ESTABILIDADE NA MÉDIA QUADRÁTICA DE SISTEMAS LINEARES COM SALTOS MARKOVIANOS EM TEMPO CONTÍNUO VIA MÉTODO DE PLANOS DE CORTE E ALGORITMO GENÉTICO

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1 ESABILIDADE A MÉDIA QUADRÁICA DE SISEMAS LIEARES COM SALOS MARKOVIAOS EM EMPO COÍUO VIA MÉODO DE PLAOS DE CORE E ALGORIMO GEÉICO VALESKA M. DE SOUZA, AOIO A. M. RAPOSO.. Deparameo de Maemáca, Uversdade Federal do Marahão Av. dos Porugueses, Bacaga, , São Luís, MA, BRASIL E-mals: valeska@ufma.br, eg_ma_aooamraposo@homal.com Absrac hs paper proposes a lear opmzao approach o mea square sably aalyss of Markova Jumps Lear Sysems couous me. Specfcally, he resuls exed o he Lyapuov-Mezler equao, obag covex opmzao problems erms of a se of LMIs. A algorhm based o he combao of he Mehod of Cug Plas ad Geec Algorhm s proposed for he umercal soluo of he resulg problem usg he C++ programmg laguage. Keywords Lear Opmzao, Mea Square Sably, Mehod of Cug Plas, Geec Algorhm. Resumo Ese rabalho propõe uma abordagem de omzação lear para aálse de esabldade a méda quadráca de Ssemas Leares com Salos Markovaos em empo coíuo. Mas especfcamee, esedem-se os resulados da equação de Lyapuov-Mezler, obedo problemas de omzação covexa, em ermos de um couo de LMIs. Um algormo baseado a combação do Méodo de Plaos de Core e Algormo Geéco é proposo para a resolução umérca do problema resulae ulzado lguagem de programação C++. Palavras-chave Omzação Lear, Esabldade a Méda Quadráca, Méodo de Plaos de Core, Algormo Geéco. Irodução Ssemas Leares com Salos Markovaos (SLSM) represeam uma classe de ssemas esocáscos cua dâmca muda de forma repea em ceros saes e comporam-se como ssemas leares os demas saes. Os salos ere os modos de operação do ssema podem ser modelados por uma cadea de Markov com espaço de esados fo. Eses ssemas são exemplos de ssemas híbrdos, pos combam uma pare do esado que oma valores coíuos e oura pare que oma valores dscreos. Um SLSM defdo o espaço de probabldade,f,p, ode Ω é o espaço amosral; F é uma σ- álgebra e P é uma medda de probabldade; pode ser represeado por meo da segue equação esocásca x( ) A( ) x( ), R () x(0) x0, 0 ode x R são os esados do processo, x 0 R é o esado cal, {,,, } represea uma cadea de Markov homogêea a empo coíuo com espaço de esados dscreo e é uma varável aleaóra. Se eão A( ) A,. Além dsso, a probabldade de rasção é dada por p ( ) P( ) o( ) o( ) se se () ode é defdo como a axa de rasção ere os esados e, e 0,,. A { marz de axa de rasção é deoada por }. Um problema fudameal o esudo dos SLSM é a oção de esabldade. a leraura há dferees defções de esabldade, dere as mas sgfcavas emos a esabldade a méda quadráca (MS-esabldade, do glês Mea Square), esabldade δ-momeo e a esabldade quase cera; vde (Cosa ad Marques, 006; de Souza ad Colaer, 007; Fag ad Loparo, 00). Ese argo apresea uma meodologa para aálse da MS-esabldade de SLSM baseada em algormo desevolvdo ulzado lguagem de programação C++. O efoque prcpal é a síese de um algormo que vesse uma lguagem mas acessível para város profssoas de dversas áreas do cohecmeo podedo ser aplcado em dversas suações. Propóso Para aálse da MS-esabldade de SLSM em empo coíuo, apreseamos um algormo baseado em equações marcas leares (LMIs, do glês Lear Marx Iequales); vde (Boyd e al, 994). Deomaremos ese algormo de MPCAG, pos ulza o Méodo de Plaos de Core (MPC), combado com o Algormo Geéco (AG) para esar problemas de MS-esabldade. Como os méodos MPC geram hperplaos que aproxmam gradavamee o couo de soluções facíves, deermar a MS-esabldade de um SLSM

