Métodos iterativos. Capítulo O Método de Jacobi

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1 Capítulo 4 Métodos teratvos 41 O Método de Jacob O Método de Jacob é um procedmeto teratvo para a resolução de sstemas leares Tem a vatagem de ser mas smples de se mplemetar o computador do que o Método de Escaloameto, e está meos sujeto ao acúmulo de erros de arredodameto Seu grade defeto, o etato, é ão fucoar em todos os casos Supoha um sstema lear as cógtas x 1,, x da segute forma: x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1 x = b 1 a 21 x 1 + x a 2 x = b 2 a 1 x 1 + a 2 x a x = b Supoha também que todos os termos a sejam dferetes de zero ( = 1,, Se ão for o caso, sso às vezes pode ser resolvdo com uma troca a ordem das equações Etão a solução desse sstema satsfaz x 1 = 1 [b 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 1 x ] x 2 = 1 [b 2 a 21 x 1 a 23 x 3 a 2 x ] x = 1 a [b a 1 x 1 a 2 x 2 a, 1 x 1 ] Em outras palavras, se (x 1,, x for solução do sstema e esses valores forem colocados o lado dreto das equações, etão resultarão o lado esquerdo os mesmos valores x 1,, x 57

2 58 CAPÍTULO 4 MÉTODOS ITERATIVOS O Método de Jacob cosste em chutar valores x (0 1,, x(0, colocar esses valores o lado dreto das equações, obter daí x (1 1,, x(1, em seguda colocar esses ovos valores as equações e obter x (2 1,, x(2, etc Etão x (k+1 1 = 1 ( b 1 a 12 x (k 2 a 13 x (k 3 a 1 x (k x (k+1 2 = 1 ( b 2 a 21 x (k 1 a 23 x (k 3 a 2 x (k x (k+1 = 1 ( b a 1 x (k 1 a 2 x (k 2 a, 1 x (k 1 a Espera-se que para todo = 1,, a seqüêca {x (k } k covrja para o valor verdadero x Como dssemos, o etato, em sempre ocorre essa covergêca Será que é possível saber de atemão se o método va ou ão va fucoar? Daremos um crtéro, chamado de Crtéro das Lhas que, se for satsfeto, mplca a covergêca do Método Ifelzmete, daí ão poderemos coclur a afrmatva versa Isto é, é falso dzer ão satsfaz o Crtéro das Lhas etão ão coverge Pode haver sstemas em que o Método de Jacob fucoe porém ão satsfaça o Crtéro das Lhas 42 Crtéro das Lhas O Crtéro das Lhas pede que j = 1 j a j < a para todo = 1,, Em palavras: o valor absoluto do termo dagoal a lha é maor do que a soma dos valores absolutos de todos os outros termos a mesma lha É mportate observar que o Crtéro das Lhas pode dexar de ser satsfeto se houver troca a ordem das equações, e vce-versa: uma troca cudadosa pode fazer com que o sstema passe a satsfazer o Crtéro Teorema Se o sstema lear satsfaz o Crtéro das Lhas etão o Método de Jacob coverge Sugermos o segute exercíco, ates de passarmos à demostração desse Teorema

3 42 CRITÉRIO DAS LINHAS 59 Exercíco Mostre que os sstemas leares gerados por problemas de cotoro (Seção 18 em geral ão satsfazem o Crtéro das Lhas Mesmo assm, mote um programa de computador que resolva o problema, baseado o Método de Jacob O que acotece? Para provar o Teorema, precsamos mostrar (usado o Crtéro das Lhas que as seqüêcas x (k 1, x(k 2,,x(k, formadas a partr dos chutes cas x (0 1, x(0 2,,x(0, covergem para os valores procurados x 1,, x Etão precsamos mostrar que x (k 1 x 1 k 0, x (k 2 x 2 k 0,, x (k x k 0, ou, troduzdo uma otação mas compacta, de forma que (k = max{ x (k 1 x 1,, x (k x } k 0 De fato, remos mostrar que (k deca geometrcamete, sto é, exstem um λ < 1 e uma costate c > 0 tal que (k cλ k, e sso provará ossa afrmação Já para cosegur essa desgualdade, provaremos que para todo k 1 vale Etão teremos (k λ (k 1 (1 λ (0 (2 λ (1 λ 2 (0 (k λ k (0, ou seja, a costate c pode ser o própro (0, que é a maor dfereça etre o valor cal e a solução verdadera Por sua vez, provar que (k λ (k 1 remete a provar que, para todo = 1,,, vale x (k x λ (k 1 = λ max =1,, x(k 1 x Faremos a demostração completa para = 1, mas fcará claro que o argumeto valerá para todo = 1,,, desde que escolhamos λ adequadamete Precsamos escrever x (k x, lembrado que x (k 1 = 1 ( b 1 a 12 x (k 1 2 a 13 x (k 1 3 a 1 x (k 1

