Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

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1 Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto, mesmos desvos padrões, obtendo-se os dados x, x e x 3, sendo nulas as covarâncas entre eles Mostre que a méda artmétca smples é a estmatva dada pelo MMQ (MMQ) Para se estmar os valores de duas grandezas, a e b, elas foram meddas, obtendo-se os seguntes resultados: a 7 a a b 5 b 3 3 b a 9 Determne os valores a serem adotados para essas grandezas usando o MMQ R: 6,5 e 6,, respectvamente para a e b 3 (MMQ) Para conhecer o rendmento de um veículo (em ltros por qulômetro), medu-se o consumo em dferentes percursos (tabela abaxo) Determne os rendmentos urbano e rodováro desse veículo usando o MMQ Percursos fetos (em km) Consumo de combustível Rodováro Urbano (ltros) R: Urbano:, l/km; rodováro:,5 l/km 4- (MMQ e matrz de covarânca) Escreva a expressão de Q(a,b,c) para o ajuste dos parâmetros de uma parábola y=a +b x+c o x a dados expermentas (x,y, ), não covarantes A partr dela, obtenha as expressões para os parâmetros ajustados e para suas varâncas e covarâncas 5 (Méda de dados pelo MMQ) Escreva a expressão Q(a) para o ajuste do parâmetro a da função y=a a dados (y, ), =,, n Mostre que o valor ajustado ã, é a méda ponderada

2 y a ~ Mostre, também, que a varânca de ã é a ~ 6 (MMQ, ajuste sem nenhum grau de lberdade) Escreva a expressão explícta para ã e ~ b no caso do ajuste dos parâmetros de uma reta por dos pontos expermentas (x,y, ) e (x,y, ) Escreva a matrz de covarânca de ã e ~ b (Note de que não há qualquer lmtação nesse ajuste, apesar de o número de graus de lberdade, dferença entre o número de dados expermentas e de parâmetros a ajustar, ser nulo e a função ajustada passar pelos dos pontos expermentas) 7 (Mnmzar ncerteza) (a) Verfque que, se todos os desvos padrões no ajuste dos parâmetros de uma reta y=a+bx forem guas, a expressão para os valores ajustados é a ~ n x y ~, b x x x y onde todas as somatóras vão de a n, sendo n a quantdade de dados expermentas (b) No ajuste de uma reta, y=a+bx, por dos pontos expermentas, apenas o termo constante é relevante Suponha que em um expermento a dstânca entre os dos valores da abscssa, x -x =, é fxo Mostre que, se as ncertezas dos dos pontos forem guas, a maor precsão em ã é obtda quando x =- / e x = / 8 (MMQ, lneardade nos parâmetros) Ajuste os parâmetros a e b da expressão y a x b 3 x consderando os dados expermentas abaxo, sendo as ncertezas em y guas a, x y, 8,6 7,8 3,9 4, 4,7 4,9 4,4 3,8 9,6 R: =4,95(,6) e

3 II Exercícos (Varânca pela função probabldade) (a) Escreva a expressão para a varânca de uma grandeza y, que vara dscretamente e que obedece à função probabldade P(y ) R: y y y y p( y ), sendo que a soma se estende por todos os valores para os quas p(y ) não é nula (b) Mostre que na dstrbução bnomal, P(n)=(N!/(N-n)!n!) p n (-p) N-n a varânca é N p (-p) (Propagação de matrz de covarânca) Os lados de um retângulo são 3(5) e 4(8), sendo nula a covarânca entre eles Determnar a matrz de covarânca do perímetro desse retângulo e da dferença entre o lado maor e o lado menor R:,6 3, V O coefcente de correlação é,56 3,,89 3 (Desvo padrão da méda e o MMQ) Determne a varânca de x x x x n n, supondo que todos os dados x têm o mesmo desvo padrão e covarâncas nulas R: x n 4 (Covarânca, justfcatva) Mostre que no ajuste dos parâmetros de uma reta, y=a+bx, se todos os dados ndependentes x forem postvos, então a covarânca entre os valores ajustados ~ a e ~ b será negatva Encontre uma explcação qualtatva para a covarânca ser negatva> 5 (Coefcente de correlação) Duas grandezas y e y têm matrz de covarânca 3

