RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 Defnções RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

2 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

3 DEFINIÇÕES Mutos fenômenos físcos podem ser modelados com equações dferencas sto é envolvem uma função desconecda e algumas de suas dervadas Forma geral de uma equação dferencal com dervadas até a ordem n: n) ) = f ) )... n-) )) onde a b A solução desta equação dferencal é qualquer função ) que a satsfaça defnda em [ab] e com n dervadas nesse ntervalo Quando é função de uma únca varável é camada de Equação Dferencal Ordnára Uma equação que envolve mas de uma varável ndependente junto com suas dervadas parcas cama-se Equação Dferencal Parcal

4 CONDIÇÕES INICIAIS E LINEARIDADE A resolução de uma equação dferencal geralmente tem como resposta uma famíla de curvas Eemplo: = 2 3 d = 23)d = 2 3 c Para especfcar uma dessas curvas é precso mpor condções ncas à função : t ) = k ; t 2 ) = k 2 ;... ; n-) t n- ) = k n- Eemplo: = -- 2 ) -; 0) = ; 0) = 2 Uma equação dferencal ordnára é lnear se a função e suas dervadas possuem uma relação lnear entre s Eemplo: = É lnear - 2 ) = 0 Não é lnear

5 PVI E PVC A ordem de uma equação dferencal é a mas alta ordem de dervação que aparece nela De modo geral para ndvdualar a solução de uma equação dferencal de ordem m são necessáras m condções adconas Dada uma equação dferencal de ordem m > se a função e suas dervadas até a ordem m- são especfcadas em um mesmo ponto então temos um Problema de Valor Incal PVI) Eemplo onde m=3: ) cos ) 2 -) = 2 2 sen) 0)=; 0)=22; 0)=33 Se as m condções adconas não são dadas em um mesmo ponto então temos um Problema de Valor de Contorno PVC) Eemplo barra de comprmento L sujeta a uma carga unforme q): 4) ) k) = q 0) = 0) = 0; L) = L) = 0 k é uma constante que depende do materal da barra Ao contráro de um PVI é comum que um PVC não tena uncdade de solução

6 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

7 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Embora aja garanta teórca da resolução analítca de um PVI essa solução costuma ser de dfícl obtenção: por sso utlam-se métodos numércos Dado o PVI = f) onde 0 ) = 0 construímos 2... n gualmente espaçados embora não seja uma condção necessára) e calculamos as apromações ) nesses pontos Se no cálculo de usarmos apenas teremos então um método de passo smples ou passo um); se usarmos outros valores j j teremos um método de passo múltplo Característcas dos métodos de passo smples: Geralmente é precso calcular f) e suas dervadas em mutos pontos Temos dfculdades em estmar o erro do resultado

8 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

9 MÉTODO DE EULER Vamos resolver a equação dferencal ordnára de prmera ordem = f) sujeta à condção ncal 0 ) = 0 : ) d d 0 0 ) 0 = f 0 0 ) = f 0 0 ) 0 ŷ 0 0 Equação da reta onde = - 0 : * = 0.f 0 0 ) Quando tende a ero * tende a : 0.f 0 0 ) Generalando temos a epressão do Método de Euler:.f )

10 MÉTODO DE EULER A epressão do Método de Euler pode ser deduda de um outro modo Sabemos que ) [) )]/ onde é algum valor pequeno mas não fo Dvdamos [ab] onde a= 0 e b= n em subntervalos de tamano : = 0. com 0 n Seja 0 n uma apromação para ) onde ) é uma solução de ) = f) Portanto: ) )/. ).f )

11 EXEMPLO Consderando como função de resolver = 2 3 no ntervalo 5 quando ) = Pelo Método de Euler temos:.f ).2 3) Consderando = 0: 0 = 0 = 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5 0 = 0 = 5 2 = = = 32 5 = 370 Consderando = 00: 0 = 00 0 = 0 20 = = = = 50 0 = 0 0 = = = = = 3747 As mudanças não foram muto grandes. Veremos depos uma estmatva para os erros cometdos

12 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

13 MÉTODOS DE SÉRIE DE TAYLOR Suponamos que de alguma manera estejam dsponíves as apromações 2... n para ) em 2... n respectvamente A sére de Talor de k-ésma ordem de ) em torno de = é '' ) 2 ) k ) = ) ' ) ) ) L ) E 2! k! k ) ξ) T = ) onde k E k )! Sendo = podemos obter a segunte apromação para = ): 2 k k) ' '' L 2 k! É fácl verfcar que a sére de Talor de ª ordem é equvalente ao Método de Euler: k) T