4 60 CAPÍTULO 4 MÉTODOS ITERATIVOS e, como os x 1,, x formam uma solução, x 1 = 1 (b 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 1 x Etão x (k 1 x 1 = 1 ( a 12 (x 2 x (k a 13 (x 3 x (k a 1 (x x (k 1 Tomado o valor absoluto (o módulo e lembrado que o módulo da soma é meor ou gual à soma dos módulos, temos x (k 1 x 1 1 ( a 12 x 2 x (k a 13 x 3 x (k a 1 x x (k 1 Note, o etato, que por defção portato x j x (k 1 j max =1,, x x (k 1 (k 1, 1 x 1 a 12 + a a 1 (k 1 x (k Agora defmos a costate λ 1 = a 12 + a a 1, que deve ser meor do que 1, pelo Crtéro das Lhas Etão x (k 1 x 1 λ 1 (k 1 Para as outras lhas todo o procedmeto é aálogo, e sempre resultará para todo = 1,,, ode x (k x λ (k 1, λ = 1 a j = 1 j a j

5 43 CRITÉRIO DE PARADA 61 O Crtéro das Lhas garate que λ < 1, para todo = 1,, Se defrmos agora etão logo como queríamos demostrar! λ = max λ, =1,, x (k x λ (k 1, (k λ (k 1, 43 Crtéro de parada Ao mplemetar o Método de Jacob o computador é precso forecer ao computador um crtéro de parada para o programa Isso é feto fxado-se uma precsão relatva p, que fará o programa parar (o passo k se x (k+1 x (k p x (k, para todo = 1,, Ou seja, se x (k = 0, etão a varação relatva de um passo para outro x (k+1 x (k x (k tem que ser meor ou gual a p E se x (k = 0 etão x (k+1 também deve ser zero É precso ter, o etato, bastate cudado com a escolha de p, pos mutas vezes a velocdade de covergêca do método é muto leta Mesmo loge da solução, a varação relatva das soluções aproxmadas pode ser muto pequea 44 O Método de Gauss-Sedel O Método de Jacob podera ser aplcado os problemas de cotoro da Seção 18, mas somete pelo Crtéro das Lhas ão sera possível afrmar que havera covergêca, pos os vértces lvres produzem equações ode o elemeto da dagoal é exatamete gual à soma dos demas termos, o que sgfca, a otação da Seção ateror, que λ = 1, para algus valores de Expermetos umércos evdecam que de fato há covergêca do Método de Jacob esses casos, embora ela seja muto leta, prcpalmete se o úmero de vértces da grade for muto grade Embora a covergêca possa ser demostrada matematcamete, com crtéros meos exgetes que o Crtéro das Lhas, dscutremos esta

6 62 CAPÍTULO 4 MÉTODOS ITERATIVOS Seção uma varação do Método de Jacob, chamada de Método de Gauss-Sedel Sua efcáca fcará demostrada a partr de uma hpótese mas fraca que o Crtéro das Lhas, chamada de Crtéro de Sassefeld Não será dfícl mostrar que os problemas de cotoro ctados satsfazem esse crtéro, desde que se teha um mímo de cudado a umeração dos vértces lvres No Método de Jacob, calcula-se o vetor (x (k+1 1,, x (k+1 a partr do vetor (x (k 1,, x (k da segute forma: x (k+1 1 x (k+1 2 x (k+1 = ou, de forma sucta, b 1 / b 2 / b /a a 0 12 a 13 a 21 a 0 23 a 1 a a 2 a u (k+1 = w Bu (k a 1 11 a 2 a 3 a 0 x (k 1 x (k 2 x (k, Em cada etapa, as coordeadas x (k+1 1,, x (k+1 de u (k+1 são obtdas todas de uma vez só, a partr das coordeadas x (k 1,, x(k de u (k Já o Método de Gauss-Sedel as coordeadas atualzadas são medatamete usadas a atualzação das demas Explctamete, temos x (k+1 1 = 1 ( b 1 a 12 x (k 2 a 13 x (k 3 a 1 x (k x (k+1 2 = 1 ( b 2 a 21 x (k+1 1 a 23 x (k 3 a 2 x (k x (k+1 3 = 1 ( b 3 a 31 x (k+1 1 a 32 x (k+1 3 a 3 x (k a 33 x (k+1 = 1 ( b a 1 x (k+1 1 a 2 x (k+1 2 a, 1 x (k+1 1 a Para troduzr o Crtéro de Sassefeld e dscutr a covergêca, é melhor lustrarmos com um sstema com 4 equações Depos eucaremos o Crtéro para sstemas com um úmero qualquer de equações, e fcará claro que os argumetos se geeralzam Com sso, evtaremos o excesso de elpses (os três pothos, e o crtéro emergrá de modo atural Assm como a Seção ateror, queremos avalar a dfereça etre a aproxmação obtda a etapa k e a solução orgal, e mostrar que essa dfereça se reduz a cada etapa Para medr essa dfereça, tomamos (k = max =1,, x(k x k,

