5 Sistemas Lineares com Coecientes Periódicos

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1 5 Ssemas Lneares com Coecenes Peródcos Ese capíulo raa de forma suscna do esudo da esabldade de soluções peródcas de ssemas dnâmcos não-lneares. Segundo Rand [83], a eora de Floque é a eora mas geral que raa de equações dferencas lneares com coecenes peródcos do po ẋ = A()x (5-1) Fazendo um mapeameno de Poncaré de um ssema lnear, pode-se ver- car que as coordenadas que deermnam o esado do ssema num deermnado nsane de empo (veor de esado x em ) esão lnearemene conecadas com as coordenadas num nsane defasado de um cero aravés de uma marz Φ, al como lusrado na gura 5.1, ou seja {x} + = [Φ] +, {x} (5-2) Fgura 5.1: Espaço de fase Φ é chamada de marz de ransção ou marz de monodroma.

2 Capíulo 5. Ssemas Lneares com Coecenes Peródcos 117 Se A em (5-1) for consane, Φ é dado por Φ,0 = e A (5-3) Nos casos em que A é peródco, o eorema de Floque arma que a marz de ransção assume a forma. Φ,0 = P ()e R (5-4) onde P () é uma função peródca e R é uma marz consane. Em geral é muo dcl ober Φ analcamene, para eses casos é necessáro denr as marzes de soluções que possblam o cálculo de Φ numercamene. De forma semelhane à eq. (5-2), pode-se escrever que [X] +T = [Φ] +T, [X] (5-5) Assm, [Φ] +T, = [X] +T [X] 1 (5-6) 5.1 Mulplcadores de Floque Com base em (5-3), sabe-se que, quando A é consane, seus auovalores denem o comporameno do ssema ao longo do empo. Auovalores posvos ndcam que a solução rá crescer ndendamene, auovalores nulos ndcam órbas peródcas e, para auovalores negavos, a solução ende assnocamene para zero. Porano, os auovalores da marz de ransção Φ e da marz A esão relaconados. A relação é dada pela eq. (5-3). Logo os auovalores de Φ são as exponencas dos auovalores λ de A, como lusra a gura 5.2. Os auovalores de Φ são chamados de mulplcadores de Floque e ndcam nsabldade para valores maores que 1. O módulo dos mulplcadores de Floque relaconam o módulo das componenes de dos veores de esado, separados por um nervalo de empo gual ao período T de A. A segune relação enre os mulplcadores de Floque e a pare real dos

3 Capíulo 5. Ssemas Lneares com Coecenes Peródcos 118 Fgura 5.2: Relação enre um auovalor de Φ e um auovalor de A auovalores de A é válda, quando A é consane λ Φ > 1 +T > λa > 0 λ Φ = 1 +T = λ A = 0 λ Φ < 1 +T < λ A < 0 (5-7) Porano, se o módulo de algum mulplcador de Floque for maor que 1, há nsabldade assocada a alguma dreção do espaço de fase. A marz Φ pode ser compuada em (5-6) a parr de uma marz dagonal de soluções X = δ... δ (5-8) Em geral assume-se δ = 1, o que perme smplcar um pouco a eq. (5-6), obendo-se [Φ] (+T,) = [X] +T (5-9) Como os auovalores de Φ podem ser complexos conjugados, dversos auores classcam os pos de bfurcações de acordo com as formas com que eses auovalores ulrapassam o módulo unáro. Iso é vsualzado por um plano onde o exo horzonal corresponde à pare real do auovalor e o exo vercal coném a componene magnára do auovalor, como mosra a gura 5.3 ([84]).

4 Capíulo 5. Ssemas Lneares com Coecenes Peródcos 119 Fgura 5.3: Possbldades de perda de esabldade de uma solução peródca. 5.2 Esabldade de ssemas não-lneares A esabldade de soluções peródcas de ssemas não-lneares é deermnada pela avalação ao longo do empo de uma perurbação ɛ, muo pequena, que é adconada à solução peródca conhecda. Se a perurbação cresce com o passar do empo, enão o ssema é nsável. Para saber a endênca da perurbação, basa lnearzar a equação. A equação lnearzada obrgaoramene erá coecenes peródcos, o que conduz à ulzação da eora de Floque. Tomando como exemplo a equação de Dung, ao se adconar uma perurbação ɛ() à solução x(), em-se ẍ + ɛ + 2ζω 0 (ẋ + ɛ) + ω 0 2 (x + ɛ) + β(x + ɛ) 3 = F sn Ω (5-10) Elmnando os ermos não-lneares em ɛ e endo em mene que ẍ + 2ζω 0 ẋ + ω 0 2 x + βx 3 = F sn Ω, obém-se, ɛ + 2ζω 0 ɛ + ω 0 2 ɛ + 3βx 2 ɛ = 0 (5-11) onde o coecene 3βx 2 é uma função peródca em, dado que x() é a solução peródca cuja esabldade se deseja analsar. Assumndo as segunes relações ɛ = ɛ 1 ɛ = ɛ 2 a eq. (5-11) é ransformada em um ssema de prmera ordem { ɛ 1 } = [ 0 1 ] { ɛ 1 } (5-12) ɛ 2 ω 0 2 3βx 2 2ζω 0 ɛ 2