14 MÉTODOS DE SÉRIE DE TAYLOR Para se encontrar as séres de Talor de ordens mas altas será precso calcular os valores de ) )... k) ) Consderando ) = f)) vamos calcular ): ) = f )) ) = f )) f )). ) onde f e f são as dervadas parcas de f em relação a e a respectvamente = f f.f Desse modo a sére de Talor de 2ª ordem é.f ) 2 [f ) f ).f )]/2 Vamos calcular agora ): ) = f )) f )). ) [f )) f )). )]. ) f )). ) = f f.f f.f f.f 2 f.f f.f) = f 2f.f f.f 2 f.f f 2.f É possível perceber como se torna dfícl o cálculo de dervadas mas altas.

15 EXEMPLO Usando a sére de Talor de 2ª ordem calcular 2) onde = e 2)=2 = = -)/ = / 2) = 2/2 = 0 = - / / 2 2) = 0/2 2/2 2 = /2 Sére de Talor de 2ª ordem: ) 2) -2) 2) -2) 2 2)/2 ) 2-2) 2 /4 2) 2 0) 2 /4 = 20025

16 EXEMPLO Dado que = e 0)=2 determnar 02) e 04) utlando sére de Talor de 4ª ordem Vamos consderar = 02 0) = 0 2 = -2 = - 0) = -2) = 3 = - 0) = -3 4) = - 4) 0) = 3 Sére de Talor de 4ª ordem: = 02) 0). 0) 2 0)/2 3 0)/6 4 4) 0)/ = 04). 2 /2 3 /6 4 4) /24 = = = - = -4562) = = - = ) = - = Portanto

17 MÉTODO DE EULER APERFEIÇOADO Vejamos agora o Método de Euler Aperfeçoado também camado de Método de Heun): A reta L com coefcente angular L = f ) une os pontos Q = ) P ŷ = e P = ŷ ): L : = - ).f ) Por P traça-se a reta L 2 com coefcente angular f ŷ ): L 2 : = ŷ - ).f ŷ ) Por P traça-se a bssetr L 0 sto é com nclnação méda entre L e L 2 : [f ) f ŷ )]/2 Por Q traça-se a reta L paralela a L 0 : L: = - ).[f ) f ŷ )]/2 A partr de L e de obtém-se o valor de : = - ).[f ) f ŷ )]/2 = [f ) f. ))]/2 = [f ) f.f ))]/2 Q É passo smples Só calcula f) L 0 L 2 Pode-se mostrar que Concde com um Método de Talor de 2ª ordem L )

18 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

19 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA A dea básca destes métodos é aprovetar as qualdades dos métodos de sére de Talor e ao mesmo tempo elmnar sua maor dfculdade de mplementação: o cálculo das dervadas de f) Característcas dos Métodos de Runge-Kutta de ordem n : ) São métodos de passo smples 2) Não egem o cálculo de qualquer dervada de f); por esse motvo calculam f) em város pontos 3) Após epandr f) por Talor para função de duas varáves em torno de ) e agrupar os termos semelantes sua epressão concde com a do método de sére de Talor de ordem n O Método de Euler equvalente ao método de sére de Talor de ª ordem) é um Método de Runge-Kutta de ª ordem e o Método de Euler Aperfeçoado é um Método de Runge-Kutta de 2ª ordem

20 RUNGE-KUTTA DE ORDEM N Fórmula geral dos Métodos de Runge-Kutta: = Φ ) Φ ) é camada função ncremento e pode ser nterpretada como a nclnação no ntervalo consderado Fórmula geral da função ncremento de ordem n : Φ ) = a k a 2 k 2... a n k n k = f ) k 2 = f p q k ) k 3 = f p 2 q 2 k q 22 k 2 )... k n = f p n- q n-) k... q n-)n-) k n- ) a p e q j : constantes obtdas gualando-se a fórmula geral de Runge-Kutta com os termos da epansão em sére de Talor k : relações de recorrênca cálculo computaconal efcente) Os termos despreados são de ordem O n ) o que acarreta um erro global de ordem O n ) pos <

