Diferenciais Ordinárias. Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais

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1 Exstêca e Ucdade de Soluções de Equações Dferecas Ordáras Regaldo J Satos Departameto de Matemátca-ICEx Uversdade Federal de Mas Geras reg 10 de ulho de 2010

2 2 1 INTRODUÇÃO Sumáro 1 Itrodução 2 2 Equações de 1 ạ Ordem 3 21 Exercícos 6 3 Sstemas Leares de 1 ạ Ordem 8 31 Exstêca e Ucdade de Soluções de Equações Leares de 2 ạ Ordem Respostas dos Exercícos 12 1 Itrodução Apresetamos aqu demostrações auto-sufcetes dos teoremas de exstêca e ucdade de soluções de equações dferecas, sstemas de equações dferecas leares e equações dferecas leares de 2 ạ ordem que ão requerem o uso de cotudade uforme

3 3 2 Equações de 1 ạ Ordem Teorema 1 (Exstêca e Ucdade) Cosdere o problema de valor cal Se f(t, y) e f y são cotíuas o retâgulo dy = f(t, y) dt (1) y( ) = y 0 R = {(t, y) R 2 α < t < β, δ < y < γ} cotedo(, y 0 ), etão o problema (1) tem uma úca solução em um tervalo cotedo Demostração 1 Exstêca: Defa a seqüêca de fuções y (t) por y 0 (t) = y 0, y (t) = y 0 + f(s, y 1 (s))ds, para = 1, 2, Como f(t, y) é cotíua o retâgulo R, exste uma costate postva b tal que f(t, y) b, para (t, y) R Assm Como f y tal que y 1 (t) y 0 b t, para α < t < β é cotíua o retâgulo R, exste uma costate postva a (por que?) f(t, y) f(t, z) a y z, para α < t < β e δ < y, z < γ

4 4 2 EQUAÇÕES DE 1 Ạ ORDEM Assm e y 2 (t) y 1 (t) f(s, y 1 (s)) f(s, y 0 (s)) ds a y 1 (s) y 0 ds ab s ds = ab t 2 2 y 3 (t) y 2 (t) f(s, y 2 (s)) f(s, y 1 (s)) ds a Vamos supor, por dução, que y 2 (s) y 1 (s) ds a 2 b s 2 2 ds = a 2 b t 3 6 Etão y 1 (t) y 2 (t) a 2 b t 1 ( 1)! y (t) y 1 (t) f(s, y 1 (s)) f(s, y 2 (s)) ds a y 1 (s)) y 2 (s) ds a a 2 b s 1 ( 1)! ds = a 1 b t! (2) Estas desgualdades são váldas para α α < t < β β em que α e β são tas que δ < y (t) < γ sempre que α < t < β (por que exstem α e β?) Segue-se de (2) que =1 que é covergete Como y (t) y 1 (t) b y (t) = y 0 + k=1 =1 a 1 (β α)! (y k (t) y k 1 (t)),

5 5 etão y (t) é covergete Sea Como y m (t) y (t) m k=+1 y(t) = lm y (t) y k (t) y k 1 (t) b m k=+1 etão passado ao lmte quado m tede a fto obtemos que y(t) y (t) b k=+1 a k 1 (β α) k k! a k 1 (β α) k, k! Logo dado um ǫ > 0, para sufcetemete grade, y(t) y (t) < ǫ/3, para α < t < β Daí segue-se que y(t) é cotíua, pos dado um ǫ > 0, para s sufcetemete próxmo de t, temos que y (t) y (s) < ǫ/3 e para sufcetemete grade y(t) y (t) < ǫ/3 e y(s) y (s) < ǫ/3, o que mplca que y(t) y(s) y(t) y (t) + y (t) y (s) + y (s) y(s) < ǫ Além dsso para α < t < β, temos que lm f(s, y (s))ds = pos, por (3), temos que f(s, y (s))ds f(s, y(s))ds f(s, lm y (s))ds = f(s, y (s)) f(s, y(s)) ds a y (s) y(s) ds que tede a zero quado tede a fto Portato y(t) = lm y (t) = y 0 + lm = y 0 + ab(t ) f(s, y(s))ds, k=+1 f(s, y 1 (s))ds = f(s, lm y 1 (s))ds = y 0 + f(s, y(s))ds a k 1 (β α) k k! (3)

