As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações.

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1 1. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA As tabelas resumem as normações obtdas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de normações. As tabelas sem perda de normação são construídas lstando-se os valores da varável reerentes à amostra ou população, um em cada lnha e marcando-se quantas vezes cada um desses valores se repete. Essa quantdade recebe o nome de reqüênca. Por sso, a tabela que relacona o valor da varável com a reqüênca correspondente recebe o nome de Tabela de Dstrbução de Freqüênca. Quando a varável assume mutos valores a tabela sem perda de normação pode car muto grande. Daí surge a necessdade de agrupar os dados em ntervalos de classe, com lmte neror e lmte superor. Essa tabela mostra uma perda de normação, pos os valores orgnas da varável não aparecem mas ndvdualmente. Ao usar a Tabela de Dstrbução de Freqüêncas com ntervalos de classe ganhamos em smplcdade, mas perdemos em pormenores. Para cada classe a quantdade de vezes em que cada valor aparece é marcada. Cada valor da varável deve pertencer a apenas uma das classes. A Tabela de Dstrbução de Freqüênca com perda de normação reorganza os valores em ordem crescente ou decrescente de grandeza, tal que uma característca da população é dvdda em classes, ndcando-se a quantdade de ocorrêncas em cada classe, relaconando cada valor (ou ntervalo) com a sua reqüênca. Uma companha abrca tubos de PVC. De cada lote abrcado, alguns tubos são nspeconados pelo controle de qualdade da empresa. Nesta nspeção são coletadas algumas meddas como: dâmetro nterno, dâmetro eterno e comprmento do tubo. Os dados a segur são reerentes aos dâmetros nternos PVC. (em mlímetros) de 60 tubos de 1

2 Tabela 1: Tabela Prmtva 73,8 7,9 74,3 74,0 73,6 74,1 73,5 73,4 7,8 73,7 73,6 73,5 7,5 73,3 74, 7,0 7,4 74,5 73,6 74, 74,0 7,8 73,8 7,5 7,5 73,3 73,0 73, 73,0 73,9 73,4 73,8 74,0 73,5 73, 73,5 7,7 73,4 73, 73,6 7,6 73, 73,7 73,1 74,6 73,5 73,5 7,9 73,9 73,1 73,6 73,3 73,9 74,1 73,4 73,0 73,0 74, 74,6 7,7 Esses dados são chamados de dados prmtvos e são mostrados sem segur ordem alguma. O deal sera ordená-los para então poder separá-los em classes. Quando ordenamos os dados transormamos a Tabela Prmtva em uma tabela ordenada, chamada de Rol. Tabela : Rol 7,0 7,7 73,0 73, 73,3 73,5 73,6 73,8 74,0 74, 7,4 7,7 73,0 73, 73,4 73,5 73,6 73,8 74,0 74, 7,5 7,8 73,0 73, 73,4 73,5 73,6 73,8 74,0 74,3 7,5 7,8 73,0 73, 73,4 73,5 73,6 73,9 74,1 74,5 7,5 7,9 73,1 73,3 73,4 73,5 73,7 73,9 74,1 74,6 7,6 7,9 73,1 73,3 73,5 73,6 73,7 73,9 74, 74,6 Com a tabela ordenada ca ácl vsualzarmos o menor valor de dâmetro e o maor valor de dâmetro. Assm, podemos calcular a ampltude amostral (AA), que é a derença entre o maor valor e o menor valor que a varável assume no problema. AA ma - mn Nesse caso, a ampltude amostral é AA 74,6 7,0,6 mm. Para calcular o número de classes () ou categoras que devemos utlzar para os 60 dâmetros, usamos a Regra de Sturges: 1 + 3,3. log n

3 Essa regra nos dá o número de classes em unção do tamanho da amostra. Assm, 1 + 3,3. log 60 6,8678 ~ 7 (arredonda-se sempre para o número ntero mas prómo, pos o número de classes deve ser ntero). mm. órmula: A Tabela de Dstrbução de Freqüêncas terá 7 classes e ampltude amostral,6 A ampltude do ntervalo de cada uma das classes (h) é encontrado através da AA h AA,6 A ampltude do ntervalo de classe é h 0,3714 ~ 0, 4 7 Importante: o arredondamento do deve ser sempre eetuado para cma usando o mesmo número de casas decmas dos elementos da amostra para que nenhum elemento que ora da tabela. Com os valores de AA, e h podemos ncar a construção da Tabela de Dstrbução de Freqüênca. A tabela deverá ter 8 lnhas, uma para o cabeçalho e uma para cada uma das 7 classes. Incalmente o número de colunas deve ser 3 ( uma para numerar as classes, outra para os ntervalos de classe e a 3ª. para as reqüêncas smples ( ) de cada classe, como mostra a tabela a segur. Tabela 3: Tabela de Dstrbução de Freqüênca Smples Dâmetros (mm) 1 7,0 7,4 1 7,4 7, ,8 73, , 73, ,6 74, ,0 74, ,4 74,8 3 3

