Análise de Temperaturas em uma Barra Uniforme de Aço-Carbono com o Método Explícito

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1 Aálse de emperauras em uma Barra Uforme de Aço-Carboo com o Méodo Explíco Jorge Corrêa de Araújo Rosa García Márquez 0 de dezembro de 03 Resumo Nesse rabalho é desevolvda uma solução umérca por dfereças fas com o méodo explíco para a codução de calor em regme rasee de emperaura em uma barra de aço-carboo udmesoal com codções de Rob. A solução aalíca fo obda formalmee pelo méodo de separação de varáves. Os resulados das smulações mosraram que a solução umérca de fácl mplemeação é cocordae com a solução aalíca. Palavras Chave: Méodo Explíco, Solução Aalíca; Calor Udmesoal. Irodução É bem cohecdo da egehara de maeras que durae a fabrcação e o processameo dos aços lamados o raameo érmco pode alerar as propredades rísecas deses maeras como, por exemplo, o desempeho elérco, mecâco e de ressêca à corrosão ([3,]). Quado uma lga de ferro com carboo é aquecda e esfrada repeamee, ela se ora exremamee dura e recebe o ome de aço. Algus pos de aço são classfcados de acordo com a coceração de carboo (baxo, médo ou elevado eor de carboo). O aço-carboo é um aço que emaa suas propredades físcas as como dureza e ressêca edo por sso, dversas aplcações a dúsra as como: produção de arames, pregos, ubos, paés de auomóves, ec. (veja Saderso e al. [9], Callser [3]). Emal: jcaraujo@prj.uerj.br, rosagm@uerj.br; Deparameo de Maemáca, Uversdade Esadual do Ro de Jaero.

2 As equações dferecas que goveram os problemas físcos de rasferêca de calor em regme rasee ou ão, êm soluções aalícas, caso exsam, em geral muo complcadas (Saderso e. al [9], Slva Neo e al. [0], e Malska [5]). Aualmee devdo ao bom desempeho dos compuadores moderos, as soluções umércas são amplamee ulzadas por dversos pesqusadores em dermeo da busca pela solução aalíca. Formulação do problema Os resframeos forçados de lgas de aço de forma corolada permem à predção local da emperaura em cada poo da amosra maeral de modo a garar as propredades desejáves para uso dusral. Nesse rabalho é apreseada dealhadamee a cohecda solução aalíca para o problema da codução de calor em uma barra homogêea udmesoal com codção de Rob (3 o po) as exremdades ([,4]). ambém uma solução umérca a forma explíca usado o méodo das dfereças fas ([,8]) fo ulzada para a represeação da emperaura. Os resulados obdos com as dferees aproxmações fcaram em boa cocordâca. abela : Propredades da barra fa de aço-carboo Parâmeros do Processo Noação Valores Comprmeo da barra 0,0 m emperaura Ical f ( C emperaura ambee A 35 0 C Dfusvdade érmca 6 8,8 0 m / s Coefcee de coduvdade érmca Coefcee de roca érmca k h 63,9 W / m 00 W / m o o C C Cosderaremos que as superfíces laeras da barra ecoram-se soladas. Será admdo ambém que as seções reas são ão pequeas que a emperaura em cada poo seja uforme. Repeamee, as exremdades fcam sujeas a covecção com coefcee de roca érmca h com emperaura do fludo gual a emperaura ambee, so é, (Fg.). f A

3 Smulação Numérca da Dsrbução de emperaura em Aço-carboo (x, x=0 x=/ x= Fgura : Barra uforme de aço-carboo com covecção as exremdades Se ( x, represea a emperaura da barra em cada poo x e emperaura, a varação da emperaura ao logo da barra em regme rasee (Boyce DPrma [], Davs [4], Mezala [6]) é goverada pela equação dferecal parcal dada por x ( x, ( x,, 0 x e 0 () A dsrbução da emperaura esá sujea as segues codções: k ( 0, h (0, A, 0 x (a) k (, h (, A, 0 x (b) ( x,0) f (, 0 x (c) As codções (a) e (b) são cohecdas como codções de Rob (3 o po). Formulação aalíca O raameo que será aqu desevolvdo a formulação aalíca é baseada o desevolvmeo proposo por Boyce e DPrma [] para o mesmo problema só que usado somee a codção de Drchle ( o po) que ulza emperauras pré-fxadas as exremdades da barra equao o problema proposo esse esudo ulza a codção de Rob (3 o po) que é a roca de calor por covecção as exremdades da barra. As codções (a) e (b) ão são ecessaramee homogêeas, porao uma ova emperaura que mede o excesso da emperaura ambee é defda por ( x, ( x, (d)

