Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S

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1 Unversdade Federal da Baha Insttuto de Físca Departamento de Físca da Terra e do Meo Ambente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Físca I SALVADOR, BAHIA 013 1

2 Prefáco Esta apostla é destnada aos alunos dos laboratóros dos Cursos de Físca Geral e Expermental I. Ela fo elaborada para que o aluno menos preparado possa, ao lê-la, assmlar faclmente o conteúdo das matéras e, conseqüentemente, provocar o nteresse pelo curso. Nela está ncluída uma ntrodução à Teora dos Erros, na qual são apresentados concetos báscos e essencas desta teora, além de roteros e de uma breve descrção teórca dos expermentos a serem desenvolvdos durante o curso. Esta apostla tem como objetvo ensnar aos estudantes a prátca e os métodos de meddas dretas e ndretas, com nstrumentos smples, dando-lhes segurança no que devem entender por medr grandezas físcas. No texto, são preservados os aspectos que professores e alunos usuáros, da prmera versão da apostla com dos volumes nttulados "Teora dos Erros" e "Mecânca" (Roberto Max de Argollo, Clemro Ferrera, Tereza Saka, 1998) e da segunda versão da apostla nttulada "Textos de Laboratóro" (Francsco Clodoran Fernandes Cabral, Alexandre Barreto Costa e Alberto Brum Novaes, Dva Andrade da Slva, Antono Slva Souza (Bello) e Fredrch W. Gutmann, 006),consderaram desejáves ao mesmo tempo em que ncorporaram certo número de modfcações e atualzações. Nessa versão elaborada por Alexandre Barreto Costa e Francsco Clodoran Fernandes Cabral, com a colaboração dos técncos Roque Cesáro e Elas Santos, foram fetas novas correções e reordenados os assuntos contdos na mesma, de manera a melhorar a compreensão dos mesmos. Aos professores e alunos: Este texto ntroduz os concetos báscos e os parâmetros essencas da teora de erros e contém algumas aplcações prátcas de nteresse dos trabalhos de laboratóro de Físca Geral. Um estudo mas aprofundado poderá ser feto na bblografa ctada.

3 ÍNDICE CAPÍTULO I - TEORIA DOS ERROS Parte 1 - Concetos báscos 1. Introdução Grandezas, dmensões e undades Meddas dretas e ndretas Classfcação dos erros Algarsmos sgnfcatvos População e amostra Valor mas representatvo duma grandeza Valor verdadero, valor mas provável, erro e desvo Dscrepânca e dscrepânca relatva Exatdão e precsão Parte Tratamento de Erros Expermentas 11. Freqüênca e probabldade Representação de meddas como uma dstrbução Função de Gauss Meddas de dspersão Nível de confança com o desvo padrão Rejeção de dados Lmte de erro nstrumental, desvo avalado e desvo relatvo Propagação de erros Independentes Regras para representação do valor e do desvo de uma medda Resumo do capítulo I... Exercícos do capítulo I... CAPITULOII ANÁLISE GRÁFICA DE DADOS EXPERIMENTAIS 1. Regras (Guas) para a Representação Gráfca Interpolação e Extrapolação Determnação Gráfca dos Parâmetros da Função Lnear Lnearzação de Curvas Lnearzação pelo Método da Anamorfose Lnearzação pelo Método Logarítmco Método dos Mínmos Quadrados Exercícos do capítulo II Bblografa

4 CAPÍTULO I TEORIA DE ERROS PARTE 1- CONCEITOS BÁSICOS 1 - Introdução As determnações expermentas envolvem meddas e como as meddas estão sempre sujetas a alguma ncerteza, é precso fazer-se alguma estmatva dessas ncertezas antes que os resultados possam ser nterpretados ou usá-los. Assm, quando medmos uma grandeza um certo número de vezes, os valores obtdos provavelmente não serão dêntcos devdo aos erros expermentas. Surgem, então, as questões: qual o número que se deve adotar como o valor mas representatvo da grandeza medda? Com que grau de confança pode-se afrmar que o número adotado representa este valor? Assm, para analsar os resultados de uma experênca torna-se necessáro, portanto, fxarem-se crtéros para escolher o valor representatvo e seu domíno de flutuação, e estabelecer-se o nível de confança a tal domíno. Tas questões são objetos de estudos da teora dos erros. Tendo-se pos, uma sére de meddas de uma grandeza, com a teora de erros, procuramos responder às questões: 1. Qual o valor mas representatvo da grandeza?. Que medda de dspersão usar para defnr um ntervalo de varação para a medda? 3. Como se assocar uma chance de reprodutbldade (nível de confança) a um dado ntervalo? 4. Como propagar os erros assocados às grandezas meddas a outras grandezas calculadas a partr delas, através de expressões matemátcas? - Grandezas, dmensão e undades Uma grandeza físca é uma propredade de um corpo, ou partculardade de um fenômeno, susceptível de ser medda, ou seja, à qual se pode atrbur um valor numérco. As grandezas podem ser vetoras ou escalares, conforme será mostrado na parte teórca do curso. Cada grandeza está assocada a uma únca dmensão, e esta dmensão pode ser expressa em dferentes undades. As grandezas estudadas neste curso (geométrcas, cnemátcas e dnâmcas), são expressas em função de três grandezas fundamentas: comprmento [L], massa [M] e tempo [T]. Convenconalmente, na escrta das equações dmensonas, as grandezas são postas entre colchetes. Por exemplo, a equação dmensonal da aceleração g devda à gravdade é escrta como [g] = [L] [T] -. Se uma dmensão dmensão é o expoente de uma grandeza fundamental é zero ela não precsa ser escrta. Por exemplo, a constante elástca k duma mola pode ser obtda pela relação entre uma força e um comprmento. Assm, sua equação dmensonal é escrta como: [k] = [M] [L] [T] - [L] -1 = [M] [T] -. Ao por os valores das grandezas numa equação, atente para que todos eles estejam num mesmo sstema de undades. Valor recomendado para g em Salvador, meddo no Ano Geofísco Internaconal: 4

