AJUSTAMENTO DE CURVAS E MODELOS ESTOCÁSTICOS: ABUSOS DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

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1 AJUSTAMENTO DE CURVAS E MODELOS ESTOCÁSTICOS: ABUSOS DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS CURVE FITTING AND STOCHASTIC MODELS: ABUSES OF THE LEAST SQUARES METHOD. INTRODUÇÃO Muas vezes dspõe-se de um modelo deermísco y=f() que supomos reraar (pelo meos aproxmadamee) a relação ere duas (para smplfcar) varáves e y descroras de um feómeo da aureza e dspõe-se smulaeamee de um úmero fo de observações de valores dessas varáves (,y ), (,y ),..., (,y ). Usámos a lera para a varável depedee porque a maora dos exemplos que vamos cosderar ela será o empo, mas ada obrga que assm seja. Como exemplo ípco desa suação emos a relação ere a produção y de rgo em g/ha (para deermadas codções de solo, clma e éccas culuras) e o ível de azoo em g/ha de adubo ulzado, em que é vulgar supor uma relação lear y=α+β ere as duas varáves para um deermado âmbo de varação da varável, muo embora ouros modelos se possam ulzar. Um ouro exemplo ípco do mesmo géero, ere aos que se poderam apresear, podera ser o cosumo y de elecrcdade de localdades em fução da respecva população. Frequeemee a varável depedee é o empo (como remos, por comoddade de lguagem supor daqu em dae) e o objecvo é descrever a dâmca de uma varável depedee z fução do empo. Exemplos ípcos para z, ere muos possíves, são a coação de uma acção a bolsa, o ídce de preços o cosumdor, o amaho de uma população (em fase de expasão), o cosumo de água per capa. Para os rês prmeros, em ceras codções de esabldade, em sdo proposo o modelo y()=α+β, ode y()=l z(), α=l z(0) e β é uma axa saâea de crescmeo uáro (axa de remueração saâea por udade de valor da acção, axa saâea de flação ou axa saâea de crescmeo per capa, respecvamee), ou z()=z(0)e β. Supôs-se aqu que β é cosae ou é um valor médo adequado de uma axa que fluua em oro desse valor médo. Modelos deermíscos e esocáscos mas complexos, e porveura mas realsas, êm auralmee sdo proposos, mas o objecvo aqu ão é o de deermar o modelo mas adequado a cada suação, mas aes o de lusrar o raameo que é dado aos modelos em ermos de esmação dos seus parâmeros. Em suações como as acma descras, odos emos ceramee deparado com o uso e abuso do méodo dos mímos quadrados para esmar os parâmeros da fução f (α e β os exemplos aerores) e assm ajusar a curva aos dados. Nem sempre, porém, esse procedmeo é adequado, udo depededo da aureza do feómeo e dos reas objecvos do ajusameo. Para fs lusravos vamos ulzar em seguda o modelo y=f()=α+β,

2 mas o que vamos dzer aplca-se gualmee, com as ecessáras adapações das expressões ulzadas, a ouros modelos (com expressões dferees para f()). Ao adopar o méodo dos mímos quadrados, há pelo meos rês audes possíves perae os dados (fora as combações ere elas): a) Podemos supor que o feómeo é deermísco e os dados são observações exacas (so é, seas de erros de observação) do feómeo, mas que a verdadera relação fucoal y=g() ere a varável depedee e a varável depedee é descohecda e ão-lear, embora possa ser aproxmadamee descra pela relação lear que preedemos ajusar. O osso objecvo é deermar valores de α e β de forma a mmzar a soma dos quadrados dos desvos ere os valores observados y =g( ) (=,,...,), que são os valores exacos da varável depedee, e os valores correspodees ~ y = α + β (=,,...,) da relação smplfcada que os aproxma. Iso é, preede-se a melhor proxmdade ere a curva real descohecda e a curva ajusada, em que o coceo de proxmdade é o que acabámos de descrever. Nauralmee, poderam adopar-se ouros coceos de proxmdade (soma dos valores absoluos dos desvos, soma dos quadrados das dsâcas eucldeaas dos poos (,y ),..., (,y ) observados à curva ajusada, ec.), que daram lugar a méodos aleravos ao méodo dos mímos quadrados. b) Podemos supor que o feómeo é deermísco e é descro exacamee por y=α+β, com α e β descohecdos, mas os valores observados y vêm coamados com erros de observação ambém descohecdos ε que, se ão exsssem, os faram recar exacamee sobre a reca. Iso é, dado x, o correspodee e exaco valor de y sera y = α + β, mas, devdo ao erro de observação, o que de faco observamos é um