4 4 de modo que a equação () combada com as codções de cooro (a) e (b) reescrevem-se como a forma de equações homogêeas ( x, ( x, x, 0 x, 0 () k ( 0, h (0, 0, 0 (a) x k ( l, h ( l, 0, 0 (b) x x,0 f (, 0 (c) Para resolver a equação () será aplcado o méodo de separação de varáves ([], [6] e []) que cosse em assumr que a emperaura ( x, pode ser represeada como um produo de uma fução de posção W ( com oura fução de emperaura (, so é, ( x, W( ( (3) Da equação (3) resulam d W ( x, x dx ( ( (4) d ( x, W( ( d (5) Subsudo as equações (4 e 5) a equação () e separado as varáves em-se d W( d( W( dx ( d (5a) A gualdade da equação (5a) é verdadera se ambos os lados são guas a uma mesma cosae de separação. O sal egavo para a cosae de separação é para assegurar o decameo de ( com o empo como será vso mas adae. Da equação (5a) resulam duas equações dferecas ordáras d W dx ( W( 0 (6)

5 Smulação Numérca da Dsrbução de emperaura em Aço-carboo d ( ( 0 (7) d Porao a cosae esá assocada a um problema de auovalor de fuções. A solução da equação (7) mosra que ( e com. Das equações (a e 3) em-se A solução geral da equação (6) é dada por dw( k ( hw ( ( 0 (8) dx W c sex c cos x (9) ( Subsudo a equação (9) a equação (8) obém-se a equação k c sex c cos x ( 0 ( c cos x cse ( h (0) Que deve ser válda para odo x. Desde que ( 0 para odo a equação (0) o poo x=0, fca da forma kc c h 0 () O que mosra que a cosae c é proporcoal a h H e c é proporcoal a. k Novamee usado o fao de que ( ) 0, a equação (8) pode ser posa a forma dw ( k hw ( (a) dx Usado a proporcoaldade das cosaes c e c as auofuções da equação (6) dadas pela equação (9) podem ser posas a forma W( Hse x cos x () ogo o objevo é deermar para a deermação de X (. Combado as equações (a e ) em x em-se H cos se hhse cos 0 k (3) h kh se cos k H (4) Mulplcado e dvddo o lado dreo da equação (4) pelo faor k resula a equação H se cos (5) H A qual pode ser colocada a forma

6 6 H a (6) H A equação (6) é rascedeal, ão podedo ser resolvda aalcamee. Nesse caso, soluções umércas podem ser obdas dos zeros ( ) da fução H a (7) H Desde que ( e segue da equação (3) que x W ( e, (8) Ode W ( são as auofuções dadas pela por W ( H se x cos x, assocadas aos auovalores,. Pode ser mosrado de forma drea que as fuções x sasfazem as equações (-a-b). ogo, usado o prcípo da superposção das soluções, a solução complea x,é dada por Das equações (c e 9) x, c e W ( (9) x,0 F( c W ( (0) A equação () mosra que W ( é uma combação lear de seos e cosseos logo os coefcees c são coefcees de Fourer para f ( ode F ( f ( c peródca de período. Iso é, F( W ( x dx N () ) 0 H H N W ( dx 0 Subsudo as equações (-) a equação (9) e usado o fao de que em-se falmee a expressão da solução aalíca () x, A e W ( F( W ( dx H H 0 (3)

7 Smulação Numérca da Dsrbução de emperaura em Aço-carboo 3 Formulação umérca O méodo das dfereças fas que ulzaremos esse esudo é dado a forma explíca. A vaagem é a facldade de programação e a desvaagem é que essa formulação é codcoalmee esável, so é, deverá exsr uma relação ere as larguras das malhas espacal e emporal. Será usado o esquema de dfereças avaçadas o empo a prmera dervada da equação () e ceradas a posção para a dervada seguda da equação (). Desse modo em-se (4) x x (5) Subsudo as equações (4-5) a equação () resula a formulação explíca r r r ) ( (6) ode x r, N. O méodo é codcoalmee esável se r. A Fg. mosra a molécula de cálculo com dfereça avaçada o empo e cerada a posção e avaçada o empo. Fgura : Malha compuacoal e molécula de cálculo com formulação explíca Para esse problema foram usadas as codções de balaço de eerga proposo por Oszk [7] os exremos da barra sujeo as codções covecvas como

8 8 0 h x k h x k A, x 0 (7) N h x k N h x k A, x (8) 4 Resulados As smulações umércas cosderaram calmee a barra de aço-carboo de comprmeo = 0,0 m subdvdda em 5 e 0 subervalos gualmee espaçados em-se, No prmero caso x 0, 5 004, 0, 40 e r No segudo caso x 0, 0 00, e r h 6 Cosderado, H, 5649, 8,8 0, f ( 300 e defdo k H ( ) a H a equação (6), podemos observar a Fg. 3 que () adme cco raízes o ervalo o o o [0, 0]. Eão cosderado as aproxmações cas 0, 50, 300, e o 600, e ulzado o méodo eravo de Newo ( 8 0 ) (Ruggero o 4 5 e. al [8]) obemos as raízes:,47740, 58, , 34, 65664, 3 47, e 68,