4 Como o montada a Tabela de Dstrbução de Freqüênca Para montar a tabela você deverá segur os passos: 1ª. COLUNA: Incalmente numeramos a 1ª. coluna de 1 a 7, pos temos 7 classes. ª. COLUNA: dâmetros (mm) A prmera classe deve ter como lmte neror (l) o menor valor que a varável dâmetro assume no problema, ou seja, l 1 7,0 mm. Como o valor de h 0,4 o lmte superor (L) deve ser 7,0 acrescdo de h 0,4. Logo, o lmte superor da prmera classe será L 1 7,4 mm. O lmte superor de uma classe aparece sempre como o lmte neror da classe segunte. Assm, o lmte neror da ª classe será l 7,4 mm. O lmte superor da ª classe é gual ao lmte neror da desta classe acrescdo de h (L 7,8 mm). Desta orma calculamos todos os lmtes nerores e superores como mostra a tabela acma. O símbolo colocado entre o lmte neror e o lmte superor de cada classe representa a notação de ntervalo echado à esquerda e aberto à dreta. Isso sgnca que em cada uma das classes o lmte superor não entra na contagem, mas entra como lmte neror da classe segunte. Apenas a últma classe pode nclur os dos lmtes (neror e superor) se o valor de h or eato (sem a necessdade de arredondamento). Como já ctado anterormente, cada valor da varável deve pertencer a apenas uma das classes. Se olharmos na tabela ordenada (Rol) notamos que o valor de dâmetro 7,4 mm aparece uma vez. O valor 7,4 mm é o lmte neror da 1ª classe e também o lmte superor da ª classe. 4

5 3ª. COLUNA: Em qual das duas classes essa reqüênca deve aparecer? Usando a notação de ntervalos adotada aqu ( ) devemos nserr essa reqüênca (o valor 7,4 mm aparecendo uma vez) na ª classe. Assm, sstematzamos da segunte orma: na 1ª classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 7,0 mm e 7,4 mm, eceto o dâmetro 7,4 mm já que este entrará na próma classe ( 1 1); na ª classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 7,4 mm e 7,8 mm, eceto o dâmetro 7,8 mm já que este entrará na próma classe ( 7); na 3ª classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 7,8 mm e 73, mm, eceto o dâmetro 73, mm já que este entrará na próma classe ( 3 10); na 4ª classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 73, mm e 73,6 mm, eceto o dâmetro 73,6 mm já que este entrará na próma classe ( 4 17); na 5ª classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 73,6 mm e 74,0 mm, eceto o dâmetro 74,0 mm já que este entrará na próma classe ( 5 13); na 6ª classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 74,0 mm e 74,4 mm, eceto o dâmetro 74,4 mm já que este entrará na próma classe( 6 9); na 7ª e últma classe contamos todas as ocorrêncas de dâmetros entre 74,4 mm e 74,8 mm. Como esta é a últma classe o valor pode ser contado, se houver, pos não este uma classe posteror à últma ( 7 3). A soma de todas as reqüêncas smples ( ) é gual ao tamanho da amostra (n). Assm, n ou Σ n. Mas a Tabela de Dstrbução de Freqüêncas não pára por aí. Estem outras reqüêncas que podem ser calculadas. 5

