Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

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1 Apostla de Estatístca Curso de Matemátca Volume II 008 Probabldades, Dstrbução Bnomal, Dstrbução Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna 1

2 Capítulo 8 - Probabldade 8.1 Conceto Intutvamente pode-se defnr probabldade como: número de casos favoráves a A p(a) número total de casos possíves Ao conjunto desses casos possíves dá-se o nome de espaço amostral (S). E ao conjunto de casos favoráves a A dá-se o nome de evento A. Ex 1) Probabldade de se obter um número par como resultado de um lançamento de um dado: S {1,,3,4,5,6} e A {,4,6}, então p 3/6 1/ 0,5 ou 50 % Ex ) Probabldade de se obter o número 4 como resultado de um lançamento de um dado: S {1,,3,4,5,6} e A {4}, então p 1/6 0,167 ou 16,7 % Ex 3) Probabldade de se obter um número dferente de 4 no lançamento de um dado: S {1,,3,4,5,6} e A {1,,3,5,6}, então p 5/6 0,833 ou 83,3 % 8. Eventos Complementares O evento do exemplo 3 é denomnado de complementar do evento do exemplo. Ou seja, se p é a probabldade de um evento ocorrer e q é a probabldade de que ele não ocorra, então: 8.3 Eventos Independentes p + q 1 > q 1 - p Dos eventos são ndependentes quando a realzação de um não afeta a probabldade da realzação do outro. Portanto a probabldade de que dos eventos ndependentes se realzem smultaneamente é defndo por: p p A x p B Também conhecda como regra do "e" Ex 1) Probabldade de se obter, smultaneamente, 1 no prmero dado e 5 no segundo é: p p1 p 0,08,8% Eventos Mutuamente Exclusvos Dos eventos são mutuamente exclusvos quando a realzação de um exclu a realzação do outro. Nesse caso a probabldade de que um ou o outro se realze é: p p A + p B Também conhecda como regra do "ou" A B, então p (A B) p(a) + p(b) A B, então p(a B) p(a) + p(b) p(a B) Deve-se observar que se tvermos Mas se

3 Ex 1) A probabldade de se obter 1 ou 5 em um lançamento de dado é: p p1 + p + 0,333 33,3% Exercícos 1) Determne a probabldade de cada evento: a) Uma carta de ouros aparece ao se extrar uma carta de um baralho de 5 cartas b) Uma só coroa aparece no lançamento de 3 moedas Resp: a) p 1/4 b) p 3/8 ) Dos dados são lançados smultaneamente. Determne a probabldade de: a) a soma ser menor que 4; b) a soma ser 9; c) o prmero resultado ser maor que o segundo; d) a soma ser menor ou gual a 5. Resp: a) p 1/1 b) p 1/9 c) p 5/1 d) p 5/18 3

4 3) Em um lote de 1 peças, 4 são defetuosas. Sendo retradas aleatoramente peças, calcule: a) a probabldade de ambas serem defetuosas; b) a probabldade de ambas não serem defetuosas; c) a probabldade de ao menos uma ser defetuosa. Resp: a) p 1/11 b) p 14/33 c) p 19/33 4) Um casal planeja ter 3 flhos. Determne a probabldade de nascerem: a) três homens; b) dos homens e uma mulher. Resp: a) p 1/8 b) p 3/8 4

5 5) Um baralho de 5 cartas é subdvddo em 4 napes:copas, espadas, ouros e paus: a) Retrando-se uma carta ao acaso, qual a probabldade de que ela seja de ouros ou de copas? b) Retrando-se duas cartas ao acaso com reposção da prmera carta, qual a probabldade de ser a prmera de ouros e a segunda de copas? c) Recalcular a probabldade anteror se não houver reposção da prmera carta. d) Havendo reposção, qual a probabldade de sar a prmera carta de ouros ou então a segunda de copas? Resp: a) p 1/ b) p 1/16 c) p 13/04 d) p 7/16 6) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de músca, esporte e letura; 4 gostam de músca e esporte; 30 gostam de músca e letura; gostam de esporte e letura; 6 gostam somente de músca; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de letura. (Sugestão: utlze o dagrama de Venn) a) Qual a probabldade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de músca? b) Qual a probabldade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atvdades? Resp: a) p 44/75 b) p 11/75 7) Uma urna contém 0 bolas numeradas de 1 a 0. Seja o expermento: retrada de uma bola. Consdere os eventos: A {a bola retrada possu um múltplo de }; B{a bola retrada possu um múltplo de 5}. Então, qual é a probabldade do evento A U B? Resp: p 3/5 5

