Cap. IV Análise estatística de incertezas aleatórias

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1 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras Capítulo IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras 4.1. Méda Desvo padrão Sgnfcado do desvo padrão Desvo padrão da méda 47 Departamento de Físca da FCTUC 4

2 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras Análse estatístca de ncertezas aleatóras 4.1. Méda Como já fo referdo no Capítulo II, uma das formas de aumentar o grau de confança no valor resultante da medda de determnada grandeza é repetrmos váras vezes essa medda nas mesmas condções epermentas. Verfca-se, regra geral, que os valores obtdos nas dferentes medções dferem entre s. Como devemos então proceder para escolher o valor que melhor representa essa grandeza, aquele que estará mas perto do dealzado verdadero valor? Comecemos por sublnhar mas uma vez que uma correcta utlzação do tratamento estatístco dos dados obtdos ege que as ncertezas de tpo sstemátco assocadas à aparelhagem, metodologa, etc., tenham sdo reduzdas ao mínmo. Se assm for, a dspersão de valores encontrada, e devda apenas a erros de tpo aleatóro, deve estar centrada no verdadero valor da grandeza (lembremos os dagramas da fgura.1, pág. ), e os resultados das dferentes meddas podem ser analsados recorrendo a métodos estatístcos. Chamaremos população ao conjunto de todos os valores possíves que uma dada grandeza pode tomar. Quando realzamos meddas epermentas para conhecer o valor dessa grandeza estamos então a obter um subconjunto fnto (uma amostra) desse conjunto nfnto que desgnámos por população. Mostraremos no Capítulo VI que o melhor valor que podemos assocar a uma grandeza quando realzamos uma amostra de meddas dessa grandeza é a méda ou valor médo, que se defne como: 1. (4.1) Ilustremos com um eemplo. uma dada eperênca, tendo reduzdo a um nível desprezável os erros sstemátcos, realzámos váras meddas de um determnado comprmento L e obtvemos a segunte amostra de resultados: Tabela I L (mm) Depos da análse do nstrumento de medda utlzado, pareceu razoável tomar-se como erro de letura a ncerteza de 1 mm. Então, de acordo com o que fo dto acma, o melhor valor para representar a grandeza L é o valor médo dos resultados das meddas efectuadas, ou seja, Departamento de Físca da FCTUC 43

3 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras best L. 8 mm Desvo padrão Uma vez que todas as meddas epermentas vêm afectadas por determnada ncerteza (no eemplo anteror, pelo erro epermental de letura do nstrumento), é natural admtrmos que o melhor valor da grandeza também vem afectado por certo grau de ncerteza. o caso da determnação do valor médo, como proceder para calcularmos a ncerteza assocada? Uma possbldade é avalarmos a dspersão dos resultados das meddas em torno do valor médo, avalando a dferença entre o valor obtdo em cada medda e o valor médo:. (4.) d Esta dferença, d, desgnada por desvo ou resíduo, nforma sobre quanto a medda se afasta do valor médo. É fácl percebermos que se os desvos são grandes sso sgnfca que os pontos estão muto dspersos uns dos outros, ou seja, que a amostra é pouco precsa. Pelo contráro, se os desvos são pequenos, a dspersão das meddas é pequena e a precsão é boa. Então, se somarmos todos os desvos e dvdrmos a soma pelo nº de meddas obtemos um desvo médo, d, que poderíamos usar como forma de avalar o erro médo assocado à nossa amostra: d d 1. Concretzemos esta possbldade com o eemplo das meddas do comprmento L de um objecto e analsemos o resultado. Tabela II Medda L (mm) d (mm) L =.8 mm d 0 1 Ora a Tabela II mostra que a soma dos desvos é nula e, assm sendo, a sua méda não é uma quantdade útl para caracterzar a ncerteza méda dos resultados! De facto, tal acontece pela 1 Repare-se que a méda tem mas algarsmos sgnfcatvos do que cada um dos valores meddos. Tal é acetável uma vez que se consdera que a méda é uma estmatva melhor do verdadero valor do que qualquer um dos valores ndvduas. Departamento de Físca da FCTUC 44

4 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras própra defnção de méda, que assegura que d umas vezes é postvo e outras negatvo de forma a que d seja zero. Como demonstraremos no Capítulo VI, uma quantdade adequada para estmar a ncerteza méda a partr da dspersão dos resultados obtdos está relaconada com a méda da soma dos quadrados dos desvos (e não apenas com a soma dos desvos), ou seja, com 1 d. Assm, defne-se a grandeza varânca,, como e a grandeza desvo padrão,, como d 1, (4.3) d 1. (4.4) Pelas undades da grandeza (mlímetros quadrados, no eemplo dado), vê-se que a varânca não pode ser drectamente assocada aos resultados das meddas ou ao seu valor médo. O desvo padrão, pelo contráro, tem as mesmas undades da grandeza em causa. Antes de analsarmos melhor o sgnfcado do desvo padrão façamos uma alteração mportante nas fórmulas 4.3 e 4.4. Como veremos mas tarde, estem argumentos teórcos que justfcam a substtução de por -1 no denomnador das duas equações. A varânca e o desvo padrão devem, portanto, passar a ser defndos por: 1 varânca da amostra = 1 (4.) 1 desvo padrão da amostra = 1 (4.6) Esta alteração 3 corrge a tendênca das duas equações para subestmarem a ncerteza no caso do nº de meddas ser pequeno. Essa tendênca pode ser compreendda se tomarmos o caso etremo (e absurdo) de = 1. Quando só há uma medda, a méda é gual ao própro valor e a 1 Matematcamente: d ( ) Atenção às máqunas de calcular. As mas completas têm as duas defnções (dvsão por e por -1) mas quando dsponblzam apenas umas das fórmulas, é necessáro perceber qual a defnção utlzada. Departamento de Físca da FCTUC 4