valor aproxmado y =α+β +ε. O objecvo é deermar esmavas a e b dos verdaderos valores descohecdos α e β dos parâmeros de forma a mmzar a soma dos quadrados dos desvos ere os valores observados y (=,,...,) da varável depedee (que são os valores exacos afecados dos erros de obervação) e os valores correspodees ~ y = a + b (=,,...,) (que ão são os valores exacos y, mas a ossa esmava deles). A reca de equação y=a+b chama-se reca de regressão de y sobre. O caso parcular de os ε (=,,...,) serem varáves aleaóras (v.a.) depedees decamee dsrbuídas (..d.) com dsrbução ormal de méda 0 e desvo-padrão σ>0 é parcularmee mporae por ser uma suposção razoável para descrever erros de observação ε em muas suações. Nese caso parcular, o méodo dos mímos quadrados proporcoa esmadores com boas propredades esaíscas e, aravés da bem cohecda aálse de regressão, podemos ober ervalos de cofaça e esar a sgfcâca de ceras hpóeses relavas aos parâmeros. Podemos ambém fazer prevsões ~ y( ) = a + b de valores (observados e ão observados) y( ) = α + β da varável depedee correspodees a um dado valor de. c) Claro que ada de essecal se alera se os ε, em lugar de serem erros de observação, forem valores de um feómeo perurbador que erfere com o comporameo edecal descro por y=α+β, mas as varáves êm erpreação um ao dferee. Esa é uma suação ípca de feómeos de aureza dâmca em que a varável depedee é o empo e em que há facores de aureza aleaóra que afecam o valor de um parâmero ou drecamee a varável depedee. Nese caso, supomos que o feómeo é esocásco e é descro exacamee por y()=α+β+ε(), ode α+β represea o comporameo edecal ou médo do feómeo e o processo esocásco ε() represea as

3 perurbações de aureza aleaóra que são cosderadas dssocáves do própro feómeo. Agora observamos os valores exacos y =α+β +ε (=,,...,), com ε =ε( ), da varável depedee em ceros saes (=,,...,) ao logo de uma realzação (ou rajecóra) do processo esocásco. Nauralmee, ouras realzações do processo esocásco daram valores exacos y dferees porque ouras seram as crcusâcas do acaso que os deermaram, já que o feómeo é cosderado rsecamee esocásco. Normalmee descohecem-se os valores de α e β, bem como possvelmee ceros parâmeros descrores do processo esocásco ε(). O objecvo é deermar esmadores (a, b, ec.) desses parâmeros com boas propredades esaíscas e ulzá-los a obeção de ervalos de cofaça e a realzação de eses de hpóeses sobre os parâmeros, bem como a prevsão y$( ) = a + b de valores y()= α+β+ε() da varável depedee ao logo da mesma rajecóra para valores de em que ada ão se realzaram observações. Repare-se que agora os ε() ão são erros de observação que se comeem somee quado se fazem observações mas uma compoee do própro feómeo que ocorre quer o observemos quer ão e daí a ecessdade de defr ese processo para odos os saes, ao coráro do que se fez a alíea b), ode houve apeas que cosderar os saes de observação. No caso parcular de os ε() serem v.a...d. gaussaas com méda 0 e desvo-padrão σ>0, o méodo dos mímos quadrados dará resulados sasfaóros pos a suação ão dfere essecalmee (salvo a erpreação) do caso parcular referdo em b). Agora, porém, ese caso parcular raramee será uma suposção de rabalho mmamee razoável. No caso de varar couamee, esa suposção exge a depedêca dos valores de ε() ere dos saes dsos, por mas próxmos que esejam um do ouro, ão havedo processos esocáscos (o sedo de processos cujas rajecóras sejam fuções reas de ) que sasfaçam essa codção. No caso de omar valores um cojuo dscreo, essa suposção pode ser sasfea mas ão é vulgar que o seja, em sequer aproxmadamee. Há ormalmee ecessdade de modelar cauelosamee a dâmca do feómeo e a forma como o acaso ele ervem para se chegar a um modelo adequado de ε() e se proceder à esmação dos parâmeros mas aproprada a esse modelo, que poderá dferr basae do méodo dos mímos quadrados. Na secção apresearemos um modelo esocásco, do po dos referdos em c), que em sdo proposo para a descrção de város feómeos, prcpalmee em aplcações ecoómcas e bológcas, que os rá servr para lusrar como a eação da ulzação auomáca do méodo dos mímos quadrados sera coraproducee. Na secção 3 esudaremos o problema da esmação de parâmeros, eses de hpóeses e prevsão dese modelo e compararemos com o méodo dos