2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

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1 MODELO DE APOIO À DECISÃO PARA UM PROBLEMA DE POSICIONAMENTO DE BASES, ALOCAÇÃO E REALOCAÇÃO DE AMBULÂNCIAS EM CENTROS URBANOS: ESTUDO DE CASO NO MUNICÍPIO DE SÃO PAULO RESUMO Ese argo apresena uma proposa de modelo maemáco para o problema de localzação de bases de aendmeno emergencal, alocação de ambulâncas a essas bases em múlplos períodos de empo num horzone de planeameno defndo e realocação das vauras enre períodos subsequenes. Esse problema é relevane para planeameno de ssemas de aendmeno emergencal em grandes cenros urbanos, nos quas exsem varações das condções de ráfego e da concenração de pessoas em dferenes locas ao longo do da, fazendo com que os ssemas emergencas nesses locas precsem ser dnâmcos o sufcene para acompanhar essas varações. Como obevo em-se a maxmzação de probabldade de aendmeno de um deermnado chamado denro de um empo máxmo de coberura pré-defndo. Nese argo ambém é apresenada uma aplcação práca do modelo no ssema de ambulâncas do muncípo de São Paulo. O ssema é analsado ulzando o modelo maemáco como uma ferramena de apoo à decsão. ABSTRACT In hs arcle a mahemacal formulaon for he problem of base locaon, ambulance allocaon and relocaon n mulple perods of me n a plannng horzon s proposed. Ths problem s relevan for emergency sysems plannng, especally n large urban ceners where raffc condons and populaon's concenraon change durng he day. These characerscs resul n he necessy for hose sysems of beng dynamc enough o follow he cy condons n erms of raffc and demand. The obecve of he model f o maxmze he probably of one deermned call s served whn a gven coverng me. Ths paper also presens a case sudy regardng São Paulo s emergency sysem. The sysem s analyzed usng he mahemacal model as a decson adng ool.

2 1. INTRODUÇÃO O servço de aendmeno urgênca, ou emergênca, compreende os prmeros socorros e a remoção de pacenes sueos a acdenes, raumas e ouras ocorrêncas médcas que podem represenar rsco a vdas humanas. Busca-se oferecer um servço que maxmze a probabldade de sobrevvênca dos socorrdos, desde o aconecmeno da suação de rsco aé a enrada do pacene a uma undade de saúde especalzada. Todo o rabalho é realzado por veículos de ranspore e supore à vda. As chances de sobrevvênca de um ndvíduo que necessa de aendmeno emergencal, devdo a acdene ou oura ocorrênca, aumenam com a dmnução do empo de resposa, que é o empo gaso enre o aconecmeno do acdene e o momeno da chegada de uma vaura de socorro. Uma pare mporane dese empo é o empo de deslocameno da vaura de uma base aé o local da ocorrênca. Um requso mporane desses ssemas é o planeameno da malha de aendmeno, defnda pelas localzações das bases de veículos e pelas vauras de aendmeno, que por sua vez mpaca o empo de deslocameno enre as vauras localzadas nas bases e os locas dos acdenes. A operação desses ssemas é anda mas críca em grandes cenros urbanos, nos quas as condções de rânso e os padrões de varação da demanda por aendmeno emergencal resulam numa maor dfculdade de realzar os aendmenos denro de empos de resposa pequenos. Ese rabalho raa do problema de planeameno das localzações de bases e vauras ao longo de um período de planeameno, consderando as caraeríscas dnâmcas de varação espaçoemporal das demandas e dos empos de deslocameno em cenros urbanos, levando em cona ambém aspecos esocáscos do aendmeno emergencal. Mas especfcamene, propõe-se uma ferramena de planeameno, represenada por um modelo maemáco, para os gesores de servços de aendmeno móvel pré-hospalar de urgênca, no que se refere à localzação de bases e à alocação de veículos ao longo de um horzone de empo; ambém chamada de malha de aendmeno. Busca-se com a formulação maemáca, deermnar a malha de aendmeno que maxmza a probabldade de um deermnado chamado ser aenddo denro de um empo de resposa pré-esabelecdo, consderando aspecos dnâmcos e esocáscos do problema de aendmeno emergencal.

3 Essa ferramena consdera explcamene a possbldade de realocações de veículos ao longo do período de planeameno, o que perme à froa acompanhar as varações espaço-emporas dos padrões de demanda e empos de deslocameno enre as dversas pares de uma regão. Ese argo esá organzado da segune forma: a próxma seção corresponde a uma revsão bblográfca de modelos maemácos para problemas de localzação de ambulâncas e nsalações de aendmeno emergencal. A seção rês conempla uma descrção dealhada do problema raado nese argo, bem como a formalzação do modelo maemáco proposo. A seção quaro descreve uma aplcação do modelo maemáco em um esudo de caso no muncípo de São Paulo. Na quna seção são feas algumas conclusões acerca dos resulados obdos no esudo de caso, da valdade do modelo e de possíves frenes de pesqusa fuura. 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os problemas de localzação de veículos para aendmeno de emergêncas ocorrem em muos casos prácos, por exemplo: localzação de veículos do corpo de bomberos, veículos de apoo mecânco, veículos de supore medco e embarcações para aendmeno de acdenes marímos (Medna, 1996). Os problemas de localzação de ambulâncas esão, em geral, defndos em grafos não dreconados com ponos de demanda e ponos canddaos a receberem bases ou vauras (Daskn, 1995). Nos casos reas, a demanda por servços de aendmeno de emergênca é dsrbuída geografcamene numa regão, conudo, na resolução de problemas desse po, o que geralmene se faz é deermnar o nível de agregação de demandas que se desea (por dsros ou por barros, por exemplo) e acumular a demanda de cada subdvsão num únco pono, sendo esse pono raado maemacamene no grafo do problema. Na defnção de problemas de localzação de bases de veículos de emergênca, assume-se que deermnado pono de demanda é cobero se ele pode ser aenddo num nervalo de empo máxmo pré-esabelecdo. Segundo Raagopalan e al. (2008), essa noção de coberura é amplamene acea e nclusve ulzada como meo de defnção de níves de servço. A demanda dos ponos é defnda genercamene como um número de ocorrêncas por undade de empo orgnadas denro do dsro represenado pelo pono. Alguns auores defnem a demanda como um número de ocorrêncas médo omado num horzone de empo