5 g local = 9,7833 m/s ou g local = 978,33 cm/s Tabela 1 - Dmensões e undades nos sstemas CGS e SI (MKS) das prncpas grandezas de Mecânca Grandeza Dmensão Sstema CGS Sstema MKS L M T Undade Nome Undade Nome Comprmento [L] Cm centímetro m metro Massa [M] G grama kg qulograma Tempo [T] S segundo s segundo Área [L] cm m Volume [L] 3 cm 3 m 3 Velocdade [L] [T] -1 cm/s m/s Aceleração [L] [T] - cm/s m/s Força [M] [L] [T] - g cm s - dna (dyn) kg m s - Newton (N) Energa [M] [L] [T] - g cm s - erg kg m s - Joule (J) Potênca [M] [L] [T] -3 g cm s -3 erg/s kg m s -3 Watt (W) Pressão [M] [L] -1 [T] - g cm -1 s - dyn/cm kg m -1 s - Pascal (P) Torque [M] [L] [T] - g cm s - dyn cm kg m s - N m 3 - Meddas dretas e ndretas As grandezas podem ser meddas dreta ou ndretamente, havendo, em cada caso, um modo dferente de tratar seus valores e os erros a eles assocados. Meddas dretas são as obtdas por smples comparação utlzando-se nstrumentos de medda já calbrados para tal fm. Neste tpo de medda devemos dstngur dos casos: () a medda é feta através de uma únca determnação onde o valor numérco ou é ldo numa escala (régua, paquímetro, cronômetro, balança, etc.) ou é fornecdo dretamente como no caso de massas aferdas. () a medda é obtda através de váras determnações onde o valor numérco é dado pelo Valor Mas provável (defndo posterormente na seção 5). Meddas ndretas são todas aquelas relaconadas com as meddas dretas por meo de defnções, les e suas consequêncas. Neste tpo de meddas o valor numérco assm como a dmensão e a undade correspondentes, são encontradas através de expressões matemátcas que as lgam ás meddas dretas envolvdas. Exemplo é a determnação do volume de um clndro a partr das meddas de suas dmensões. 4 - Classfcação de erros As meddas expermentas são ordnaramente acompanhadas de alguma ncerteza e esta ncerteza lmta o objetvo de se conhecer o valor verdadero da grandeza. Têm-se, assm, os erros, os quas podem ser classfcados nos seguntes tpos: Erros grosseros são aqueles cometdos devdo à falta de atenção ou de prátca do operador. Deste tpo são os erros cometdos em operações matemátcas, enganos na letura ou escrta de dados, ou engano na letura duma escala. A possbldade de ocorrênca desses erros pode ser bastante reduzda pela atenção do operador e pela repetção das meddas e dos cálculos. Erros sstemátcos são aqueles decorrentes de causas constantes e se caracterzam por ocorrerem sempre com os mesmos valores e snal. São deste tpo os erros devdos a aparelhos descalbrados, a métodos falhos, ao uso de equações ncompletas, a condções ambentas nadequadas aos nstrumentos de medda e a hábtos errados do operador. O modo de elmnarem-se esses erros, ou reduz-los a um mínmo, é trabalhar com nstrumentos calbrados os nstrumentos devem estar "zerados" e, quando for o caso, com a calbração corrgda para as condções 5

6 ambentas com métodos corretos e equações adequadas. No caso de se ter meddas afetadas por um erro sstemátco e se conheça seu valor e snal, é possível elmná-lo, já que ele entra com valor e snal guas em todas as meddas. Erros aleatóros são aqueles devdos a causas fortutas. Também chamados de erros aleatóros ou estatístcos, eles resultam do somatóro de pequenos erros ndependentes e ncontroláves afetando o observador, o nstrumento de medda, o objeto a ser meddo e as condções ambentas. São causas desses erros, por exemplo, a varação do "mlímetro" ao longo de uma reta mlmetrada; a flutuação dos nstrumentos de medda lgados na rede elétrca; a estmatva que o observador faz na letura de dados, as pequenas varações da grandeza medda quando comparadas à sensbldade do arranjo expermental (no caso de a varação da grandeza ser bem maor que a sensbldade do arranjo expermental, a dferença entre as meddas deve ser atrbuída à própra varação da grandeza). Sendo esses erros orgnados por um grande número de causas, todas elas provocando varações, para mas e para menos, de ntensdade dentro da sensbldade do arranjo expermental, eles obedecem a les matemátcas bem defndas e podem ser tratados pela teora estatístca. 5 - Algarsmos sgnfcatvos Defnção: Numa medda, são dtos sgnfcatvos todos os algarsmos contados a partr do prmero não nulo (dferente de zero), ou seja, o zero a esquerda não conta como sgnfcatvo. Pelo menos um algarsmo duvdoso é ncluído no resultado de uma medda, mesmo que ele seja zero. Exemplos: o número 35 tem dos algarsmos sgnfcatvos; o número 3,50 tem três; o número 0,047 tem dos; o número,8 x 10 4 tem dos (somente os algarsmos em frente à potênca de 10 são sgnfcatvos). Ao medr o comprmento do objeto da fgura abaxo, usando uma régua mlmetrada, é possível, neste caso, apresentar esta medda com no máxmo três algarsmos, ou seja, 9,4mm ou,94 cm. Neste resultado, os dos prmeros algarsmos ( e 9) temos certeza, enquanto que o algarsmo 4 já é duvdoso, sendo estmando vsualmente. Assocar a esta medda um quarto algarsmo, é errado, uma vez que este é desconhecdo para a régua mlmetrada Fg. 1 Toda medda contém geralmente uma margem de erro e, por sso, o resultado da medda deve ser escrto com um número de algarsmos sgnfcatvos tal que procure representar a precsão obtda para a medda. O últmo algarsmo regstrado é o duvdoso, porque ele é o algarsmo sujeto as ncertezas. Regras de aproxmação de algarsmos sgnfcatvos: Às vezes é necessáro fazer uma aproxmação de um resultado de acordo com o número de sgnfcatvos das meddas que lhes deram orgem. Deste modo os dígtos excedentes são arredondados, usando-se os seguntes crtéros: 1- Se o prmero dígto desprezado for um número varando entre 0 e 4, o anteror não será alterado; - Se for de 5 a 9, o anteror é acrescdo de uma undade. Regras de operações com algarsmos sgnfcatvos: Nas operações com algarsmos sgnfcatvos deve-se preservar a precsão do resultado fnal. Valem, então, as seguntes regras: 6

7 1- Na multplcação e dvsão o resultado fnal deve ser escrto com um número de sgnfcatvos gual ao do fator com menor número de sgnfcatvos. Exemplos: 3,7 4,384 = 16 ; 0,63 0,0 = 3, ; 4,40 64 =,75 x Em operações envolvendo nverso de números e multplcação por fatores constantes, o número de sgnfcatvos deve ser preservado no resultado. Exemplos: 1 = 0, 00403; 48 6,3 = 1,5 ; 4π 13, 5 = Na soma e subtração o resultado fnal terá um número de decmas gual ao da parcela com menos decmas. Exemplos: 3,4 + 0,56, = 1,4; 34 +,9 0,5 = 36; 0,831 6,6x10-3 0,79 = 0, População e Amostra Os Concetos de população e amostra são fundamentas para entender város concetos da teora de erros que serão utlzados no decorrer deste curso. Fórmulas matemátcas guas possuem dferentes enfoques com relação a estes concetos. População: As meddas e contagens em estatístca, para terem sentdo, devem ser lmtadas a certo grupo ou conjunto de objetos ou elementos chamados amostragem de população. As populações podem ser classfcadas em fntas e nfntas, conforme seja fnto ou nfnto o número de objetos ou elementos que as compõem. Exemplo de uma população fnta é o número de eletores na Baha (este número é lmtado). Exemplo de uma população nfnta é a medda da massa de um objeto (pode-se fazer um número lmtado de meddas). Amostra: É uma parte de uma população estatístca que fo tomada ao acaso e usada como base para fazer-se estmatvas e trar-se conclusões sobre a população. Assm, quando desejamos medr a massa de um objeto, na mpossbldade de medrmos todos os valores possíves, o que fazemos é medr alguns valores e, a partr deles, nferr o valor da massa. 7 - Valor mas representatvo de uma grandeza Consderemos agora a segunte questão: se são fetas n meddas de uma grandeza, X 1, X,..., X n, todas gualmente confáves, sto é, observadas nas mesmas condções, mas nem todas com o mesmo valor devdo aos erros acdentas, qual o valor que melhor representa a grandeza? Podemos resolver esta questão utlzando o método dos mínmos quadrados, proposto por Legendre, em 1806, como segue. Seja x o resíduo da medda X, defndo como: x = X X, = 1,,..., n, (01) onde X é um valor qualquer. O método dos mínmos quadrados dz que o valor X mas representatvo das meddas X é um valor X tal que reduz a soma dos quadrados dos resíduos a um mínmo. Esta soma é dada por, U( X ) x = ( X X ), = 1,,..., n, (0) onde, por convenênca, fzemos o somatóro dos quadrados dos resíduos gual a U( X ). 7