mímos quadrados. Na secção 4 apresearemos algumas coclusões. Aes, porém, de o fazer, queríamos chamar a aeção para o faco de que, seja qual for o modelo [a),b) ou c)] descror do feómeo em esudo, é mporae saber se emos como objecvo smplesmee ajusar uma curva paramérca aos dados observados ou se emos faldades esaíscas (esmação, eses de hpóeses e prevsão sobre a varável depedee). É que, dado o êxo do méodo dos mímos quadrados em ambos os aspecos quado é ulzado para suações que podem ser razoavelmee descras pelo caso parcular referdo em b), esá dssemada a dea de que ele sasfaz sempre ambos os objecvos em qualquer suação e aé a dea de que qualquer méodo que eha êxo relavamee a um objecvo, o erá em relação ao ouro. Esas deas, embora ão explcadas, esão mplícas em muos rabalhos de vesgação aplcada as mas dversas áreas.

4 Quao vezes ão vmos um argo ceífco propor um modelo descror de um feómeo da aureza, ober dados de observações expermeas, ajusar o modelo aos dados pelo méodo dos mímos quadrados (ou, ocasoalmee, ouro méodo), verfcar que os valores observados se suam muo próxmos da curva ajusada e coclur que o modelo proposo é excelee? Há sempre dspoível um modelo mas excelee [admdo, por smplcdade, que as observações (,y ) (=,,...,) êm valores de odos dsos], que é o modelo y=p - (), ode P - () é o polómo geral de grau -. De faco, podemos ajusá-lo (escolher os coefcees) de modo que passe por odos os poos observados, so é, que ehamos soma dos quadrados dos desvos ere as observações e a curva gual a 0. Maor perfeção de ajusameo ão é possível segudo o créro adopado ou segudo qualquer créro de proxmdade ere os poos observados e a curva ajusada. Não obsae, um cojuo de poos que, por hpóese, pouco se desvem de uma reca vão ser descros por um polómo de grau elevado com muos máxmos e mímos separados por voleas osclações. Ouro problema surge se alguém procede a mas algumas observações, que ormalmee vão fcar eormemee desvadas da curva ajusada, so é, a sua capacdade de predção é péssma. Muo melhor capacdade de predção era o ajusameo de uma reca. Para além do excessvo úmero de parâmeros, que vola o prcípo da parcmóa, ese modelo lusra o quao os objecvos de ajusameo aos dados observados e de capacdade de predção podem ser dscordaes. Nese modelo hperparamerzado e obvamee exremo que guém de bom seso ulzara, é fácl de ver que, quer a suação descra em b) quer em em c) (mesmo que os ε ão vessem parâmeros descohecdos), se gasaram odos os graus de lberdade, pelo que fca excluída a possbldade de qualquer raameo esaísco. Não basa pos mosrar que um modelo se ajusa bem às observações para que se acee ser uma boa descrção do feómeo observado, embora seja razoável esperar que o recíproco seja verdadero. É sempre recomedável (mas ada quado se ajusam város modelos aleravos aos mesmos dados para fs comparavos) ulzar pare das observações para ajusar o modelo (esmar os seus parâmeros) e, depos, ulzar o modelo ajusado para fazer prevsões relavamee às resaes observações, comparado as prevsões com as observações realzadas. Desa maera, esamos a avalar a capacdade de predção do modelo. Mosrámos que um bom ajusameo ão mplca ecessaramee boas propredades esaíscas e predvas. Isso mesmo remos ver ambém a secção 3 a respeo do modelo proposo a secção. Mas ão há dúvda que, se o osso objecvo é exclusvamee o ajusameo de uma curva, eão, depedeemee de esarmos uma suação do po a), b) ou c) (desde que a pare deermísca da curva a ajusar seja do mesmo po), o méodo dos mímos quadrados produz, por defção, o melhor ajusameo segudo o créro de mmzação da soma dos quadrados dos desvos ere as observações da varável depedee e os correspodees valores a curva ajusada *. Poderá, porém, ão propcar as melhoras propredades esaíscas e de predção.. MODELO ESTOCÁSTICO DE CRESCIMENTO EXPONENCIAL Um modelo deermísco de evolução emporal do ídce de preços o cosumdor sera, caso a axa de flação fosse cosae, dz d = rz, ou seja dz=rzd, * Nauralmee, poderão ser adopados créros dsos de avalação da bodade do ajusameo (ouros créros de proxmdade ere os poos observados e a curva ajusada). Eles coduzrão a méodos aleravos que, em qualquer das suações a), b) ou c), darão sempre o melhor ajusameo de acordo com o respecvo créro.