4 sufcenemene grande, ouros anda defnem a demanda como uma frequênca de ocorrêncas compuada num período de análse. O problema de localzação de ambulâncas, um caso mas smples do problema raado nese argo, consdera um conuno de ponos de demanda e um conuno de ponos canddaos dsposos num grafo. Cada arco do grafo enre quasquer ponos e represena o empo de deslocameno enre esses ponos. Os dos prmeros rabalhos enconrados na leraura foram proposos por Toregas e al. (1971) e Church e ReVelle (1974). Nos dos rabalhos defne-se um empo máxmo de aendmeno S, acma do qual uma vaura localzada num pono canddao não consegue cobrr um pono de demanda adequadamene. Em Toregas e al. (1971) o problema é defndo como: enconrar o menor número possível de vauras necessáro para que odos os ponos de demanda seam coberos. O modelo resulane fo denomnado Locaon Se Coverng Model (LSCM), que é o modelo clássco do conuno de coberura aplcado ao caso do posconameno de ambulâncas. Do pono de vsa dos planeadores de ssemas de ambulâncas, a quandade de recursos é lmada e, porano, um parâmero do problema. Uma alernava para a formulação LSCM fo proposa por Church e ReVelle (1974), chamada de Maxmal Coverng Locaon Problem (MCLP). Sendo fxo e conhecdo o número de nsalações que se desea posconar, o MCLP busca maxmzar a demanda cobera por essa quandade pré-defnda. Grande pare do desenvolvmeno poseror dos modelos para o problema de localzação de ambulâncas fo baseado nessas duas defnções. Uma caracerísca da defnção proposa por Toregas e al. (1971) é que, em geral, resula em um número muo grande de vauras, o que do pono de vsa práco é nvável, dadas as resrções orçamenáras dos ssemas de ambulâncas. A defnção proposa por Church e ReVelle (1974) é mas condzene com as resrções enfrenadas pelos planeadores dos ssemas de ambulânca, e como consequênca, os modelos poserormene desenvolvdos aderem mas a essa segunda verene de modelagem. Como aponado por Brocorne e al. (2003), esses modelos maemácos mas angos, proposos para o problema de localzação de ambulâncas consderam defnções muo resras e genércas para o problema. Esses dos modelos foram aprmorados, resulando em

5 modelos deermníscos que consderam aspecos mas realsas do problema, como por exemplo, o fao da localzação de bases ser ndependene da localzação de vauras, ou o fao de exsrem dferenes pos de veículos com empos máxmos de aendmeno dsnos; alguns modelos anda nroduzram o conceo de coberura múlpla que defne um pono de demanda como aenddo, se ele é cobero por mas de uma vaura. Uma formulação que pode ser consderada como exensão do modelo MCLP fo proposa por Schllng e al. (1979), os quas desenvolveram uma modelagem para a localzação de veículos de emergênca de dos níves: báscos e avançados. A formulação proposa pelos auores, denomnada Tandem Equpmen Allocaon Model (TEAM), não dsngue enre a localzação das bases e a localzação dos veículos em s e consdera que um veículo avançado só pode ser posconado num pono canddao caso nesse pono ambém sea posconado um veículo básco. Nessa abordagem, a localzação de bases e veículos é fea de manera conuna, de modo que se um deermnado veículo é localzado num deermnado pono, decorre que nese pono deverá haver uma base para ele. Oura exensão do MCLP ambém desenvolvda por Schllng e al. (1979) é o modelo Facly-Locaon Equpmen-Emplacemen Technque (FLEET), crado para a localzação de bases de undades de combae a ncêndo unamene com dos pos de veículos. Apesar de ser um modelo desenvolvdo para a solução de problemas de localzação de bases e veículos de combae a ncêndos, seus conceos se aplcam ao problema de localzação de ambulâncas. Um pono do modelo FLEET que dfere do modelo TEAM, é que no prmero não exse herarqua enre os veículos, porém é consderada explcamene na modelagem uma herarqua enre as bases e os veículos, ou sea, veículos só podem ser alocados a ponos canddaos que conenham bases. Uma revsão dealhada de ouros modelos deermníscos e probablíscos para o problema de localzação de ambulâncas pode ser enconrada em Schllng e al. (1993). Levando em consderação a esocascdade do processo de geração de demanda e do processo de aendmeno dos acdenados, modelos probablíscos foram ambém proposos com o nuo de aproxmar os modelos maemácos à realdade do problema. Os modelos deermníscos cados não consderam uma caracerísca mporane do problema de localzação de ambulâncas: a possbldade de um pono não ser aenddo, pos o veículo que garana a sua coberura esá alocado a um chamado. Um modelo probablísco que consdera

