TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, GOIABEIRAS VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: FAX: TEORIA DE ERROS * 1. Introdução O ato de medr é, em essênca, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de dversas orgens (dos nstrumentos, do operador, do processo de medda, etc.). Pretende-se aqu estudar esses erros e suas consequêncas, de modo a expressar os resultados de dados expermentas em termos que sejam compreensíves a outras pessoas. Quando se pretende medr o valor de uma grandeza, pode-se realzar apenas uma ou váras meddas repetdas, dependendo das condções expermentas partculares ou anda da postura adotada frente ao expermento. Em cada caso, deve-se extrar do processo de medda um valor adotado como melhor na representação da grandeza e anda um lmte de erro dentro do qual deve estar compreenddo o valor real. 2. Erros e Desvos Algumas grandezas possuem seus valores reas conhecdos e outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e expermentalmente encontramos um resultado dferente, dzemos que o valor obtdo está afetado de um erro. ERRO é a dferença entre um valor obtdo ao se medr uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. Matematcamente: Erro = Valor meddo Valor real Exercíco: Medu-se os ângulos nternos de um quadrlátero e obteve-se 361,4. Qual é o erro de que está afetada esta medda? Entretanto, o valor real ou exato da maora das grandezas físcas nem sempre é conhecdo. Quando afrmamos que o valor da carga do elétron é e = 1, x C, este é, na verdade, o valor mas provável dessa grandeza, determnado por meo de expermentos com ncerteza de 0,30 partes por mlhão. Neste caso, ao efetuarmos a medda dessa grandeza e compararmos com e, falamos em desvos e não erros. DESVIO é a dferença entre um valor obtdo ao se medr uma grandeza e um valor adotado que mas se aproxma do valor real. Na prátca se trabalha na maora das vezes com desvos e não erros Desvo Médo Valor Médo Quando um mesmo operador efetua uma sére de meddas de uma grandeza x, utlzando um mesmo nstrumento, as meddas obtdas (x 1, x 2,..., x N ) terão valores que, na maora das vezes, poderão não concdr. Isso ocorre devdo aos erros expermentas nerentes a qualquer processo de * Este texto fo adaptado a partr do documento do Departamento de Físca da Unversdade Federal de Vçosa. 1

2 medda. Pode ser demonstrado que o valor que mas se aproxma do valor real da grandeza é a méda artmétca dos valores ( x ), denomnado valor médo. Suponha que um expermentador realze 10 vezes a medda do comprmento L de uma barra. Essas meddas foram realzadas com uma régua cuja menor dvsão era 1 mm, de modo que os décmos de mlímetro foram avalados (é costume fazer estmatvas com aproxmações até décmos da menor dvsão da escala do nstrumento). Em qualquer das meddas efetuadas encontraram-se, como comprmento da barra, 5,3 cm completos mas uma fração avalada da menor dvsão, de modo que as flutuações, neste caso, resdem nas dferentes avalações da menor dvsão. A tabela abaxo mostra os valores obtdos nas dez meddas realzadas. L (cm) L L L (cm) 1 5,37 0,00 2 5,38 +0,01 3 5,35 0,02 4 5,36 0,01 5 5,35 0,02 6 5,37 0,00 7 5,38 +0,01 8 5,37 0,00 9 5,39 +0, ,38 +0,01 N 10 L 53,70 cm L 0,01 cm Calculando-se a méda artmétca das meddas efetuadas tem-se L 5,37 5,38 5,35 5,36 5,35 5,37 5,38 5,37 5,39 5,38 53, 7 L 5,37 cm N que é o valor mas provável para o comprmento da barra. O valor médo é mas precso e exato quanto maor for o número N de meddas. Defne-se o desvo de uma medda do conjunto pela dferença entre o valor meddo ( L ) e o valor médo ( L ). L L L O desvo de cada medda, no caso do exemplo, está ndcado na tabela. Desse conjunto devese extrar a ncerteza que afeta o valor adotado ( valor médo ). Consdera-se, para esse fm, a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos denomnada desvo médo ( L ): L 0,00 0,01 0,02 0,01 0,02 0,00 0,01 0,00 0,02 0,01 L cm N 10 0,10 L = cm 0,01 cm 10 2