5 Capíulo 5. Ssemas Lneares com Coecenes Peródcos 120 O que deseja-se é enconrar os auovalores da marz de ransção Φ do ssema (5-12). Com a marx de condções ncas sendo uma dendade, pode-se ober Φ aravés de (5-9), negrando (5-12) durane um período T correspondene à solução da equação dferencal não-lnear, x() Deermnane de Hll Consderando novamene o equação de Dung, ẍ + 2ζω 0 ẋ + ω 0 2 x + βx 3 = F sn Ω (5-13) a solução aproxmada pode ser escra como, x = a cos Ω + b sn Ω (5-14) Acrescenando uma perurbação ɛ à solução aproxmada (5-14), e desprezando os ermos não-lneares, chega-se à segune equação que rege a perurbação, ɛ + 2ω 0 ζ ɛ + (ω β(a2 + b 2 ) + 3βab sn 2Ω+ 3 2 β(a2 b 2 ) cos 2Ω)ɛ = 0 cuja solução, segundo Floque, é dada por (5-15) onde µ é chamado expoene caracerísco. Subsundo (5-16) em (5-15), em-se ɛ = e µ φ() (5-16) φ + (2µ + 2ω 0 ζ) φ + (µ 2 + 2ω 0 ζµ + ω β(a2 + b 2 )+ 3βab sn 2Ω + ( 3 2 β(a2 b 2 ) cos 2Ω)φ = 0 (5-17) Aplcando o HBM, subsu-se φ = c cos ω + d sn ω (5-18) em (5-17) e realza-se o balanço dos harmôncos. De acordo com Hayash (1964) [85], fazendo ω = Ω, os expoenes caraceríscos µ esarão assocados à regão da prmera ressonânca. Para as regões

6 Capíulo 5. Ssemas Lneares com Coecenes Peródcos 121 de ressonânca par é necessáro consderar o ermo consane em (5-18). Para ω = Ω, o HBM conduz ao segune ssema de equações lneares, sendo [ M 11 M 12 M 21 M 22 ] { c d } = 0 (5-19) M 11 = 2ω 0 ζµ + µ βb2 + ω βa2 Ω 2 M 12 = 2µΩ βab + 2ω 0ζΩ M 21 = 2µΩ βab 2ω 0ζΩ M 22 = µ 2 + 2ω 0 ζµ + ω βa βb2 Ω 2 Para que exsam soluções não rvas, é necessáro que o deermnane da marz do ssema lnear (5-19) seja nulo. Igualando o deermnane a zero, enconra-se uma equação que perme que o expoene caracerísco µ seja deermnado. Tem-se assm µ 4 + 4ω 0 ζµ 3 + (3β(a 2 + b 2 ) + 4ω 0 2 ζ 2 + 2(Ω 2 + ω 0 2 ))µ 2 + (4ω 0 ζω 2 + 6ω 0 ζβ(a 2 + b 2 ) + 4ω 3 0 ζ)µ + 3ω 2 0 βa 2 3βb 2 Ω β2 b 2 a 2 + 3βb 2 ω ω 2 0 ζ 2 Ω 2 3βa 2 Ω 2 + ω β2 a 4 2ω 2 0 Ω β2 b 4 + Ω 4 = 0 (5-20) Se µ for magnáro, a solução (5-16) é esável, se µ for real a solução é nsável, pos e µ φ( ) ambém é uma solução ndependene que aende (5-15). µ só será real se o ermo ndependene de (5-20) for menor que zero. Porano, o que ocorre na práca, ao se avalar a esabldade de uma solução peródca é fazer µ = 0 e calcular o deermnane. Deermnane posvo corresponde a um µ magnáro e conseqüenemene a solução será esável, e deermnane negavo, a uma solução nsável. Fazendo µ = 0 em (5-20), em-se 4ω 2 0 ζ 2 Ω 2 3βa 2 Ω 2 + ω β2 a 4 + 3ω 2 0 βa 2 3βb 2 Ω β2 b 2 a 2 + 3βb 2 ω Ω 4 2ω 2 0 Ω β2 b 4 = 0 (5-21) Conseqüenemene, as soluções obdas com o HBM (al como (5-14)) para o problema (5-13) são esáves quando (5-21) for maor que zero.