6 Freqüêncas Relatvas (r ): são as reqüêncas smples transormadas em percentuas. Calculamos pela razão entre a reqüênca smples e o tamanho da amostra. As reqüêncas relatvas têm o ntuto de permtr a análse ou acltar comparações. r.100 e Σ r 100% n Calculando as reqüêncas relatvas das 7 classes temos: 1 1 r , ,7% n 60 7 r , ,7% n r , ,7% n r , ,3% n r , ,7% n 60 r r n n Σr 15,0% 5,0% 1,7 + 11,7 + 16,7 + 8,3 + 1,7 + 15,0 + 5,0 100,1% O somatóro das reqüêncas relatvas deve ser gual a 100% e não gual a 100,1%. Isso acontece devdo aos arredondamentos. Quando ocorre de termos um somatóro derente de 100% devemos compensar essa derença na maor parcela, pos nessa parcela ocorre o menor erro percentual. Nesse caso a maor parcela é o valor da reqüênca relatva da 4ª classe (r 4 8,3%). Para que a soma das reqüêncas relatvas passe de 100,1% para 100% a reqüênca relatva da 4ª classe deve passar de 8,3% para 8,% (r 4 8,%). Assm, Σr 1,7 +11,7 +16,7 + 8, + 1,7 +15,0 + 5,0 100,0%. 6

7 Freqüêncas Acumuladas (F ): é o total das reqüêncas de todos os valores nerores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. F k k ou F k Σ ( 1,,..., k) Calculando as reqüêncas acumuladas das 7 classes temos: F1 1 1 F 1 + F1 + F F F F F F F F F F Freqüêncas Relatvas Acumuladas (Fr ): é a soma das reqüêncas relatvas de todos os valores nerores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. Fr k r 1 + r r k ou Fr k Σr 100% ( 1,,..., k) Calculando as reqüêncas relatvas acumuladas das 7 classes temos: Fr1 r1 1,7% Fr r1 + r Fr1 + r 1,7 +11,7 13,4% Fr3 r1 + r + r3 Fr + r3 13,4 + 16,7 30,1% Fr4 r1 + r + r3 + r4 Fr3 + r4 30,1+ 8, 58,3% Fr5 r1 + r + r3 + r4 + r5 Fr4 + r5 58,3 + 1,7 80,0% Fr6 r1 + r + r3 + r4 + r5 + r6 Fr5 + r6 80,0 +15,0 95,0% Fr7 r1 + r + r3 + r4 + r5 + r6 + r7 Fr6 + r7 95,0 + 5,0 100,0% Ponto Médo ( ): é o ponto que dvde uma classe em duas partes guas. 7

8 l +L Calculando os pontos médos de cada uma das 7 classes temos: 1 l 1 +L 1 7,0 + 7,4 7, l l l l l l L +L +L + L + L +L ,4 + 7,8 7,8 + 73, 73, + 73,6 73,6 + 74,0 74,0 + 74,4 74,4 + 74,8 7,6 73,0 73,4 73,8 74, 74,6 Repare que: h 0,4. Assm: 1 +h 7, + 0,4 7,6 3 +h 7,6 + 0,4 73, h 73,0 + 0,4 73, h 73,4 + 0,4 73, h 73,8 + 0,4 74, 7 6 +h 74, + 0,4 74,6 Completa. A segur você pode vsualzar a Tabela de Dstrbução de Freqüênca 8

9 Tabela 4: Tabela de Dstrbução de Freqüêncas Completa Dâmetros (mm) r (%) F Fr (%) 1 7,0 7,4 1 1,7 1 1,7 7, 7,4 7,8 7 11,7 8 13,4 7,6 3 7,8 73, 10 16, ,1 73,0 4 73, 73,6 17 8, 35 58,3 73,4 5 73,6 74,0 13 1, ,0 73,8 6 74,0 74,4 9 15, ,0 74, 7 74,4 74,8 3 5, ,0 74,6 Σ 60 Σ r 100,0 Hstograma classe. É um gráco de barras vertcas, ornecendo a reqüênca para cada ntervalo de Eercícos Propostos 1. Um radar da políca rodovára regstrou as velocdades de 50 veículos em uma rodova, obtendo-se os seguntes dados (velocdades em km/h), já ordenados de orma crescente. Construa a tabela de dstrbução de reqüênca completa e o Hstograma. 35,9 65,6 68,0 74,0 77, 78,5 79,3 80,0 80,7 83,0 36,8 65,7 70, 75,0 77,9 78,6 79,6 80,0 80,9 83,1 50,3 67, 71,9 75,3 78,1 79,0 79,6 80,0 81,0 83,7 55,4 67,8 73,6 75,6 78, 79, 79,9 80, 81,6 85,0 60,7 68,0 73,9 77,0 78,3 79, 80,0 80,5 8,0 90,6 9