21 RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM A partr dessa defnção o Método de Runge-Kutta de 2ª ordem é = a k a 2 k 2 ) onde k = f ) e k 2 = f p q k ) Epandndo k 2 por Talor em torno de ): f p q k ) = f ) p f ) q k f )f ) O 2 ) Substtundo na fórmula de Runge-Kutta: = a k a 2 [f ) p f ) q k f )f ) O 2 )] = a f ) a 2 f ) a 2 p 2 f ) a 2 q 2 f )f ) O 3 ) Por outro lado a sére de Talor de 2ª ordem para é: = f ) f ) 2 /2! = f ) [f ) f )f )] 2 /2 = f ) 2 f )/2 2 f )f )/2 Despreando os termos de O 3 ) para que ambas epressões sejam guas é precso que: a a 2 = a 2 p = ½ a 2 q = ½ 3 equações e 4 ncógntas: á nfntas soluções

22 RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM Há três versões mas utladas: a 2 = ½ a 2 = ou a 2 = 2/3 Método de Euler Aperfeçoado ou Método de Heun) a 2 = ½ a = ½ p = q = ): = ½k ½k 2 ) k = f ) k 2 = f k ) Método do Ponto Médo a 2 = a = 0 p = q = ½): = k 2 k = f ) k 2 = f ½ ½k ) Método de Ralston a 2 = 2/3 a = /3 p = q = 3/4): = k /3 2k 2 /3) k = f ) k 2 = f 3/4 3k /4)

23 RUNGE-KUTTA DE 3ª E 4ª ORDENS De modo semelante podem ser dedudas as fórmulas de Runge-Kutta de ordens superores Em cada ordem também averá nfntas versões Métodos de Runge-Kutta mas conecdos: 3ª ordem: = k 4k 2 k 3 )/6 k = f ) k 2 = f ½ ½k ) k 3 = f - k 2k 2 ) 4ª ordem: = k 2k 2 2k 3 k 4 )/6 k = f ) k 2 = f ½ ½k ) k 3 = f ½ ½k 2 ) k 4 = f k 3 )

24 EXEMPLO Usando o Método de Runge-Kutta de 2ª ordem Método de Heun) resolva = tal que 0) = 2 Consderaremos = 02 f) = - 0 = 0 = = 2 k = f ) k 2 = f k ) = ½k ½k 2 ) k k

25 RUNGE-KUTTA DE ORDENS SUPERIORES Há um conecdo Método de Runge-Kutta de 5ª ordem camado Método de Butcer: = 7k 32k 2 2k 4 32k 5 7k 6 )/90 k = f ) k 2 = f /4 k /4) k 3 = f /4 k /8 k 2 /8) k 4 = f /2 k 2 /2 k 3 ) k 5 = f 3/4 3k /6 9k 4 /6) k 6 = f - 3k /7 2k 2 /7 2k 3 /7-2k 4 /7 8k 5 /7) Evdentemente é possível obter fórmulas de Runge- Kutta de ordens superores mas de modo geral o gano em precsão acaba sendo contrabalanceado pelo esforço computaconal egdo no seu cálculo

26 COMPARAÇÃO Dado um PVI com solução analítca conecda podemos resolvê-lo com métodos de Runge-Kutta de ª a 5ª ordens com dversos tamanos do passo Se compararmos os resultados obtdos com a solução eata teremos um gráfco semelante ao abao: Erro relatvo %) Euler Heun RK de 3ª ordem RK de 4ª ordem Butcer Total de camadas = n f b-a)/ n f é o número de camadas da função f) em cada teração do método O total de camadas reflete o tempo gasto na eecução do método Conclusões: Métodos de ordem superor alcançam uma precsão maor com o mesmo esforço computaconal Depos de um certo passo sua dmnução representará um gano muto pequeno na precsão

27 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

28 EQUAÇÕES DE ORDEM SUPERIOR Uma equação dferencal m) = f... m-) ) de ordem m pode ser faclmente transformada em um sstema de equações dferencas de ordem : = = = 2 2 = = 3... m-2 = m-) = m- m- = m) = f... m-) ) = f m- ) Sejam = ) = ) = )... m-) = m-) ) Este sstema pode ser resolvdo através dos métodos de passos smples já vstos onde as funções têm agora m varáves e os cálculos obedecem uma determnada sequênca: Fase :... m-) Fase :... m-)