6 essa suação fo proposo por Daskn (1983), denomnado Maxmum Expeced Coverng Locaon Problem (MEXCLP). A modelagem proposa pelo auor consdera que uma ambulânca genérca possu uma probabldade q de esar ndsponível para aendmeno. Esa probabldade recebe o nome de fração de ocupação (busy fracon). Os auores assumem que cada ambulânca opera ndependenemene das demas e assumem que a fração de ocupação é gual para odas as ambulâncas do ssema e ndependene do esado do ssema, ou sea, ndepende de quanas ambulâncas esão ocupadas no momeno da ocorrênca de uma demanda. O modelo MEXCLP fornece meos para localzar apenas um po de veículo e não consdera a localzação de bases de veículos separadamene. Em Banch e Church (1988), os auores desenvolveram um modelo híbrdo enre os modelos FLEET e MEXCLP, denomnado Mulple cover, One un, FLEET problem (MOFLEET). Esse modelo, além de se raar de uma formulação probablísca para o problema, consdera explcamene a separação enre a localzação de bases e ambulâncas. Conudo, a formulação do MOFLEET não perme a localzação de múlplos pos de veículos, algo que fo desenvolvdo por Jayaraman e Srvasava (1995). Para localzar múlplas nsalações e veículos os auores desenvolveram um modelo probablísco chamado Mulple Equpmen Mulple Cover Facly Locaon Allocaon Problem (MEMCOLA), o qual perme a localzação de bases e dos pos de veículos, cada qual com uma fração de ocupação específca. Ouros modelos probablíscos de localzação de ambulâncas foram proposos por ReVelle e Hogan (1989). Os auores formularam dos modelos chamados Maxmum Avalably Locaon Problem I e II (MALP I e MALP II). Assm como o MEXCLP, o modelo MALP I consdera que a fração de ocupação q é a mesma para odos os ponos canddaos e consequenemene gual e ndependene para odos os veículos. Sendo assm, pode-se calcular o número mínmo de ambulâncas necessáras para cobrr um pono de demanda com uma probabldade α. A formulação do MALP I consdera esse valor explcamene em sua formulação, e busca maxmzar a demanda cobera com uma probabldade α. Na formulação do MALP II, a premssa de frações de ocupação dêncas para odos os ponos canddaos não é omada. Em vez dsso, os auores assocam uma fração de ocupação q para cada pono de demanda, que corresponde à probabldade de uma ambulânca localzada na vznhança do pono esar ocupada, sendo que vznhança do pono é o

7 subconuno de ponos localzados a menos de um rao máxmo de coberura em relação ao pono. Essas frações de ocupação locas proporconam esmavas mas realsas da probabldade de uma ambulânca randomcamene seleconada esar ocupada. Dessa manera, calcula-se para cada pono de demanda um número mínmo de ambulâncas necessáras b para que o pono sea cobero com probabldade α. Um avanço maor nos conceos presenes nos modelos MALP I e MALP II fo proposo por Maranov e ReVelle (1996), que consderam uma vznhança de um pono de demanda como um ssema solado com demandas e servdores funconando num ssema de flas do po M/G/s-loss. São ulzados resulados da Teora das Flas para fornecer melhores esmavas das frações de ocupação q. Esse modelo fo denomnado Queung Maxmal Avalably Locaon Problem (Q-MALP). Uma abordagem probablísca do modelo FLEET ambém fo formulada por ReVelle e Maranov (1991). O Probablsc FLEET model (P-FLEET) procura localzar bases, camnhões e bombas ndependenemene, de manera a buscar uma maxmzação da coberura da demanda com probabldade α. Para cada pono de demanda, calculam-se frações de ocupação locas para os dferenes pos de veículos e, com base nesses valores, calcula-se o número de servdores necessáros para cobrr o pono de demanda com probabldade α, para cada po de veículo. O P-FLEET é um modelo basane compleo e possu uma caracerísca neressane para represenar o problema práco pelo fao de consderar um pono cobero só se o mesmo for cobero com probabldade α por mas de um po de veículo. Ele possu a desvanagem de permr a alocação de apenas um veículo de cada po por base. Os auores apresenam ambém uma formulação alernava para o P-FLEET, denomnada Probablsc Facly-Locaon Equpmen-Emplacemen Technque wh Mulple Co-locaon (P-FLEET- MC), a qual perme relaxar essa resrção permndo a localzação de múlplos veículos por base. Ouras abordagens probablíscas foram proposas baseadas no modelo do Hpercubo (LARSON, 1974) que perme um raameno dealhado das caraceríscas esocáscas do problema. Denre esses város desdobramenos do modelo do Hpercubo desaca-se o rabalho de Baa e al. (1989) que ulzam o modelo proposo por Larson (1974) em conuno com o modelo MEXCLP de Daskn (1983).

