TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL COM DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM WEIBULL E WEIBULL INVERTIDA

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1 TST VI SQÜNCI CM ISTRIBUIÇÕS MSTRGM WIBU WIBU INVRTI ael I. e Souza Jr. Resumo: mecasmo de ese de vda seqüecal represea uma suação de ese de hpóese a qual é omada uma decsão de se acear ou se rejear uma hpóese ula, a qual se acreda ser a verdadera, ou eão se couar amosrado. dsrbução Webull Iverda em sdo ulzada em esmação Bayesaa represeado a formação dspoível sobre o parâmero de forma de um modelo de amosragem Webull (ro []; e Souza e amberso []). la fo ambém empregada como a dsrbução de amosragem de um ese de vda seqüecal por e Souza [3]. Tal como o modelo Webull, possu dos parâmeros, um de forma e um de escala. de localzação é cosderado ser gual à zero. Isso sgfca que o produo poderá vr a falhar o momeo em que é colocado em uso. modelo Webull em sdo largamee ulzado como dsrbução de falhas, prcpalmee para compoees mecâcos e mealúrgcos (e Souza 997 [4], 999 [5], [6] ad [7]). coece que quado o seu parâmero de forma for maor do que see, a curva Webull se ora aceuadamee em forma de pco, resulado com sso dfculdades compuacoas (precsão) o cálculo dos valores da caracerísca de eresse de um compoee sedo esado. m suações como essa, a dsrbução Webull Iverda parece forecer uma melhor resposa ao problema de precsão apreseado pelo modelo Webull. Nesse rabalho remos aalsar essa possbldade e aplcaremos os mecasmos de ese de vda seqüecal dervados aerormee por e Souza [3] e [6], os quas as dsrbuções de amosragem foram, respecvamee, os modelos Webull Iverdo e Webull. Um exemplo rá lusrar a suação proposa. Palavras-chave: Modelos Webull e Webull Iverdo, Tese de Vda Seqüecal, Tese de Hpóeses, Parâmeros de Forma e de scala. bsrac: The sequeal lfe esg approach s a hypohess esg suao whch a decso s made abou accepg, rejecg or coug samplg as observaos become avalable. The Iverse Webull dsrbuo was derved by Pascoal ro []. I has bee used Bayesa relably esmao o represe he formao avalable abou he shape parameer of a uderlyg Webull samplg dsrbuo (ro []; e Souza & amberso []). I has a locao, a scale ad a shape parameer. I has bee also used before a sequeal lfe esg suao by e Souza [3]. The Webull dsrbuo s wdely used as a falure model, parcularly for meallurgcal ad mechacal compoes (e Souza 997 [4], 999 [5], [6] ad [7]). I also has a locao, a scale ad a shape parameer. I happes ha whe s shape parameer value s greaer ha 7, he Webull curve becomes hghly poed, resulg some compuaoal dffculy (accuracy) calculag he compoe s characersc of eres values. I suaos where he shape parameer values of he Webull dsrbuo are above 7, he Iverse Webull dsrbuo seems o have a beer aswer o he accuracy problem preseed by he Webull model. I hs work we wll aalyze hs possbly ad we wll apply sequeal lfe esg approaches derved before by e Souza [7] ad [6], whch he uderlyg samplg dsrbuos were, respecvely, he Iverse Webull ad Webull models. example wll llusrae he applcao of a sequeal lfe esg approach whe he uderlyg samplg dsrbuos are he Iverse Webull ad Webull models. Key-words: Webull ad Iverse Webull models, Hypohess Tesg, Sequeal fe Tesg, Shape ad Scale Parameers. UFF-TC e UNF-g. de Produção. Uversy of Florda, Idusral ad Sysems geerg ep. NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr. 4 8