2 resume-se em resolver um Problema de Programação Lear (PPL). O AG é proposo para resolver ese PPL sob pealdade das resrções com o uso do Méodo da Barrera Logarímca (MBL). Opou-se por ulzar o AG para fs de comparação com ouros méodos de resolução de PPL. 3 Méodos Defção. (MS-esabldade) O ssema () é do MS-esável se para quasquer x (0) e dsrbução cal de : lm E x(, x0) 0 O próxmo eorema caracerza a MSesabldade de ssemas SLSM usado LMIs. eorema (El Ghaou ad Ram, 996). O ssema SLSM () é MS-esável se, e somee se, exsem marzes P 0, que sasfazem as equações P A P P A P 0,,,, (3) Equvaleemee, podemos reescrever o eorema subsudo as LMIs (3) pelas equações de Lyapuov-Mezler A P P A. P Q. (4) Sedo Q Q 0 marzes arbráras, podemos escolher Q Q e obemos eorema. O ssema SLSM () é MS-esável se, e somee se, para qualquer marz Q Q 0, exsem marzes P P 0, que sasfazem as equações de Lyapuov-Mezler A P P A P Q 0,,,, (5) Coroláro. Se, para qualquer marz Q Q 0, exse uma úca marz P P 0, al que A P PA Q 0 (6) eão o ssema () é MS-esável. Como as equações de Lyapuov (3) defem couos covexos C e a erseção de um úmero fo de couos covexos é um couo covexo, defe-se o domío covexo como D C afm de resolvê-las va aálse covexa. Ulza-se um méodo de plao de core proposo por Ferrera (994). Méodos de plaos de core geram hperplaos que aproxmam gradavamee o couo de soluções facíves do problema. Dese modo, o próxmo eorema os perme ecorar, caso exsa, uma solução para as LMIs (5)., eorema 3. Dada uma marz Q Q 0. Cosdere o segue problema de omzação: m : sueo a: r P A P P A P P P Q 0,,,, 0 (7) As segues afrmações são verdaderas:. O problema (7) é covexo;. Para sua solução é gual a equação de Lyapuov-Mezler; 3. Para P 0 ão facível, exse sempre um hperplao que separa P 0 do couo de soluções facíves. Com base em (Ferrera, 994), emos os segues hperplaos supore para as resrções do eorema 3: Para as resrções P P 0 em-se os segues hperplaos supore: g P x P x (8) Para as resrções A P P A P Q 0 em-se os segues hperplaos supore: h (9) P x A P P A P Qx ode x R e é uma cosae próxma de zero ulzada com créro de parada do algormo MPCAG. Para solucoar o problema covexo (7) ulzouse uma abordagem heurísca com o AG. Escolheu-se o AG devdo a sua capacdade de rabalhar com uma população de soluções smulaeamee, e porque é faclmee hbrdzado com ouras éccas, o caso com o MPC. Ereao, como (7) é um problema de omzação lear com resrções, aplcar o AG para solucoá-lo exgu a pealzação das resrções com uma fução barrera logarímca, (Campoogara, 006) e (Egelbrech, 007). Dese modo, o AG resolve o segue problema de omzação: m : r ) (0) P l( P R S ode 0 é o parâmero da barrera, e R l g( P) e l h( ) S. P

3 Com esas cosderações, a Fgura apresea a esruura do algormo MPCAG. Fgura. Esruura do algormo MPCAG A próxma seção apresea resulados obdos com o algormo MPCAG. 4 Resulados Aes de lusramos os resulados, as cosaes ulzadas o MPC e o MPCAG são dadas a abela. MPC 6 0 Máxmo úmero de erações 00 MBL 0 AG amaho da população 8 úmero de gerações 00 amaho do cromossomo axa de crossover 0,6 axa de muação 0,0 60,576 6,9978 P e 6, ,968 6,33 9,0570 P. 9, ,0353 Com a ulzação do Coroláro obemos 53,393 0,707 P. 0,707 9,9 Por fm, para esar a MS-esabldade pelo eorema 3, resolvemos o problema de omzação covexa (7) usado a fução mcx do LMI Corol oolbox do MALAB. Com a segue solução para uma úca marz P :,5754 0,639 P, após 5 erações. 0,639,497 E com a segue solução para P e P :,66 0,499 P e,645 0,545 P, 0,499 0,938 0,545 0,84 após erações. Os resulados que seguem lusram a ulzação do algormo MPCAG para esar a MS-esabldade segudo o Coroláro. As Fguras e 3 lusram a evolução do algormo de plaos de core do Exemplo com o uso do algormo Smplex. abela. Parâmeros do MPC e MPCAG Exemplo. Cosdere o SLSM com dos modos de operação 0 0 A e A, com marz de rasção correspodee 0 e Q. 0 Fgura. Evolução do algormo MPC para o SLSM do Exemplo cosderado uma úca marz P Para esar a MS-esabldade pelo eorema, resolvemos as LMIs (3) ulzado o LMI Corol oolbox do MALAB. Como as soluções 66,9 8,5573 P e 8,5573 4,763 67,04 9,865 P 9,865 37,508 são marzes defdas posvas o ssema é MSesável. Agora, usado o eorema, obemos Fgura 3. Covergêca do algormo MPC para o SLSM do E- xemplo cosderado uma úca marz P Assm, após 6 erações, o algormo MPC obém, MPC,6 0,6 P. 0,6,5