8 A representação gráfca de U( X ) versus X é uma parábola com a abertura voltada para cma. As coordenadas U 0 e X de seu vértce dão, respectvamente, o valor mínmo de U( X ) e, de acordo com o método dos mínmos quadrados, o valor mas representatvo das meddas X. Desenvolvendo o quadrado de U( X ), vem: U( X ) = X X X + n X. (03) O valor X que faz U( X ) um mínmo é obtdo pela condção du/d X = 0. Então: du dx = X n X + = 0. (04) O resultado é: X X =, n = 1,,..., n. (05) X é, assm, a méda artmétca dos n valores meddos X. 8 - Valor verdadero, valor mas provável, erro e desvo Utlzando o conceto de população e amostra, os resultados obtdos no tem 7 passam a ter um sentdo. A méda artmétca será chamada de valor verdadero quando nserda no conceto de população e de valor mas provável para o conceto de amostra. Do mesmo jeto, o resíduo será denomnado erro quando nserda no conceto de população e de desvo para o conceto de amostra O valor verdadero, µ (letra grega, lê-se m), dos N elementos de uma população é defndo como o valor mas representatvo da população, o qual, de acordo com a Eq. (05), é a méda artmétca desses N elementos, ou seja, µ = X, = 1,,...N. (06) N As populações mas comuns na Físca (meddas de comprmento, massa, tempo) são nfntas e, nestes casos, µ é defndo como a méda artmétca de uma sére nfnta de meddas. O valor verdadero assm defndo não é uma varável aleatóra, mas uma constante, cujo valor se busca estmar. Ele é um parâmetro estatístco mportante na teora da medda, anda que sua determnação exata seja, em geral, hpotétca. O valor mas provável ( v.m.p.), X, de uma amostra com n elementos, de acordo com a Eq. (05), é a méda artmétca dos n valores, ou seja, X X =, = 1,,..., n. (07) n Como veremos adante, na dstrbução de Gauss, o v.m.p. X é uma estmatva do valor verdadero µ e é a melhor estmatva que se pode obter dele sem se fazer medda adconal. A méda artmétca (ou vmp ) deverá ser escrta com um sgnfcatvo a mas que as meddas (sto se justfca já que a méda é mas exata que as meddas ndvduas e para, nas operações matemátcas, reduzrmos os erros sstemátcos, dando, assm, maor segurança ao resultado). O erro, e, de uma medda X é a dferença entre este valor e o valor verdadero da grandeza, ou seja: e = X µ. (08) Exceto em alguns casos trvas, o valor verdadero é desconhecdo e, portanto, o módulo do erro é hpotétco. Contudo, este é um conceto útl na teora de erros. O desvo, d, de uma medda X é a dferença entre este valor e o valor mas provável, ou seja: 8

9 d = X X. (09) O desvo assm defndo tem duas propredades mportantes. A prmera se refere à soma dos quadrados dos desvos é um mínmo, como vmos no tem 6. O valor desta soma será usado adante no cálculo de algumas grandezas e uma expressão convenente para calculá-la, pode ser obtda quadrando-se a Eq. (09) e tomando-se a soma de seus termos. Então, d = X X X + n X. (10) Pela Eq. (05), tem-se que Σ X = n X. Então, d = ( X X ) = X nx. (11) A segunda propredade, por sua vez, é a soma algébrca dos desvos é zero e sto decorre da própra defnção do valor médo. De fato, tomando-se o somatóro dos desvos na Eq. (09) e consderando a Eq. (05), vem: 9 - Dscrepânca e Dscrepânca relatva d = X n X = n X n X = 0 (1) A dscrepânca é a dferença entre dos valores meddos de uma grandeza, tal como a dferença entre os valores obtdos por dos estudantes ou a dferença entre o valor encontrado por um estudante e um recomendado ou tabelado. É ncorreto usar-se os termos erro ou desvo para representar tas dferenças. A dscrepânca relatva,, (letra grega, lê-se delta) entre duas meddas X ' e X " de uma grandeza é defnda pela relação (em %): = X ' X" 100 mn( X ', X ") (13a) Quando uma das quantdades é consderada uma referênca (valor tabelado, valor médo,...), utlzamos a expressão segunte: X X ref = 100 X ref (13b) 10 - Exatdão e precsão Exatdão é uma medda de quão próxmo o valor expermental está do valor verdadero. A exatdão tem a ver com os erros sstemátcos e uma medda é dta ser tão mas exata quanto menores forem estes erros. A exatdão de uma medda X ' pode ser avalada pela dscrepânca relatva (Eq. 13), onde X " é o valor verdadero da grandeza (alguns poucos casos em que ele é conhecdo) ou um valor recomendado. A exatdão é tanto maor quanto menor for a dscrepânca relatva. Precsão é uma medda de quão concentradas estão as meddas expermentas em torno do valor mas provável. A precsão tem a ver com os erros aleatóros e uma medda é dta ser tão mas precsa quanto menor forem estes erros. Uma dstnção entre exatdão e precsão está lustrada na Fg., onde são mostrados alvos com marcas de balas de dos rfles fxados rgdamente e mrando o centro de cada alvo. Em ambos os casos, o centro de fogo (valor mas provável) está sstematcamente deslocado do centro do alvo 9

10 (valor verdadero), menos em (b) do que em (a). Dz-se, então, que a exatdão em (b) é maor do que em (a). Já a dspersão dos tros (valores ndvduas dstrbuídos aleatoramente) é menor em (a) do que em (b). Dz-se, então, que a precsão é maor em (a) do que em (b). (a) Fgura (b) 10