9 Smulação Numérca da Dsrbução de emperaura em Aço-carboo Fgura 3. Gráfco da fução o ervalo de [ 0, 700] radaos para a localzação 5 de raízes. Cosderado os prmeros cco ermos da sére a equação (3), emos a descrção da emperaura ( x, em cada poo da barra. A Fg. 4 mosra que a solução umérca com x 0, para descrever o decameo da emperaura a exremdade da barra ão esá em cocordâca com a solução aalíca ao logo do empo, equao usado uma malha mas fa ( x 0, 0 00) oa-se uma meor dsspação ere as soluções umérca e a aalíca. Fgura 4. Gráfco do perfl de emperauras em x 0, 004 m com o empo de 000 s O objevo com esses parâmeros fo esar o progresso da solução umérca quado o refameo da malha fo duplcado. As comparações foram realzadas os poos

10 P x,..4, so é, os poos x 5, 3 4 5, 5 e 5. Para a solução aalíca a sére dada pela equação (6) ulzou 5 ermos. Na Fg. 5, pode ser oado um maor resframeo a exremdade da barra em relação ao meo da barra. Observa-se claramee que o perfl das curvas de emperauras esses poos cofrma a dsrbução a barra, ode exse uma maor emperaura. De fao, após 0 segudos, ( 4, 0) 85, , 3, 0) 85, e (, 0) 86,876 ( o C), ereao após 000s (33,3 muos) as emperauras 3 esses poos são meos dfereçadas, 000) (, 000) 35, e ( 4 ( 4 4 (, 000) 35, ( o C), e esão próxmas à emperaura ambee, como era de se esperar. A dsspação de calor com as codções dadas mosram que as emperauras decaem mas rapdamee os exremos da barra (em forma smérca) já que a superfíce laeral esá ermcamee solada e o maeral é homogêeo. 0 Fgura 5. Perfl das curvas de emperauras ( x, ) após 5, 0, 0, 40 e 55 segudos. Observa-se que a emperaura é meor os exremos da barra e dmu em forma smérca em relação ao meo da barra, ode a emperaura é levemee maor. 4 Coclusões O problema de rasferêca de calor em uma barra de aço-carboo em regme rasee com codções de Rob fo resolvdo aalcamee de modo formal pelo méodo de separação de varáves. Uma solução umérca fo proposa evolvedo o

11 Smulação Numérca da Dsrbução de emperaura em Aço-carboo esquema de dfereças fas com o méodo explíco. Esse méodo, embora de fácl programação, em um elevado esforço compuacoal além de er a desvaagem de ser codcoalmee esável. O méodo umérco mosrou-se adequado para uma comparação com os resulados obdos com a solução aalíca desevolvda. Os perfs de emperauras aalsados em dferees poos da barra mosram um pequeo acréscmo da emperaura a regão ceral,, ( x, ) para odo ( x 0, [ e 0. ambém a smera da dsrbução de emperaura em relação a essa ] regão ceral pode ser observada. Ese rabalho pode ser aplcado a um esudo smlar, ao subsur a fução f( dada a abela, por qualquer oura fução de emperaura. Referêcas [] ARAÚJO, J.C., MÁRQUEZ, R.G. Dsrbução de emperauras em uma Barra Uforme de Aço-Carboo com o Méodo de Crak-Ncolso. Caderos do IME. Sére Maemáca Vol 4 (mpresso)/vol 6 (ole) Dez. 0. Dspoível em: <hp://magum.me.uerj.br/caderos_ma/> [] BOYCE, W. E; DPRIMA, R. C. Equações Dferecas Elemeares e Problemas de Valores de Cooro. 6 a Edção. Ro de Jaero: C- vros éccos e Ceífcos Edora S.A., (999). [3] CAISER, W. D. Cêca e Egehara de Maeras uma Irodução. 5 a edção. C- vros éccos e Ceífcos Edora S.A., São Paulo, (00). [4] DAVIS, H. F. Fourer Seres ad Orhogoal Fucos. Dover Publcaos, Ic. New York, (963). [5] MAISKA, C. R. rasferêca de Calor e Mecâca dos Fludos: Fudameos e Coordeadas Geeralzadas. Edção. Ro de Jaero: C- vros éccos e Ceífcos. Edora S.A., (985). [6] MENZAA, G. P., Irodução ás Equações Dferecas Parcas. o Colóquo Braslero de Maemáca. Poços de Caldas, Impa. (977). [7] OZISIK, M. N. Hea rasfer A Basc Approach. MacGraw-Hll Book Compay., (985).

12 [8] RUGGIERO M. G. E OPES V.. Cálculo Numérco. Aspecos eórcos e compuacoas. 3 a edção. Ed. Pearso, (996). [9] SANDERSON,.G., ARAÚJO J.C. e al. Smulações do resframeo de Chapas de aço em lamação corolada, Maéra, Vol. 9, N , (004). [0] SIVA NEO, A. J.; VASCONCEOS, J.F.V. Uma rodução aos Méodos de Dfereças Fas e Volumes Fos com Aplcações em rasferêca de Calor e Massa, EMA, IPRJ, Nova Frburgo, RJ, (00). [] (Aposla de Equações Dferecas Parcas) (Acesso em ov. 0). [] (Acesso em: ov. 0).