10 . Foram ensaados 100 corpos de prova de aço ABNT 100, e obtdas as seguntes meddas reerentes à sua tensão de ruptura (em kg/mm ), já ordenadas de orma crescente. Com base nos dados, construa a tabela de dstrbução de reqüênca completa e o Hstograma. 35,8 36,5 37, 37,9 38,6 38,8 39,1 39,9 40,5 41,3 36,0 36,6 37,3 38,0 38,6 38,8 39, 40,0 40,5 41,5 36,0 36,7 37,3 38,0 38,7 38,9 39, 40,0 40,6 41,5 36,0 36,7 37,3 38,1 38,7 38,9 39, 40,1 40,7 41,5 36,1 36,7 37,4 38,1 38,7 39,0 39, 40,1 41,0 41,7 36,1 36,8 37,4 38, 38,8 39,0 39,3 40, 41,1 41,7 36, 36,8 37,4 38, 38,8 39,0 39,3 40, 41,1 41,9 36,3 37,0 37,4 38,5 38,8 39,0 39,3 40,3 41, 4,0 36,4 37,1 37,5 38,5 38,8 39,0 39,7 40,4 41,3 4,0 36,5 37,1 37,5 38,6 38,8 39,1 39,8 40,5 41,3 4, 3. A tabela abao traz os comprmentos (em cm) de 8 componentes eletrôncos. Construa a tabela de dstrbução completa e o Hstograma. 4,3 3,9 4,5 4,6 4,3 4,1 4,3 4,5 3, 3,7 3,5,9 4,1 4,0 3,8 4, 4, 4, 4,5 4,3 4,3 4,4 4, 3,8 4,5 4,5 4,0 4,5 4. Uma empresa abrcante de lâmpadas deseja testar uma parte de sua produção. Seleconou 60 lâmpadas de 100W e deou-as lgadas até te que quemassem. O tempo de vda útl de cada uma delas está regstrado na tabela abao. Construa a tabela de dstrbução completa e o Hstograma

11 . MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇÃO Para melhor caracterzar um conjunto de valores que uma varável pode assumr é precso escolher um valor únco que represente todos os valores dessa amostra. As meddas de posção ou tendênca central sugerem uma concentração dos dados em torno delas. Essas meddas são: Méda; Moda; Medana..1 Méda da Amostra ( ) A méda de um conjunto de números é um valor que, levando em conta a totaldade dos elementos do conjunto, pode substtur a todos, sem alterar determnada característca desse conjunto. (LOPES, 1999, p.4) Para calcular a méda deve-se multplcar cada valor pelo número atrbuído à sua mportânca no conjunto, somar todos os produtos obtdos e dvdr o total pela soma dos pesos. Dados agrupados Lembre-se que Σ n. Σ. Σ onde, Dados não agrupados Σ n é a méda da amostra de n elementos (é uma estatístca); n é o números de elementos da amostra; 11

12 ( 1,, 3,..., n) são os valores das n observações. 1. Um aluno ez 3 avalações. Na 1ª. obteve nota 8,0, na ª. obteve nota 4,0 e na 3ª. obteve nota 6,0. Qual o a sua méda? Resolução: As 3 provas tem pesos guas, logo devemos somar as 3 notas e 8,0 + 4,0 + 6,0 dvdr o resultado da soma por 3. Daí: 6, Um aluno ez 3 avalações, provas e 1 trabalho. Obteve nas provas 5,0 e 9,0, respectvamente. No trabalho obteve nota 9,0. O trabalho tem peso 1 e cada prova tem peso. Qual o a sua méda? Resolução: Devemos multplcar cada nota pelo peso que lhe é atrbuído, somar todos esses produtos e dvdr pela soma dos pesos. Daí: 5,0. + 9,0. + 9,0.1 7, Calcule a méda da tabela 4. Resolução: O deal é crar uma coluna na Tabela de Dstrbução de Freqüênca responsável pelos resultados dos produtos de cada valor pelo peso correspondente (. ), como mostra a tabela 6. Tabela 5: Tabela de Dstrbução de Freqüêncas com o Cálculo da Méda Dâmetros (mm) r (%) F Fr (%). 1 7,0 7,4 1 1,7 1 1,7 7, 7, 7,4 7,8 7 11,7 8 13,4 7,6 508, 3 7,8 73, 10 16, ,1 73,0 730,0 4 73, 73,6 17 8, 35 58,3 73,4 147,8 5 73,6 74,0 13 1, ,0 73,8 959,4 6 74,0 74,4 9 15, ,0 74, 667,8 7 74,4 74,8 3 5, ,0 74,6 3,8 Σ 60 Σ r 100,0 Σ. 4409, 1