11 PARTE - TRATAMENTO DE ERROS EXPERIMENTAIS 11 - Freqüênca e probabldade Incalmente, defnamos freqüênca e probabldade, dos concetos mportantes na teora estatístca. A freqüênca, na estatístca, está dvdda em: A Freqüênca absoluta de um acontecmento é o número de vezes que o mesmo ocorreu. Assm, se um dado é lançado 30 vezes e ocorre 8 duques, a freqüênca absoluta do "duque" é 8. Freqüênca relatva, ou smplesmente freqüênca, é a relação entre o número de vezes que o acontecmento ocorreu e o número de vezes que ele podera ter ocorrdo, podendo ser expressa em %. Assm, no exemplo acma, a freqüênca do "duque" é 8/30, ou 6,7 %. A probabldade é defnda, pelo quocente entre o número de casos favoráves e o número de resultados possíves de um determnado evento. Assm, consderando as probabldades P de sucesso e Q de falha são dadas, respectvamente, por p q P = e Q =. p + q p + q onde: p é o número que um dado evento pode ocorrer e q o número de modos do evento falhar. O valor da probabldade nunca pode exceder à undade, ou seja, a soma das probabldades de todos os eventos possíves deve ser gual à undade sendo nterpretada como certeza. Neste caso, P + Q = 1. Exemplo: a probabldade de ocorrer um duque num únco lançamento de um dado com 6 faces é 1/ 6 e a de não ocorrer o duque é 5/6. A soma destas probabldades é gual à undade. Embora a probabldade de ocorrer um duque seja 1/6, sso não mplca que em 30 lançamentos ocorram 5 duques (30 x 1/6). Na verdade, pode ocorrer qualquer número entre 0 e 30, porque quando o número de lançamentos é pequeno não há uma relação clara entre freqüênca e probabldade. No entanto, quando o número de lançamentos cresce ndefndamente, o número de "duques" tenderá a aproxmar-se do prevsto pela probabldade. Daí a le de Jacques Bernoull: quando o número de experêncas tende a nfnto, a freqüênca tende à probabldade. Esta le, chamada de "Le dos Grandes Números", vale para acontecmentos aleatóros em que uma dada ocorrênca ndepende nteramente da anteror. A freqüênca está relaconada ao conceto de amostra enquanto que a probabldade está assocada ao conceto de população. 1 - Representação gráfca de meddas como uma dstrbução A representação gráfca de meddas também se relacona com o conceto de amostra (freqüêncas) e população (probabldade) sendo que, o gráfco de dstrbução de freqüêncas é o hstograma e o de probabldade é dado, neste caso, pela dstrbução de Gauss. Hstograma Os hstogramas são os gráfcos mas adequados para a descrção de dados orundos de varáves quanttatvas. Eles mostram as freqüêncas de observações para cada valor ou conjunto de valores da varável que se deseja descrever. Neste gráfco, no exo das abscssas (X), são marcados ntervalos de meddas e no exo das ordenadas (Y) a freqüênca absoluta (podendo ser expresso também com freqüêncas relatvas) com que as meddas ocorrem em cada ntervalo. A sua 11

12 dstrbução depende dretamente da largura dos ntervalos, sendo convenente escolhê-los de manera que, os ntervalos próxmos do valor mas provável tenham uma freqüênca absoluta maor que 10. A sua construção segue os seguntes passos (*Opconal): 1-Ordenar os valores em ordem crescente e determnar a Ampltude Total: R R = Maor medda Menor medda (14) - Como os dados são agrupados em ntervalos, faz se necessáro escolher o número de ntervalos K. Há város crtéros para determnar o número de dentre os quas:.1-fórmula de Sturges: K = 1+ 3,33log.-Raz quadra do número de meddas ou seja : K = n n..3- Regra empírca, dada pela tabela abaxo: Tabela 1 Número de meddas (n) Número de Intervalos (K) Menor que 5 5 ou 6 Entre 5 e 50 De 7 a 14 Maor do que 50 De 15 a 0 Onde n é o número de meddas que se deseja representar. 3- Achar o tamanho dos ntervalos (guas): h R K (15) Com base nos valores dos parâmetros obtdos, pode-se construr um hstograma, Fgura 3 À proporção que o número de meddas aumenta, o tamanho do ntervalo tenderá a dmnur. Sendo que, quando o número de meddas tende a nfnto o tamanho do ntervalo tenderá a ser zero o gráfco de freqüêncas (hstograma) tenderá, para o nosso tpo de amostras, a uma curva contnua de probabldade Gaussana descrta pela função de Gauss (Fgura 3). Se fzermos outra sére meddas, é muto provável que o hstograma construído com elas não concda com o anteror. Em outras palavras, as freqüêncas de meddas por ntervalo nesta segunda sére poderão dferr daquelas da prmera, sgnfcando que a dstrbução das freqüêncas da sére está sujeta ao que se denomna de flutuação estatístca. Se repetrmos o processo com meddas, verfcaremos que as flutuações serão bem menores. Então, podemos conclur que quando o número de meddas crescer ndefndamente e os ntervalos forem permanentemente reduzdos, o 1

13 hstograma tenderá a uma curva contínua. Essa curva é denomnada curva de dstrbução normal ou curva de Gauss e se essa curva possur uma representação analítca, esta função é denomnada função densdade de probabldade normal ou função de Gauss. n Fgura A Função de Gauss Na seção anteror, vmos que quando o número de observações é sufcentemente grande, pode-se tomar a freqüênca de ocorrênca das meddas pela probabldade delas ocorrerem. Se para um grande número de meddas construrmos um gráfco no qual as abscssas sejam os desvos x as dferenças entre os valores meddos e o valor médo das meddas e as ordenadas sejam as freqüêncas com que esses desvos ocorrem, obtemos uma curva do tpo mostrado na Fg.. Ela é denomnada curva normal ou curva de Gauss. Sua expressão analítca, chamada de função densdade de probabldade normal, ou, smplesmente, função de Gauss é f ( x)= hπ e h x (16) O gráfco de f ( x) contra x, onde x=(x -µ) dá a dferença entre o valor do dado e o valor verdadero, é mostrado na Fg. 5. Vemos que a curva é smétrca em relação a um valor central máxmo e tende assntotcamente a zero. Fgura 5 O valor da ordenada na orgem é dado por f (0) = h π. Vê-se, então, que quanto maor for o número de meddas guas ao valor verdadero, maor será h. Na Fg. 5, são dadas três curvas de Gauss com dferentes índces de precsão. As três curvas têm a mesma área, mas dferentes valores de h. A forma mas estreta da curva ndca que o conjunto meddas da população estão mas próxmas do valor verdadero da grandeza medda, ou seja, os valores estão menos dspersos. Uma menor dspersão ndca uma alta precsão e um valor maor de h. Inversamente, um h pequeno ndca meddas de baxa precsão e a curva é achatada. Por sso, Gauss denomnou h de índce de precsão. 13