3 Esse desvo sgnfca que o erro que se comete ao adotar o valor médo ( L = 5,37 cm) é de 0,01 cm. Em outras palavras, o valor real deve estar entre 5,36 e 5,38 cm. Dessa manera, o comprmento da barra pode ser expresso como:, ou seja: L L L L 2.2. Desvo Avalado ou Incerteza 5,37 0,01 cm Se o expermentador realza apenas uma medda da grandeza, o valor meddo evdentemente será o valor adotado, já que não se tem um conjunto de dados para ser analsado, como no caso anteror. Aqu, também, o valor adotado representa a grandeza dentro de certo grau de confança. Não exste uma regra defnda para determnar a ncerteza de uma únca medda, pos esta depende de város fatores como: o nstrumento utlzado, as condções em que a medda se realza, o método utlzado na medda, a habldade do expermentador, a própra avalação do últmo algarsmo (fração avalada da menor dvsão da escala do nstrumento) etc. Contudo, é costume tomar a ncerteza de uma medda como sendo a metade da menor dvsão da escala do nstrumento utlzado, denomnando-a desvo avalado ou ncerteza. Convém salentar que a avalação da ncerteza da medda depende, sobretudo, do bom senso do expermentador Desvo Relatvo O desvo relatvo é gual ao quocente entre a ncerteza e o valor adotado e é, freqüentemente expresso em termos percentuas. a) Caso uma medda únca: Desvo avalado Desvo relatvo Valor meddo b) Caso uma sére de meddas: Desvo médo Desvo relatvo Valor médo O desvo relatvo percentual é obtdo, multplcando-se o desvo relatvo por 100%. O desvo relatvo nos dá, de certa forma, uma nformação a mas acerca da qualdade do processo de medda e nos permte decdr, entre duas meddas, qual a melhor. Isto é, quanto menor o desvo relatvo, maor a precsão da medda. Exercíco :Indcaremos a segur algumas grandezas físcas mensuráves. Verfque quas que poderão estar afetadas de erro ou desvo: (Assnale com um a alternatva correta) Medda: Erro Desvo a) da soma dos ângulos formados pela nterseção de duas retas b) da temperatura do corpo humano c) de um determnado ntervalo de tempo d) da temperatura de fusão do gelo sob pressão normal e) da densdade da água f) de determnada massa g) do dâmetro de uma esfera 3

4 3. Algarsmos Sgnfcatvos Quando se realza uma medda, como fo feto em cada uma das dez meddas do comprmento da barra em exemplo anteror, verfca-se que em cada medda tem-se um número completo de undades (no caso 5,3 cm) acrescdo de uma fração avalada dessa undade. Medndo-se com uma régua mlmetrada, tem sentdo avalar décmos de mlímetros, mas é dscutível avalar frações menores. Geralmente, em medções é possível fazer estmatvas com aproxmação até décmos da menor dvsão da escala do nstrumento. Assm, na medda do comprmento da barra, o dígto 3 é sento de dúvda, ou seja, a dúvda ou ncerteza da medda resde na avalação do dígto correspondente à fração avalada da menor dvsão da escala. Denomnam-se algarsmos sgnfcatvos de uma medda os algarsmos exatos acrescdos de um únco algarsmo duvdoso. Algarsmos sgnfcatvos = Algarsmos exatos + um únco algarsmo duvdoso Portanto, nas dez meddas efetuadas na determnação do comprmento da barra, têm-se dos algarsmos sgnfcatvos: Algarsmos exatos Únco algarsmo duvdoso L 5,37 cm Representando-se o resultado de uma medda por meo do valor médo, é precso escrevê-lo com número correto de algarsmos sgnfcatvos. De manera geral, para se consderar o número de algarsmos sgnfcatvos do valor médo, é convenente, em prmero lugar, consderar o desvo médo com apenas um algarsmo sgnfcatvo; este rá então precsar com quantos algarsmos sgnfcatvos deverá ser escrto o valor médo da grandeza. Exemplo :Foram efetuadas 8 meddas do dâmetro (D) de um cabo, como mostra a tabela abaxo. Com esse conjunto de meddas, obtém-se o valor médo e o desvo médo. 2 D (mm) ( 10 mm) 1 12,2 1, ,3 +8, ,1 11, ,2 1, ,2 1, ,1 11, ,4 +18, ,2 1, 25 N 8 D 97,7 mm 2 55, 0010 mm D D Valor Médo: Desvo Médo: D 97,7 D mm 12,2125 mm N 8 D D N ,00 10 mm 0,06875 mm 0,07 mm 4