29 UM CASO PARTICULAR É possível por eemplo dedur uma fórmula específca do Método de Heun para a resolução de uma equação dferencal de 2ª ordem: Sejam = f ) 0) = 0 e 0) = 0 Troca de varáves: = = = f ) = f) Camando Y =[ ] T : ) ) ) ' ' ' = = = = F Y F f Y Y Y = = = ' ) ) ) O Método de Heun para uma equação é: = [f ) f )]/2 No nosso caso: Y = Y [F Y ) F Y Y )]/2 Valores que aparecem na epressão acma: = ) ) f Y F ) ) ) ' = f F Y Y F

30 UM CASO PARTICULAR Voltando ao Método de Heun: 2 Y Y F Y F Y Y / )] ' ) [ = )] ) ) [ = f F f 2 Y )] ) ) [ = f F f 2 Y )] ) ) [ = f F f 2 Y ) )) ) ) = f f f f 2 Y = 2 f f 2 f 2 f Y 2 ))/ )/ )/ Defnndo p e q: = 2 q p 2 p Y )/ / ) p = f ) p f q =

31 EXEMPLO Seja o PVI = onde 0) = 4/9 e 0) = 7/3 Consderaremos = 025 Troca de varáves: = = f) = 4 3 Y = 4 / 9 = F Y) Y 0 = / 3 Aplcando o Método de Heun: p = f ) = ) = /3 3.4/9 0) = 2 q = f p) 025f025; 028; 4333) Y = 0 0 p/ 2 p q)/ / / / 7 / )/ Desse modo 025) 278 e 025) 5083

32 EXEMPLO RK DE 4ª. ORDEM EM EQUAÇÕES DE ORDEM SUPERIOR Usando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem calcule 05) e 05) onde 2 2 = e tal que 0) = 0 0) = 0 e = 05 Sejam f ) = = e g ) = = = e 2 2 Sabemos que 0 = 0 0 = 0 e 0 = 0 Fórmulas de cálculo Runge-Kutta de 4ª ordem): = 0 k f 2k f2 2k f3 k f4 )/6 = 0 k g 2k g2 2k g3 k g4 )/6 Sequênca de cálculos que deve ser obedecda: k f = f ) = f0; 0; 0) = 0 k g = g ) = g0; 0; 0) = e 0 0 = k f2 = f 0 ½ 0 ½k f 0 ½k g ) = f025; 0; 025) = 025 k g2 = g 0 ½ 0 ½k f 0 ½k g ) = g025; 0; 025) = e = 2840 k f3 = f 0 ½ 0 ½k f2 0 ½k g2 ) = f025; 00625; 032) = 032 Tercera varável k g3 = g 0 ½ 0 ½k f2 0 ½k g2 ) = g025; 00625; 032) = e = 2762 k f4 = f 0 0 k f3 0 k g3 ) = f05; 0605; 0638) = 0638 k g4 = g 0 0 k f3 0 k g3 ) = g05; 0605; 0638) = e = 5972 = 0 k f 2k f2 2k f3 k f4 )/6 = ).05/6 = 0483 = 0 k g 2k g2 2k g3 k g4 )/6 = ).05/6 = ) ) 0643 Irá determnar a sequênca dos cálculos

33 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

34 MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO Vmos que para encontrar uma apromação de ) os métodos de passo smples precsam apenas de ) além de cálculos de = f) e de outras dervadas em város pontos Por outro lado suponamos que além de 0 ) também são conecdas apromações )... k ) em pontos equdstantes sto é = 0 <k Os métodos que utlam o valor de em mas de um ponto são camados métodos de passo múltplo Esses métodos baseam-se na percepção de que uma ve que o cálculo tena começado nformação valosa já está à dsposção: a curvatura formada pelos valores anterores permte uma melor apromação da trajetóra da solução

35 MÉTODOS DE ADAMS Entre os métodos de passo múltplo á uma classe conecda como Métodos de Adams que se baseam na ntegração numérca de = f) de até : ')d = f ))d = ) ) f ))d Por sua ve sso pode ser feto através de dos tpos de métodos: Adams Basfort métodos eplíctos ou fórmulas abertas) : sem usar o ponto Adams-Moulton métodos mplíctos ou fórmulas fecadas) : usando o ponto