4 V Mostre que para que a varânca de y + y seja postva ou nula para qualquer valor de, então 6 (MMQ e mínma varânca, um exemplo) A méda ponderada de duas grandezas x e x é dada por x x Mostre que se os desvos padrões de x e x são, respectvamente, e e a covarânca entre eles é nula, então a menor varânca da méda ponderada é obtda quando e 7 (Varânca pela fdp) Consdere a função densdade de probabldade f ( y) b a se a < y < b nos outros casos Mostre que y y ( a b) / e y b a 8 (Efeto do truncamento) Váras constantes fundamentas da natureza (como a carga elementar, a constante de Planck, a massa do elétron etc) são conhecdas com ncertezas menores do que, parte por mlhão Em outras palavras, são conhecdas com pelo menos 7 algarsmos sgnfcatvos Entretanto, um pesqusador resolveu fazer seus cálculos arredondando os valores para 4 algarsmos apenas, usando 6,66-34 J s,,6-9 C e 9,9-3 kg respectvamente para a constante de Planck, a carga elementar e a massa do elétron Consderando o resultado do exercíco anteror, como ele deve estmar a ncerteza desses valores? 4

5 9 (Incerteza na nterpolação) Mostre que no caso do ajuste dos parâmetros de uma reta, y=a+bx, o valor de y nterpolado com menor desvo padrão x ocorre em x III Exercícos (Covarânca entre erros) Mostre que se y y e e y y e, cujos índces ndcam os valores verdaderos, então y y ) cov( e ) cov( e - Determne a matrz de planejamento do ajuste de um únco valor a n dados expermentas correspondentes a meddas de uma mesma grandeza R: É um vetor coluna com n elementos guas a 3 (MMQ) Ângulos externos e nternos de um trângulo foram meddos com os mesmos desvos padrões guas a e de forma estatstcamente ndependentes Os resultados estão tabelados abaxo (em graus) Ângulo meddo resultado Ângulo meddo resultado t Sendo o vetor de parâmetros a ser ajustado A (,, 3 ), mostre que a matrz de planejamento é dada por X 5

6 Determne o valor dos ângulos ajustados bem como sua matrz de covarânca Faça um teste de qu-quadrado para avalar a qualdade desse ajuste R: Ângulos ajustados: 89, o, 59,6 o 3, o Matrz de covarânca:,8,8,5 V,8,38,8 Valor obtdo χ : 3,6,5,8,8 4 (MMQ com vínculo) Usando os valores ajustados para os três ângulos do exercíco anteror e a correspondente matrz de covarânca, obtenha novos valores dos ângulos e a correspondente matrz de covarânca com a condção que a soma deles seja 8º 5 (MMQ) Duas meddas de uma mesma grandeza apresentaram os resultados 37,(5) e 43,(), onde os valores entre parênteses são os respectvos desvos padrões em undades da últma casa Supondo os dados estatstcamente ndependentes, determne o valor a ser adotado e o seu desvo padrão R: 4,(,9) 6 (Consequênca de uma correlação alta) Escreva a matrz de covarânca de dos dados, () e 7(), correspondentes a meddas de uma mesma grandeza, sendo que o coefcente de correlação entre eles é =9 A segur, determne o valor a ser adotado, seu desvo padrão e o valor de ququadrado do ajuste, 8,9 R: V Valor ajustado (e ncerteza): 4,(,7) (A alta 8,9, correlação postva entre os dos dados,,9, é responsável pela pequena redução da ncerteza do valor ajustado em relação às ncertezas dos dados expermentas) Qu-quadrado:,5 7 (Efeto de correlação negatva) Determne a méda e o desvo padrão dos dados abaxo correspondentes a três meddas da mesma grandeza e calcule o 6