5 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras ncerteza é nula, o que está, evdentemente, ncorrecto. Todas as meddas epermentas vêm afectadas por certo grau de ncerteza! Com a dvsão por -1, obtém-se o valor ndetermnado 0/0, reflectndo correctamente a nossa gnorânca sobre a ncerteza quando realzamos apenas uma medda. ote-se, contudo, que a dferença entre o resultado das equações 4.3 e 4. ou 4.4 e 4.6 é pequena, como pode ser faclmente verfcado, e tanto mas pequena quanto maor for o número de meddas. Assm, e porque no nfnto não há dferença entre e -1, é costume desgnar as equações 4.3 e 4.4 por varânca e desvo padrão, respectvamente, da população (e não da amostra). Relatvamente ao eemplo escolhdo podemos então calcular os valores dos dos parâmetros agora defndos (Tabela III). Medda L (mm) d (mm ) Tabela III L (mm ) L (mm) mm mm L =.8 mm d. 80 mm Sgnfcado do desvo padrão Uma vez que está relaconado com o afastamento entre cada uma das meddas e o valor médo que melhor as representa, o desvo padrão pode ser tomado, de facto, como uma ncerteza méda que caracterza a amostra das meddas e cada uma das meddas ndvduas realzadas. Consderando novamente o eemplo usado neste capítulo, se aumentarmos o nº de meddas epermentas de para 10, por eemplo, poderemos verfcar que tanto o valor médo como o desvo padrão (e, portanto, também a varânca) não se alteram sgnfcatvamente. Isto deve parecer estranho, pos temos vndo a referr que a forma de dmnur os erros aleatóros é realzar váras meddas (nunca menos de, pos o tratamento estatístco perde sgnfcado). Esperaríamos, portanto, que o aumento do nº de meddas se reflectsse sgnfcatvamente na redução do desvo padrão, o que não acontece. a verdade, o desvo padrão quantfca a ncerteza que é cometda, em méda, em cada medda, e não no valor médo da amostra. Voltemos ao nosso eemplo da determnação do comprmento L de um objecto, para esclarecer melhor. Começámos por assocar a cada valor meddo a ncerteza correspondente ao erro de letura, ou seja, 1 mm. Contudo, o desvo padrão, ao ter em conta a dspersão dos pontos epermentas, mostra-nos que, estatstcamente, podemos assocar a cada medda uma ncerteza méda menor, de 0.8 mm. Mostraremos (mas uma vez no Capítulo VI) que se medrmos a mesma quantdade mutas e mutas vezes (sempre com ncertezas pequenas e aleatóras), os valores obtdos encontram-se dstrbuídos em torno do valor médo,, segundo uma dstrbução ormal ou Gaussana (a conhecda dstrbução em forma de sno). Em partcular, veremos que Departamento de Físca da FCTUC 46

6 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras apromadamente 68% dos valores meddos pertencem ao ntervalo ±. Isto sgnfca que, se fzermos uma nova medda de nas mesmas condções epermentas, há 68% de probabldade de que esse novo resultado caa no ntervalo ±. Assm, podemos adoptar como medda do parâmetro a que temos chamado ncerteza ou erro na medda. Se fzermos mas uma medda de, a ncerteza assocada a essa medda pode ser tomada como sendo = e com esta escolha temos 68% de probabldade de que a nova medda caa no ntervalo [ best -, best + ]. Eemplo: determnar a constante elástca de um conjunto de molas dêntcas. Imagnemos que comprámos um conjunto de 10 molas e que o fabrcante garante que as suas constantes elástcas são dêntcas. Como não temos muto tempo, decdmos então confar no fabrcante e medr 0 vezes a constante elástca de uma só mola. A partr da análse dos dados obtdos encontrámos os seguntes valores para a méda e o desvo padrão: K 8. 7 /m e. /m. K Se agora medrmos uma vez o valor da constante elástca de uma ª mola e obtvermos o valor 84 /m, uma vez que as molas são dêntcas, podemos tomar a ncerteza como K = K =. /m e estabelecer, com 68% de confança, que o valor da constante elástca da ª mola está no ntervalo 84.0 ±. /m Desvo Padrão da Méda Uma vez que consderámos que a méda consttu um valor mas confável do que qualquer uma das meddas tomadas separadamente, voltamos à questão ncal da secção 4.: qual deve ser a ncerteza assocada ao valor médo? por: Provaremos no Capítulo VI que o valor médo vem afectado por uma ncerteza dada (4.7) desgnada por Desvo Padrão da Méda (ou Erro Padrão ou Erro Padrão da Méda). Aplcando a fórmula 4.7 aos dados da Tabela III, o melhor valor para best ± best do comprmento do objecto é então L L =.80 ± 0.37 mm (ou.8 ± 0.4 mm). Algumas consderações sobre o desvo padrão da méda: Departamento de Físca da FCTUC 47

7 TLF 010/11 Cap. IV Análse estatístca de ncertezas aleatóras De acordo com a defnção 4.7, o desvo padrão da méda va dmnur com o aumento do número de meddas. Contudo, reparemos que o factor cresce de modo lento com o aumento de. Por eemplo, se qusermos aumentar 10 vezes a precsão das nossas meddas, teremos que multplcar por 100! Além dsso, lembremos que eventuas erros sstemátcos não dmnuem aumentando o número de meddas. Portanto, na prátca, se queremos melhorar aprecavelmente a qualdade dos nossos resultados epermentas, a melhor manera de o consegurmos pode ser aperfeçoando a técnca e calbrando muto bem o sstema epermental. Departamento de Físca da FCTUC 48