36 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

37 MÉTODOS EXPLÍCITOS Na apromação dessa ntegral os Métodos de Adams- Basfort utlam m pontos m Por sso são camados métodos de ordem m Isso é feto através da ntegração do polnômo nterpolador p m ): ) ) p m ) d A função f)) é apromada pelo polnômo p m ) que nterpola a função f)) nos pontos m. Basta escoler o valor de m Camando f -j = f -j -j ) 0 j m podemos epressar p m ) através da forma de Lagrange: p m ) = L -m )f -m... L - )f - L 0 )f

38 ORDEM 4: CASO COM P 3 X) Pontos de nterpolação: ) - - ) -2-2 ) -3-3 ) f)) = ) p 3 ) = L -3 )f -3 L -2 )f -2 L - )f - L 0 )f 0 L -3 ) = [- -2 )- - )- )]/-)-2)-3) L -2 ) = [- -3 )- - )- )]/)-)-2) L - ) = [- -3 )- -2 )- )]/2))-2) L 0 ) = [- -3 )- -2 )- - )]/3)2)) Sejam s = - )/ d =.ds e = s. Então: L -3 s) = -s2)s)s/6 = -s 3 3s 2 2s)/6 L -2 s) = s3)s)s/2 = s 3 4s 2 3s)/2 L - s) = -s3)s2)s/2 = -s 3 5s 2 6s)/2 L 0 s) = s3)s2)s)/6 = s 3 6s 2 s 6)/6 Substtundo na ntegral: 6 f ))d p3)d = f 3 L 3s)ds f 2 L 2s)ds f L s)ds p )d = f 3 f 2 f f = [55f 59f 37f 2 9f 3] f 6 0 L 0 s)ds

39 ORDEM 4: ESTIMATIVA DE ERRO Pontos de nterpolação: ) - - ) -2-2 ) -3-3 ) Vmos anterormente que o erro na nterpolação com p 3 ) é E 3 ) = -3 ) -2 ) - ) )f 4) ξ)/4! onde ξ -3 ) Portanto o erro cometdo é: e ) = 3) 2) 4! ) )f Com s = - )/ d =.ds e = s : e 5 ) = s 3)s 2)s )sf 4! 0 4) 4) ξ ξ))ds ξ ξ))d Como gs) = ss)s2)s3) não muda de snal em [0;] o Teorema do Valor Médo para ntegras garante que este η 0;) tal que: 5 4! 0 s 3)s 2)s )sf 4) ξ ξ))ds = ! f 4) η η)) 5 4) 5 5) Portanto: e ) = f η η)) = η) gs)ds = 5 f 24 4) 25 η η)) 30

40 EXEMPLO Seja o PVI = 004 onde 0) = 000 Usando o Método de Adams-Basfort de ordem 4 apromar ) com = 02 0 = 0 e 0 = 000 É possível verfcar que a solução eata do PVI é ) = 000e 004 Através dessa solução podemos calcular 2 e 3 Em seguda utlamos a fórmula desse método: = 55f 59f - 37f -2 9f -3 )/24 f = f ) ) solução eata)

41 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

42 MÉTODOS IMPLÍCITOS Na apromação da ntegral os Métodos de Adams- Moulton utlam os pontos... -m Neste caso o método tem ordem m2 e a ntegração é feta através de p m ): ) ) p m )d O polnômo p m ) nterpola f)) nos pontos... -m De modo análogo aos métodos eplíctos basta escoler o valor de m e calcular a ntegração da forma de Lagrange: p m ) = L -m )f -m... L - )f - L 0 )f L )f

43 ORDEM 4: CASO COM P 3 X) Pontos de nterpolação: ) ) - - ) -2-2 ) f)) = ) p 3 ) = L -2 )f -2 L - )f - L 0 )f L )f L -2 ) = [- - )- )- )]/-3)-2)-) L - ) = [- -2 )- )- )]/)-)-2) L 0 ) = [- -2 )- - )- )]/2))-) L ) = [- -2 )- - )- )]/3)2)) Sejam s = - )/ d =.ds e = s. Então: L -2 s) = -s)ss-)/6 = -s 3 - s)/6 L - s) = s2)ss-)/2 = s 3 s 2-2s)/2 L 0 s) = -s2)s)s-)/2 = -s 3 2s 2 s - 2)/2 L s) = s2)s)s/6 = s 3 3s 2 2s)/6 Substtundo na ntegral: 6 f ))d p3)d = f 2 L 2s)ds f L s)ds f L0s)ds f = [9f 9f 5f f 2] L s)ds está presente em f = f ): formulação mplícta