8 Nos úlmos anos, avanços na capacdade de processameno de compuadores e o desenvolvmeno de algormos de solução efcenes permram o desenvolvmeno de modelos que consderam caraceríscas dnâmcas do problema, como a varação da demanda e dos empos de deslocameno enre ponos durane um cclo de operação do ssema. Esses modelos, segundo a nomenclaura dada por Brocorne e al. (2003), são os modelos dnâmcos do problema, os quas resulam em planos de localzação e alocação ao longo de horzones de planeameno. Um rabalho que consdera essas caraceríscas fo desenvolvdo por Gendreau e al. (2001), e aende ao problema de realocação de veículos especfcamene. A formulação proposa pelos auores, denomnada Redeploymen Problem (RP) pode ser consderada como uma exensão do modelo DSM (BROTCORNE e al., 2003). Oura abordagem para as quesões de realocação fo proposa por Schmd e Doerner (2010). O modelo formulado fo denomnado pelos auores de Mul-perod Double Sandard Model (mdsm). Traa-se de uma formulação deermnísca mul-período que consdera além das premssas de Gendreau e al. (2001), que dependendo do período consderado, os valores dos empos de vagem são dferenes. Isso reraa condções de ráfego de regões densamene povoadas como grandes cenros urbanos. Assm, os arcos do grafo, no qual o problema de localzação de ambulâncas é defndo, passam a possur parâmeros dnâmcos de vagem enre os ponos e. s de empo 3. CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA E MODELO MATEMÁTICO Os ssemas de ambulâncas são caracerzados pelo despacho de veículos de emergênca, que aendem acdenes, raumas e ouras suações de rsco à saúde e vdas humanas. Busca-se maxmzar a probabldade de sobrevvênca de um ndvíduo acdenado por meo da mnmzação do empo de chegada ao local do acdene, pelo rápdo dagnósco das equpes de resgae que operam as vauras, pela aplcação dos procedmenos médcos correamene e pela mnmzação do empo de ranspore do local do acdene aé o cenro de saúde mas próxmo. Denre esses obevos cados, a mnmzação do empo de chegada se relacona com o planeameno da localzação de bases de aendmeno e com a alocação de vauras a essas bases. Segundo Snger e Donoso (2008), esses ssemas podem ser vsos como ssemas

9 de flas, nos quas os chamados represenam a demanda ou o processo de chegada, e os servdores são represenados pelos veículos e suas equpes. A posção das ambulâncas de um ssema de aendmeno de emergênca mpaca especfcamene o empo de resposa do ssema, sendo um faor que condcona o desempenho do mesmo. Sendo assm, busca-se uma formulação maemáca que represene o problema de enconrar, em város períodos, a localzação de bases, alocação de veículos a essas bases, e as consequenes realocações de veículos enre os períodos que proporcone o maor nível de servço possível, respeando resrções mínmas de vabldade e dsponbldade de recursos (bases e vauras), sendo o nível de servço defndo como a fração da demanda que se espera aender em empos nferores à empos de coberura prédefndos para cada po de veículo do ssema. Oura defnção para o nível de servço é a de coberura esperada, ou probabldade de coberura: dado um empo de coberura para cada po de veículo do ssema, qual a fração da demanda que possvelmene será aendda num empo nferor a ese. Para a caracerzação do problema, deve-se consderar ambém que: () exse uma quandade fna de bases e ambulâncas de dos pos; () cada veículo possu um parâmero de coberura assocado que defne, em ermos emporas, sua capacdade de coberura; () são conhecdas as dsrbuções espaço-emporas das demandas pelos servços de aendmeno de cada po de vaura em uma regão; (v) são conhecdos ambém os padrões de varação dos empos de deslocameno nessa regão; e (v) uma vez que enre períodos subsequenes podem haver realocações de ambulâncas, desea-se ambém mnmzar o empo de percurso dessas realocações de acordo com um faor de proporconaldade. Dessa forma, busca-se enconrar um plano de operação capaz de maxmzar, em múlplos períodos de um horzone de planeameno, a coberura esperada do ssema, e ao mesmo empo capaz de mnmzar as realocações de vauras necessáras enre períodos subsequenes de acordo com um faor de proporconaldade. Esse plano deve respear as resrções: () em odos os períodos, odos os ponos de demanda devem ser coberos por uma vaura de cada po; () em odos os períodos, a quandade de bases e ambulâncas é consane; () em odos os períodos, a quandade de veículos posconados em uma base não deve ulrapassar a capacdade de acomodação de vauras dessa base; (v) o plano de operação deve ser conexo, ou sea, as realocações resulanes no úlmo período do horzone de planeameno devem resular a alocação de vauras do prmero período, sendo cíclco o plano compleo.