2 . INTRUÇÃ dsrbução Webull em sdo muo ulzada como modelo de falhas, prcpalmee para compoees mecâcos e mealúrgcos (e Souza [4], [5], [6] ad [7]). la possu um parâmero de forma e um de escala. parâmero de localzação é cosderado ser gual à zero. Isso sgfca que o produo poderá vr a falhar o momeo em que é colocado em uso. coece que quado o seu parâmero de forma for maor do que see, a curva Webull se ora aceuadamee em forma de pco, resulado com sso dfculdades compuacoas (precsão) o cálculo dos valores da caracerísca de eresse de um compoee sedo esado. m suações as quas os valores do seu parâmero de forma forem superores a see, como o exemplo apreseado esse rabalho, a dsrbução Webull Iverda parece forecer uma melhor resposa ao problema de precsão apreseado pelo modelo Webull. Fgura () abaxo apresea as curvas de cofabldade para os modelos Webull Iverdo e Webull em uma suação a qual os parâmeros de forma () de ambas as dsrbuções possuem o mesmo valor de 8,8 e ambos os parâmeros de escala () apreseam um valor de 45 horas. fução desdade Webull é dada por exp () ;, > f dsrbução Webull Iverda em sdo ulzada em esmação Bayesaa represeado a formação dspoível sobre o parâmero de forma de um modelo de amosragem Webull (ro []; e Souza e amberso []). la fo ambém empregada como a dsrbução de amosragem de um ese de vda seqüecal por e Souza [3]. Possu dos parâmeros, um de forma e um de escala. Como o caso do modelo Webull, o seu parâmero de localzação é cosderado ser gual à zero. sua fução desdade é dada por f + exp () ;, > s suações de ese de hpóeses serão dadas por. Para o parâmero de escala : CURVS CNFIBII H : ; H : < C N F I B I I Webull Iverda Webull probabldade de se acear H será dada por (-), o caso de. gora, caso ode <, eão a probabldade de se acear H erá um valor bem pequeo.. Para o parâmero de forma : TMP TÉ FH - HRS H : ; H : < Fgura. Curvas de cofabldade para as dsrbuções Webull Iverda e Webull. probabldade de se acear H será ovamee dada por (-), caso. No caso de ode <, eão a probabldade de se acear H erá mas uma vez um valor bem pequeo. NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr. 4 9

3 NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr TST SQÜNCI Como já fo aerormee mosrado por Kapur e amberso [8] e ambém por e Souza [6], o desevolvmeo de um ese de vda seqüecal ulza a relação probablísca seqüecal (RPS). e acordo com e Souza [3], para o modelo Webull Iverdo de dos parâmeros, essa relação será dada por RPS exp regão coíua o ese é dada por < SPR < B, ode /(-) e com B (-)/. hpóese ula H será acea se SPR B e será rejeada o caso de SPR. gora, se <SPR< B, faremos mas uma observação. ogo, eremos < exp < (3) Ulzado-se o logarmo aural em cada um dos ermos da equação acma, oberemos l l < X < l + l (4) X + l (5) e acordo com e Souza [6], para o modelo Webull, a relação probablísca seqüecal (RPS) será dada por RPS exp Novamee, a regão coíua o ese é dada por < SPR < B, ode mas uma vez /(-) e B (-)/. hpóese ula H será acea se SPR B e será rejeada o caso de SPR. gora, se <SPR< B, oberemos mas uma observação. ogo, eremos < exp < Ulzado-se ovamee o logarmo aural em cada um dos ermos da equação acma, oberemos l l < X < l + l (6)