44 ORDEM 4: ESTIMATIVA DE ERRO Pontos de nterpolação: ) ) - - ) -2-2 ) De forma análoga com s = - )/ d =.ds e = s : 5 4) e ) = s 2)s )ss )f ξ ξ))ds 4! 0 Como gs) = s2)s)ss-) é sempre menor ou gual a ero em [0;] então este η 0;) tal que: e ) = 5 5) η) 9 720

45 ALGUNS CASOS Métodos eplíctos Adams-Basfort): Ordem Fórmula Erro 2 = 3f f - )/2 5 3 f ξ)/2 3 = 23f 6f - 5f -2 )/2 9 4 f 3) ξ)/24 4 = 55f 59f - 37f -2 9f -3 )/ f 4) ξ)/720 5 = 90f 2774f - 266f f -3 25f -4 )/ f 5) ξ)/440 Métodos mplíctos Adams-Moulton): Ordem Fórmula Erro 2 = f f )/2-3 f ξ)/2 3 = 5f 8f - f - )/2-4 f 3) ξ)/24 4 = 9f 9f - 5f - f -2 )/ f 4) ξ)/720 5 = 25f 646f - 264f - 06f -2-9f -3 )/ f 5) ξ)/440

46 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

47 MÉTODOS DE PREVISÃO-CORREÇÃO Uma das prncpas desvantagens dos métodos de passo múltplo é que não se auto-ncam: precsam de outros dados geralmente obtdos por algum método de passo smples Runge-Kutta ou sére de Talor por eemplo) Por outro lado parece dfícl utlar métodos mplíctos pos na epressão de aparece f... Na verdade eles são usados em pares prevsor-corretor : ) Através de um método eplícto camado prevsor) encontra-se a prmera apromação 0 para 2) Calcula-se então f = f 0 ) 3) Com um método mplícto camado corretor) utla-se o valor acma para calcular uma nova apromação para 4) Volta-se ao passo 2 e o processo contnua até que um determnado erro relatvo de seja alcançado 5) Caso se deseje calcular 2 calcula-se f e volta-se ao passo

48 EXEMPLO Seja o PVI = - 2 onde ) =. Deseja-se obter valores de com erros relatvos menores que 0-4 Consderemos por eemplo = 0 Neste caso como sabemos que a solução analítca é ) = / vamos utlá-la para calcular 2 e 3 pos usaremos métodos de ordem 4: 0 = 0 = f 0 = - = = / = f = = 2 2 = /2 = f 2 = = 3 3 = /3 = f 3 = Prevsor: 0 4 = 3 55f 3 59f 2 37f 9f 0 )/24 = f 0 4 = f 4 0 4) = - 0 4) 2 = Corretor: 4 = 3 9f 0 4 9f 3-5f 2 f )/24 = f 4 = f 4 4) = - 4) 2 = Corretor: 2 4 = 3 9f 4 9f 3-5f 2 f )/24 = / 2 4 = < 0-4 Calcular f 2 4 usar o prevsor no cálculo de 0 5 e contnuar o processo...

49 CONVERGÊNCIA Questões sobre os métodos de prevsão-correção: Em que condções á garanta de convergênca para? Quantas terações do corretor são necessáras para se atngr essa convergênca na precsão desejada? Teorema: Se f) e f/ são contínuas em e em todo o ntervalo [ab] as terações do corretor vão convergr desde que. f/ < 2 Na prátca basta escoler sufcentemente pequeno... Além dsso a eperênca d que se o par prevsorcorretor for da mesma ordem e satsfer as condções do teorema bastam apenas uma ou duas terações do corretor

50 VOLTANDO AO EXEMPLO ANTERIOR Seja o PVI = - 2 onde ) = f/ = -2 Para que o teorema da convergênca seja satsfeto. 2 < 2 ou seja < / garante a convergênca Todos os valores obtdos para no eemplo anteror são menores que ou seja / > O espaçamento = 0 satsfa a condção egda para a convergênca

51 Defnções CCI-22 Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos de passo múltplo Métodos eplíctos Adams-Basfort) Métodos mplíctos Adams-Moulton) Métodos de prevsão-correção Problemas de Valor de Contorno PVC)

