MECÂNICA CLÁSSICA. AULA N o 4. Carga de Noether- Simetrias e Conservação

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1 MECÂNIC CLÁSSIC UL N o 4 Carga de Noeher- Smeras e Conservação Vamos ver o caso de uma parícula movendo-se no plano, porém descrevendo-a agora em coordenadas polares: r r d dr T T m dr m d r d d m r m r Vamos consderar para ese exemplo uma energa que só dependa de r. Nese caso, emos uma smera em relação à roação do ssema, cuja aplcação não alera o valor de r, manendo nalerado o valor da Energa Poencal e porano do Lagrangeano, que é dado por: plcando as Equações de Euler-Lagrange, obemos as equações do movmeno: Nesa úlma equação, o ermo mr enra como uma força exra, posva (aponando na dreção de r radal). Esa é a Força Cenrífuga, que em o efeo aparene de crar uma repulsão a parr do cenro. Para a coordenada, eremos: L mr Momeno Canônco Conjugado a θ (MOMENTO NGULR - L) d L mr 0 mr L (consane) d Vemos enão que o momeno angular se conserva. Iso decorre do fao de ser ese um ssema que apresena smera em relação à roação. SIMETRI DE ROTÇÃO CONSERVÇÃO DO MOMENTO NGULR L Subsundo na equação obda para mr eremos: mr U m r r L m r m r 4 U L L mr : "Força Cenrífuga" r 3 3 m r m r m r r U r L d L d L d q d q d L du r m r ( r) m r m r m r d r d Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford ()

2 OS: Supondo Fx ( ) uma função de váras varáves, enão a expressão: F 0 ( "Varação") sgnfca que a varação da função F, numa a ordem de aproxmação, em relação à varação de qualquer F F suas varáves é nula. Porém, como F x, enão resula que: F 0 0 x x Como exemplo para a aplcação desa noação, emos o PM. ção é mínma quando qualquer pequena varação da rajeóra resula numa varação nula para a ção. Temos, porano, como expressão equvalene para o Prncípo da Mínma ção (PM): 0 L d 0 Vamos ver novamene a quesão das smeras. dea básca da smera esá na condção de ser possível realzar uma mudança no ssema que não alera o valor da ÇÃO. Por exemplo, se nós emos um ssema de parículas se movendo, as quas neragem enre s, mas com nenhum ouro elemeno exerno, enão, se nós pegarmos odo o ssema e o ransladarmos por um pequeno nervalo no espaço, o resulado é que a ção não se alerará, porque ela não depende nese caso da localzação de cada parícula no espaço, mas somene das posções de cada uma delas em relação às demas. Esa é a dea que defne o conceo de smera em relação, por exemplo, a uma roação do ssema. ssm, bascamene, smera é uma operação que se pode aplcar a um ssema (uma mudança que se pode fazer nas coordenadas do ssema) que não alera o valor da sua respecva ção. Em parcular, esamos neressados em smeras nfnesmas, ou seja, em smeras que realzam apenas pequenas mudanças no ssema. É possível consrur uma ransformação smérca qualquer aravés de váras ransformações smércas nfnesmas. Por exemplo, uma roação de 90 do ssema pode ser obda pela composção de pequenas roações cuja soma perfaça 90 no oal. ssm rabalharemos com ransformações que podem ser aproxmadas por varações de prmera ordem (prmera dervada). ransformação de um ssema é defnda por uma mudança nas suas coordenadas: q q f ( q). OS: f ( q) sgnfca que f depende de odos os represena um pequeno valor. q, ou seja, f ( q) f q, q... q n. Nese caso, No caso da roação, vemos que as mudanças devem depender da posção f ( q ), pos a roação realzada é dferene em cada pono. Mas, enão, o que sgnfca dzer que emos uma smera? Sgnfca que, se fzermos uma mudança no ssema, q q f ( q), a ção não sofrerá aleração. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford

3 3 Para ver melhor a dependênca de f ( q ), vamos analsar a roação realzada num plano. x x r dsen r dcos x sen x x r d r r x x cos r d r r d fazendo f x, f x, x x x f x, f x, OS: Um cubo em smeras dscreas, que não podem ser obdas aravés de smeras nfnesmas. Já uma esfera em smera conínua, que pode ser obda aravés da composção de smeras nfnesmas. Vamos represenar a rajeóra de um ssema, consderando o empo na vercal e TODS as coordenadas represenadas pelo exo horzonal. 0, a varação da ção é nula em relação às varações da rajeóra. OS: s varações da rajeóra são resras àquelas que não aleram a rajeóra real nos seus ponos ncal e fnal. Se aplcarmos uma ransformação smérca ao ssema, eremos: Com essa ransformação, esaremos fazendo uma pequena varação na rajeóra, porém não se raa de uma varação admssível para a Mínma ção. Nese caso, a varação da ção ambém é nula, porém não por causa do Prncípo da Mínma ção, e sm porque a ransformação, por hpóese, é uma ransformação smérca, que, porano, não alera o valor da ção. Vamos verfcar enão, segundo as equações de Euler- Lagrange, qual é a expressão para a varação da ção (que nese caso é zero ) Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford

4 4 L d L L q q d q q d L L L q d q q d q q Nese caso, o ermo exra, L q q, não se anula, pos não se raa de uma varação admssível para a rajeóra do ssema (a varação deslocou os ponos ncal e fnal). Nesa expressão, emos o valor oal da varação da ção, quando se nclu ambém o deslocameno dos ponos ncal e fnal. Uma vez que o nosso problema paru da hpóese de uma rajeóra real do ssema, ou seja, consderou que a rajeóra sasfaz o Prncípo da Mínma ção, enão a rajeóra sasfaz as Equações de Euler Lagrange: L q L q 0 q q Por ouro lado, uma vez que, ambém por hpóese, a ransformação é smérca, enão a varação da ção é nula. Dso resula que: L q q Mas esa é a expressão para a dferença enre duas quandades enre dos dferenes nsanes de empo. Iso sgnfca que esa quandade é conservada! Segue medaamene, assm, uma Le de Conservação : Se nós parrmos de um ssema que apresena uma smera, enão, uma vez que q f ( q), eremos conservada a quandade: d L f d q OS: Se a quandade não vara enre quasquer dos nervalos de empo, enão a sua dervada no empo é zero. Enconramos assm (e ese é o pono mporane!) a conexão fundamenal enre smeras e Les de Conservação, aravés do Prncípo da Mínma ção. Enão o momeno é conservado devdo à exsênca de smera na ranslação do ssema (smera de ranslação). Da mesma forma, o momeno angular é conservado devdo à exsênca de smera na roação do ssema (smera de roação). Porém nem oda equação que é nvarane por ranslação em uma smera que permanece com ela após a ransformação. É necessáro que a equação seja dervada do Prncípo da Mínma ção. Nós podemos escrever equações que são nvaráves por ranslação, mas que não êm, assocadas a esa ranslação, quanas que são conservadas. Iso se dá quando esas equações não obedecem ao PM. Vamos escrever a Le de Conservação em oura forma: ( q) d L d d q f ( q) f ( q) 0 d q d d f( q) "CRG DE NOETHER" O ermo carga, empregado nese nome é devdo à analoga com a Carga Elérca, que é uma quana físca conservada. ssm, o momeno e a energa seram uma espéce de carga (quana conservada). Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford

5 Vamos ver alguns exemplos a respeo do assuno. Suponhamos que um ssema de parículas seja smérco em relação à ranslação ao longo do exo x x ; 0; z 0. Nese caso, f ( q) para odas as coordenadas de odas as parículas. Carga de Noeher para ese ssema é mx "Quana Conservada". x ssm a conservação da quandade de movmeno nese caso é consequênca da smera de ranslação na dreção x. Vamos ver agora a expressão para o momeno angular, consderando o caso parcular de uma parícula movendo-se num plano. x r d sen r d r d x r r x x r d cos r d r d x r r x fx f x f f x x p p x L x x 5 ssm novamene, sem nos preocuparmos com forças enre parículas e sem enrarmos em pequenos dealhes, mas smplesmene sabendo que a ção não muda com a roação do ssema em orno da orgem, nós chegamos à quana conservada, que, conforme a equação nos mosra, é famlar para nós, ou seja, é a componene do momeno angular na dreção z p p x L r p. x z z Se observássemos a órba da Terra um mnuo após o níco da rajeóra aneror, nós veríamos exaamene a mesma rajeóra, porém arasada no empo em um mnuo. O fundameno por rás dese conceo é que, nas les da Físca, não ocorre uma dependênca explca do empo (esa dea esá sempre relaconada com a condção de se olhar apenas para pares soladas do ssema). Por exemplo, se nós supusermos dos corpos suados nas proxmdades de um grande planea que eseja se movendo, enão as forças neses dos corpos serão explcamene dependenes do empo, devdo ao movmeno dese planea, que não esamos consderando em nossas equações, mas que faz as forças do ssema de dos corpos serem varáves no empo. Nese caso, se observarmos eses dos corpos num nsane lgeramene dferene (para as mesmas condções ncas), eríamos rajeóras dferenes, e não apenas rajeóras defasadas no empo, pos o planea já esara em oura posção. Se eses dos corpos compusessem um ssema solado (afasado sufcenemene do planea) enão o ssema apresenara a caracerísca de ser nvarável segundo uma ranslação no empo. Iso sgnfca que, se mudarmos, para odos os elemenos do ssema, a referênca no empo por uma mesma quandade " ", a rajeóra modfcada connuará como solução do problema. Esa é a chamada nvarânca em relação à ranslação no empo. Volemos à rajeóra percorrda por um ssema, represenada pelos " qs ' " e pelo empo: Vamos supor a rajeóra deslocada no empo por um nervalo. Nós podemos ver ese problema de duas maneras: Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford

6 6 a ) Consderando que oda a rajeóra é smplesmene movda para adane no empo: OS: Os resulados, nese caso, serão os mesmos obdos com o segundo méodo (explcado a segur), porém, uma vez que q ( ) q ( ), enão a expressão para q () sera dq dada por q q q, enquano as quanas d exras e seram respecvamene somada e subraída, pos o recho esara além do nervalo e o recho esara não sera levado em consderação. Desse modo o resulado, como era de se esperar, será o mesmo obdo a segur. a ) Focando nossa aenção num nsane parcular, no qual a rajeóra er-se-a movdo apenas laeralmene: Nese segundo caso, podemos ver que cada pono q ( ), q ( )... q ( ) é deslocado para o pono recuado no empo pelo nervalo " ": n q ( ) q ( ) dq Enão a varação em q() será dada por: q() q d OS: Nese caso, consderando o deslocameno apenas laeral da rajeóra, eríamos que consderar ambém os dos rechos exremos da rajeóra em relação à ranslação vercal no empo, pos esaríamos levando em cona um recho exra nferor e suprmndo um recho exra superor: Trecho a menos () Trecho a mas () prmera cosa que sabemos desa rajeóra deslocada no empo é que ela connua sendo solução das equações do movmeno, pos nós assummos que emos uma smera em relação à ranslação no empo, o que sgnfca que a ranslação não muda o Lagrangeano. Porano a ção da nova rajeóra em de ser gual à da aneror. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford

7 7 Trecho a acrescenar Trecho a subrar 0 (Smera) L L = q q d q q L d L L d q 0 q d q q 0 L Mas q q q 0 q Ld, mas como é um nfnésmo: = L( ) Ld, mas como é um nfnésmo: = L( ) q L L( ) L( ) 0 q Ou seja: q L ( ) q L L L( ) q q L L q q consane! d Obvemos assm uma nova le de conservação: q L L 0 (rocando o snal) d q Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford

8 Esa le é consequênca da nvarânca em relação à ranslação no empo. quandade conservada é chamada de HMILTONINO. 8 q L L H q (ENERGI DO SISTEM) Vejamos um exemplo desa le para o caso do movmeno de uma parícula: L m x U ( x) m x x m x H m x L m x m x U ( x) H m x U ( x) Ese é um resulado geral. Na verdade esa é a defnção de ENERGI em Mecânca. Porano energa é a quandade conservada como consequênca da nvarânca em relação à ranslação no empo. Vamos ver agora a Mecânca segundo a forma Hamlonana, que consu a conexão cenral com a Mecânca Quânca. Mas vamos prmeramene ver alguns exemplos da uldade práca dese conceo. Hoje em da, com a Teora do Campo Quanzado, as cosas que são realmene meddas em um expermeno esão mas relaconadas ao Lagrangeano do que às equações do movmeno. Por exemplo, a seção rea da colsão enre parículas aômcas, resulando na emssão de fóons ec., esá dreamene lgada ao Lagrangeano. ssm a amplude de probabldade nas colsões de parículas, apesar de não perencer à Mecânca Clássca, são governadas pelo mesmo Lagrangeano no lme enre as duas Físcas (Clássca e Quânca). Na Físca Clássca, as prmeras cosas que a erem sdo descoberas foram as equações do movmeno. ssm Maxwell formulou as equações das ondas eleromagnécas, ec. Mas arde, no começo do Século XX, descobru-se que essas equações podam ser formuladas pelo Prncípo da Mínma ção e que a expressão da ção era muo mas smples do que as própras equações do movmeno. Enão, de um pono de vsa práco, é sempre mas fácl calcular o Lagrangeano e, depos, deduzr as equações do movmeno, do que enar esabelecer dreamene esas equações! OS: Como já fo do, se o Lagrangeano depender explcamene do empo, enão não eremos a conservação da energa, porque uma ranslação no empo não conservará o Lagrangeano, quebrando a smera em relação ao empo. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Sanford