13 Os cálculos: ,.1 7, , , 73, ,0 73, ,8 73, ,4 74,.9 667,8 74,6.3 3,8 Σ. Assm, 7, + 508, + 730,0 +147, , ,8 + 3,8 4409, Σ. 4409, A méda será 73, , mm Σ 60 5 (usando uma casa decmal, pos todos os elementos da amostra têm uma casa decmal).. Moda da Amostra (Mo) A moda é o valor da varável que aprece com mas reqüênca, ou seja, o valor que aparece mas vezes. Numa Tabela de Dstrbução de Freqüênca com perda de normação a classe com maor reqüênca é chamada de classe modal e o valor da moda é dado pelo ponto médo da classe modal. Dados agrupados l Mo +L 13

14 Dados não agrupados: Valor que ocorre com maor reqüênca de uma sequenca de dados numércos dspostos em ordem crescente ou decrescente. Observação: Quando há apenas uma moda a amostra denomna-se modal; duas ou mas modas, bmodal. Se todos os valores ocorrerem a mesma quantdade de vezes a amostra é consderada amodal. 1. Consdere os valores: 1,, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Qual é o valor da moda? Resolução: A moda é o valor que mas vezes se repete. Assm, para os dados acma, Mo 3.. Calcule a moda dos dados contdos na tabela 4. Resolução: A tabela 4 mostra uma reqüênca 17 (marcada em cnza na tabela) como a maor delas. Logo, a 4ª. classe é a classe modal. O valor da moda é o ponto médo da classe modal. Assm, Mo 73,4 mm (marcada em cnza na tabela). Tabela 6: Tabela de Dstrbução de Freqüêncas Completa com o Cálculo da Moda Dâmetros (mm) r (%) F Fr (%) 1 7,0 7,4 1 1,7 1 1,7 7, 7,4 7,8 7 11,7 8 13,4 7,6 3 7,8 73, 10 16, ,1 73,0 4 73, 73,6 17 8, 35 58,3 73,4 5 73,6 74,0 13 1, ,0 73,8 6 74,0 74,4 9 15, ,0 74, 7 74,4 74,8 3 5, ,0 74,6 14

15 Σ 60 Σ r 100,0.3 Medana da Amostra (Md) A medana é o valor que se encontra no centro de um conjunto de valores, estando a amostra ordenada. Numa Tabela de Dstrbução de Freqüênca com perda de normação a medana é calculada segundo os passos: n Calculamos ; Calculamos as reqüêncas acumuladas de todas as classes (F ); Marcamos na Tabela de Dstrbução de Freqüênca qual é a n reqüênca acumulada medatamente superor à - está é a classe medana; Dados agrupados: n 1 - F(ant) Usamos a órmula: Md l +. h, onde: l é o lmte neror da classe medana; n é o tamanho da amostra; F (ant) é a reqüênca acumulada da classe anteror à classe medana; é a reqüênca smples da classe medana; h é a ampltude do ntervalo de classe. Dados não agrupados: A medana assm como a méda também ornece uma medda de posção central. 15

16 Para a obtenção do valor da medana é necessáro que os dados sejam arranjados em ordem crescente (do menor para o maor). A medana é o valor stuado no meo da seqüênca de observações. Denção da medana: Com os dados já arranjados em ordem crescente, temos duas ormas para obtenção da medana: a) Para um número ímpar de observações a medana é o valor central das observações. Usamos a órmula do posconamento: Posconam ento n +1 onde, n é o número de observações da amostra. Eercíco lustratvo: retornemos ao eemplo do número de alunos nas salas de aula do IST. Em nosso eemplo temos 5 salas de aula (número ímpar de observações) com as seguntes observações: Devemos então ordenar os dados de orma crescente: Deve-se então localzar o posconamento da medana através da ormula do posconamento: Posconam ento então temos, n

