Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2016 (2 ạ fase) GRUPO I (Versão 1) Logo, P(A B) = = = Opção (A)

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1 Proosta de resolução do Eame Naconal de Matemátca A 0 ( ạ fase) GRUPO I (Versão ). P( A B) 0, P(A B) 0, P(A B) 0, P(A B) 0,4 P(A) + P(B) P(A B) 0,4 Como P(A) 0, e P(B) 0,, vem que: 0, + 0, P(A B) 0,4 P(A B) 0, P(A B) 0, Logo, P(A B) P(B) 0, Oção (A). Sea X a varável aleatóra que reresenta o número de vezes que o Carlos encesta em cnco lances lvres. X ~ B(5; 0,4). Numa sére de cnco lances lvres, a robabldade de o Carlos encestar quatro vezes é dada or: P(X 4) 5 C 4 0,4 4 0, 0,078 Oção (C). log a (ab ) 5 log a a + log a b 5 + log a b 5 4 log a b log b b 4 log b a 4 log b a log b a 4 Oção (B) n 4. Como lm u n lm 0 + e n vem que: lm f(u n ) lm f() Æ 0 + lm ln Æ 0 + ln0 + Edções ASA, Matemátca A, 0 Oção (A)

2 5. Consderemos a crcunferênca de centro no onto O e rao num referencal ortonormado O: Sabemos que P(cosa, sena), com cosa > 0 e sena > 0. Atendendo a que Q é o onto smétrco de P relatvamente à orgem do referencal, vem que Q( cosa, sena). P(cosα, senα) B Sea S a roeção ortogonal de P sobre QR. C O A Assm, A [PQR] Q R S P Q( cosα, senα) R S D cos a ( sen a + sen a) A [PQR] cos a sen a sen(a) Oção (D). O olígono cuos vértces são as magens geométrcas das raízes de índce do número comleo w é um eágono regular nscrto na crcunferênca de centro na orgem do referencal e rao gual a z. e.. z A Æ z 4 Uma vez que num eágono regular a medda do lado é gual à medda 5 do rao da crcunferênca onde ele está nscrto, concluímos que o lado do eágono é gual a 5 undades. Logo, P 5 0 undades. O e.r. Oção (C) 7. A condção defne o quadrado segunte. 5 O 4 A crcunferênca nscrta no quadrado tem centro no centro do quadrado e as suas coordenadas são, (, ). Por outro lado, a crcunferênca é tangente aos lados do quadrado, sendo o valor do rao. 5 O 4 Logo, a condção ( ) + ( ) 4 defne a crcunferênca nscrta neste quadrado. Oção (C) Edções ASA, Matemátca A, 0

3 8. Como (u n ) é uma rogressão geométrca, sabemos que u 8 u 4 r 4. Logo, 89 r 4 r 4 5 r ± 4 5 r ±4 Como (u n ) é monótona, então r > 0. Logo, r 4. Assm, u 5 u 4 r 4 8. Oção (B) Edções ASA, Matemátca A, 0

4 GRUPO II... No conteto da stuação descrta, P(B A) é a robabldade de o roduto dos números das fcas retradas ser ímar, sabendo que a sua soma é gual a 0. Como a caa U contém as fcas numeradas de a 5 e a caa V as fcas numeradas de a 9, os casos ossíves são (, 9), (, 8), (, 7) e (4, ). O número de casos ossíves é então 4. Destes, o roduto dos números das fcas retradas é ímar em dos casos: (, 9) e (, 7). Então, é o número de casos favoráves. Pela Le da Lalace, tem-se que P(B A) ! A Estem quatro flas orzontas onde as quatro fcas com os números ares (, 4, e 8) odem ser colocadas. Portanto, estem quatro maneras de escoler uma dessas flas. Por cada uma destas maneras, estem 4! formas de as fcas com os números ares ermutarem entre s. Deos de colocadas estas quatro fcas, restam casas no tabulero e cnco fcas dferentes (as fcas numeradas com número ímar:,, 5, 7 e 9). Estem, então, A 5 maneras de as colocar no tabulero.. Cálculo aular : + ( ) + Sea a um argumento de +. Então tga a.º Q tga a.º Q Logo, or eemlo, a 4 Assm, + cs 4 Cálculo aular : Sabemos que a magem geométrca do número comleo ertence ao eo magnáro (arte negatva). Assm, um argumento de ode ser. Então, cs. cs + 4 z cs q (rcsq) r cs(q) 4 w cs r Para z w tem que: q + k, k Z r 4 r q + k, k Z 4 r q + k, k Z 4 (r r ) q + k, k Z 8 Como r > 0, vem que r. 5 Como q ]0, [, então q (ara k ). 8 4 Edções ASA, Matemátca A, 0