5 ode z=z() é o ídce de preços o sae e r é uma axa saâea de flação (se a udade de empo for um ao, a axa aual sera e r ), so é, para um ervalo de empo muo pequeo, o aumeo do ídce de preços z(+ ) z() sera aproxmadamee gual a rz(), pelo que a axa méda de flação esse período (z(+ ) z())/z() sera aproxmadamee r. Na práca, ese ídce só é deermado em ceros saes (por exemplo, uma vez por mês), mas cocepualmee o ídce de preços poderá cosderar-se como uma fução defda em empo coíuo. A solução da equação dferecal é, dado o ídce de preços z(0) o sae cal, z( ) = z( 0 ) exp( r). Caso a axa de flação saâea, em lugar de ser cosae, fosse uma fução r() do empo, a solução sera ( 0 ) z( ) = z( 0) exp r( s) d s. Modelos semelhaes se aplcam ao crescmeo de uma população sem lmação de recursos almeares, erroras ou ouros, ode r (ou r()) represea a axa saâea de crescmeo per capa. Igual modelo podera ser ulzado para o valor de uma obrgação ou acção com axa fxa r ou varável r(). Os mercados, porém, bem como o ambee ode crescem as populações, sofrem fluuações aleaóras os seus comporameos que afecam a axa acma referda. Supohamos agora a suação em que a axa esá sujea a fluuações aleaóras em oro de uma axa méda r e em que a aleração z(+ ) z() um ervalo de empo é dada aproxmadamee por (r + W())z(), com W()=W(+ ) W(), sedo W() o valor acumulado (desde o sae cal) dessas fluuações (egral das fluuações ere 0 e ). Supõe-se W(0)=0. Em ceras crcusâcas, pode-se supor com razoável aproxmação que W() ( 0) é um processo esocásco gaussao (em face da eorme quadades de fluêcas aleaóras aproxmadamee depedees que deermam as fluuações e aededo ao eorema do lme ceral) e que os seus cremeos W() W(s) e W(v) W(u) em ervalos de empo (s,) e (u,v) dsjuos são depedees (so é, as fluuações aleaóras acumuladas um dos ervalos são depedees das acumuladas o ouro). Também podemos supor que um cremeo W() W(s) em méda 0 e varâca proporcoal ao ervalo de empo decorrdo s (quao maor for o empo decorrdo, maor será o úmero de fluêcas aleaóras que ele ocorrem e a varâca duma soma de v.a. depedees é gual à soma das varâcas). Seja σ a cosae de proporcoaldade. Noe-se que (basa pôr s=0) W() em méda 0 e varâca σ. Podemos pôr W()=σw(), ode w() é o chamado processo de Weer uáro (ou padrão), so é um processo esocásco gaussao com cremeos depedees al que w(0)=0 e que em méda 0 e varâca. É fácl ver que o processo w() é de Marov e que a covarãca ere os valores do processo em dos saes s e >s é gual a s. Prova-se ada que w() em, com probabldade um, rajecóras coíuas mas ão dferecáves e de varação lmada, pelo que a sua dervada dw()/d ão exse o sedo clássco mas apeas o sedo de ser um processo esocásco cujas rajecóras são fuções geeralzadas. Por essa razão, quado 0, o faco de z(+ ) z() ser aproxmadamee (r + W())z(), coduzra a dz/d= (r+σ dw()/d)z(), mas preferese usar aes a oação dferecal dz=(rd+σdw)z, ou seja dz=rzd+σzdw. () É ese modelo, assee em hpóeses um ao smplfcadas (como se vu) sobre o comporameo aleaóro dos mercados ou dos facores que fluecam o crescmeo