17 MEDIANA 46 Para um número par de observações a medana é a méda dos dos valores centras. Eercíco lustratvo: retornemos eercíco dos alunos recém ormados no curso de Tecnologa em Qualdade e Produtvdade, neste eemplo temos uma amostra com um número par de observações (1 observações) Podemos notar nos dados acma (já em orma ordenada), não temos nem um valor central especíco, e se usarmos a órmula do posconamento teremos o segunte resultado: Posconam ento n + 6,5 desta orma, pagamos os dos valores centras (posção 6 e posção 7) e azemos a méda MEDIANA Consdere os valores: 1,, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6. Qual é o valor da medana? Resolução: A medana é o valor central da sére. Assm, Md 3.. Consdere os valores: 7, 8, 9, 10, 11, 1, 13, 14. Qual é o valor da medana? 17

18 Resolução: A medana é o valor central da sére. Como está sére tem n 8, calculamos a medana pela méda entre os valores centras. Assm, Md 10,5. 3. Calcule a medana dos dados da tabela 4. Resolução: Para calcular a medana devemos segur os passos: n ; As reqüêncas acumuladas estão na tabela marcadas em cnza; A classe medana é a 4ª classe (marcada em negrto), pos é a que tem reqüênca acumulada medatamente superor a 30; n 1 - F(ant) (9,5-18) Md l +. h 73, +.0,4 73, , 5 mm 17 (usando uma casa decmal, pos todos os elementos da amostra têm uma casa decmal). Tabela 7: Tabela de Dstrbução de Freqüêncas Completa com o Cálculo da Medana Dâmetros (mm) r (%) F Fr (%) 1 7,0 7,4 1 1,7 1 1,7 7, 7,4 7,8 7 11,7 8 13,4 7,6 3 7,8 73, 10 16, ,1 73,0 4 73, 73,6 17 8, 35 58,3 73,4 5 73,6 74,0 13 1, ,0 73,8 6 74,0 74,4 9 15, ,0 74, 7 74,4 74,8 3 5, ,0 74,6 Σ 60 Σ r 100,0 18

19 Eercícos Propostos 1. Calcule a méda, a moda e a medana das amostras A, B e C: Amostra A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1, 13, 15, 16; Amostra B: 3, 6, 9, 11, 1, 13; Amostra C: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9.. Calcule as meddas de posção do eercíco proposto1 do capítulo Calcule as meddas de posção do eercíco proposto do capítulo Calcule as meddas de posção do eercíco proposto 3 do capítulo Calcule as meddas de posção do eercíco proposto 4 do capítulo MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU MEDIDAS DE DISPERSÃO Vercou-se, ao longo da hstóra da Estatístca, que a mas mportante e também a mas usada medda de posção é a méda. Porém, soznha, a méda não ornece toda a normação necessára para descrevermos todos os valores reerentes a uma amostra. Consdere, por eemplo, os valores de duas amostras, A e B: Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 1, 1, 15, 18, 1,. 19

20 Amostra B: 10, 11, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 13, 14, 14. Embora as duas amostras tenham a mesma méda, 1, percebemos que a amostra A tem uma varabldade maor do que a amostra B. Isto ndca que é necessáro um outro tpo de medda para dstngur os dos conjuntos dados. Observando os dados, percebemos que o conjunto B apresenta valores concentrados em relação a méda, enquanto que o conjunto A apresenta valores dspersos (espalhados) em relação à méda. Por sso, além de uma medda de posção, necesstamos de uma outra medda que possa eprmr a varabldade dos valores em relação a uma determnada reerênca. As meddas que tratam desta característca são chamadas meddas de varabldade ou meddas de dspersão. São elas: Ampltude Total (AT); Varânca da Amostra (σ ); Desvo Padrão ou Erro Padrão da Amostra (σ); Coecente de Varação (CV) e Anda: Dervo Médo; Ampltude Modal. 3.1 Ampltude Total da Amostra (AT) A ampltude total da amostra é a derença entre o maor e o menor valor observado. AT ma - mn Evdentemente, quanto maor or o valor da ampltude total, maor será a varabldade do conjunto. 0

