CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

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1 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Constata-se, freqüentemente, a estênca de uma relação entre duas (ou mas) varáves. Se tal relação é de natureza quanttatva, a correlação é o nstrumento adequado para descobrr e medr essa relação. Então, caracterzada a relação, procuramos descrevê-la através de uma função matemátca. A regressão é o nstrumento adequado para a determnação dos parâmetros dessa função. Coleta-se dados ebndo os valores correspondentes das varáves. Faz-se o gráfco dos pontos em sstema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é chamado Dagrama de Dspersão. Eemplo: X e Y representam, respectvamente, a altura e o peso de adultos do seo femnno. Uma amostra de n ndvíduos acusara alturas X 1, X,..., X n, e os correspondentes pesos Y 1, Y,..., Y n,. Os pontos a serem marcados no gráfco seram, então (X 1,Y 1 ), (X,Y ),..., (X n,y n ). Pelo dagrama de dspersão, mutas vezes, se pode vsualzar uma curva apromatva dos dados. Quando os dados parecem bem apromados por uma reta, dzemos que há uma correlação lnear entre as varáves (Fguras 1 e ). Quando este um relaconamento entre as varáves e tal relaconamento não é lnear, dz-se, então, que há uma correlação não-lnear entre as varáves (Fgura 3). Fnalmente, há os casos em que o dagrama não sugere nenhum tpo de correlação entre as varáves; neste caso dz-se que não há correlação lnear (Fgura 4). Eemplos: Fgura 1 Fgura

2 Fgura 3 Fgura 4 Coefcente de correlação O coefcente de correlação lnear é o nstrumento empregado para a medda da correlação lnear, ndcando o grau de ntensdade da correlação entre duas varáves e, anda, o sentdo dessa correlação (postvo Fgura 1 ou negatvo Fgura ). Pode ser utlzado o coefcente de correlação de Pearson: n [ n ( ) ] [ n ( ) ] onde n é o número de observações. Os valores lmtes de r (coefcente de correlação) são 1 e +1, sto é, o valor de r pertence ao ntervalo [-1,1]. Assm: a) se a correlação entre duas varáves é perfeta e postva, então r = 1; b) se a correlação é perfeta e negatva, então r = -1; c) se não há correlação entre as varáves, r = 0. Eemplo: Calcular o coefcente de correlação relatvo à tabela abao que apresenta as notas de Cálculo e Estatístca de dez alunos (n=10). A últma lnha contém as somas de cada coluna.

3 r=0,9114 Regressão Calc() Estat() O problema de se determnar equações de curvas que se ajustem a determnados conjuntos de dados observados é chamado ajustamento de curvas. Na prátca, o própro dagrama de dspersão geralmente sugere o tpo de curva a ser adotada. Assm, para as Fguras 1 e poderíamos usar a reta (Y = ax + b) enquanto que, para a Fgura 3, tentaríamos uma parábola (Y = ax + bx + c). Às vezes é útl construr o dagrama em termos de varáves transformadas. Assm, por eemplo, se log Y versus X conduz a uma reta, epermentaríamos log Y = a + bx como equação apromadora. Um dos prncpas objetvos do ajustamento é estmar uma das varáves (a varável dependente) em função da outra (varável ndependente). Tal processo de estmação é denomnado regressão. Se Y for estmado em função de X por meo de uma equação, tal equação é denomnada equação de regressão de Y sobre X e a curva ajustada é a curva de regressão de Y sobre X. Vamos consderar a regressão lnear smples, utlzada quando uma reta representa de manera satsfatóra a relação entre as varáves, ou seja, Y = ax + b é a equação de regressão de Y sobre X. O método mas smples utlzado para a determnação de a e b é o método dos mínmos quadrados. Após dversas smplfcações é possível chegar a: a e b a

4 sendo _ a méda artmétca dos ; e _ a méda artmétca dos. Outra forma de se calcular o a é através da fórmula: a Eemplo: n n. A tabela abao apresenta as varações do custo de um certo produto em relação à quantdade produzda: Quantdade (X) Custos (Y) Utlzando os dados acma: a) construa o dagrama de dspersão; b) ajuste uma reta aos dados; c) trace a reta no dagrama de dspersão; d) determne o custo para 16 undades do artgo a= 8, b= 15, para =16 = 153, soma Eercícos 1. Obtenha os coefcentes do modelo lnear = a + b. Dados: Certa empresa, estudando a varação da demanda de seu produto em relação à varação do preço de venda, obteve a tabela abao. preço ( ) demanda( )

5 a) Estmar os parâmetros do modelo =a+b, usando o crtéro de MQ. b) Usando o modelo lnear, estmar para =60 e =10. Utlzando as epressões (9) para calcular a e b, obtemos: 3. A tabela abao apresenta os dados referentes à varação da demanda de um produto produzdo ( ) em relação à varação do preço da venda ( ): a. construa o dagrama de dspersão; b. ajuste uma reta aos dados, ou seja, estabeleça a equação de regressão de sobre ; c. trace a reta no dagrama de dspersão; d. determne quando = 80 e quando = A tabela abao que apresenta as notas de Cálculo e Estatístca de catorze alunos (n=14) : Cálculo ( ) Estatístca ( ) a) construa o dagrama de dspersão; b) calcule o coefcente de correlação; c) estabeleça a equação de regressão de sobre ; d) trace a reta no dagrama de dspersão; 5. A tabela abao apresenta os dados referentes à varação do preço de venda do seu produto ( ) em função do preço de custo ( ): a) construa o dagrama de dspersão; b) estabeleça a equação de regressão de sobre ; c) trace a reta no dagrama de dspersão; d) determne quando = 165 e quando = A tabela abao apresenta valores que mostram como o comprmento de uma barra de aço vara conforme a temperatura: Temp.(graus C) Compr. (mm) a) Determne o coefcente de correlação. b) Estabeleça a equação de regressão de sobre.

6 c) Calcule o valor estmado do comprmento da barra para a temperatura de 18 graus C e para a temperatura de 35 graus C. 7. A tabela abao representa os pesos respectvos e de uma amostra de 1 pas e de seus flhos mas velhos. Calcule o coefcente de correlação e estme a lnha de regressão de para Num determnado país, na últma década, o aumento ( ) percentual do nível de preços e a epansão percentual dos meos de pagamentos ( ), de determnado produto de eportação, verfcaram-se conforme a tabela abao: ano a) Estabeleça a equação de regressão de sobre ; b) Determne o coefcente de correlação c) Esboce o dagrama de dspersão.

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