5 O valor da grandeza é D = (12,2125 0,06875). No entanto, observa-se que a ncerteza no valor médo, sto é, o desvo médo, afeta a segunda casa decmal desse valor. Assm, os outros algarsmos posterores perdem o sgnfcado e não são sgnfcatvos, já que entre os algarsmos sgnfcatvos é admtda a presença de um únco algarsmo duvdoso. No entanto, esses algarsmos presentes tanto no valor médo quanto no desvo médo devem ser consderados para efeto de cálculo, devendo ser desprezados na apresentação fnal. Escreve-se o resultado fnal da segunte manera: D 12, 21 0,07 mm Normalmente, ao serem fetas aproxmações, como no caso acma, é costume, quando o prmero algarsmo desprezado for maor ou gual a cnco, acrescentar uma undade ao últmo algarsmo mantdo. Exemplo : Suponha que um processo de meddas e cálculos tenha orgnado para a resstvdade por undade de área de materal o valor médo de 32,765 /m com um desvo médo de 0,0241 /m. Tem-se então: 32, 765 0, 0241 /m 32, 77 0, 02 /m A A Deve-se notar que o valor médo pode apresentar um número de algarsmos sgnfcatvos maor que as meddas ndvduas. Esse resultado, aparentemente sem sentdo, é explcável já que está se tratando estatstcamente um conjunto de dados, e as meddas ndvduas dexam de ter mportânca, prevalecendo o conjunto como um todo, ou seja, o valor médo. Exemplo: O resultado de uma experênca forneceu o valor médo e o desvo médo guas a: m 13, ,0342 g m 13, 43 0,03 g 1,343 0, g ,6 12,8 g m g 7,84 0,01 10 g m Ao se trabalhar com algarsmos sgnfcatvos, não se deve esquecer de que os zeros à esquerda não são sgnfcatvos, mas os da dreta o são. Portanto, são sgnfcatvos todos os números sentos de dúvda, a partr do prmero não nulo, e também o prmero algarsmo duvdoso e mas nenhum. 4. Regras para Operações com Algarsmos Sgnfcatvos a) Na adção e subtração - faz-se a operação normalmente e no fnal reduz-se o resultado, usando crtéro de arredondamento, para o número de casas decmas da grandeza menos precsa. Exemplos: Adção: ( ,91 + 1, , ,20) = ,1001 = Subtração: (12.441, ,32) = 4.584,88 = 4.584,9 b) Na multplcação e dvsão - o resultado deverá ter gual número de algarsmos que a grandeza com menor quantdade de algarsmos sgnfcatvos que partcpa da operação. Exemplos: Multplcação: (12,46 39,8) = 495,908 = 496 Dvsão: (803,407 / 13,1) = 61,32877 = 61,3 5

6 c) Na potencação e radcação o resultado deverá ter o mesmo número de algarsmos sgnfcatvos da base (potencação) ou do radcando (radcação): Potencação: (1,52 x 10 3 ) 2 = 2,31 x 10 6 Radcação: (0,75 x 10 4 ) 1/2 = 0,87 x 10 2 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Determnar o desvo avalado nos seguntes casos: a) régua mlmetrada: b) régua com escala graduada em centímetros: c) balança com precsão de 0,1 g: d) cronômetro com precsão de 0,2 s: e) amperímetro com escala graduada em 0, 2, 4, 6, 8, 10 ampères ( A ): f) dnamômetro com escala graduada de 5 em 5 newtons ( N ): g) voltímetro com fundo de escala de 10 volts dvdda em 20 partes: 2) Dadas as meddas e seus respectvos desvos, escrever os resultados corretamente, em termos de algarsmos sgnfcatvos. (a) (b) (c) (d) (e) m 32,75 g 72,19 cm 4,189 g m h m 0,25 g 2,3 cm 0,0219 g 276 m 28 h 3) Numa experênca, a medda do comprmento de uma barra, repetda 5 vezes ( N = 5 ), forneceu a tabela: L (m) 2,21 2,26 2,24 2,22 2,27 a) Encontrar o valor médo de L: b) Encontrar o desvo médo: c) Escrever o resultado fnal em termos de algarsmos sgnfcatvos: 4) Efetuar as seguntes operações: a) (231,03 ± 0,02) (12,8 ± 0,5) = b) [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m 3 ] = 6

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