6 6 2 EQUAÇÕES DE 1 Ạ ORDEM Dervado em relação a t esta equação vemos que y(t) é solução do problema de valor cal 2 Ucdade: Vamos supor que y(t) e z(t) seam soluções do problema de valor cal Sea Assm, como u(t) = y(s) z(s) ds y(t) = y (s)ds = f(s, y(s))ds, z(t) = z (s)ds = f(s, z(s))ds, etão u (t) = y(t) z(t) ou sea, y (s) z (s) ds = f(s, y(s)) f(s, z(s)) ds u (t) au(t) Subtrado-se au(t) e multplcado-se por e at obtemos d dt (e at u(t)) 0, com u( ) = 0 a y(s) z(s) ds Isto mplca que e at u(t) = 0 (lembre-se que u(t) 0) e portato que u(t) = 0, para todo t Assm y(t) = z(t), para todo t 21 Exercícos 1 Mostre que se f y é cotíua o retâgulo R = {(t, y) R 2 α < t < β, γ < y < δ},

7 21 Exercícos 7 etão exste uma costate postva a tal que f(t, y) f(t, z) a y z, para α < t < β e δ < y, z < γ Sugestão: Para t fxo, use o Teorema do Valor Médo para f como fução somete de y Escolha a como sedo o máxmo de f o retâgulo y 2 Mostre que se f(t, y) e f y e a e b são costates postvas tas que são cotíuas o retâgulo R = {(t, y) R 2 α < t < β, γ < y < δ} f(t, y) b, f(t, y) f(t, z) a y z, para α < t < β e δ < y, z < γ, etão exstem α e β com α α < < β β tas que a seqüêca y 0 (t) = y 0, y (t) = y 0 + f(s, y 1 (s))ds, para = 1, 2, satsfaz δ < y (t) < γ sempre que α < t < β Sugestão: mostre que ( ) b y (t) y 0 a 1 e a t t0

8 8 3 SISTEMAS LINEARES DE 1 Ạ ORDEM 3 Sstemas Leares de 1 ạ Ordem Cosdere o sstema de equações dferecas leares x 1 (t) = a 11(t)x 1 (t)+ +a 1 (t)x (t)+ f 1 (t) x (t) = a 1 (t)x 1 (t)+ +a (t)x (t)+ f 2 (t) que pode ser escrto a forma de uma equação dferecal matrcal x 1 (t) a 11 (t) a 1 (t) x 1 (t) f 1 (t) = + x (t) a 1 (t) a (t) x (t) f (t) ou em que A(t) = a 11 (t) a 1 (t) a 1 (t) a (t) X (t) = A(t)X(t) + F(t), (4), X(t) = x 1 (t) x (t) e F(t) = f 1 (t) f (t) Teorema 2 (Exstêca e Ucdade) Cosdere o problema de valor cal { X (t) = A(t)X(t) + F(t) X( ) = X (0) (5) Supoha que a (t), f (t) seam fuções cotíuas um tervalo I = [a, b] cotedo Etão o problema (5) tem uma úca solução o tervalo I Demostração 1 Exstêca: Defa a seqüêca X (k) (t) por X (0) (t) = X (0), X (k) (t) = X (0) + (A(s)X (k 1) (s)+ F(s))ds, para k = 1, 2,

9 9 Assm, cada compoete X (k) (t) é dada por Seam M, N > 0 tas que Etão (t) x (1) (t) x (2) x (k) = x (0) t + ( =1 a (s)x (k 1) (s)+ f (s))ds a (t) M, para, = 1, e t I (6) x (1) (t) x (0) N, para = 1, e t I a (s) x 1 (s) x0 ds =1 M x (1) (s) x (0) ds MN(t ) =1 (t) x (2) (t) x (3) Por dução x (k+1) a (s) x (2) (s) x (1) =1 (s) ds M x (2) (s) x (1) (s) ds M 2 N =1 (t) x (k) t (t) M =1 x (k) =1 a (s) x (k) (s) x (k 1) (s) ds M (s) x (k 1) (s) ds =1 s ds =1 2 M 2 N t 2 k 1 M k 1 N s k 1 (k 1)! 2 ds k M k N t k Usado o mesmo argumeto usado a demostração do Teorema 1 a pága 3 temos que x (k) (t) é uma seqüêca covergete Sea x (t) = lm x (k) k (t) k!