14 14 - Meddas de dspersão Tendo-se chegado à expressão do v.m.p. de uma sére de meddas, a segunda questão proposta na Seção 1 é encontrar o erro que se está cometendo, ou seja, a dspersão a que está sujeta o v.m.p. É necessáro, pos, defnr-se grandezas que possam ser avaladas numercamente e que representem as propredades de nteresse vsualzadas no gráfco. Em partcular, desejamos uma grandeza que tenha relação com a largura da curva de Gauss, já que ela é uma ndcação da precsão das meddas. A segur, veremos algumas dessas grandezas. Desvo quadrátco médo:de acordo com a Eq. (0), U 0 é a soma dos quadrados dos desvos em relação à méda, ou seja, U 0 = ( X - X ) = 1,,..., n. (17) Defne-se como desvo quadrátco médo, dqm, o valor médo de U 0, ou seja U dqm = 0. (18) n Como já vmos, U 0 representa o valor mínmo para a soma dos quadrados dos desvos. Já a raz do dqm dá uma ndcação de como uma partcular sére de n valores desva de seu v.m.p. Raz do desvo quadrátco médo. Vmos que o desvo quadrátco médo, dqm, representa o valor mínmo para a méda artmétca dos quadrados dos desvos. Podemos, então, utlzar a raz do desvo quadrátco médo, s, como um desvo para a grandeza. A expressão para s, é: d X X ( ) s = = = 1,,..., n. (19) n n Uma expressão alternatva, é obtda substtundo-se na Eq. (19), o somatóro d pela expressão obtda na Eq. (11). Fazendo-se a substtução, vem: X n X s = = 1,,..., n (0) n Infelzmente, apesar de s ter uma grande mportânca teórca, ele não tem uma maor sgnfcânca como desvo, porque ele ndca apenas como uma partcular sére de n valores desvam de seu v.m.p.. Não se sabe, porém, se ele sstematcamente depende ou não do número de meddas na sére. Ademas, uma nova de sére n meddas geralmente não produz nem um v.m.p. dêntco ao prmero, nem uma mesma sére de desvos, devdo às flutuações estatístcas. Raz do erro quadrátco médo. Uma grandeza mas sgnfcatva para a medda da dspersão, devdo a sua conexão dreta com a função de Gauss, é a raz do erro quadrátco médo, σ (letra grega, lê-se sgma). A relação de σ com os parâmetros da função de Gauss é 1 σ =, (1) h ou seja, σ é nversamente proporconal ao índce de precsão h. Ele é, então, uma ndcação da precsão da medda. Ou seja, quanto maor O erro quadrátco médo, eqm, é defndo como a méda artmétca dos quadrados dos erros de todos os N elementos da população. Ele representa, portanto, o dqm de uma medda ndvdual em torno da méda da população, ou seja, do valor verdadero. O quadrado σ é também denomnado varânca. 14

15 σ = σ = N N e e = = ( X ( X N N µ ) µ ) () Desvo padrão. Vmos que, apesar da vala de σ como medda de dspersão do v.m.p., sua determnação é hpotétca pela mpossbldade de fazermos todas as meddas da população. O melhor que podemos fazer é tomar uma sére fnta de meddas e, usando-a como uma amostra da população, calcular a melhor estmatva para σ. Pode-se mostrar que, para uma sére de n meddas a melhor estmatva de σ é o desvo padrão s, dado pela expressão: s = Analogamente à Eq. (0) obtêm-se, d ( X X ) = n 1 n 1 s = X n X n 1, = 1,,..., n. (3), = 1,,..., n. (4) Entre s e s, a dferença numérca é geralmente pequena, mas a dstnção é mportante concetualmente. O fato de s ser maor do que s é esperado, pos se vu que este é obtdo com a soma dos quadrados dos desvos em torno da méda da amostra, a qual mostramos ter um valor mínmo. Desde que a méda da população geralmente não concde com a da amostra, a soma dos quadrados dos desvos de uma amostra fnta em torno da méda da população não é um mínmo. Também, é nteressante notar que o aparecmento do fator n 1 deve-se ao fato de haver apenas n 1 desvos funconalmente ndependentes, já que exste a relação de condção segundo a qual a soma dos quadrados dos desvos é um mínmo. Ademas, quando n =1 o conceto de desvo perde o sgnfcado. Desvo padrão da méda. Até este ponto, temos buscado estmar o desvo padrão para uma únca medda. Para sto, desenvolvemos um procedmento para, a partr de uma amostra de n observações, estmar o desvo que teríamos se fzéssemos uma únca observação. Mas nosso prncpal nteresse é estmar o desvo do v.m.p. X em relação ao valor verdadero µ, pos sabemos que, para uma amostra de n meddas, X é a melhor estmatva de µ. Poderíamos, naturalmente, fazer váras séres de n meddas, calcular suas respectvas médas e aplcar a essas médas os procedmentos desenvolvdos até aqu para as meddas X, já que as médas X são também varáves aleatóras. Poderíamos, também, calcular a méda dessas médas, que será anda mas exata e nqurr sobre seu desvo. Felzmente, pela aplcação da teora dos erros, podemos estabelecer um procedmento para calcular o desvo da méda de n meddas em relação ao valor verdadero, sem ter que repetr váras séres de meddas. Como mostraremos na Seção 3, esse desvo, denomnado desvo padrão da méda, ou erro padrão e representado por ε (letra grega, lêse épslon ), é dado pela expressão: ε = ( X X ) n( n 1) = s n, = 1,,..., n. (5) Então, o desvo padrão da méda é gual ao desvo padrão de uma medda ndvdual dvddo pela raz do número de meddas ndependentes. Em outras palavras, a precsão melhora na proporção da raz do número de meddas. Este é um prncípo fundamental da estatístca. 15

16 15 - Nível de confança com o desvo padrão Defnda a medda de dspersão (consderamos o desvo padrão), a tercera questão posta na Seção 1 é como se assocar uma chance de reprodutbldade a um ntervalo de varação defndo para a medda, mantdas as condções de medção. Em outras palavras, defnr um ntervalo [ X ± α s ], onde α é uma constante a ser defnda pela le de dstrbução de tal modo que uma nova medda X tenha uma dada chance de jazer neste ntervalo. 1 Usando a Eq. (16), substtundo X pelo erro e (Eq. 08) o valor de h = dado pela σ Eq. (1), a expressão resultante permte calcular a probabldade de uma medda jazer num dado ntervalo. Assm, a probabldade P( X, X ) de uma medda jazer no ntervalo [ X, X ] é: P( X1, X )= 1 X X1 1 e σ π ( X µ ) σ 1 dx. (6) Para o ntervalo [µ -σ, µ + σ], a ntegral da Eq. (6) vale 0,686. Isso sgnfca que se deve esperar que 68,6 % das meddas jazam neste ntervalo. Temos, assm, para σ um sgnfcado qualtatvo (ndcação da precsão da medda), um geométrco (± σ são os pontos de nflexão da curva de Gauss) e um quanttatvo (68,6 % das meddas jazem no ntervalo [µ ± σ ]. Para os ntervalos [µ ± σ] e [µ ± 3σ] as probabldades são, respectvamente, 0,9545 e 0,9973. Isto sgnfca que se deve esperar que 95,45 % das meddas jazam no ntervalo [µ ± σ] e 99,73 %, pratcamente todas as meddas, jazam no ntervalo [µ ± 3σ].A probabldade defnda pela Eq. (1), expressa em %, denomna-se nível de confança, n.c. Assm, dz-se que o n.c. para o ntervalo [µ ± σ] é 68,6 %. O problema é que não se conhece nem µ nem σ. O que se conhece são suas aproxmações X e s. A função densdade de probabldade é gaussana para X, mas não é para s. Então, não se deve esperar que probabldades para ntervalos defndos por s sejam as mesmas para os ntervalos defndos por σ. Quando o número de meddas é sufcentemente grande (dgamos, maor que 0) podemos tomar σ por s sem muto erro e, neste caso, os níves de confança são obtdos através da Eq. (5). A Tabela dá os níves de confança para os ntervalos [ X ± α s] para n > 0, ou seja, dá os valores de α pelo qual se deve multplcar s para se ter um ntervalo com um dado n.c. Quando n < 0, as probabldades não podem ser obtdas através da Eq. (5), já que não é mas possível substtur σ por s. Os valores para α, neste caso, são obtdos através de uma outra dstrbução devda a Student. A Tabela 3 apresenta esses valores de α em função do número de meddas n e para os níves de confança de 60 %, 90 % e 95 %. Por exemplo, para n = 5, o ntervalo com um n.c. de 95 % é dado por [ X ±,776 s ] Rejeção de dados Algumas vezes numa sére de meddas ocorrerem valores que dferem bastante do conjunto. A questão que se coloca é se esses valores aparentemente anômalos devem ser rejetados. Em casos onde se sabe ter havdo perturbações físcas durante a medção (queda de tensão, choque na mesa, etc.), as meddas devem ser rejetadas, anda que elas pareçam concordar com as outras. Em outras stuações, onde não se tem conhecmento de perturbações, a rejeção duma medda é uma questão polêmca. Contudo, um crtéro comumente usado é rejetarem-se as meddas cujos desvos em relação ao v.m.p. sejam maores ou menores que três vezes o desvo padrão. A justfcatva para esse crtéro pode ser deduzda das Tabelas e 3, onde se constata que, para cnco ou mas meddas, todas elas pratcamente jazem no ntervalo [ X ± 3s], sendo pratcamente zero a probabldade de uma medda jazer fora deste ntervalo. Uma vez elmnada a medda anômala, novo v.m.p. e novo desvo padrão devem ser calculados com as meddas restantes. 16