6 das populações (coforme a suação a que se aplca o modelo), que em sdo proposo a leraura como modelo base para descrever as suações acma referdas e cujos desevolvmeos êm hoje amplas aplcações o esudo das opções e dos dervados (cosule-se, a respeo de aplcações faceras, Mero, 990 ou Duffe, 99, bem como referêcas aí codas) ou os esudos de crescmeo populacoal e de pescas em ambee aleaóro (cosule-se, a esse respeo, Brauma 993, 995a, 996a, 996b e referêcas aí codas). Um modelo dese po, a forma duma equação dferecal com um ermo aleaóro, chama-se equação dferecal esocásca (EDE). A sua erpreação correca é fea, como para as equações dferecas ordáras, aravés da sua forma egral z( ) = z( 0) + rz( s) ds + σ z( s) dw( s), () 0 0 ode, dada uma rajecóra, o segudo egral ão esá, com probabldade um, defdo como egral de Rema-Seljes (pos a fução egradora é de varação lmada), sedo ecessáro defr para ele um ovo coceo de egral, o egral de Io. Para fuções egradas aleaóras h(s) ão-aecpavas * coíuas em méda quadráca, cosderam-se decomposções D do ervalo de egração defdas por ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = 0 L = com dâmero a eder para 0 quado + e defe-se o egral de Io h( s) dw( s) como o lme em méda quadráca das somas ( ) ( ) ( ) ( ) 0 h( ) w( ) w( ), lme que é depedee da escolha das decomposções. = Noe-se que, esas somas, a fução h é calculada o poo cal do subervalo da decomposção, e ão um poo arbraramee escolhdo, de forma a garar a sua depedêca em relação em relação ao cremeo do processo de Weer esse subervalo. O cálculo egral (e o correspodee cálculo dferecal) de Io, dada a defção especal dese coceo, ão sasfaz as regras usuas de cálculo. Por sso, a solução da EDE () com codção cal z(0), ou seja, a solução da equação egral (), ão é z()=z(0)exp(r+σw()), como sera de esperar de acordo com as regras usuas de cálculo, mas aes z()=z(0)exp((r σ /)+σw()). (3) Não dspomos aqu de possbldades de espaço para roduzr as regras de cálculo de Io e de, a parr delas, deduzr (3). Peddo desculpa pela rodução demasado apressada, e pouco rgorosa do poo de vsa formal, das EDE, remeemos o leor mas eressado para Øsedal (989) ou Arold (974). e seja Vem Desgemos o logarmo de z() por y()=l z() R=r σ /. y()=y(0)+r+σw(), (4) * Termo écco que ão vamos aqu defr rgorosamee mas que bascamee sgfca que, em cada sae s, h(s) é depedee dos cremeos fuuros do processo de Weer. Em lguagem corree, o processo esocásco h(s) ão é clarvdee.

7 processo esocásco a que se chama movmeo browao com edêca. Ele em dsrbução mormal com méda y(0)+r e varâca σ. Também se recohece que, dados s e >s, vem y()=y(s)+r( s)+σ(w() w(s)) (5) e que, porao, a dsrbução codcoal de y() dado y(s) é gaussaa com méda y(s)+r( s) e varâca σ ( s). 3. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS, TESTES DE HIPÓTESES E PREVISÃO Supoha que o modelo referdo a secção aeror era o adequado para descrever a evolução dâmca do feómeo (ídce de preços o cosumdor, valor de uma acção ou obrgação, amaho de uma população). Fazedo ε()=σw(), vem, de (4), que y()= y(0)+r +ε(), (6) pelo que esamos a suação da alíea c) da secção com α= y(0) e β=r. Supoha-se (para smplfcar) que é dado o valor de z(0) (e, porao, o valor de y(0)=l z(0)) e supoha-se que se observaram, sem erros de observação, os valores do processo os saes,,...,, com 0< < <...