10 O problema raado é defndo num grafo G não dreconado, com um conuno de ponos de demanda V e um conuno de ponos canddaos W a receberem bases e veículos; assume-se que W V, o que é verdadero na maora dos casos prácos. Esses ponos consuem uma smplfcação da realdade uma vez que represenam uma deermnada localzação geográfca concenrada em um únco pono. A deermnação do nível de agregação da demanda que resula nos ponos depende da precsão deseada na localzação de bases. Esse nível de agregação dos ponos de demanda é consderado o mesmo para os ponos canddaos. O que defne se um pono é canddao é a sua capacdade de receber uma base de veículos, por exemplo, ponos que represenam dsros com nsalações do corpo de bomberos, hospas próxmos, ou zonas muo soladas e dsanes de um muncípo. São consderados ambém períodos de empo τ={0,1,2,...,,...,t}, sendo a soma dos períodos equvalene ao horzone de planeameno para o qual serão defndas as localzações de bases e alocações de ambulâncas. Para cada período, defne-se deermnscamene o empo de deslocameno enre dos ponos {V W} e {V W}, s. Com sso defne-se o grafo não dreconado G. A ; N V W ; A s V W; V W G N, (1) A formulação é defnda para dos pos de veículos báscos (Basc Lfe Suppor - BLS) e avançados (Advanced Lfe Suppor - ALS). O índce k gual a um é ulzado para represenar veículos do po BLS, e o índce k gual a dos é ulzado para represenar veículos do po ALS. Como condção mínma de desempenho do ssema, desea-se que, em odos os períodos, odos os ponos de demanda possuam pelo menos uma undade BLS localzada num pono canddao a menos de um empo de deslocameno nferor a r 1 ; e desea-se ambém que odos os ponos de demanda possuam pelo menos uma undade ALS localzada num pono canddao a menos de um empo de deslocameno nferor a r 2. Em geral, um ssema de ambulâncas possu mas veículos do po BLS do que ALS, o que resula que na maora dos casos prácos r 1 r 2. Cada pono de demanda possu uma demanda d, em frequênca de chamados por undade de empo, em cada período para cada po de veículo k. Defnem-se ambém os conunos W, V e N conforme as expressões (2), (3) e (4).

11 W s rk ; k {1,2} V s rk ; k {1,2} z V s r ; k {1,2} W (2) V (3) N z k (4) O modelo maemáco em o nuo de localzar, no grafo G, p z bases e alocar, nos dversos períodos de empo, p B ambulâncas báscas e p A ambulâncas avançadas. Consdera-se ambém que em cada pono canddao, em qualquer nsane de empo, não podem ser alocados mas do que C veículos. As bases devem ser localzadas nos ponos canddaos e, em cada período, as vauras devem ser alocadas as bases. Para sso defnem-se as varáves de decsão com as expressões (5), (6) e (7). y x w z z, y e 1, seé abera uma base no ponocanddao W 0, caso conráro w x de acordo número de veículosdo pok posconadosnopono W, noperíodo τ (6 1,seo ponode demanda é cobero por w veículos do pok no período τ 0,caso conráro Smulaneamene à quesão do posconameno de bases e ambulâncas, exse o problema de, sendo dferene a alocação de vauras enre períodos subsequenes, movmenar as vauras enre esses períodos, parndo da alocação de um período para o próxmo de manera a mnmzar o empo oal de percurso de odas as ambulâncas; esse é o problema da realocação. Consderando essa suação defnem-se as varáves de decsão r ' número de veículos k realocados de W para ' W enre os períodos e 1 (8) De manera análoga ao modelo Q-MALP desenvolvdo por Maranov e ReVelle (1996), consderam-se duas vznhanças do pono, defndas para cada parâmero de coberura, r 1 e r 2, ou sea, para cada pono, em cada período de empo e para cada po de veículo defne-se uma vznhança. Adme-se que essas vznhanças funconam como ssemas de flas M/G/s-loss, ou sea, um ssema de flas com s servdores al que: a chegada de clenes ocorre de acordo com um processo de Posson com méda 1/λ, o servço de aendmeno ocorre com um empo defndo segundo uma dsrbução de probabldade genérca com méda 1/μ, e quando um clene enra no ssema e não exsem servdores dsponíves ele não r ' : (5 ) ) (7 )

12 é aenddo e sa do ssema, não havendo a formação de flas. Para cada uma dessas vznhanças, em cada período de empo, é calculada uma fração de ocupação q, que equvale à probabldade de uma ambulânca randomcamene seleconada esar ocupada. Como o modelo raa de dos pos de veículos, para cada pono de demanda em cada período são consderadas duas frações de ocupação: uma referene à coberura por veículos BLS (vznhança relava ao parâmero r 1 ) e oura referene à coberura por veículos ALS (vznhança relava ao parâmero r 2 ). Essas frações de ocupação q, podem ser calculadas r k segundo a expressão (9). 1 zn d W z qr k, (9) 24 y Sendo que é o empo médo de aendmeno em horas, d z é a demanda, expressa em chamados por da, do pono z por veículos do po k durane o período, e y é a quandade de veículos do po k localzados no pono no período. O dvsor 24 serve apenas para compablzar a undade de empo da demanda e do empo de aendmeno. Consderando que a soma das demandas, expressas em frequêncas de chamadas por da, é equvalene a uma axa de geração de clenes e que o nverso do empo médo de aendmeno, defndo em horas, é equvalene a uma axa de aendmeno de servdores em ssemas de flas, o quocene enre eles é análogo a uma axa de congesonameno do ssema. Além dsso, reescrevendo o somaóro de y em odos os ponos canddaos W como uma varável b z que represena a quandade oal de ambulâncas do po k localzadas no período de empo na vznhança expressão (10). W do pono, a expressão (11) pode ser reescra conforme a q r, W 1 y 1, b k k, (10) Essas axas de congesonameno são ulzadas, consderando o modelo de flas M/G/sloss para a vznhança W do pono, para calcular a probabldade de um servdor seleconado randomcamene esar ocupado. Consderando uma axa genérca de congesonameno ρ de um ssema de flas M/G/s-loss, a probabldade p(w) de w servdores esarem ocupados é dada pela expressão (11).

