexos cojugados: λ α+ iβ λ α iβ Os ecores próprios correspodees serão eão do ipo: () a+ ib () aib Uma solução paricular correspodee ao alor próprio λ e ao ecor próprio λ ( α i e e + β ) α ( a ib) e cos( β) + isi( β)( a+ ib) + [ ] [ cos( β ) cos( β ) si( β ) si( β ) ] + + α e a i b i a b ( ) α e cos( βa ) si( βb ) + i si( βa ) + cos( βb ) α [ cos( β ) si( β ) ] [ si( β ) cos( β ) ] + + α e a b ie a b () será: α Esa solução é composa por duas fuções, e [ cos( βa ) si( βb ) ] [ si( β ) cos( β ) ] α e a b e +, as quais, coforme se pode facilmee demosrar, são elas próprias soluções pariculares liearmee idepedees do sisema. Sedo assim, poderemos usá-las como as duas soluções pariculares de que ecessiamos para cosruir a solução geral: [ cos( β ) si( β ) ] [ si( β ) cos( β ) ] () α x e a b () α x e a+ b Págia 8 da Secção 7

9 7. Sisemas de equações difereciais Exemplo x' x x 7 Vamos começar por calcular os alores próprios: ( λ) ( λ) 3 λ + λ λ+ ( λ) λ, λ i, λ i 3 λ () 3 3 () () x e λ e 3 λ i i i i Págia 9 da Secção 7

10 7. Sisemas de equações difereciais ( i ) + 3 i + 3 ( i ) ( + i ) () ( + i ) 3 ( + i ) 3 3 i i i + λ () i e e + i cos( ) si( ) + isi( ) + cos( ) Logo: () x cos( ) si( ) (3) x si( ) + cos( ) Noe que, se uilizássemos o alor próprio λ 3 i, chegaríamos a um resulado idêico. A solução geral será assim: () () (3) 3 x cx + cx + cx ce c cos( ) si( ) c3 si( ) cos( ) Ou seja: ( cos( ) si( )) ( si( ) cos( )) ( cos( ) si( )) ( si( ) cos( )) ( cos( )) ( si( )) x ce + c + + c3 x c + + c3 x3 ce + c + c3 Págia da Secção 7

11 7. Sisemas de equações difereciais Valores próprios de muliplicidade superior a. Vecores próprios geeralizados. O poliómio caracerísico pode ambém er raízes (alores próprios) de muliplicidade superior a. Nesse caso, ão se obêm direcamee ecores próprios liearmee idepedees. As soluções pariculares liearmee idepedees que falam para cosruir a solução geral são geradas recorredo a ecores próprios geeralizados, deermiados segudo a seguie expressão: ( A λiu ), em que u é o ecor próprio geeralizado associado ao ecor próprio. A solução paricular correspodee é escria da seguie forma: λ x e ( u + ). b) Sisemas lieares ão homogéeos A solução geral de um sisema ão homogéeo obém-se de forma aáloga à de uma EDO liear ão homogéea: Teorema Solução geral de um sisema liear ão homogéeo Se x p for uma solução paricular de Ax + f() d um ieralo I, e () () ( ) x (), x (),..., x () forem soluções pariculares, liearmee idepedees, do sisema homogéeo correspodee, eão a solução geral do sisema ão homogéeo pode ser escria como: () () ( ) h p p x () x + x cx () + cx () cx () + x () em que c, c,, c são cosaes. Para ecorar uma solução paricular, x p, do sisema ão homogéeo, iremos usar a ersão maricial do já cohecido méodo de ariação de parâmeros (er Secção 5): Méodo de ariação de parâmeros Já cohecemos a solução geral do sisema homogéeo correspodee: Págia da Secção 7

12 7. Sisemas de equações difereciais () () ( ) xh cx + cx cx c () () ( ) c x x... x Xc c em que X é a chamada mariz fudameal (as suas coluas são os ecores () i x - soluções pariculares do sisema homogéeo). O méodo de ariação de parâmeros baseia-se esa solução geral para represear a solução paricular do sisema ão homogéeo, subsiuido as cosaes por fuções descohecidas de : xp Xu (). Para deermiar o ecor u(), amos subsiuir a solução proposa o sisema ão homogéeo: d( Xu) d AXu + f X ' u+ Xu' AXu + f ( ' ) X AX u + Xu' f. Uma ez que odas as coluas da mariz X são soluções pariculares do sisema homogéeo, eão X ' AX e, a equação aerior, podemos fazer X ' AX, ficado eão: Xu' f. Ese é o sisema algébrico que os permiirá deermiar u. Exemplo 3 x' x + Primeiro, resolemos o sisema homogéeo correspodee: x? h A λi 3 λ λ λ 5λ + 4 λ, λ 4 Págia da Secção 7

13 7. Sisemas de equações difereciais λ ( A λ I ) () λ () A solução geral do sisema homogéeo é eão: 4 4 e e c xh ce + ce 4 e e c Xc Resa agora ecorar uma solução paricular do sisema ão homogéeo: xp Xu (). em que u() é dado por: Xu' f. Resoledo pela regra de Cramer para u : 4 e e u ' e e u ' 4 W e e e e 4 5 3e 4 Págia 3 da Secção 7

14 7. Sisemas de equações difereciais e 4 4 e u ' u 5 C 3e Como esamos à procura de apeas uma solução paricular, podemos escolher o alor mais coeiee para as cosaes de iegração, ou seja, fazemos C : E para u : u. e e u ' e 5 3e 4 u e. A solução paricular do sisema ão homogéeo fica eão: xp 4 e e Xu () 4 4 e e 4 6 ( + 4 6) e 4 6 E a solução geral do sisema ão homogéeo: x x + x h p 4 ce ce ce + ce ce + ce ce + ce 4 6 Págia 4 da Secção 7

15 7. Sisemas de equações difereciais Sumário da Secção 7 Redução de uma EDO liear de ordem a um sisema de EDOs lieares de primeira ordem Méodo de elimiação Méodo maricial o o Sisemas homogéeos Cosrução da solução geral a parir dos alores e ecores próprios Valores próprios complexos Valores próprios com muliplicidade superior a Sisemas ão-homogéeos Méodo da ariação de parâmeros Págia 5 da Secção 7