4 X + ( ) ( ) l (7) 3. XMP Um produo elerôco será submedo a um ese de vda seqüecal. Como esse é um produo bem cohecdo, sabe-se que o mesmo poderá ser represeado pelas dsrbuções de amosragem Webull Iverda e Webull, possudo ambas valores para o parâmero de escala de 4 horas e para o parâmero de forma de 9,. scolheu-se para o valor de,5 e para o valor de,. sses valores de e de foram eão selecoados como sedo os valores para os parâmeros da hpóese ula, ou seja, 4 horas; 9,. scolheu-se a segur os valores de 49 horas e de para os parâmeros da hpóese alerava. ogo, ulzado-se as equações (4) aé a (7), eremos: l l Para o modelo Webull Iverdo: ( 49) 8, 4 9, 4 9, 3,683,89 ( 49) 8, 4 9, 4 9, 3,683 +,5 X, l,5,5 + l, 9, ( 49) ( 4) 9, + +, l( ). ogo 3,683,89 < X < 3,683 +,5 bem-se agora uma amosra. processo é eão defdo pelas segues regras:. Se X 3,683 +,5, acearemos H.. Se X 3,683,89, rejearemos H. 3. Se 3,683,89 < X < 3,683 +,5, faremos mas uma observação. Nesse exemplo, fo ecessáro se esar apeas 6 es para obermos a decsão de acearmos a hpóese ula H. s empos de falhas (horas) desses 6 es foram: 467,; 474; 4,; 45,; 446,93 e 433,5 horas. Tabela () e a Fgura () segues apreseam os resulados desse ese de vda. Tabela Resulados do ese de vda seqüecal para a dsrbução Webull Iverda Iem N o me Iferor me Superor Valores de X 6,583,3773 3,7968,466 5,56 7, ,7749 8,6339 9,36 4 7,43,6,733 5,35 5,895 6,9 6 4,6598 9,588 8,799 V R S X CIT Ho RJIT Ho NÚMR ITNS TSTS Fgura. Resulados do ese de vda seqüecal para a dsrbução Webull Iverda. Para o modelo Webull: 9, 4 8, 4 (,) l l 49 9,,5 NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr. 4 3

5 3,4464,89 l 9, ( 4) 8, ,,5 + l, 3,4464 +,5 9, X + 9, ( 49) ( 4) + ( 9, ) l Ulzado-se agora os 6 es obdos esse exemplo, eremos. Se X 3,4464 +,5, acearemos H.. Se X 3,4464,89, rejearemos H. 3. Se 3,4464,89 < X < 3,4464 +,5, faremos ovamee mas uma observação. Tabela () e a Fgura (3) segues apreseam o resulado desse ese de vda. Tabela - Resulados do ese de vda seqüecal para a dsrbução Webull Iem N o me Iferor me Superor Valores de X,5564 5,6974,935 4,8 9,438 5, ,449,59 9,5795 4,8956 6,366 3, ,34 9,483 6,69 6 7,7884,994,4967 V R S CIT Ho RJIT Ho Nesse caso, mesmo após a observação de 6 es, ão fo possível se chegar a uma decsão de se acear ou se rejear a hpóese ula H ulzado-se a dsrbução de amosragem Webull. À medda que o valor do seu parâmero de forma aumea ( > 7), a curva Webull ede a uma forma de pco, resulado com sso dfculdades compuacoas (precsão) o cálculo dos valores da caracerísca de eresse de um compoee sedo esado. Nesse poo, decdu-se ober mas formações sobre o produo sedo esado aravés da realzação de ovas observações, aé se agr o poo o qual sera possível se omar uma decsão sobre a aceação ou pela rejeção da hpóese ula H. Tabela (3) e Fgura (4) segues apreseam o resulado fal desse ese de vda. Tabela 3 Resulado fal do ese de vda seqüecal para a dsrbução Webull Iem N o me If. me Sup. Valores de X Tempo e Falhas (Horas),5564 5,6974, , 4,8 9,438 5, ,449,59 9,5795 4, 4,896 6,37 3,39 45, 5 4,34 9,483 6,6 446,93 6 7,788,99, ,5 7,35 6,376 3, ,6 8 4,68 9,8 7,767 4,6 9 8,8 33,69 9,45 493, 3,574 36,75 33,43 44,6 35, 4,6 37,555 39, ,68 4, 33, 3 4,93 47,54 45,6 45, 4 45,36 5,5 49,89 4, ,86 53,947 54,88 396,6 X NÚMR ITNS TSTS Fgura 3. Resulados do ese de vda seqüecal para a dsrbução Webull. NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr. 4 3