13 w p 1 1 w w! w ! (11) 2 w! Com a expressão (11) é possível calcular, num ssema de flas, a probabldade de aendmeno E(w), que é smplesmene a probabldade complemenar de p(w), represenando a probabldade de haver ao menos um servdor dsponível no momeno de ocorrênca de uma demanda. Assm, a coberura ncremenal E w w 1 p (12) w C obda por haver w ao nvés de (w-1) veículos aendendo chamados denro do ssema pode ser obda de acordo com a expressão (13), que desenvolvda algebrcamene, consderando especfcamene as vznhanças coberuras ncremenas 1 w 1! w C dadas pela expressão (14). w1 k 2 1, k, ! 1 w 1! w Ew 1 W, resula nas (13) C w E w1 1 w 1 k, w! k 2 1, 1 k,... Além dsso, segundo os conceos dos modelos MALP I e II proposos por ReVelle e Hogan (1989), pode-se calcular com o uso da expressão (11) a quandade 2! w! w C w, (14) M que é a quandade mínma de veículos do po k de modo que a probabldade de odos os veículos desse po esarem ocupados na vznhança M do pono no período sea nferor a (1-α). 1 M M! 1 p M 1 (15) M ! M! Assm, consderando odos os ponos de demanda do conuno V, odos os períodos do conuno τ e os dos pos de veículo, k=1 e k=2, que defnem dos pos de vznhança, é possível calcular a coberura esperada em um ssema de aendmeno emergencal pela expressão (16). 2 M k, k1 V w0 d C w, x w, (16)

14 Vale ressalar que a coberura esperada do ssema, dada pela expressão (16), é lmada superormene pelo produo enre a demanda oal do ssema e a probabldade α, uma vez que a quandade w de ambulâncas do po k que cobrem um pono em um período de empo é sempre menor ou gual a M. O modelo proposo busca maxmzar a coberura esperada do ssema, calculada conforme a expressão (16), ao mesmo empo em que busca mnmzar o empo oal de realocação de vauras enre períodos subsequenes. Esse empo oal de realocação, que depende dos empos de deslocameno expressão (17). s e das varáves de decsão r ', pode ser calculado segundo a 2 W ' W k1 s ' r' (17) O modelo maemáco para o problema de localzação de bases, alocação de ambulâncas em múlplos períodos e realocação enre períodos subsequenes, proposo nese argo, pode ser defndo conforme as expressões (18) a (32). A sua resolução perme deermnar um plano de operação num horzone pré-defndo de empo, ou sea, resula na localzação de bases que deve ser esabelecda, na alocação de vauras que vara nos múlplos períodos de empo e nas realocações necessáras enre períodos subsequenes. Sueo a: k, 2 M 2 w, w, [max] d C x s ' r' (18) k 1 V w 0 W ' W k 1 k, W y 1, V,, k {1,2} (19) x k, M w, y x, V,, k {1,2} (20) k, W w0 x,, V,, k {1,2}, w {1,2,..., M } (21) w, w1 pk z y, W,, k {1,2} (22) ( 1) y r r y, W, { T}, k {1,2} (23) W W T kt kt 1 y r r y, W, k {1,2} (24) W W W z p z (25)

15 W W 1, y pb, 2, y pa, 1, 2, y y C, W, (26) (27) (28) y k, 0 nero, W,, k {1,2} (29) x w {0,1}, V,, k {1,2}, w {0,1,2,..., M } (30) z { 0,1}, W (31) r ' k, 0 nero, (, ') W,, k {1,2} (32) A função obevo (18) busca a maxmzação da coberura esperada para os ponos de demanda em odos os períodos de empo, ao mesmo empo busca mnmzar as realocações de veículos de manera proporconal à dsânca de realocação, sendo a consane de proporconaldade gual ao parâmero β. Para um dealhameno sobre o parâmero de proporconaldade do empo oal de realocação β sugere-se consular Schmd e Doerner (2010). A resrção (19) assegura o nível de servço mínmo do ssema, ou sea, garane que em odos os períodos, odos os ponos de demanda devem er pelo menos uma ambulânca BLS alocada a uma base a menos de um rao de coberura r 1, e ambém pelo menos uma ambulânca ALS alocada a uma base a menos de um rao de coberura r 2. As expressões (20) e (21) garanem conssênca das defnções das varáves de decsão w x e y. As resrções (22) esabelecem que veículos só podem ser alocados a ponos canddaos que conenham bases localzadas neles. As resrções (23) e (24) são equvalenes a equações de balanceameno de fluxo de ambulâncas numa base. Elas garanem a conssênca na defnção das realocações, de modo que em um deermnado período, a quandade de vauras do po k alocadas em uma base localzada em um deermnado pono é gual a quandade de vauras k nese pono no período aneror, mas a quandade de vauras do po k realocadas de ouras bases para essa base no período aneror, menos o número de vauras do po k realocadas dessa base para ouras bases no período aneror. Vale ressalar que as resrções (24) garanem uma connudade do plano de operação resulane da solução do modelo maemáco, de manera