21 Numa Tabela de Dstrbução de Freqüênca com perda de normação a ampltude total da amostra é calculada pela órmula: AT L k l 1 onde L k é o lmte superor da últma classe e l 1 é o lmte neror da 1a. classe. A ampltude total é uma medda que consdera somente os valores etremos, gnorando todos os outros, o que podera levar a uma nterpretação pouco acertada a respeto dos dados. 1. Calcule a ampltude total do eemplo para dados não agrupados: Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 1, 1, 15, 18, 1,. Amostra B: 10, 11, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 13, 14, 14. Resolução: Amostra A: AT ma - mn 1 1 Amostra B: AT ma - mn Calcule a ampltude amostral dos dados da tabela 6 para dados agrupados. Tabela 6: Tabela de Dstrbução de Freqüêncas com o Cálculo da Méda Dâmetros (mm) r (%) F Fr (%). 1 7,0 7,4 1 1,7 1 1,7 7, 7, 7,4 7,8 7 11,7 8 13,4 7,6 508, 3 7,8 73, 10 16, ,1 73,0 730,0 4 73, 73,6 17 8, 35 58,3 73,4 147,8 5 73,6 74,0 13 1, ,0 73,8 959,4 6 74,0 74,4 9 15, ,0 74, 667,8 7 74,4 74,8 3 5, ,0 74,6 3,8 Σ 60 Σ r 100,0 Σ. 4409, 1

22 Resolução: L k 74,8 mm (marcado na tabela em cnza) l 1 7,0 mm (marcado na tabela em cnza) AT L k l 1 74,8 7,0,8 mm. 3. Varânca da Amostra (σ ) A ampltude total é uma medda de varabldade nstável, pos tem o nconvenente de levar em conta apenas os dos valores etremos. Essa medda ndca apenas uma apromação da dspersão do conjunto. Por esse motvo, buscou-se outra medda que levasse em consderação todos os valores da amostra e não somente os etremos. A méda revelou-se o ponto de reerênca adequado. Tendo a méda como ponto de reerênca calcularemos as derenças de cada um dos valores em relação à méda e somaremos essas derenças para obter um total geral. Anda consderando o eemplo da amostras A e B, podemos calcular: Amostra A: 1, 5, 6, 9, 11, 1, 1, 15, 18, 1, Méda da amostra A: 1 11 Para a amostra A temos: (1 1) + (1 5) + (1 6) + (1 9) + (1 11) + (1 1) + (1 1) + (1 15) + (1 18) + (1 1) + (1 ) (-3) + (-6) + (-9) + (-10) 0 Amostra B: 10, 11, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 13, 14, 14. Méda da amostra B: Para a amostra B temos: (1 10) + (1 11) + (1 11) + (1 11) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 13) + (1 14) + (1 14) (-1) + (-) + (-) 0

23 Embora seja uma medda ntutva, essa soma sempre será gual a zero, pos o total das derenças postvas anula-se com o total das derenças negatvas. Observando-se as parcelas, notamos que o que torna o total gual a zero é o snal da derença. Sendo assm, uma segunda tentatva o gnorar o snal, trabalhando com essas derenças em módulo. Para a amostra A, consderando todas as derenças em módulo teremos como resultado da soma: Para a amostra B, consderando todas as derenças em módulo teremos como resultado da soma: Repare que novamente caracterzamos a amostra A com varabldade maor do que a amostra B. Mas em Matemátca, eetuar operações com módulos é geralmente muto trabalhoso. Optou-se, então, por tentar trar o snal de derença sem a utlzação do módulo. A solução encontrada o elevar ao quadrado cada uma dessas derenças e somá-las. Daí: Para a amostra A: (-3) + (-6) + (-9) + (-10) 44. Para a amostra B: (-1) + (-) + (-) 16. Comprovamos mas uma vez que a amostra A é mas dspersa que a amostra B. Como a varabldade ou dspersão das séres de dados deve ser epressa por uma síntese, desejamos encontrar um únco valor que, levando em conta todos os outros, não altere a sua característca e que possa representar toda a sére. Esse valor denomna-se varânca da amostra e calcula-se através da órmula: 3

24 Onde: - ) σ Σ.( - ) n - 1 ( é o valor de cada derença entre o valor da varável e a méda da amostra ao quadrado. é a quantdade de vezes que cada desvo acontece n - 1 representa o grau de lberdade, ou seja, a quantdade de comparações ndependentes que podem ser etas entre as n undade da amostra. Anda para as amostras A e B, temos os seguntes valores de varânca: Para a amostra A: σ.( - ) Σ n , Para a amostra B: σ.( - ) Σ n ,6 A varânca da amostra é a medda de varabldade resultante da dvsão por (n-1) da soma das derenças ao quadrado entre cada valor da amostra e a méda da amostra. Ocorre que no cálculo da varânca, ao elevar ao quadrado a derença entre cada valor e a méda da amostra, a undade de meddas dos valores orgnas é também elevada ao quadrado. Ou, seja, resolvemos o problema da dculdade de trabalhar com módulos e cramos um problema com as undades de medda, havendo uma undade para a medda de posção e outra para a medda de dspersão. Para que as undades sejam guas, torna-se necessáro etrar a raz quadrada postva da varânca da amostra. Fazendo sso, dene-se a mas mportante medda de dspersão de uma amostra, chamada desvo padrão. 4