6 Capítulo 9 - Dstrbução Bnomal 9.1 Dstrbução de Probabldade Seja a segunte dstrbução de freqüênca: Número de Acdentes Freqüêncas Por da, Em 1 mês Total 30 Através dos dados apresentados pode-se calcular a probabldade de em um da: não ocorrer nenhum acdente: P /30 0,73 ocorrer 1 acdente: P 5/30 0,17 ocorrer acdentes: P /30 0,07 ocorrer 3 acdentes: P 1/30 0,03 Podemos então elaborar uma tabela denomnada dstrbução de probabldade: Número de Acdentes Probabldade Por da, Em 1 mês 0 0,73 1 0,17 0,07 3 0,03 Total 1,00 Pode-se então determnar uma função que assoce a varável acdentes com a sua probabldade, denomnada função probabldade denomnada por: F(x) P (X x ) 9. Dstrbução Bnomal Aplca-se a expermentos que satsfaçam as seguntes condções: 1) O expermento deve ser repetdo, nas mesmas condções, um número fnto de vezes, n ) As provas repetdas devem ser ndependentes, o resultado de uma não afeta o resultado da outra. 3) Tem-se apenas dos resultados possíves: sucesso ou nsucesso. 4) A probabldade do sucesso em uma tentatva é p e a do nsucesso é q 1-p A probabldade de se obter sucesso k vezes durante n tentatvas é determnado por: f ( X) P( X k) k! n! ( n k) p! k q n k 6

7 Exemplo 1) Uma moeda é lançada 5 vezes segudas e ndependentes. Calcule a probabldade de serem obtdas 3 caras nessa prova. n 5 k 3 p 1/ q 1-p 1-1/ 1/ P ( X 3) ! 3!! Exemplo ) Dos tmes de futebol, A e B, jogam entre s 6 vezes. Encontre a probabldade do tme A ganhar 4 jogos. n 6 k 4 p 1/3 q 1-p 1-1/3 /3 P ( X 4) Exercícos: ! 4!! Exercíco 1) Jogando-se um dado três vezes, determne a probabldade de se obter um múltplo de 3 duas vezes. Resp: p /9 Exercíco ) Ses parafusos são escolhdos ao acaso da produção de uma certa máquna, que apresenta 10% de peças defetuosas. Qual a probabldade de serem defetuosos dos deles? Resp: p 0,0984 7

8 Exercíco 3) Dos estudantes de um colégo, 41 % fumam cgarro. Escolhem-se ses ao acaso para darem uma opnão sobre o fumo. Determne a probabldade de: a) nenhum dos ses ser fumante b) todos os ses fumarem c) ao menos a metade dos ses ser fumante Resp: a) p 4,% b) p 0,48% c) 47,65% 8

9 Exercíco 4) 1% dos que reservam lugar num vôo faltam ao embarque. O avão comporta 15 passageros. a) Determne a probabldade de que todos os 15 que reservaram lugar compareçam ao embarque. b) Se houve 16 peddos de reserva, determne a probabldade de uma pessoa fcar de fora. c) Se houve 16 peddos de reserva, determne a probabldade do avão voar lotado Resp: a) p 14,70% b) p 1,93% c) 41,15% 9