4 As Fgura 4 e 5 lusram a evolução do algormo MPCAG. Fgura 7. Evolução do algormo MPC para os elemeos da marz P do ssema do Exemplo Fgura 4. Evolução do algormo MPCAG para o Exemplo cosderado uma úca marz P Após 4 erações, o algormo MPC obém, P MPC,8 0,6 0,6, e MPC,8 0,3 P 0,3 0,9. As Fguras 8 e 9 lusram a evolução do ssema SLSM, do Exemplo, por meo do algormo MP- CAG, em ermos das marzes P. Fgura 5. Covergêca do algormo MPCAG para o Exemplo cosderado uma úca marz P Após 4 erações, o algormo proposo obém MPCAG,703 0,68698 P. 0,68698,54846 Fgura 8. Evolução do algormo MPCAG para os elemeos da marz P do SLSM do Exemplo Exemplo. Cosderemos o SLSM do Exemplo. Ese exemplo lusra a aplcação do algormo MPCAG ulzado o eorema 3. As Fguras 6 e 7 lusram a evolução do algormo MPC com o uso do algormo Smplex. Fgura 9. Evolução do algormo MPCAG para os elemeos da marz P do SLSM do Exemplo Após 5 erações, o algormo MPCAG obém, Fgura 6. Evolução do algormo MPC para os elemeos da marz P do ssema do Exemplo MPCAG, ,90500 P e 0,90500, MPCAG 3, ,6745 P. 0,6745,47930 As Fguras 0 e demosram a covergêca dos algormos MPC e MPCAG para o SLSM.

5 O MPCAG mosrou-se efcee à aálse de esabldade de város exemplos de SLSM em empo coíuo de seguda e ercera ordes. Aualmee o MPCAG esá sedo empregado para a aálse de MSS de SLSM em empo dscreo. Agradecmeos Fgura 0. Covergêca do MPC para o SLSM do Exemplo Os auores agradecem ao apoo facero coceddo pela Fudação de Amparo à Pesqusa e Desevolvmeo Ceífco do Marahão (FAPEMA). Referêcas Bblográfcas Fgura. Covergêca do MPCAG para o SLSM do Exemplo 5 Dscussões A parr dos resulados lusrados as Fguras de a, percebemos que a aálse da MS-esabldade para SLSM va MPC combado com AG MP- CAG, gerou resulados sasfaóros quado comparado, em ermos de erações e empo compuacoal, à aálse do mesmo problema va Programação Lear (PL). O MPCAG aplcado ao SLSM (5), quado comparado ao MPC, mosrou-se mas efcee, em ermos de marz P. Resulados mas sasfaóros podem ser agdos com a mapulação dos parâmeros do AG, como amaho da população, axa de crossover e axa de muação. Vale ressalar que a rodução de uma úca marz Q Q 0 o eorema 3 reduz o cuso compuacoal quado comparado à resolução do mesmo problema com o uso das equações de Lyapuov-Mezler ( Q Q 0 ). As fguras com a evolução de cada algormo foram geradas aravés do sofware MALAB. 6 Coclusão ese rabalho, propomos um algormo híbrdo: uma combação do MPC com um AG, para aálse da MS-esabldade de ssemas leares a salos markovaos em empo coíuo. Uma pesqusa bblográfca fo realzada e ão se cosaou rabalhos desevolvdos acerca do ema. Desse modo, para compararmos a efcêca do MPCAG prmeramee mplemeou-se o MPC va Smplex. Boyd, S.P. El Ghaou, L. Fero, E ad Balakrsha, V. (994). Lear Marx Iequales Sysem ad Corol heory, SIAM, Phladelpha, PA. Campoogara, E. (006). Méodos de omzação: eora e práca. Deparameo de Auomação de Ssemas UFSC. Cosa, O.L.V. ad Marques, R. (004). Commes o sochasc sably of ump lear sysems, IEEE ras. Auoma. Corol 49: El Ghaou, L. ad Ram, M. (996). Robus saefeedback sablzao of ump lear sysems va LMIs. Ieraoal Joural of Robus olear Corol, pp Egelbrech, A. P. (007). Compuaoal ellgece: a roduco - d ed., Joh Wley & Sos. de Souza, V. M. (007). Markova Jump Lear Sysems Va Covex Opmzao. Docoral Dsserao, Dparmeo d Eleroca e Iformazoe Polecco d Mlao. de Souza, V. M. ad Colaer, P. (007). Some rece resuls o almos sure savly of couous-me markov ump lear syems. Proc. Of he 6 h Cogress of Logc Appled o echology, LAPEC, Saos, Brasl. Fag, Y. ad Loparo, K. (00). Sochasc sably of ump lear sysems. IEEE ras. Auoma. Corol 47: Feg, X. Loparo, Y. ad Chzeck, H. (99). Sochasc sably properes of ump lear sysrems, IEEE rasacos o Auomac Corol 37(): Ferrera, J. D. (994). Aálse e Corole de Ssemas Leares va Desgualdades Marcas Leares. Dsseração de Mesrado, Deparameo de elemáca Ucamp.