16 que a realocação do úlmo período =T deve resular na alocação do prmero período do plano de operação =1. As resrções (25), (26) e (27) são, respecvamene, as resrções da quandade de bases que devem ser localzadas, e as resrções das ambulâncas báscas e avançadas que devem ser alocadas ao longo dos períodos. As resrções (28) lmam, para odos os períodos, a quandade de veículos que pode ser alocada em uma deermnada base. O domíno das varáves de decsão é defndo pelas equações (29), (30), (31) e (32). Na expressão (1) o grafo G fo defndo consderando os empos de deslocameno como grandezas deermníscas e conhecdas a pror. Uma abordagem alernava, como apresenado em Maranov e ReVelle (1996), sera a consderação de empos de deslocameno como varáves aleaóras com dsrbução de probabldade conhecda; dessa forma os empos de deslocameno enre os ponos do grafo podem ser defndos consderando um nível de confança δ. Pode-se lusrar essa defnção probablísca dos empos de deslocameno assumndo que cada varável s sga uma dsrbução normal com méda s e desvo padrão ; sendo que os empos de deslocameno podem ser defndos de acordo com a expressão (33). s* s z (33) Tal que z δ é o valor da função cumulava normal de probabldade que sasfaz o nível de confança δ. Essa defnção dos empos de deslocameno é esendda à defnção dos conunos de ponos W, V e N.. W V W s * s z. rk ; k {1,2} V s * s z. rk ; k {1,2} (34) (35) N z V s * s z. rk ; k {1,2} (36) A consderação de empos de deslocameno deermníscos ou probablíscos não alera o resane do modelo, mpacando somene no cálculo de s e na defnção dos conunos. O modelo pode ser consderado orgnal no sendo em que não há ouro dênco na leraura. Porém, ele pode ambém ser vso como uma exensão do modelo Q-MALP proposo por Maranov e ReVelle (1996), ulzando alguns dos conceos apresenados em Schmd e

17 Doerner (2010) relavos à realocação das ambulâncas, apresenando as segunes conrbuções: () consderação de múlplos períodos de planeameno e consequene consderação do problema de realocação enre períodos subsequenes, () consderação da caracerísca dnâmca da quesão, no sendo em que as demandas e empos de deslocameno são dferenes para cada período, () dsnção enre a localzação de bases e a alocação de vauras, (v) consderação de múlplos pos de veículos e dferenes raos de coberura para cada um e (v) consderação de resrções de capacdade nas bases. Maores dealhes sobre o modelo maemáco podem ser enconrados em Andrade (2012). 4. APLICAÇÃO DO MODELO O modelo maemáco proposo fo aplcado para avalação e melhora do Ssema de Aendmeno Móvel Pré-hospalar de Urgênca do muncípo de São Paulo (SAMU-SP), sendo sua solução realzada por um algormo de solução baseado na mea-heurísca de Colôna Arfcal de Abelhas proposo por Andrade (2012). O muncípo apresena um alo adensameno demográfco nas regões cenras durane os períodos durnos, sendo esse adensameno dsrbuído nos períodos nournos, além dsso, a malha vára da cdade daramene apresena congesonameno de veículos. O SAMU-SP cona com 140 vauras dvddas enre vauras báscas (BLS) e avançadas (ALS). São empregadas bases fxas e bases móves de aendmeno. As bases fxas são edfcações alugadas espalhadas na cdade ou ceddas por ouros órgãos públcos como esações do corpo de bomberos e hospas. As bases móves, ou bases modulares, são edfcações de monagem e desmonagem rápda (cerca de dos das) que fcam localzadas em geral em praças ou qualquer local públco. Uma das fnaldades báscas das bases móves é assegurar aendmeno a evenos especas com grande concenração de pessoas como, por exemplo, evenos esporvos; conudo, sua rapdez de monagem e desmonagem, faz com que seam ambém uma opção para as bases fxas. Nesa aplcação, a cdade fo dvdda em 96 dsros, odos canddaos a receberem bases e vauras, que represenam os ponos de demanda e consequenemene os nós da rede de aendmeno, sendo que 47 desses dsros conêm bases fxas de aendmeno e ouros see dsros coném bases móves; conudo exsem ao odo 13 bases móves que são empregadas pelo SAMU-SP. Ressala-se que nesse esudo de caso foram denfcados dsros conendo mas de uma base, resulando que o número oal de bases do SAMU-SP é dferene do

18 número de dsros que conêm bases consderando a confguração aual. Fo consderado um horzone de planeameno de uma semana dvddo em 21 períodos (3 períodos ao longo de 7 das). O procedmeno de recebmeno e ragem de chamados do SAMU-SP não dsngue enre chamados que necessam de vauras do po básco e chamados que necessam de vauras do po avançado; assm, as demandas foram defndas apenas em relação a um po de veículo; o mesmo fo feo com relação aos empos de coberura r 1 e r 2 do modelo maemáco, ou sea, fo fea uma smplfcação do modelo consderando apenas um parâmero de coberura c. endo em vsa a não dsponbldade de dados das demandas de chamados por po. Incalmene, fo fea uma avalação da confguração aual do ssema de aendmeno do SAMU-SP, no que dz respeo à localzação de bases. Foram realzadas enavas de solução do problema consderando a confguração aual de bases, varando o empo de coberura, enre 15 e 30 mnuos, e assumndo valores de duas, rês e quaro horas para o empo de aendmeno. Consaou-se que a confguração aual apresena soluções váves apenas a parr de um empo de coberura de 27 mnuos. Uma possível melhora sera um melhor emprego das 13 bases móves que o SAMU-SP á possu. Foram realzados eses consderando as 47 localzações das bases fxas auas e as localzações das see bases móves auas, sendo que a localzação das ouras ses bases móves fo deermnada pela solução do modelo maemáco. Os resulados são apresenados na Fgura 1 e mosram que o reposconameno de ses bases do SAMU-SP pode dmnur o empo máxmo de coberura do ssema de 27 para 16 mnuos com probabldade superor a 99%. Isso sgnfca uma melhora de desempenho apenas com o melhor emprego dos recursos auas. Além dessa avalação do ssema aual, foram realzadas ouras análses varando a quandade de bases e ambulâncas do ssema e os empos de coberura e de aendmeno. Para essas análses, foram consderados dos pos de cenáro, um que consdera as 47 localzações de bases fxas auas, denomnadas de nsâncas de ese não lvres; e ouro que consdera 100% das bases como móves, denomnado de nsâncas de eses lvres podendo ser posconadas lvremene pela solução do modelo maemáco. Foram esadas nsâncas