<. Poha-se 0 =0 e seja z =z( ) Fazedo ε =ε( )=σw( ), vem e y =y( )=l z (=0,,,..., ). y =y 0 +R +ε. Eses ε ão são erros de observação, mas pare ríseca do feómeo. Embora sejam v.a. gaussaas de méda ula, ão são..d., so é, ão esão as codções do caso parcular da alíea b) da secção, pelo que ão há razões para aplcar o méodo dos mímos quadrados para fs esaíscos e de predção. Caso, porém, ão os ehamos apercebdo da forma como os facores aleaóros ervêm a dâmca do processo e que foram descros a secção, poderíamos er apeas a dea de que z() em edêca a ser uma fução expoecal do empo e, porao, o seu logarmo y() sera edecalmee uma fução lear da forma y()= y(0)+r. Para esmar os seus parâmeros, poderíamos ser auralmee eados a usar o méodo dos mímos quadrados. Ele ao podera ser aplcado aos z como aos y (com resulados dferees), mas vamos supor que seguamos a vulgar recea de o aplcar aos y, dada a maor facldade de um ajusameo lear *. Esa escolha é rrelevae para os objecvos que preedemos lusrar. Nese caso, como, para smplfcar, suposemos que y(0) era dado, só havera que esmar o parâmero R. A soma dos quadrados dos desvos sera fução apeas de R, cujo máxmo se obera para ( ) 0 S = y + R y =, * Afal os erros ε dos y aé são gaussaos (embora ão sejam..d.), pelo que o referdo o caso parcular da alíea b) da secção de alguma forma recomedara rabalhar com os y. Claro que eses facos ão seram do osso cohecmeo.

8 ~ R = R = ( y y0 ) = =. A reca de equação y=y(0)+ ~ R é, de ere as recas que passam por y(0), a que melhor se ajusa às observações (,y ) (=,,...,) o sedo de mmzar a soma dos quadrados dos desvos (meddos a drecção do exo dos y) desses poos em relação à reca. Para um dado >, o prevsor usual de y() do méodo dos mímos quadrados/regressão lear sera ~ ~ y ( ) = y + R 0. Façamos um esudo das propredades do esmador ~ R rado pardo dum faco que, as crcusâcas referdas, descoheceríamos, mas que, em vrude dos resulados da secção, agora sabemos, omeadamee que ε em dsrbução ormal com méda 0 e varâca σ e que a covarâca ere ε e ε j é, para j>, σ. Recohece-se eão que ~ R em dsrbução ormal com méda R e varâca VAR[ ~ R ]=σ 3 + = = j= + = j. Também agora sabemos que a covarâca ere ε(s) e ε() é, para s<, gual a σ s. Quao ao prevsor ~ y( ), ele em dsrbução ormal com méda y 0 +R (que é o valor médo da v.a. y()) e varâca VAR[ R ~ ]. O erro de prevsão ~ y( ) y( ) =( R ~ R) ε ( ) em dsrbução ormal com méda ula e varâca VAR[ R ~ ]+σ E[( R ~ R) ε ( ) ]= VAR[ R ~ ] σ. Toro a dzer que as varâcas de R ~ e do erro de prevsão, dspesáves para a cosrução (ada que aproxmada) de ervalos de cofaça, ão se coheceram se ão vessemos um modelo esocásco cocreo de comporameo do feómeo, suação que ocorre quado se aplca auomacamee o méodo dos mímos quadrados. Por vezes, porém, aplca-se o méodo dos mímos quadrados a suposção de que vale a suação parcular referda a pare fal da alíea b) da secção, ada que ela possa ser absurda (como sera se o verdadero modelo da suação fosse, como esamos aqu a supor, o modelo referdo a secção ). Nessa suposção, cocluríamos = (erradamee) que R ~ era gaussao com méda 0 e varâca σ * /, ode usámos σ * para desgar o valor de σ referdo a alíea b) da secção e que ada em a ver com o valor de σ que aqu esamos a usar por se raar de modelos dferees. O valor de σ * = 0 ~ pode ser esmado por ( / ) ( y y R ), que é o esmador de máxma verosmlhaça para o modelo parcular da alíea b) da secção. A íulo de exemplo, o caso de os saes de observação esarem gualmee espaçados, so é, =δ, a verdadera (so é, a que se obém supodo váldo o modelo da secção ) varâca de ~ R é, assocamee quado +, 6σ /(δ), equao que a varâca que erradamee oberíamos era assocamee valor esperado da forma cosae/( δ), so é, eríamos edêca a subesmar cosderavelmee a varâca de ~ R e a ser

