Oitava Lista de Exercícios

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1 Uversdade Federal Rural de Perambuco Dscpla: Matemátca Dscreta I Professor: Pablo Azevedo Sampao Semestre: 07 Otava Lsta de Exercícos Lsta sobre defções dutvas (recursvas) e prova por dução Esta lsta fo dvdda em quatro partes Em cada parte, as questões são umeradas a partr de Quado precso, usamos a sgla X- para detfcar a questão a seção X Parte A: Defções recursvas (dutvas) e formas fechadas ) Cosdere a defção recursva da seqüêca { a } abaxo: a = a = 0 a = a - + a - Calcule os segutes termos dessa seqüêca: a) a b) a 5 c) a 0 ) Dê defções recursvas para: a) A seqüêca crescete dos úmeros múltplos de postvos Ou seja, a seqüêca que começa assm: (, 6, 9,, ) b) A seqüêca que é um progressão artmétca de termo cal e razão 4 c) A seqüêca crescete dos úmeros postvos cuja dvsão por 5 dá resto d) A seqüêca (S ) em que, cada termo S k represeta a soma dos k prmeros teros postvos Por exemplo, S represeta, S represeta a soma + (que é ), S represeta a soma ++ (que é 6) e) A fução f(x)=x, com domío tero postvo ) Explque o que é uma defção dutva e o que é uma forma fechada de uma fução Ressalte as dfereças etre as duas 4) Prove por dução que, o domío Z + (dos úmeros teros postvos), as fuções f e g defdas abaxo são guas Ou seja, prove que f()=g() para todo tero postvo Defção de f (recursva): f() = f() = f(-) +

2 Defção de g (forma fechada): g() = 5) Uma progressão geométrca pode ser vsta como uma seqüêca (a ) em que o termo cal é algum k e cada um dos demas termos é obtdo multplcado-se o ateror por uma razão r Ou seja, uma defção recursva de (a ) sera: a = k a = a - r Prove que (a ) equvale à seqüêca (b ) defda por esta forma fechada: b = k r - 6) Prove por dução que, o domío N (dos úmeros aturas, ou seja, dos teros ão-egatvos), as fuções f e g defdas abaxo são guas Ou seja, prove que f()=g() para todo tero ode 0 Defção de f: f(0) = 5 f() = 4 f() = 5f(-) - 4f(-) Defção de g: g() = + 4 7) Prove por dução que, o domío dos úmeros aturas, as fuções f e g dadas abaxo são dêtcas o domío N (Dca: use dução forte e prove dos casos base) Defção de f: f(0) = f() = 7 f() = f(-) + f(-) Defção de g: g() = - (-) 8) Cosdere a seqüêca de Fboacc (F ) defda assm: F 0 = 0 F = F = F - + F - Com base ela, respoda: a) Calcule esta seqüêca até o termo F 0 b) Prove por dução forte que F = F + + F - para todo valor tero

3 9) Prove por dução que as duas fuções f e g defdas abaxo são dêtcas Defção de f: f() = f() = f(-) Defção de g: g() = g() = 4 g() = g(-) g(-) Parte B: Somatóros ) Prove por dução que = (+)/ Ou seja, prove a segute fórmula fechada para o somatóro: ( + ) = ) Prove por dução que = ( + ) /, para todo atural Ou seja, prove a segute fórmula fechada para o somatóro: 0 = + ) Prove que, para todo tero postvo, vale esta soma: (!) + (!) + + (!) = (+)! Ela também pode ser expressa assm: (!) = ( + )! 4) Usado qualquer das defções da questão A-5, prove por dução que, para todo tero postvo, a soma dos prmeros termos de uma progressão geométrca de termo cal k e razão r (ou seja, k + kr + kr + kr + + kr - ), se r, vale k( r )/( r) Em termos de somatóro, sso equvale a provar que: 0 k r k( r = r 5) Cosdere a seqüêca de Fboacc defda a questão A-8 Prove por dução que a soma dos prmeros termos de ídces ímpares daquela seqüêca F + F + + F - dá o resultado F para todo tero postvo Ou seja, prove que: F = F )

4 6) Prove por dução que, para todo atural, e para todo real b, a soma das potêcas b 0 + b + b + + b sempre dá (b + ) / (b ) (Este teorema geeralza a questão B-) Ou seja, prove que: + 0 b = b + b + b + + b = 0 b b 7) (Iteressate) Prove que, para todo, vale: = ( ) Em otação de somatóro, sso correspode a provar: = (Dca: use como lema a questão B-) 8) Prove, pelo o prcípo da dução, a segute afrmação: Para todo tero, pode ser escrto como a soma de termos 4 s ou 5 s O passo dutvo deverá ser provado por casos (Observação: já fzemos uma prova desta afrmação as otas de aula usado o o prcípo da dução) Parte C: Iequações ) Prove por dução que < para todo tero postvo ) Prove que > para todo tero tal que 4 ) Prove que < para todo tero postvo 4) (Iteressate) Prove por dução que, para toda seqüêca (a ) de reas ãoegatvos, a soma dos quadrados dos prmeros termos é sempre meor ou gual ao quadrado da soma desses termos Isso pode ser expresso de uma dessas formas: a a ou ( ) a + a + + a a + a + + a Parte D: Dvsbldade e fatoração ) Prove por dução que ( ) é múltplo de três para todo tero postvo Ou seja, prove que ( ) ) Prove por dução que, para todo tero postvo e todo tero x, temos que (x ) é múltplo de (x-) (Este teorema geeralza a questão D- ateror) ) (Iteressate) Provar que: para um tero postvo x qualquer, se a soma dos dígtos de x (a represetação decmal) é um múltplo de, etão x é múltplo de (Dca: prove por dução sobre o úmero de dígtos de x) 4

5 4) (Iteressate) Provar por dução que, para todo tero postvo e para todos x e y reas, o polômo (x - + y - ) pode ser fatorado por (x+y) Dca: assuma esta propredade: x + y = ( x + y)( x + y ) xy( x + y ) Se o teu mgo tver fome, dá-lhe pão para comer; e se tver sede, dá-lhe água para beber; Porque assm lhe amotoarás brasas sobre a cabeça; e o SENHOR to retrburá (Provérbos cap 5, versos -) 5

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