52 PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO Como vmos anterormente dada uma equação dferencal de ordem m > se a função e suas dervadas até a ordem m- não são especfcadas em um mesmo ponto então temos um Problema de Valor de Contorno PVC) A forma mas geral dos PVC é: = f ) a w) b w) = c a 2 ) b 2 ) = c 2 a a 2 b b 2 c e c 2 : constantes reas conecdas a e b não podem ser nulos smultaneamente Se f )=0 e c =c 2 =0 o PVC é omogêneo: tem solução )=0 Veremos a resolução de um PVC através do Método das Dferenças Fntas : As dervadas são apromadas por dferenças fntas A equação dferencal transforma-se em um sstema de equações algébrcas que pode ser resolvdas com os métodos já estudados para sstemas de equações

53 APROXIMAÇÕES DAS DERIVADAS Consderando o ntervalo [ab] dvddo em n partes guas de tamano onde 0 =a e n =b são três as apromações mas usadas para a prmera dervada no ponto : ) - )/ Dferença avançada - ) - )/2 Dferença centrada - ) - )/ Dferença atrasada Podemos estmar os erros cometdos nessas apromações através da fórmula de Talor de ) em torno de onde ξ está entre e : ) = ) ).- )... k) ).- ) k /k! k) ξ).- ) k /k)!

54 ESTIMATIVA DO ERRO O erro cometdo no cálculo de ) através da dferença avançada pode ser estmado com a fórmula de Talor de ) em torno de consderando k = : ) = ) ).- ) ξ).- ) 2 /2 No ponto = = : ) = ) ). - ) ξ ). - ) 2 /2 ) = ) ). ξ ). 2 /2 ) = [ ) - )]/ ξ )./2 Se ) for lmtada em [ab] então: ) = - )/ O) Um resultado análogo pode ser obtdo em relação à dferença atrasada: ) = - )/ O)

55 ESTIMATIVA DO ERRO O erro cometdo no cálculo de ) através da dferença centrada pode ser estmado com a fórmula de Talor de ) em torno de consderando k = 2: ) = ) ).- ) ).- ) 2 /2 ξ).- ) 3 /6 Nos pontos e - : ) = ) ). ). 2 /2 ξ ). 3 /6 - ) = ) - ). ). 2 /2 - ξ - ). 3 /6 Subtrando as equações: ) - - ) = 2 ). [ ξ ) - ξ - )]. 3 /6 ) = [ ) - - )]/2 - [ ξ ) - ξ - )]. 2 /2 Se ) for lmtada em [ab] então: ) = - )/2 O 2 ) Como geralmente < esta fórmula é mas precsa

56 APROXIMAÇÃO DA SEGUNDA DERIVADA Com a fórmula de Talor de ) em torno de agora com k = 3 é possível estmar o erro cometdo no cálculo de ) Nos pontos e - : ) = ) ). ). 2 /2! ). 3 /3! 4) ξ ). 4 /4! - ) = ) - ). ). 2 /2! - ). 3 /3! 4) ξ - ). 4 /4! Somando as equações: ) - ) = 2 ) ). 2 [ 4) ξ ) 4) ξ - )]. 4 /24 ) = [ ) 2 ) - )]/ 2 - [ 4) ξ ) - 4) ξ - )]. 2 /24 Se 4) ) for lmtada em [ab] então: ) = 2 - )/ 2 O 2 )

57 EXEMPLO PVC LINEAR) ) 2 ) ) = onde 0) = 0 e ) = - Usaremos as apromações com erro O 2 ): ) - )/2 ) 2 - )/ 2 Substtundo-as na equação e consderando = : 2 - )/ )/2 = = 2 - ) - 2 2) ) = 3 pos = Como 0 = 0 e 0 = 0 cegamos ao sstema abao: = n 2 n n 2 n ) ). M M O Soluções com = 0 a tabela ao lado não está completa): solução eata erro ) = 2e - -) - 2

58 EXEMPLO PVC NÃO LINEAR) =.sen. onde 0) = e ) = 5 Usaremos a apromação ) 2 - )/ 2 Substtundo-a na equação e consderando = : 2 - )/ 2 =.sen. - -.[2 2 sen )] = 0 pos = Como 0 = 0 0 = n = e n = 5 cegamos ao sstema não lnear abao:.[2 2 sen )] 2 = [2 2 sen )] = 0 <<n- -2 n-.[2 2 sen n- n-))] 5 = 0 Soluções com = 0 a tabela abao também não está completa): Resultado

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