9 excessvamee opmsas os ossos (falsos) ervalos de cofaça dos parâmeros e das prevsões. Esa é uma fore razão para ão usar o méodo dos mímos quadrados quado ão é adequado. Cohecdo, porém, como admmos, que o modelo adequado é o da secção, ão precsamos da mulea do uso auomáco do méodo dos mímmos quadrados e podemos ober esmadores de R e V=σ aravés do méodo de máxma verosmlhaça (para mas dealhes e geeralzações e exesões, veja-se Brauma, 995b, 996a). É fácl ver que x = y y R( ) w( ) w( ) = σ ( =,, K, ) são v.a...d. com dsrbução ormal reduzda (oe-se que os cremeos do processo de Weer que ervêm são depedees), pelo que a dsrbução de y dado y - é ormal com méda y - +R( - ) e varâca V( - ). Aededo a que y() é um processo de Marov, a desdade cojua dos y (=,,...,) pode ober-se pelo produo das desdades codcoas de y dado y -, pelo que a fução de logverosmlhaça da amosra (que é o logarmo da desdade cojua) é (( y y ) R( )) L( R, V y, L, y) = l( π V ) ( ). = V = Resolvedo o ssema de equações L/ R= L/ V=0, obemos os esmadores de máxma verosmlhaça (MV) de R e V, que são: y R$ = y 0 ( y y R ) ( ) $ ( ) V$ =. = Podamos usar as propredades assócas dos esmadores MV, mas, ese caso, é mesmo possível ober dsrbuções exacas. Seja U = ( R $ R) / σ = w( ) / = x = U = = x x ( =, K, ). Vê-se que U em dsrbução ormal reduzda, pelo que $ R é v.a gaussaa com méda R e varâca V/. Como o elemeo V da marz V=R -, ode R é a marz de formação (cujos elemeos são r j = E[ L/ α α j ],,j=,, α =R, α =V), é V/, coclu-se que $ R é esmador cerado de varâca míma de R e, porao, melhor esmador de R que ~ R. A íulo de exemplo, o caso de os saes de observação esarem gualmee espaçados, so é, =δ, a varâca de ~ R é, assocamee quado +, 0% superor à varâca de $ R.

10 Como R$ R = σw( ) / 0 q.c. quado +, o esmador R $ é cossee (em sedo fore) quado +. Seja x=[x x... x ] T e U=[U U... U ] T. Noe-se que U em a forma U=Ax, com A marz orogoal x (so é, AA T =I). Como os x são..d. gaussaas reduzdas, coclu-se que o mesmo sucede aos U (=,,...,). Logo V$ / V = x U = T U = - T - x x ( A U ) ( A U ) U = T - = U AA U U = U U = U = = em dsrbução qu-quadrado com - graus de lberdade (gl) e é depedee de U (e, porao, R $ e V $ são depedees). Podemos assm cosrur ervalos de cofaça para V e esar hpóeses sobre V da forma usual. com A depedêca acabada de referr mosra que ( R $ R) σ, σ = V$ / ( ), em dsrbução de Sude com - gl, o que perme cosrur ervalos de cofaça para R e esar hpóeses sobre R da forma usual. Noe-se ada que σ Como σ σ U [ U ] é esmador cerado de σ com varâca σ 4 /( ). / = E = q.c. quado + (pela le fore dos grades = úmeros; ver, por exemplo, Fsz, 963, p. 6), cocluímos que σ e V $ são esmadores foremee cossees de V quado +. Como L pode ser escra a forma R R L = cos a e l V + ( V $ ( $ ) / V ) + V coclu-se que $ R e $ V são esaíscas sufcees. Para prever o valor de y() (dode se ra o valor de z()) para >, podemos aprovear o faco de se er y()=y +R( )+σ(w()-w( )) para recomedar o prevsor y $( ) = y $ + R( ) = y0 + R $, (7) que é gaussao de méda y 0 +R (que é o valor médo de y()) e varâca VAR[ $ R]. O erro de prevsão y$( ) y( ) = σw( )( ) / + σ ( w( ) w( )) é gaussao com méda 0 e varâca σ ( )/ e faclmee se cosroem ervalos de prevsão. Como a varâca do erro de prevsão se pode escrever a forma VAR[ R] σ $ e a varâca de R $ é feror à de R ~, vê-se que ese prevsor y$( ) é preferível ao prevsor ~ y( ) baseado o méodo dos mímos quadrados. A íulo de,

