Sistemas Dinâmicos. Sistema massa-mola-atrito. O que é um sistema? Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

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1 Sisemas Diâmicos Sisemas Lieares e Ivariaes o Tempo O que é um sisema? Sisema massa-mola-ario Um sisema é um objeco ou grupo de objecos que ieragem com o mudo. Essa ieracção é represeada aravés de eradas e saídas. erada: força verical aplicada erada sisema saída saída: posição da corpo equação diferecial: A erada e a saída são siais. Um sisema rasforma um sial de erada um sial de saída. x y d x dx M + k k x( F( a + m saída erada y T (x

2 Sisemas coíuos e discreos Iverível Um sisema T rasforma siais de erada em siais de saída. Se a erada e saída forem siais discreos, T é um sisema discreo. Se forem siais coíuos, T é um sisema coíuo. Defiição: um sisema é iverível se dado qualquer sial de saída y for possível deermiar uivocamee a erada. Isso exige que a rasformação seja ijeciva. Sisemas discreos Sisemas coíuos uiversidade processo ecoómico bolsa de valores filros digiais sisemas compuacioais circuio elecróico moor aeroave processo idusrial filros aalógicos Muios sisemas coíuos podem ser coveridos em discreos se as eradas e saídas forem amosradas (medidas periodicamee. x y x y x( iverível 0 x( x( ão iverível iverível ão iverível Causalidade Esabilidade Um sisema é se a saída depeder apeas de eradas aeriores. Defiição: Um sisema é, se dadas duas eradas quaisquer, iguais aé um isae 0, as saídas forem iguais aé esse isae* Defiição: um sisema é esável se para oda a erada limiada a saída for limiada ou seja, se para oda a erada x( se verificar a codição c IR, x( < c k IR, < k x( x(, < 0, < 0 * A defiição é igual para sisemas coíuos ou discreos. Basa subsiuir por. x( - x( + - x( - x( - + T x( -T ão ão Exemplos x( 000 x( - x( e dx esável isável esável isável isável

3 Liearidade Ivariâcia o empo Um sisema é liear se for válido o pricípio da sobreposição geeralizado: : a resposa do sisema a uma combiação liear de duas eradas x, x é uma combiação liear das saídas y, y Defiição: um sisema é liear sse, para quaisquer siais de erada x, x x y, x y a,b C, ax + bx ay + by Um sisema é ivariae o empo quado o seu fucioameo ão se alera ao logo do empo. Defiição: um sisema é ivariae o empo se para qualquer erada x e deslocameo 0 x( x( x( 0 x( + x( - cos( x( liear ão liear liear ão liear 0 x( x( x( - x(0 Ivariae o empo ão Ivariae o empo Ivariae o empo ão Ivariae o empo Ligação de sisemas ligação série ligação paralelo Sisema Sisema Sisema Sisema + Sisemas Lieares e Ivariaes o Tempo ligação série-paralelo Sisema Sisema + Sisema 4 Sisema 3

4 SLITs Resposa ao impulso Os sisemas lieares e ivariaes o empo (SLITs gozam das propriedades de liearidade e de ivariâcia o empo. Têm vaages imporaes: é uma classe muio geral que permie cosruir boas aproximações do comporameo de muios sisemas físicos podem ser esudados aaliicamee usado ferrameas poderosas, em paricular, a rasformada de Fourier ficam oalmee caracerizados pela resposa do sisema a um impulso. A resposa ao impulso,, obém-se aplicado um impulso uiário à erada do sisema e observado a saída δ 0 caso discreo δ( sisema 0 caso coíuo δ( A resposa ao impulso caraceriza compleamee o SLIT. Covolução Exemplo: covolução discrea A saída de um SLIT pode ser calculada aravés da covolução ere a erada e a resposa ao impulso uiário ou seja Dem. y x * x( x( δ ( T x( T x( δ ( x( Tδ ( liearidade x( ivariâcia x( * x( * x( x ( * + x( τ τ x ( + x( τ δ ( τ caso discreo caso coíuo T x( T x( τ δ ( τ x( τ Tδ ( τ liearidade x( τ τ ivariâcia x( * oa: em sempre a soma ou o iegral de covolução covergem! Preede-se calcular a resposa de um sisema de resposa impulsiva a u(, a <, a uma erada expoecial x(b u(, b <. k k x( * x( b a u( k 0 Se <0, eão 0 0. Se 0 + ( + + a b a + b + k k k ( ( a b y b a a b a + a k 0 k 0 a b a b a b a b b a Resposa a + b + a + b u( a b b a 0 0 a0.9, b0.7