6 V R S X CIT Ho RJIT Ho NÚMR ITNS TSTS da aplcação dos modelos Webull e Webull Iverdo de rês parâmeros será apreseado em um próxmo argo. evdo ao úmero pequeo de observações ecessáras para a sua ulzação, o mecasmo de ese de vda seqüecal represea uma alerava araee ao da ulzação de um ese de vda com um amaho de amosra fxo, especalmee quado as dsrbuções de amosragem forem os modelos Webull Iverdo e Webull. 6. RFRÊNCIS Fgura 4. Resulado fal do ese de vda [] ro, Pasquale. 98. New Praccal seqüecal para a dsrbução Webull. Bayes smaors for he -Parameer 4. CNCUSÕS Webull srbuo, I mecasmo de ese de vda Trasacos o Relably, Vol. R-3, seqüecal desevolvdo esse rabalho N o, Jue 98, pp , US. forece regras para se rabalhar com a [] e Souza, ael I. & amberso, hpóese ula H em suações as quas eoard R Bayesa Webull as dsrbuções de amosragem são os Relably smao, II Trasacos, modelos Webull Iverdo e Webull. 7(3):. 3-3; US. pós a aálse de cada observação, [3] e Souza, ael I.. Trucao poderemos acear ou rejear a hpóese Mechasm a Sequeal fe Tesg ula H ou ada ober mas uma pproach wh a Uderlyg Twoobservação. No exemplo apreseado Parameer Iverse Webull Model, esse argo, quado a dsrbução de CMM Coferece, drew amosragem era o modelo Webull G. Sarr ad Raj B. K. Rao (eds), Iverdo, fo ecessáro se aalsar Macheser, U.K., 4 6 Sepember, apeas 6 es do produo elerôco para 89 86, lsever Scece. se chegar a uma decsão de se acear a [4] e Souza, ael I Coss hpóese ula H. Quado a dsrbução ssocaed wh fe Tesg, Trucaed de amosragem era o modelo Webull, fo fer he ccurrece of a Predeermed ecessáro se aalsar 5 udades do Number r of Falures. I dvaces produo elerôco para se ober a decsão Safey & Relably, Proceedgs of he de se acear a hpóese ula H. À SR 97 Ieraoal Coferece o medda em que o valor do seu parâmero Safey ad Relably, sbo, Porugal, de forma aumea ( > 7), a curva 7- Jue 997, 3:93-9, New Webull se ora aceuadamee em York: lsever Scece. forma de pco, resulado com sso [5] e Souza, ael I Sequeal dfculdades compuacoas (precsão) lfe esg wh a uderlyg Webull o cálculo dos valores da caracerísca samplg dsrbuo. I Safey ad de eresse de um compoee sedo Relably, Schuëller & Kafka eds., esado. evdo à coceração de Proceedgs of he SR 99 desdade que se observa essas Ieraoal Coferece o Safey ad suações de pco, qualquer aproxmação Relably, Garchg, Germay, 3-7 o cálculo da caracerísca de eresse Sepember 999, : , Roerdam,: poderá resular em erros compuacoas Balkema. cosderáves. Isso sugere que para [6] e Souza, ael I.. Furher valores do parâmero de forma Thoughs o a Sequeal fe Tesg superores à 7, o modelo Webull pproach Usg a Webull Model, Iverdo deva ser ulzado como a Foresgh ad Precauo, SR dsrbução de amosragem. Um exemplo NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr. 4 33

7 Coferece, Coam, Harvey, Pape & Ta (eds), dburgh; Scolad; 4 7 May ; : , Roerdam,: Balkema. [7] e Souza, ael I.. Sequeal fe Tesg wh a Trucao Mechasm for a Uderlyg Webull Model, Towards a Safer World, SR Coferece, Zo, emchela & Pcc (eds), Toro, Ialy, 6 Sepember ; 3: , Polecco Toro. [8] Kapur, Kalash & amberso, eoard R Relably geerg esg. New York: Joh Wlley & Sos, Ic. NGVIST, v. 6,., p. 8-34, abr. 4 34