11 exemplo, se =00, =, σ=0, e =0, a varâca do erro de prevsão é 0,00 se usarmos o prevsor y$( ) e é 0,080 se usarmos o prevsor ~ y( ). A dfereça é colossal! 4. CONCLUSÕES Ao ulzarmos um modelo esocásco dealhado como (a íulo lusravo) o referdo a secção (admdo que é esse o modelo correco), em lugar da aplcação auomáca do méodo dos mímos quadrados, cosegumos uma melhora, que pode ser muo cosderável, o esmador de R e os erros de prevsão. Cosegumos ambém ober ervalos de cofaça e dspor de eses de hpóeses sobre os parâmeros, mporaes aspecos sobre os quas a aplcação auomáca do méodo dos mímos quadrados (a ausêca, porao, de um modelo a ele subjacee) ão forece qualquer dcação. Claro que, se aplcássemos o méodo dos mímos quadrados, poderamos mpor arfcalmee o modelo (correco a suação aqu descra) do caso parcular da alíea b) da secção com as cosequêcas que arás se apresearam de obermos falsos ervalos de cofaça demasado opmsas em relação à realdade. Embora o méodo dos mímos quadrados foreça uma equação deermísca que é a que melhor se ajusa às observações (o sedo de mmzação da soma dos quadrados dos desvos meddos a drecção do exo dos y), ão é correco afrmar que o modelo esocásco se ajusara meos bem pos ele ão os forece uma equação deermísca mas a equação esocásca (6), ode ε() é, para cada, uma v.a. e ode descohecemos o valor de R (que esmamos aravés de R) $ e o valor de ε(). Se subsurmos, em (6), R por R $ e ε() pelo seu valor médo 0, obemos, de faco, uma equação deermísca, que é afal o prevsor y$( ) dado por (7). Mas esse prevsor só deve ser usado para prever valores fuuros e ão para ajusar qualquer curva às observações. Alás, a curva descra por y$( ) pode cosderar-se uma esmava da curva dos valores médos E[y()], que ão em razão ehuma para ser a curva que melhor se aproxma das observações. Coselho fal: Quado eseja uma suação como a descra a alíea c) da secção, pese sempre muo bem o que quer e qual a esruura dos seus dados aes de resolver aplcar o méodo dos mímos quadrados. Não o aplque quado ão é adequado, pos dá resulados muo egaadores. Nese caso, esude o modelo adequado e derve, a parr dele, os méodos de esmação e prevsão aproprados. REFERÊNCIAS ARNOLD, L. (974), Sochasc Dffereal Equaos: Theory ad Applcaos, Wley, New Yor. BRAUMANN, C. A. (993), Geeral models of fshg wh radom growh parameer, em J. Demogeo e V. Capasso (edores), Mahemacs Appled o Bology ad Medce, Wuerz Publ. Ld., Wpeg, Caadá, BRAUMANN, C. A. (995a), Threshold crossg probables for populao growh models radom evromes, J. Bologcal Sysems 3(): BRAUMANN, C. A. (995b), Esmação de parâmeros em modelos de crescmeo e pesca em ambees aleaóros, em J. Braco, P. Gomes e J. Praa (edores), Bom Seso e Sesbldade. Traves Mesras da Esaísca, Socedade Poruguesa de Esaísca e Edções Salamadra, Lsboa, 0-7.

12 BRAUMANN, C. A. (996a), Populao growh radom evromes ad parameer esmao, em O. Aro, D. E. Axelrod e M. Kmmel (edores), Mahemacal Populao Dyamcs, Wuerz Publ. Ld., Wpeg, Caadá (em mpressão). BRAUMANN, C. A. (996b), Applcaos of sochasc dffereal equaos o he growh of populaos radom evromes: model fg ad predco, em Proceedgs of he d Marraesh Ieraoal Coferece o Dffereal Equaos (comucação covdada; em mpressão). DUFFIE, D. (99), Dyamc Asse Prcg Theory, Prceo Uversy Press. FISZ, M. (963), Probably Theory ad Mahemacal Sascs, 3rd edo, Wley, New Yor. MERTON, R. (990), Couous-me Face, Blacwell ØKSENDAL, B. (989), Sochasc Dffereal Equaos. A Iroduco wh Applcaos (d edo), Sprger-Verlag, Berl.