5 Propriedades da covolução Causalidade x * y y * x comuaiva ( x * y * z x * ( y * z ( x + y * z x * z + y * z x * δ x associaiva disribuiva elemeo euro prove! * prove! + Um SLIT é sse a sua resposa ao impulso for um sial, iso é, 0, < 0 0, < 0 Dem: caso discreo a Se ( 0, < 0 eãox ( x ( k ( k x ( k ( k b A saída o isae só depede de eradas passadas ou da erada presee, logo o sisema é. Se ão for ulo para odos os isae de empo egaivos, eão exise um isae 0 <0 para o qual 0 0. Cosideremos uma erada x(x(- 0 δ(+ 0 esas propriedades são válidas ao para siais coíuos como discreos. x(0 x( 0 x( 0 δ ( k + 0 x( 0 0 Nese caso a saída em 0 depede de eradas fuuras e o sisema ão é causar. Esabilidade Exemplos Um SLIT é esável sse for absoluamee somável / iegrável + < Dem: caso discreo < a Se for absoluamee somável, e a erada for limiada x( <B,, eão x( x( x( B < u( a e u( a e u( u(- u( u( N ão ão ão isável esável sse a esável sse a isável isável esável < 0 > 0 b Se ão for absoluamee somável, e se a erada for x(sig{-} em que sig desiga o sial do argumeo, eão 0 x(0 sig{ } desee esas resposas impulsivas e a saída ão é limiada.

6 Resposa ao escalão de um SLIT Sisemas descrios por equações difereciais Se aplicarmos um escalão uiário a um SLIT, eão a saída é Os sisemas coíuos são frequeemee descrios por equações difereciais. s( + k s( s( s( ds ( Por exemplo, movimeo de um corpo sujeio a uma força f d x f ( crescimeo de bacérias dy a depósio bacário dy a predador-presa (Loka-Volerra dy α β dy γ + δ Exemplo Caso geral: equação liear de ordem Cosideremos um sisema defiido por dy iicialmee em repouso Preede-se calcular a resposa a uma erada x( Ke u( Para <0 a erada é ula e a saída ambém. Para >0, equação a resolver é dy + Ke, ci : 0 0 solução paricular y p (Y p e Yp3 e Y pe + Ke (3 Yp e Ke Yp K solução Ke + Ye ajuse de cosae: como 00 vem solução geral da eq. omogéea y (Y e s s s s sye Ye ( s Ye 0 s Y K, Ke Ke equação diferecial d y dy d x dx a a + a0y b b + b0x codições iiciais d y 0 c,..., y c 0 A solução é a soma de uma solução paricular com a solução geral da equação omogéea. y ( y ( p + Solução paricular Se a exciação for x(x e s p eão s y ( Y e p p p m bmsp bs p + b0 Yp asp as p + a0 Equação omogéea d y dy a a + a0y 0 y ( Ake k s k s k é a k-èsima raiz da equação caracerísica as a s + a0 0 0

7 Sisemas descrios por equações às difereças Exemplo Os sisemas discreos são frequeemee descrios por equações às difereças. As equações às difereças relacioam valores acuais e passados da erada e da saída. Por exemplo, x( ( ( x x Cosideremos um sisema defiido por y ( ( ( y x iicialmee em repouso Preede-se calcular a resposa a uma erada x( u( Para <0 a erada é ula e a saída ambém. Para 0, equação a resolver é y ( ( ( y x solução paricular y p (Y p Yp Yp ( Y p 3 4 p Y 4 3 solução + Y ( solução geral da eq. omogéea y (Y z 0 ( 0 Yz Yz z Yz z ajuse de cosae: como 00 vem Y ( y 3 4, ( Caso geral: equação liear de ordem q equação às difereças e codições iiciais a0 + ay ( aq q b0x( + bx ( bpx( p 0 c0,..., 0 + q cq A solução é a soma de uma solução paricular com a solução geral da equação omogéea. y ( y ( p + Solução paricular Se a exciação for x(x z p eão yp( Yp z p p bpzp bz p + b0 Yp q aqzp az p + a0 Equação omogéea a0 + ay ( aq q 0 q y ( Ak z k k z k é a k-èsima raiz da equação caracerísica aqz q a z + a0 0

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