17 Tabela Tabela 3 Valores de α para n > 0 Valores de α para n 0 Nível de confança n.c. ( % ) α n Nível de confança, n.c. ( % ) 60% 90% 95% 50,00 0,670 1,376 6,314 1,706 60,00 0,84 3 1,061,90 4,306 68,6 1, ,978,353 3,18 90,00 1, ,941,13,776 95,00 1, ,90,015,571 95,45, ,906 1,943,447 99,73 3, ,896 1,895, ,889 1,860, ,883 1,833,6 15 0,868 1,761, ,861 1,79, Lmte de erro nstrumental, desvo avalado e desvo relatvo O lmte do erro nstrumental (l.e..) dum nstrumento de medção com escala de letura contínua (réguas, mcrômetro, meddores com pontero) é defndo como a menor fração da menor dvsão da escala que pode ser estmada vsualmente. Um olho humano normal é capaz de dstngur dos pontos dstantes de 0,1 mm numa dstânca de 5 cm (dstânca normal de letura). Então, para nstrumentos com a largura das dvsões menores da escala da ordem de 1mm pode-se tomar com segurança o l.e.. como ± 0, undades dessas dvsões. Por exemplo, pode-se tomar o l.e.. de uma régua mlmetrada de boa qualdade como ± 0, mm. Todava, a depender da qualdade da escala e da regulardade das dvsões, este valor pode chegar a ± 0,5 mm (réguas de plástco) e mesmo a ± 1mm (trenas e escalas de pedrero); para um mcrômetro, cuja menor dvsão da escala é 0,01 mm, o l.e.. é ± 0,00 mm; para um amperímetro com menor dvsão da escala de 0,1 ma, o l.e.. pode ser ± 0,0 ma a ± 0,05 ma a depender da qualdade da escala, se esta é espelhada, se a letura é feta com lupa, etc. (para essa estmatva admte-se que o amperímetro tenha capacdade sufcente para responder a varações da ordem de 0,0 ma ou 0,05 ma, o que não decorre da menor dvsão da escala, mas da capacdade de resposta do nstrumento, a qual é fornecda pelo fabrcante. Se a sensbldade do amperímetro for, por exemplo, 0,1 ma, o correto é tomar-se o l.e.. como ± 0,1mA). Para larguras maores, o operador deve estabelecer um l.e.. com apenas um algarsmo sgnfcatvo tal que lhe dê segurança que o valor da medda jaz no ntervalo por este defndo. Nos nstrumentos com escala de letura descontínua (escala com verner, cronômetros mecâncos),o l.e.. é estabelecdo pelo fabrcante e normalmente corresponde à menor medda (que geralmente corresponde à menor dvsão do nstrumento) possível de ser feta no nstrumento. Assm, em nstrumentos dotados de verner, como o paquímetro, o l.e.. é a própra natureza (menor dvsão) do nstrumento. Para um cronômetro mecânco que marca em ntervalos de 0,1 s toma-se o l.e.. gual a este valor. Em meddores dgtas o l.e.. é, geralmente, é uma undade do últmo dígto mostrado no vsor. Desvo avalado : Quando se va realzar uma medda, a prmera provdênca do operador é defnr o desvo avalado (s a ) assocado à medda a ser feta, para assm conhecer a posção do algarsmo duvdoso. Por exemplo, se o desvo avalado para meddas fetas com uma régua mlmetrada for de ± 0,5 mm os valores deverão conter a casa dos décmos de mlímetro, sendo, então, dos tpos 30,5 mm, 46,58 cm, 4,00 cm; se para meddas com uma balança o desvo avalado é ± 0,1 g, os valores serão do tpo 4,5 g, 3,8 g, 00,0 g. 17