7 44 O MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 63 ode x 1,, x represeta a solução verdadera Mas uma vez, osso objetvo é mostrar que exste λ < 1 tal que (k + 1 λ (k, e para sso precsaremos mostrar que x (k+1 x λ (k para todo = 1,, Num sstema de 4 equações e 4 cógtas temos x (k+1 1 x 1 = 1 ( a 12 (x 2 x (k 2 a + a 13(x 3 x (k 3 + a 14(x 4 x (k 4 11 x (k+1 2 x 1 = 1 ( a 21 (x 1 x (k a 23 (x 3 x (k 3 a + a 24(x 4 x (k 4 22 x (k+1 3 x 1 = 1 ( a 31 (x 1 x (k a 32 (x 2 x (k a 34 (x 4 x (k 4 a 33 x (k+1 4 x 1 = 1 a 44 ( a 41 (x 1 x (k a 42 (x 2 x (k a 43 (x 3 x (k+1 3 Da prmera equação, sa x (k+1 1 x 1 a 12 x 2 x (k 2 + a 13 x 3 x (k 3 + a 14 x 4 x (k 4, Como x x (k (k, para todo = 1, 2, 3, 4, etão Defmos para fcar com x (k+1 1 x 1 a 12 + a 13 + a 14 (k β 1 = a 12 + a 13 + a 14 x (k+1 1 x 1 β 1 (k Agora levamos em cota essa últma equação para mostrar que x (k+1 Cotuado, obtemos 2 x 2 β 1 a 21 + a 23 + a 24 (k β 2 (k 3 x 3 β 1 a 31 + β 2 a 32 + a 34 (k β 3 (k a 33 x (k+1,

8 64 e x (k+1 CAPÍTULO 4 MÉTODOS ITERATIVOS 4 x 4 β 1 a 41 + β 2 a 42 + β 3 a 43 (k β 4 (k a 44 Em coclusão, mostramos que x (k+1 x β (k, logo (k + 1 ( max =1,2,3,4 β k Se cada um dos úmeros β 1, β 2, β 3 e β 4 for meor do que 1, etão teremos (k + 1 λ (k, com λ < 1 Para um sstema lear de equações e cógtas, o Crtéro de Sassefeld pode ser eucado de forma dutva, da segute maera Prmero, β 1 = a 12 + a a 1, como o Crtéro das Lhas Os demas coefcetes são defdos dutvamete Supoha que já teham sdo defdos β 1, β 2,, β 1, para 2 Etão β se defe como β = β 1 a β 1 a, 1 + a, a, a sto é, o umerador os β s aparecem multplcado os coefcetes da lha à esquerda da dagoal, equato que os coefcetes à dreta da dagoal são multplcados por 1 O coefcete da dagoal aparece o deomador (como o Crtéro das Lhas e ão aparece o umerador Exercíco Mostre que os problemas de cotoro da Seção 18 satsfazem o Crtéro de Sassefeld Exercíco Obteha a solução com 3 algarsmos sgfcatvos do sstema lear 4x 1 + 2x 2 + x 3 = 11 x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 + x 2 + 4x 3 = 16 usado o Método de Jacob e o Método de Gauss-Sedel covergêca os dos métodos Compare a velocdade de

9 44 O MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL x y w z Exercíco Cosdere a tabela acma Use o Método de Gauss-Sedel para achar x, y, z, w tas que cada casha que coteha uma cógta seja a méda das quatro adjacetes (cosderado apeas vertcas e horzotas Faça 4 terações, partdo de (x 0, y 0, z 0, w 0 = (0, 0, 0, 0, e arredodado para 2 algarsmos sgfcatvos após cada etapa