10 10 3 SISTEMAS LINEARES DE 1 Ạ ORDEM Também pelo mesmo argumeto usado a demostração do Teorema 1 a pága 3 temos que x (t) é cotíua e vale Assm lm k ( =1 a (s)x (k 1) t (s)+ f (s))ds = x (t) = lm x (k) k (t) = x (0) t + lm k = x (0) t + ( =1 ( =1 ( =1 a (s)x (s)+ f (s))ds a (s)x (k 1) (s)+ f (s))ds = a (s) lm k x (k 1) (s)+ f (s))ds = = x (0) t + ( =1 a (s)x (s)+ f (s))ds Dervado em relação a t esta equação vemos que x (t) é solução do problema de valor cal 2 Ucdade: Seam X(t) e Y(t) duas soluções do problema de valor cal (5) Etão Z(t) = X(t) Y(t) é solução do problema de valor cal (5) com X (0) = 0 e F(t) = 0 Assm temos que mostrar que Z(t) = 0, para todo t Sea u(t) = ( z 1 (s) + + z (s) )ds Como etão por (6) temos z 1 (t) = z 1 (t) + + z (t) 0 z 1 (s)ds,, z (t) = ( z 1 (s) + + z (s) )ds 0 =1 =1 M a (s) z (s) ds 0 z (s)ds, ( z 1 (s) + + z (s) )ds = Mu(t),

11 31 Exstêca e Ucdade de Soluções de Equações Leares de 2 ạ Ordem 11 para t I, ou sea, u (t) Mu(t) Multplcado a equação acma por e Mt obtemos d dt (e Mt u(t)) 0, com u( ) = 0 Isto mplca que u(t) = 0, para todo t (verfque!) e portato Z(t) = 0, para t I 31 Exstêca e Ucdade de Soluções de Equações Leares de 2 ạ Ordem Como coseqüêca do resultado que acabamos de provar temos o resultado abaxo para exstêca e ucdade de soluções de equações leares de 2 ạ ordem Coroláro 3 (Exstêca e Ucdade) O problema de valor cal d 2 y dt 2 + p(t)dy + q(t)y = f(t) dt y( ) = y 0, y ( ) = y 0 para p(t), q(t) e f(t) fuções cotíuas em um tervalo aberto I cotedo tem uma úca solução este tervalo Demostração Seam x 1 (t) = y(t) e x 2 (t) = y (t) O problema de valor cal é equvalete ao problema { X (t) = A(t)X(t) + F(t) X( ) = X (0) em que [ A(t) = 0 1 q(t) p(t) ] [ x1 (t), X(t) = x 2 (t) ] [ F(t) = 0 f(t) ] e X (0) = [ y0 y 0 ] A coclusão segue-se da aplcação do Teorema 2

12 12 3 SISTEMAS LINEARES DE 1 Ạ ORDEM 32 Respostas dos Exercícos 1 Sea t fxo, tal que α < t < β Pelo Teorema do Valor Médo, dados y e z com δ < y, z < γ exste ξ etre y e z tal que f(t, y) f(t, z) = f (t, ξ)(y z) y Sea a = max f δ<w<γ (t, w) y Tomado-se o módulo da equação acma obtemos f(t, y) f(t, z) = f (t, ξ) y y z a y z ( ) 2 Sea α o máxmo etre α, o valor de t < tal que b a e a t t0 1 = γ e o valor de ( ) t < tal que b a e a t t0 1 = δ Sea β o mímo etre β, o valor de t > tal ( ) ( ) que b a e a t t0 1 = γ e o valor de t > tal que b a e a t t0 1 = δ Vamos mostrar, por dução, que y (t) y 0 b ( ) e a t t0 1, para α < t < β a e assm que δ < y (t) < γ, para α < t < β y 1 (t) y 0 b t b =1 a 1 t! = b a ( ) e a t t0 1 Vamos supor, por dução, que y 1 (t) y 2 (t) a 2 b t 1 ( 1)! e y k (t) y 0 b ( ) e a t t0 1, para k = 1,, 1 e α < t < β a e assm que δ < y k (t) < γ, para k = 1,, 1 e α < t < β Etão por (2) a pága 4, y (t) y 1 (t) a 1 b t! e assm y (t) y 0 k=1 y k (t) y k 1 (t) b =1 a 1 t! = b a ( ) e a t t0 1,

13 REFERÊNCIAS 13 Referêcas [1] Wllam E Boyce ad Rchard C DPrma Equações Dferecas Elemetares e Problemas de Valores de Cotoro Lvros Téccos e Cetífcos Edtora SA, Ro de Jaero, 7a edto, 2002 [2] Daro G de Fgueredo ad Aloso F Neves Equações Dferecas Aplcadas SBM, Ro de Jaero, 2a edto, 2005 [3] Jorge Sotomayor Lções de Equações Dferecas Ordáras IMPA, Ro de Jaero, 1979