18 A defnção do desvo avalado deve levar em conta o l.e.. do nstrumento de medda utlzado, o objeto a ser meddo, o processo de medda e, em alguns casos, as condções ambentas. Seu valor é nunca menor do que o do l.e.. do nstrumento de medda, podendo ser gual a este se as condções de medda forem favoráves. Por exemplo, se a medda a ser feta é a da largura de um objeto que tem arestas bem defndas e a régua pode encostar-se ao objeto, pode-se tomar o desvo avalado gual ao l.e.. da régua. Entretanto, se o objeto possur contornos abaulados, o correto é tomar-se o desvo avalado maor que o l.e.. Igualmente, se a corrente elétrca que está sendo medda oscla, deve-se avalar a ampltude de osclação para defnr o desvo avalado, o qual será maor que o l.e.. O desvo avalado deve ser usado como desvo da medda nos casos de se fazer poucas meddas (até três), quando as meddas repetdas têm o mesmo valor, ou quando o desvo padrão calculado para uma sére de meddas for menor que ele. O desvo relatvo S, da medda de uma grandeza é defndo como a relação entre a dspersão s utlzada para a medda (desvo avalado, desvo padrão, etc., vstos anterormente) e o valor X no caso de apenas uma determnação (ou o v.m.p no caso de uma sére de meddas), expresso em %. Sua expressão é s S (%) = 100. (7) X A precsão de uma medda pode ser avalada pelo desvo relatvo, podendo ser também utlzado para comparar a precsão entre meddas dferentes. Este desvo tem sgnfcado somente quando as meddas são referdas a um referencal zero que tenha sgnfcado físco. Quando o referencal é arbtráro, o desvo relatvo perde o sentdo quando os desvos ndvduas forem aprecáves em comparação ao valor da medda. 18 Propagação de erros ndependentes Até aqu tratamos com meddas dretas. Trataremos, agora, os erros relatvos às meddas ndretas, ou seja, aquelas calculadas através de expressões matemátcas envolvendo grandezas meddas dretamente. Suponhamos que uma grandeza R é calculada a partr das grandezas meddas X e Y, através duma expressão matemátca R = R( X,Y ). Pela lógca, R terá um erro que rá depender dos erros das grandezas meddas X e Y. (Esses erros devem ser compatíves, ou seja, se, por exemplo, um representa um desvo padrão, os outros devem ser também desvos-padrão.) A relação entre o erro de R e os de X e Y é determnado pelo cálculo dferencal. Há duas stuações lmtes. Numa delas a mas comum o erro de X não tem qualquer relação com o de Y e, neste caso, eles são dtos ser ndependentes. Por exemplo: suponhamos que a velocdade de um objeto seja determnada medndo o tempo de percurso e a dstânca percorrda por ele. Não há razão para supor que se o tempo for muto grande a dstânca será também muto grande. Sendo assm, estas varáves são consderadas ndependentes uma da outra. Trataremos, agora, dos erros relaconados às meddas ndretas, ou seja, aquelas calculadas através de expressões matemátcas envolvendo grandezas meddas dretamente. Suponhamos que uma grandeza R é calculada a partr das grandezas meddas X e Y através duma expressão matemátca R = R( X,Y ). Nos expermentos realzados aqu no laboratóro, as grandezas meddas são ndependentes, ou seja, o erro de uma grandeza medda dretamente não vara com a outra. Valor mas provável de uma medda ndreta: Consderando uma função R = R( X,Y ) o valor médo da função é obtdo substtundo o valor mas provável das grandezas meddas dretamente na relação matemátca que expressa a grandeza ndreta ou seja: R = R( X, Y ) onde X e Y são os valores médos das grandezas meddas dretamente. 18

19 Fórmula para propagação de erros ndependentes: Quando os erros são ndependentes, os coefcentes de correlação entre as grandezas X e Y são nulos, assm, para duas grandezas X e Y temos: R R sr = s X sy X + X,Y Y, (8) X,Y onde as dervadas são tomadas nos pontos X = X e Y = Y. Vamos agora obter expressões especas para algumas funções que aparecem com mas freqüênca em trabalhos de laboratóro. Produto de fatores elevados a dferentes potêncas. Seja R = A X p Y q, onde p e q são valores reas conhecdos e A é uma constante ou número. As dervadas parcas de R nos pontos X e Y, são R X X,Y = ApX as quas, substtuídas na Eq. (7) resulta em p 1 Y q ; R Y X,Y = AqX p Y q 1, s p 1 q p q 1 R = (ApX Y ) sx + (AqX Y ) sy (9) Uma expressão mas convenente para o cálculo de s R, neste caso, é obtda dvdndo-se a Eq. (8) pelo v.m.p. de R, ou seja, por R = A X p Y q. O resultado é s sx sy R = R p + q, (30) X Vê-se que quanto maor for o valor absoluto do expoente da grandeza mas potencalmente ela contrburá para o desvo de R. Nos casos partculares de produto ou quocente smples (R =A X Y, ou R =A X Y ), onde p= ± 1 e q = ± 1, a Eq. (9) reduz-se a: Y s R = R sx sy + X Y (31) Soma ou dferença. Seja R = b X ± cy, onde b e c são constantes reas. As dervadas parcas de R são R X b e R = = ± c Y Portanto, pela Eq. (7), tem-se s = b s + c s, ou s = s + s R X Y R X Y 19 - Regras para representação do valor e do desvo de uma medda se b = c =1. (3) 1 - O desvo padrão, tanto da medda dreta quanto da medda ndreta, deverá ser expresso com dos algarsmos sgnfcatvos; - O desvo avalado deverá ser escrto com um algarsmo sgnfcatvo; 3 - O valor da medda deverá sempre ter o mesmo número de casas decmas que o desvo (quando expressadas nas mesmas undades). Seja ele o desvo padrão ou avalado; 4 - O desvo tem a mesma undade que a medda. 5 - Se o desvo padrão obtdo for menor que o lmte do erro nstrumental (l.e..), o l.e.. deverá ser utlzado no lugar do desvo padrão. 19

20 Exercícos resolvdos: Exemplo 1 O dâmetro D de uma esfera de aço é meddo 6 vezes com um mcrômetro, obtendo-se os seguntes valores : D (mm) = 6,458; 6,450; 6,463; 6,454; 6,457; 6,451. Calcule o v.m.p. D do dâmetro, o desvo padrão s D e o desvo padrão relatvo S D. Solução: Valor mas provável : D = Σ D 38, 733 = = 6, 4555 mm. n 6 Desvo padrão : s D = 4 ΣD nd 1, = = ± 0, mm s D = ± 0,0048 mm. sd 0,0048 Desvo relatvo: SD = 100 = 100= 0,074% D 6,4555 Note que os desvos foram escrtos com dos sgnfcatvos, que é a regra a ser usada em nossos trabalhos. Coerentemente, o v.m.p. deve ser escrto com dos algarsmos duvdosos. O número de sgnfcatvos para expressar o v.m.p. é defndo pelo desvo padrão. Neste caso, D deve ser escrto como 6,4555 mm e seus dos últmos algarsmos (55) são duvdosos. Caso o desvo padrão fosse ± 0,048 mm, D devera ser escrto como 6,456 mm e os duvdosos seram 56. Exemplo - Para a sére de 51 meddas de comprmento, em mm, apresentadas abaxo, calcule o valor mas provável e o desvo padrão. 4,008 4,05 4,033 4,039 4,044 4,049 4,051 4,057 4,06 4,065 4,068 4,078 4,087 4,018 4,07 4,033 4,039 4,044 4,049 4,053 4,058 4,063 4,066 4,070 4,081 4,090 4,019 4,07 4,038 4,039 4,047 4,050 4,054 4,058 4,064 4,067 4,073 4,081 4,104 4,03 4,031 4,039 4,043 4,048 4,051 4,054 4,059 4,065 4,067 4,076 4,086 Solução: Utlzando as Eqs. (05) e (16), obtemos para o valor mas provável v.m.p, o desvo padrão s: v.m.p.= 4, mm; s = ± 0, mm. s = ± 0,01 mm, Coerentemente, o vmp = 4,053 mm. Exemplo 3 - Expresse a medda do dâmetro do Exemplo 1 com um n.c. de 95 % em termos do desvo padrão. Solução: Em termos do desvo padrão, o ntervalo é dado por D = D ± α s. Para n = 6 e um n.c. = 95 %, a Tabela 3 dá para o fator α, α=,571. Portanto, o produto αs é,571 0, = ± 0,0146 mm. A medda será, então, expressa como D = 6,456 ± 0,01 mm. Este ntervalo sgnfca que uma nova medda, feta nas mesmas condções que as anterores, tem uma chance de 95 % de ter seu valor no ntervalo acma, ou seja, entre 6,444 mm e 6,468 mm. Exemplo 4- A massa m da esfera do Exemplo 1 fo medda ses vezes, obtendo-se para m e s m os valores: m = 1,100 g e s m = ±0,01 g. Calcule (a) a densdade da esfera e (b) expresse o resultado com um n.c. de 95 % em termos do desvo padrão. Solução: (a) O v.m.p. ρ da densdade da esfera é ( D será tomado em cm ) 6m , 3 ρ = 3 = 3 = 7, g cm ; π D π 0,