10 Capítulo 10 - Dstrbução Normal Relembrando: Varável é o conjunto de resultados possíves de um fenômeno. A varável pode ser qualtatva, quando seus valores são expressos por atrbutos (ex: sexo, cor), ou pode ser quanttatva, quando seus valores são expressos em números. A varável quanttatva pode ser contínua, quando assume qualquer valor entre dos lmtes (ex: peso, altura, medções), ou pode ser dscreta, quando só pode assumr valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de flhos, contagens em geral). Entre as dstrbuções teórcas de varável contínua, a mas empregada é a dstrbução normal. O aspecto gráfco da curva normal é o segunte s s Ponto de nflexão x Onde x é a méda e s é o desvo padrão. Quando nos refermos a uma dstrbução normal, cta-se a méda e o seu desvo padrão. N (x,s) A equação da curva é a segunte: Y s 1 e π 1 X x s Quando temos em mão uma varável aleatóra com dstrbução normal, nosso prncpal nteresse é obter a probabldade de essa varável aleatóra assumr um valor em um determnado ntervalo. Essa probabldade é representada pela área sob a curva dentro desse ntervalo. A área total sob a curva é 1. O cálculo desse valor é dfícl, sendo então esse já tabelado. Exemplo: 1) Seja um teste de ntelgênca aplcado a um grupo de 50 adolescentes do 3 o ano colegal. Obtevese uma dstrbução normal com méda 50 e desvo padrão 6. Pergunta-se qual a proporção de alunos com notas superores a 60? Transformando a nota 60 em desvos reduzdos tem-se: z 1,67 6 Consultando a tabela verfca-se: 10

11 0,455 P(x>60) Probabldade da nota ser superor a 60 é 0,5-0,455 0,0475 ou 4,75 % ) Com os dados do problema anteror, averguar o número de alunos com notas entre 35 e 45. Calculando os desvos reduzdos tem-se: z 1 z , ,5 6 Consultando a tabela verfca-se: P(35<x<45) Probabldade (área) entre 0 e,5 0,4938 Probabldade (área) entre 0 e 0,83 0,967 Então Probabldade (área) entre,5 e 0,83 0,4938-0,967 0,1971 O número de alunos é 0,1971 x 50 9, pessoas 3) Com os dados do problema anteror, qual é a nota abaxo da qual estão 75% dos alunos? Consultando a tabela, a área é de 0,5 + 0,5 0,75 O valor de z correspondente a área de 0,486 é 0,67 O valor de z correspondente a área de 0,518 é 0,68 Pode-se adotar um valor médo z 0,675 11

12 0,5 0,5 x 50 0,675 x ,675 54, X 4) Achar a probabldade de um valor escolhdo ao acaso seja superor a 50 em uma dstrbução normal de méda 35 e desvo padrão 8. Resp: 0,0304 ou 3,04 % 5) Seja a dstrbução normal de méda 6,74 e desvo padrão de,3. Qual a probabldade de encontrar um valor nferor a 3,4? Resp: 0,0735 ou 7,35 % 1

13 6) Um teste padronzado de escolardade tem dstrbução normal com méda 100 e desvo padrão 5. Determne a probabldade de um ndvíduo submetdo ao teste ter nota: a) maor que 10 b) entre 75 e 15 c) entre 115 e 15 d) qual é a nota abaxo da qual estão 70% dos alunos Resp: a) p 1,19 % b) p 68,6% c) p 11,55% d) 113 7) Os saláros dos funconáros de uma escola têm dstrbução normal com méda de R$ 1500,00, e desvo padrão de R$ 00,00. Qual a proporção de funconáros que ganham: a) entre R$ 1400 e R$ 1600? b) acma de R$ 1500? c) acma de R$ 1400? d) abaxo de R$ 1400? e) acma de R$ 1650? Resp: a) p 38,3 % b) p 50% c) p 69,15% d) p 30,85% e) p,66% 13

14 Capítulo 11 - Correlação 11.1 Conceto A correlação expressa a relação entre duas ou mas varáves. Se duas ou mas varáves varam concumtantemente, dz-se que estão correlaconadas. Exemplo: A estatura de uma pessoa e o seu peso. Para uma estatura maor corresponde, em geral, a um peso maor. Dzemos, por sso, que entre as varáves peso e estatura exste correlação. 11. Correlação Postva, Negatva e Curvlínea a) Correlação postva: valores elevados de uma varável corresponde a valores elevados da outra. Exemplo peso e altura b) Correlação negatva: valores elevados de uma varável corresponde a valores baxos da outra e vce-versa. Exemplo: reprovações e nível de escolardade. c) Correlação curvlínea: começa negatva e termna postva ou vce-versa. Exemplo: tamanho da famíla e stuação sóco econômca. 1.3 Representação Gráfca As correlações varam com respeto a sua força. Podemos vsualzar essa força num dagrama de dspersão que é um gráfco capaz de mostrar a manera pela qual os valores de duas varáves, X e Y, dstrbuem-se ao longo da faxa dos possíves resultados. Exemplo: Renda x Anos de estudo Anos de estudo renda A força da correlação entre X e Y aumenta a medda que os pontos se agrupam em torno de uma lnha reta magnára. 1.4 Coefcente de Correlação (C) Expressa numercamente a força e o sentdo da correlação. Os coefcentes osclam entre -1 e 1 C -1 -> correlação negatva perfeta -1 < C < - 0,6 -> correlação negatva forte -0,6 < C < - 0,3 -> correlação negatva moderada -0,3 < C < 0,0 -> correlação negatva fraca 0,0 < C < 0,3 -> correlação postva fraca 14