25 3.3 Desvo Padrão da Amostra (σ ) O desvo padrão da amostra é calculado por: σ σ Σ.( - ) n - 1 Calcule a varânca e o desvo padrão dos dados da tabela 6. Resolução: Incalmente, para acltar os cálculos ncluremos uma coluna para colocar os resultados de. A méda dos dados o calculada no tem 1.7.( - ) (eemplo 3). Na tabela a coluna está marcada em cnza. Os cálculos: 73,5 mm.( - ).( ) 1.(7, - 73,5) 1,69.( - ) 7.(7,6-73,5) 5, (.(.( ) - ) - ) 10.(73,0-73,5) 17.(73,4-73,5) 13.(73,8-73,5),50 0,17 1, (.( ) - ) 9.(74, - 73,5) 3.(74,6-73,5) 4,41 3,63 Σ.( - ) 1,69 + 5,67 +,50 + 0,17 + 1,17 + 4,41+ 3,63 19,4 A varânca da amostra é: σ.( - ) Σ n ,4 59 0, ,33 mm O desvo padrão da amostra é: 5

26 .( - ) 19,4 σ Σ 0, ,6 mm. n Dâmetros (mm) Tabela 7: Tabela Dstrbução de Freqüênca com Desvo Padrão r (%) F Fr (%)..( - ) 1 7,0 7,4 1 1,7 1 1,7 7, 7, 1,69 7,4 7,8 7 11,7 8 13,4 7,6 508, 5,67 3 7,8 73, 10 16, ,1 73,0 730,0, , 73,6 17 8, 35 58,3 73,4 147,8 0, ,6 74,0 13 1, ,0 73,8 959,4 1, ,0 74,4 9 15, ,0 74, 667,8 4, ,4 74,8 3 5, ,0 74,6 3,8 3,63 Σ Σ r Σ. Σ 19,4.( - ) ,0 4409, 3.4 Coecente de Varação (CV) Karl Pearson, matemátco nglês ( ), que contrbuu sgncatvamente para a cênca Estatístca, desenvolveu uma medda denomnada coecente de varação e calculada da segunte orma: CV σ.100 O coecente de varação é a grandeza relatva do desvo padrão da amostra quando este é comparado com a méda da amostra e é epresso em orma de porcentagem. 6

27 Karl Pearson ( ) Conheça a bograa de Karl Pearson no endereço eletrônco Calcule o coecente de varação dos dados da tabela 7. Resolução: Como a méda é gual a 73,5 mm e o desvo padrão gual a s 0,6 mm, o coecente de varação será: CV 0, ,5 0, ,8% 3.5 Desvo Médo No lugar de elevar ao quadrado os desvos de cada medda (para anular o eeto do snal), usa-se o módulo. Σ. - Desvo Médo n 3.6 Ampltude Modal Na meda de posção Moda, só nos nteressava a medda mas reqüente. Como medda de dspersão, queremos saber qual é esta reqüênca. Ampltude Modal quantdade de meddas guas á Moda 7

28 Eercícos Propostos 1. Calcule a ampltude total, a varânca, o desvo padrão e o coecente de varação das amostras A e B para os dados não agrupados: Amostra A: 30 km, 30 km, 30 km; Amostra B: 0 km, 30 km, 40 km.. Calcule a ampltude total, a varânca, o desvo padrão e o coecente de varação das amostras X, Y e Z para os dados não agrupados: Amostra X: 70, 70, 70, 70, 70; Amostra Y: 68, 69, 70, 71, 7; Amostra Z: 5, 15, 50, 10, Calcule as meddas de dspersão do eercíco proposto 1 do capítulo Calcule as meddas de dspersão do eercíco proposto do capítulo Calcule as meddas de dspersão do eercíco proposto 3 do capítulo Calcule as meddas de dspersão do eercíco proposto 4 do capítulo 1. 8

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