21 o desvo padrão da medda da densdade s ρ é calculado através da Eq. (4) sd sm s ρ = ρ + g cm D = 7, , , 10 = ± 0, m 3 Os resultados para ρ são, portanto, ρ = 7, 809 g cm e s = ± ρ, g cm (s ρ fo escrto com dos sgnfcatvos e observe a coerênca nas escrtas dele e de ρ). Verfque que, pelo valor das duas parcelas dentro da raz, a medda da massa contrbuu mas para o desvo de ρ, apesar de D estar elevado ao cubo e, portanto, ter seu desvo multplcado por três. (b) Como são ses meddas de D e de m, n = 6; para um n.c. = 95 % a Tabela 3 nos dá α =,571. Então, αs ρ = ±0,08699,571 = ±0,37 g/cm 3. Portanto, para o n.c. de 95 %, ρ é expresso como: ρ = 7,81 ± 0, g cm 3 Observe que ajustamos novamente o valor de ρ para manter a coerênca na escrta de ρ e αs ρ. 1

22 RESUMO CAPÍTULO I Grandezas, dmensão e undades Cada grandeza está assocada a uma únca dmensão, e esta dmensão pode ser expressa em dferentes undades. As grandezas estudadas neste curso (geométrcas, cnemátcas e dnâmcas), são expressas em função de três grandezas fundamentas: comprmento [L], massa [M] e tempo [T]. Convenconalmente, na escrta das equações dmensonas, as grandezas são postas entre colchetes. Por exemplo, a equação dmensonal da aceleração g devda à gravdade é escrta como [g] = [L] [T] -. Ao por os valores das grandezas numa equação, atente para que todos eles estejam num mesmo sstema de undades. Valor recomendado para g em Salvador, meddo no Ano Geofísco Internaconal: g local = 9,7833 m/s ou g local = 978,33 cm/s Tabela com as dmensões e undades nos sstemas CGS e SI (MKS) das prncpas grandezas de Mecânca Grandeza Dmensão Sstema CGS Sstema MKS L M T Undade Nome Undade Nome Comprmento [L] Cm centímetro m metro Massa [M] G grama kg qulograma Tempo [T] S segundo s segundo Área [L] cm m Volume [L] 3 cm 3 m 3 Velocdade [L] [T] -1 cm/s m/s Aceleração [L] [T] - cm/s m/s Força [M] [L] [T] - g cm s - dna (dyn) kg m s - Newton (N) Energa [M] [L] [T] - g cm s - erg kg m s - Joule (J) Potênca [M] [L] [T] -3 g cm s -3 erg/s kg m s -3 Watt (W) Pressão [M] [L] -1 [T] - g cm -1 s - dyn/cm kg m -1 s - Pascal (P) Torque [M] [L] [T] - g cm s - dyn cm kg m s - N m Algarsmos sgnfcatvos Defnção: Numa medda, são dtos sgnfcatvos todos os algarsmos contados a partr do prmero não nulo (dferente de zero), ou seja, o zero a esquerda não conta como sgnfcatvo. Pelo menos um algarsmo duvdoso é ncluído no resultado de uma medda, mesmo que ele seja zero. Regras de aproxmação de algarsmos sgnfcatvos: Às vezes é necessáro fazer uma aproxmação de um resultado de acordo com o número de sgnfcatvos das meddas que lhes deram orgem. Deste modo os dígtos excedentes são arredondados, usando-se os seguntes crtéros: 3- Se o prmero dígto desprezado for um número varando entre 0 e 4, o anteror não será alterado; 4- Se for de 5 a 9, o anteror é acrescdo de uma undade. Regras de operações com algarsmos sgnfcatvos 1- Na multplcação e dvsão o resultado fnal deve ser escrto com um número de sgnfcatvos gual ao do fator com menor número de sgnfcatvos. Exemplos: 3,7 4,384 = 16 ; 0,63 0,0 = 3, ; 4,40 64 =,75 x Em operações envolvendo nverso de números e multplcação por fatores constantes, o número de sgnfcatvos deve ser preservado no resultado. Exemplos: 1 = 0, 00403; 6,3 = 1,5 ; 4π 13, 5 =

23 3- Na soma e subtração o resultado fnal terá um número de decmas gual ao da parcela com menos decmas. Exemplos: 3,4 + 0,56, = 1,4; 34 +,9 0,5 = 36; 0,831 6,6x10-3 0,79 = 0,03 Meddas dretas e ndretas Meddas dretas São as obtdas por smples comparação utlzando-se nstrumentos de medda já calbrados para tal fm. O valor mas provável ( v.m.p.) de uma medda dreta, X, de uma amostra com n elementos, é a méda artmétca dos n valores, ou seja, X X =, = 1,,..., n. n O Desvo padrão da medda dreta s é dado por: s = d n 1 = ( X n 1 X ) = X n 1 nx, = 1,,..., n. O Desvo padrão da méda ε é dado por: ε = ( X X ) n( n 1) = s n, = 1,,..., n. Meddas ndretas São todas aquelas relaconam as meddas dretas por meo de fórmulas matemátcas. -Propagação de erros (Meddas Indretas) Suponhamos que uma grandeza R é calculada a partr das varáves meddas dretamente X e Y através duma expressão matemátca R = R( X,Y ). Então, R tem um erro como resultado dos erros de X e Y. O Valor mas provável de uma medda ndreta, consderando uma função R = R( X,Y ), é obtdo substtundo o valor mas provável das varáves meddas dretamente na relação matemátca que expressa a medda ndreta ou seja: R = R( X, Y ) onde X e Y são os valores médos das varáves meddas dretamente. O desvo padrão de uma medda ndreta para um R(X,Y), quando as meddas dretas são ndependentes, é defndo por: R R sr = s X sy X + X,Y Y, X,Y onde as dervadas são tomadas nos pontos X = X e Y = Y e s x e s y são os desvos padrões das varáves meddas dretamente. A fórmula de propagação de erros ndependentes terá o número de termos, na soma dentro da raz, gual ao número de varáves meddas dretamente. Expressões smplfcadas: 1-Produto de fatores elevados a dferentes potêncas (utlzada em fórmulas quem tem multplcação e/ou dvsão). Seja R = A X p Y q, onde p e q são valores reas conhecdos e A é uma constante ou número. O resultado é 3

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