5 ... Sea n(,, 4) um vetor normal ao lano a. Como a reta é erendcular ao lano a, um vetor dretor da reta ode ser o vetor n. Assm, uma equação vetoral da reta erendcular ao lano a e que assa no onto C de coordenadas (,, 4), é: (,, z) (,, 4) + k(,, 4), k R.. Sabemos que O D D O (4,, ) (0, 0, 0,) (4,, ) Assm, uma equação vetoral da reta OD é: (,, z) (0, 0, 0) + k(4,, ), k R Um onto genérco da reta OD, em função de k, é então (4k, k, k), k R. Para que o onto ertença ao lano a de equação + + 4z 0, tem de verfcar-se (4k) + (k) + 4 (k) 0, ou sea, k + 4k + 8k 4k k Assm, o onto de nterseção retenddo tem coordenadas 4,,, sto é, (,, )... Consderemos os três ontos não colneares A, B e P, que ertencem ao semeo ostvo O, ao semeo ostvo O e ao eo Oz, resetvamente. Para o ângulo APB ser agudo, tem de verfcar-se P A. P B > 0. Sabe-se que: o onto A, or ertencer ao semeo ostvo O tem coordenadas da forma A(, 0, 0), com > 0. Como A a vem que , logo 4. Então, A(4, 0, 0). o onto B, or ertencer ao semeo ostvo O tem coordenadas da forma B(0,, 0), com > 0. Como B a vem que , logo. Então, B(0,, 0). o onto P, or ertencer ao eo Oz e ter cota não nula, tem coordenadas da forma P(0, 0, z), com z 0. P A A P (4, 0, 0) (0, 0, z) (4, 0, z) P B B P (0,, 0) (0, 0, z) (0,, z) Assm, P A. P B (4, 0, z). (0,, z) ( z). ( z) z Como z > 0, z 0, fca rovado que o ângulo APB é agudo. Edções ASA, Matemátca A, 0 5

6 Como o domíno de f é lmtado nferormente, só faz sentdo rocurar assíntota oblíqua quando Æ +. Sea m + b (m, b R) a equação da assíntota oblíqua, caso esta. f() m lm Æ + ln lm Æ + ln lm Æ + ln lm Æ lmte notável b lm (f() ) Æ + lm ( ln ) Æ + lm ( ln) Æ + ln(+ ) (+ ) R Como o valor obtdo não é um número real, concluímos que o gráfco de f não admte assíntota oblíqua. + sen 4.. Em, 0, f() cos ( + sen) cos ( + sen) (cos) f () cos cos cos ( + sen) ( sen) cos cos + sen + sen cos + sen cos + sen f () 0 0 cos + sen 0 cos 0 sen cos k + k + k, k Z π π ( ) π Edções ASA, Matemátca A, 0

7 Em, 0 : f é decrescente em, f é crescente em, 0 f é mínmo relatvo ara. 4.. Sea r a reta tangente ao gráfco da função f no onto de abcssa. Então, m r f. Em R +, f () ( ln) Logo, m r f A reta r é defnda or uma equação do to + b. Como o onto de coordenadas, f, ln ertence à reta, vem que: ln + b, sto é, + ln + b + ln b Snal de f Varação de f 0 n.d. n.d. + 0 mn. f 7 Edções ASA, Matemátca A, 0 + sen cos

8 Assm, a equação reduzda da reta r é + + ln Recorrendo à calculadora gráfca, determnemos as abcssas ertencentes ao ntervalo, 0 dos ontos A e B, ontos de nterseção do gráfco de f com a reta r. A B + sen cos + + ln π a b O a,9 e b 0,7 As abcssas dos ontos A e B, arredondadas às centésmas, são,9 e 0,7, resetvamente Sabemos que 0,00. Pretendemos determnar o valor de n, número de meses em que o emréstmo será ago, sabendo que ,00 4 e 0,00n,8 e 0,00n 4 e 0,00n 0,075 e 0,00n 0,95 0,00n ln(0,95) ln(0,95) n 0,00 n 5,987 8 O emréstmo será ago em, aromadamente, meses. 5.. Este tem ode ser resolvdo or, elo menos, dos rocessos..º Processo lm Æ n e n lm Æ 0 e 00 lm Æ 0 n( e ) 00 lm n Æ 0 e 00 lm n Æ 0 e Cálculo aular: Consderemos a mudança de varável: n n Æ 0 Æ 0 8 Edções ASA, Matemátca A, 0

9 00 lm n Æ 0 e 00 n lm e Æ n 00 n lmte notável.º Processo lm Æ 0 00 e n 00 lm Æ 0 e n 00 lm Æ 0 e n 00 lm Æ 0 e n 00 lm Æ 0 e n 00 lm e n n Æ 0 n 00 n lm e n n Æ 0 n n 00 n lmte notável Interretação: quando a taa de uro tende ara zero, a restação mensal tende ara o quocente entre o valor do emréstmo e o número de restações mensas. Edções ASA, Matemátca A, 0 9

10 . A equação g() + é equvalente a g() 0. Consderemos a função, de domíno R, defnda or () g(). é contínua, or se tratar da dferença entre funções contínuas. Em artcular, é contínua em [a, g(a)]. (a) (g(a)) < 0 os (a) g(a) a > 0 (atendendo a que g(a) > a + ) e (g(a)) g(g(a)) g(a) a g(a) (a g(a)) < (os g(a) > a + > a g(a) > a g(a) > a g(a) ) Assm, elo coroláro do Teorema de Bolzano-Cauc, concluímos que: c ]a, g(a)[ : (c) 0 sto é, c ]a, g(a)[ : g(c) c 0 c ]a, g(a)[ : g(c) c +, sto é, a equação g() + é ossível no ntervalo ]a, g(a)[. 0 Edções ASA, Matemátca A, 0