19 consderando empos de coberura de 15, 10 e cnco mnuos, e empos de aendmeno de duas, rês e quaro horas; nese argo são apresenados apenas os resulados mas relevanes. Fgura 1: Resulados da avalação de melhora da confguração aual de bases do SAMU-SP A Fgura 2 apresena os resulados consderando a suação de eses não lvres, e um empo de coberura de 15 mnuos. Observa-se que exsem soluções váves para o problema mesmo consderando pequenas quandades de bases e ambulâncas; porém, com coberura esperada da ordem de 80% a 85%, dependendo do número de bases. Também é possível verfcar que, para odas as curvas apresenadas, os ganhos margnas de coberura obdos com o aumeno da quandade de ambulâncas no ssema são decrescenes com a quandade de vauras. Essa consaação esá de acordo com as afrmações de Daskn (1983). Além dsso, é possível verfcar que a parr de 100 ambulâncas no ssema, ndependenemene da quandade de bases, o aumeno no número de vauras conrbu pouco para o aumeno de coberura esperada. A Fgura 3 apresena uma comparação enre os resulados das nsâncas de eses lvres e não lvres consderando um empo de coberura de 10 mnuos e um empo de aendmeno de duas horas. Pode-se observar que soluções váves para as nsâncas não lvres são enconradas com uma quandade de bases a parr de 80 e uma quandade de ambulâncas a parr de 70. No caso ds nsâncas lvres, é possível enconrar soluções váves com uma menor quandade de bases e ambulâncas; são enconradas soluções com 70 bases e 70 ambulâncas. Esse resulado evdenca que exsem vanagens em consderar 100% das bases móves, podendo ser posconadas em qualquer dsro.

20 Fgura 2: Resulados das nsâncas de ese não-lvres consderando 15 mnuos como empo de coberura e duas horas como empo de aendmeno Os resulados consderando um empo de coberura de 5 mnuos apresenam soluções váves apenas com 96 dsros coberos por bases, ou sea, soluções em que odos os dsros conêm bases; dessa forma, ndepende se a nsânca consdera 100% das bases como móves ou não. Os resulados mosram que é possível enconrar soluções, consderando um empo de aendmeno gual a duas horas e com 140 ambulâncas, com coberura superor a cerca de 92%. Fgura 3: Comparação enre os resulados das nsâncas de eses lvres não-lvres consderando 10 mnuos como empo de coberura e duas horas como empo de aendmeno

21 5. CONCLUSÕES Nese rabalho fo proposo um modelo maemáco nédo para o problema denomnado nese argo de Problema de localzação de bases, alocação de veículos em múlplos períodos, e realocação enre períodos subsequenes. Esse modelo abrange os segunes ponos do problema de planeameno de ssemas de aendmeno emergencal: deermnação do posconameno de bases e da correspondene alocação de veículos fea de forma ndependene, possbldade de consderação de mas de um po de veículos para dferenes pos de demanda, dferenes empos de coberura para cada po de veículo, consderação de capacdade de acomodação de vauras nas bases e dsponbldade fna de recursos de aendmeno (bases e vauras), modelagem probablísca da coberura, consderação dos padrões de varação espaço-emporal da demanda e consderação das varações emporas dos empos de deslocameno enre os dversos locas de uma regão. Pode-se consderar que esse é um modelo basane abrangene podendo ser aplcado a dversas suações. O esudo de caso do muncípo de São Paulo fo realzado consderando o SAMU-SP, suas bases e vauras. Os eses foram feos levando em cona a varação de dversos parâmeros: número de bases e ambulâncas, empo de aendmeno de cada chamado e empo de coberura deseado. Os resulados mosram que é possível chegar a um empo de coberura de 16 mnuos com probabldade acma de 95% consderando a quandade de recursos exsenes, desde que melhor empregados em relação à confguração aual. Pode-se anda, com um acréscmo do número de bases aé um oal de 96, chegar a um empo de coberura de cnco mnuos com probabldade próxma de 95%. Os resulados ambém mosram que exsem vanagens em operar com bases móves, que podem ser reposconadas em pouco empo, ao nvés de bases fxas. Um dos poencas aprmoramenos sera a consderação do modelo do Hpercubo na defnção do modelo maemáco, que alvez permsse a consderação da caracerísca esocásca do problema com mas dealhes, sendo esse um poencal ema para pesqusa fuura. Mesmo na sua forma aual, o modelo maemáco apresenado nese argo pode ser mplemenado pelos planeadores de ssemas de aendmeno emergencal como um modelo de apoo à decsão, fazendo com que seus enham seus recursos omzados, maxmzando o nível de servço para os usuáros e assm as chances de salvameno de vdas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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