7 valor de qu-quadrado do ajuste Dados: 35,±,, 39,±, e 38,±, sendo o coefcente de correlação entre todos os dados guas a =-4 R: 35,3±,5 Note a grande redução na ncerteza da méda quando comparada com a ncerteza dos dados por causa das correlações negatvas Qu-quadrado:,5 8 (MMQ, mportânca de cada dado na estmatva de cada parâmetro) Consdere o ajuste dos parâmetros de uma reta, y=a +b x, sendo os valores da abcssa (,, 3, 4) e os valores da ordenada (y, y, y 3, y 4 ) com matrz de covarânca gual à dentdade Escreva explctamente a matrz (X` V - X) - X` V - Inspecone essa matrz para determnar qual dos valores de y tem maor peso na estmatva do parâmetro a Verfque que o valor y 3 tem peso nulo na determnação de ã Obtenha a matrz de covarâncas dos parâmetros ajustados Verfque que exclundo o dado que tem peso nulo na estmatva do parâmetro a, a varânca de ã não se altera IV Exercícos (MMQ) Ajustar os valores de a e b da expressão y=a e x + b e -x aos dados abaxo Consdere todos os desvos padrões das varáves dependentes (y) guas a e nulas as correlações entre os dados Consdere nulas as ncertezas das varáves ndependentes Indque os valores ajustados, suas ncertezas e a covarânca x y R: Valores ajustados e ncertezas: 3,5(,5), 5,8(,3) Covarânca entre os parâmetros: -, -4 (Fxar o valor de um parâmetro; vínculo) Depos de feto o expermento do exercíco anteror, fcou-se sabendo que o valor de b é exatamente 6, e não devera ter sdo ajustado Assm, a partr dos resultados obtdos para a e b, mponha a condção que b seja gual a 6, e determne o novo valor a ser adotado para a bem como sua ncerteza (Propredade de uma matrz de covarânca) Verfque que a matrz 7

8 , 7, 7, 7, 7, 7, 7 não pode ser uma matrz de covarânca, pos a varânca da soma das três varáves correspondentes a essa matrz sera negatva (Uma matrz de covarânca deve ser postva sem-defnda) 3 (Ajustando parâmetros em comum em função dferentes) Para medr a aceleração da gravdade em um local, um grupo de estudantes fez a segunte experênca que permta medr dstânca de queda e velocdade em uma queda lvre A posção na queda lvre fo medda nos nstantes t= s e t=3 s, obtendo os valores 5,6 m e 46,3 m A velocdade fo medda nos nstantes t= s e t=4 s, obtendo-se os resultados 9 m/s e 4, m/s, respectvamente (Despreze a resstênca do ar) Consdere a matrz de covarânca gual a uma matrz dentdade e suponha que a velocdade e a posção em t= s não sejam conhecdas Consderando d=d +v t+,5 g t e v=v +g t Determne os valores ajustados de d, v e g bem como a ncerteza na aceleração da gravdade R:,3 m,, m/s e,(6) m/s 4 (MMQ; novo ponto em um ajuste) O resultado do ajuste de uma reta por pontos expermentas levou ao resultado a ~ ~ b,45,33 e V,6,4,4,5 Inclua nesse ajuste um novo ponto expermental, x=3 e y=,3, com desvo padrão e não correlaconado com os dados anterormente usados (e, portanto, também não correlaconado com ~ a ou ~ b ), determnando novos valores para os parâmetros e para a matrz de covarânca ~ R: ~a, 7, b, 3, V,3,95,95,43 V - Exercícos 8

9 (MMQ é estmador não tendencoso com menor ncerteza) Consdere dos dados expermentas y e y correspondentes a meddas de uma mesma grandeza y, com mesmas ncertezas e não correlaconados Mostre que a méda ponderada y y y não é tendencosa, ou seja, y y Verfque que o desvo padrão da méda acma é maor que o desvo padrão da méda smples (Relação lnear entre parâmetros) Energas de três transções nucleares foram meddas, obtendo-se os resultados expermentas,73(,) kev, 98,44(,5) kev e 98,65(,4) kev, não correlaconadas entre s Sabe-se que a soma das duas prmeras transções deve ser gual à tercera Impondo esse vínculo, determne os novos valores a serem adotados para as energas das transções bem como a nova matrz de covarânca Explque porque essa matrz é sngular (Note que a matrz de planejamento, neste caso, é gual à matrz dentdade de ordem 3) R:,64(,); 98,3(,); 98,96(,6),4,8,9 3,8,485,377 V Ã,9,377,668 kev= 3 ev; ev=,6-9 J 9

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