15 0,3 < C < 0,6 -> correlação postva moderada 0,6 < C < 1 -> correlação postva forte C 1 -> correlação postva perfeta 1.5 Relação entre duas varáves quanttatvas. Se retrarmos de uma população, uma amostra casual de tamanho N, teremos para cada elemento da amostra um par de observações: um valor de X e um valor de Y. Esses pares determnam N pontos no plano que podem ser representados grafcamente num sstema de exos cartesanos. Y Y 3 Y Y 1 X 1 X X 3 X Ao gráfco acma dá-se o nome de dagrama de dspersão, esses nos fornece uma déa ntutva da eventual relação entre as duas varáves. Pode-se medr essa correlação através do Coefcente de Correlação Lnear de Pearson (r) r [n [ n ( x y )] ( x ) ( y ) x [ ] ( x ) ] [n y ( y ) ] onde 1 r 1 Exemplo: Vamos comparar a correlação das notas de matemátca com as de estatístca de uma amostra aleatóra de 10 alunos de uma classe: N o Notas X. Y X Y Matemátca (X ) Estatístca (Y ) Total

16 Logo: r [n [ n ( x y )] ( x ) ( y ) x [ ] ( x ) ] [n y ( y ) [ ] [ 65 65] [ ] [ ,189 0,911 ] ] [ ] [ ] Correlação Forte Exercíco 1: Relação entre nível educaconal do respondente e do respectvo pa, meddos em anos de freqüênca à escola. Crança Anos de Escola X. Y X Y Pas (X ) Flhos (Y ) A 1 1 B 10 8 C 6 6 D E 8 10 F 9 8 G 1 11 Total Resp: r 0,755 correlação postva forte 16

17 Capítulo 13. Regressão. No dagrama de dspersão do capítulo anteror, a reta é defnda por uma equação do 1 o grau de formato: ŷ a x + b, onde ŷ é um valor estmado de y Pode-se então determnar os valores de a e b da equação através de: [ n ( x y )] ( x ) ( y ) b y a x [ ] ( x ) a n x onde n é o número de elementos da amostra; x é a méda dos valores x > y é a méda dos valores y > x y Exemplo: Para o exemplo 1 anteror x n y n N o Notas Matemátca (X ) Estatístca (Y ) X. Y X Y Total a [ n ( x y )] ( x ) ( y ) n 65 x y 6,5 10 b 6,5 0,863 6,5 0,889 x [ ] ( x ) a 0,86 e b 0,89, então ŷ 0,86X + 0,89 [ ] [ 65 65] ,

18 Exercíco: Determne a equação da reta do exercíco 1 do capítulo anteror Crança Anos de Escola Pas (X ) Flhos (Y ) A 1 1 B 10 8 C 6 6 D E 8 10 F 9 8 G 1 11 Total X. Y X Y Resp: y 0,5 x + 4, 18

19 Dstrbução Bnomal 19

20 Dstrbução Normal 0

21 Correlação 1

22 ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA DE 0 A Z 0 z z ,0000 0,0040 0,0080 0,010 0,0160 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,1700 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,190 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,580 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,910 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,3340 0,3365 0, ,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,46 5 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0, ,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,477 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817,1 0,481 0,486 0,4830 0,4834 0,4838 0,484 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857, 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916,4 0,4918 0,490 0,49 0,495 0,497 0,499 0,4931 0,493 0,4934 0,4936,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,495,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,496 0,4963 0,4964,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,497 0,4973 0,4974,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981,9 0,4981 0,498 0,498 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0, ,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,499 0,499 0,499 0,499 0,4993 0,4993 3, 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3

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