Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Disciplina: Medida de Probabilidade

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1 Departaento de Inforátca Dscplna: do Desepenho de Ssteas de Coputação Medda de Probabldade Prof. Sérgo Colcher Teora da Probabldade Modelo ateátco que perte estudar, de fora abstrata, u fenôeno físco ao qual estea assocada ua ncerteza Coposto de três eleentos Espaço de ostras Álgebra de Eventos (σ-algebra Medda de Probabldade Copyrght by TeleMída Lab. 2 Espaço de ostras Para u dado fenôeno físco, defne-se ua experênca dte-se que pode ser repetda dversas vezes e guas condções Inclu-se, explctaente, o que se entende por resultado da experênca Dando orge a u conunto Cada eleento é denonado aostra O conunto é denonado Espaço de ostras Experênca Resultado Espaço de ostras Espaço de ostras ω Ω ostra 3 4

2 Álgebra de Eventos É possível defnr subconuntos de Ω e nqurr se o resultado da experênca pertence a u desses subconuntos. Se defndos de fora adequada, esses subconuntos são denonados Eventos. cada evento assocareos ua edda de probabldade, logo Eventos deve ser copleentares, no sentdo de que, undos, fora todo o espaço Espaço de ostras: lguas Consderações Quando ogaos ua oeda, sabeos ser possível ela car de pé Meso ass costuaos gnorar essa stuação No experento de toar a dade de ua pessoa (coo u núero ntero de anos copletados, o espaço de aostras é fnto? É razoável achar que ua pessoa pode chegar a 000 anos? De acordo co fórulas extraídas das tabelas de ortaldade, a proporção de seres huanos sobrevvendo até 000 anos é da orde de (u núero co 0 27 blhões de zeros Se 0 0 pessoas nascesse por século, sera necessáros Isso é as do que 36 0 a cada 0 séculos para encontraros ua pessoa que vve 000 anos vdas do planeta terra. 5 6 Álgebra de Eventos Ua coleção de eventos (conuntos (denonada classe é ua Álgebra quando satsfaz as seguntes condções Dz-se que a classe é fechada e relação às operações de copleento e unão Propredade das Álgebras Se é ua álgebra então, Ω 0

3 Álgebra de Eventos Ua classe é fechada e relação às operações de Unão, nterseção, copleento e dferença Por ndução, é possível ostrar que a unão de u núero qualquer fnto de eventos tabé é u evento Fnto x Infnto Dscreto x Contínuo Espaço de ostras Dscreto quer dzer contável ou enuerável Infnto não quer dzer necessaraente contínuo. Dscreto não quer dzer necessaraente fnto. 2 3 Conunto Contável U conunto é contável quando é possível estabelecer u apeaento u-para-u entre seus eleentos e o conunto dos núeros nteros postvos. σ- Álgebra Ua álgebra é ua σ- Álgebra quando satsfaz à segunte condção ;, 2,... U 4 5

4 Medda de Probabldade Procura odelar a freqüênca relatva de u evento assocada a ua experênca. ssua que se tenha observado u fenôeno N vezes. Destas N vezes, anota-se o núero de vezes que u dado evento tenha ocorrdo. Representado este núero por n(, a razão n(/ é a freqüênca relatva de ocorrênca de para as N observações. freqüênca relatva é u valor entre 0 e. freqüênca relatva assocada ao evento Ω é gual a Medda de Probabldade Sera possível pensar e defnr a probabldade assocada a u deternado evento coo n( l? N N Ebora defnr a edda de probabldade dessa fora sea, a prera vsta, atraente, esbarra-se se e ua sére de arguento prátcos. Utlza-se ua defnção as pragátca, baseada e ua sére de axoas denonados de axoas da probabldade 6 7 Funções Conunto Fntaente dtvas Os xoas de Probabldade são baseados e entdades ateátcas conhecdas coo Funções Conunto Fntaente dtvas e Funções Conunto Contavelente dtvas Funções e que Funções Conuto O doíno é ua álgebra O contra-doíno é forado por valores reas 8 9

5 Funções Conunto Fntaente dtvas Ua função conunto f ( f ( f : R é dta fntaente adtva se f ( + sepre que e são conuntos dsuntos pertencentes a. Funções Conunto Fntaente dtvas Exeplos Área Coprento Massa Prova: Se f Teorea da Unão é fntaente adtva então : f ( ( ( ( f ( + 22 f ( f ( f ( f ( f ( + f ( f ( f f Ω f ( + f ( ( + f ( ( Função Conunto Contavelente dtva sepre que f U e f (. 23 Ua função conunto f : R é dta contavelente adtva se álgebra deve ser ua σ- Álgebra

6 xoas da Probabldade Medda de Probabldade é defnda splesente coo ua função e que obedece aos seguntes três axoas xoa : 0 xoa 2: Ω xoa 3: Função Conunto Fntaente dtva Propredades da Probabldade dtvdade Copleento Probabldade do Evento Vazo Ltante superor Unão (a Se, (b Se então ;,,2,...( + Função Conunto Contavelente dtva, então U Propredade da dtvdade Para ua coleção de n eventos dsuntos { },,..., n,, sto é Propredade do Copleento I ;,..., n ( Prova: a partr da defnção de copleento, te-se que resulta que n P U n P ( (Prova: por ndução Ω Utlzando o axoa 3(a e o axoa 2: + Ω 26 27

7 Propredade da Probabldade do Evento Vazo Propredade do Ltante Superor 0 Prova: o copleento de é Ω, portanto Ω Pelo axoa 2, Ω. Logo 0 Prova: + coo, pelo axoa, 0, é u ltante superor para Propredade da Unão + Prova: ( ( ( 30 P + P Ω + ( + ( Probabldade Condconal 3 Suponha ua população co N ndvíduos Suponha dos eventos : o ndvíduo é do sexo fenno : o ndvíduo é daltônco Pode-se defnr as probabldades N f / N N d / N Poderíaos estar nteressados e saber a probabldade de se ser daltônco dentro da população fenna. ou sea: N fd / N f dvdndo os dos lados por N

8 Probabldade Condconal Dados dos eventos e, deseaos odelar a probabldade de ocorrênca do evento dado que sabeos que o evento ocorreu:. E outras palavras, quereos a freqüênca relatva do evento e relação ao evento Quereos ua edda que odele n( n( n( N n( N Defnção Probabldade Condconal Dados dos eventos e, co > 0, chaa-se a probabldade condconal de dado (ou probabldade de condconada a defnda pela expressão Probabldade Condconal Obvaente, se e são dsuntos então Se Probabldade Condconal 0 / Se Caso geral 34 35

9 Exeplo Utlzado e Caltech Cada aluno fo nstruído a lstar o núero de flhos hoens e ulheres de sua faíla. Resultado: o núero de hoens é aor proxadaente 2/3 Detalhe: todos os alunos era hoens. É possível nferr estatstcaente que a população asculna é aor do que a população fenna no estado? Exeplo Utlzado e Caltech estatístca obtda não é a probabldade de u flho ser hoe naquela população e s a probabldade do flho ser hoe dado que ele ve de ua faíla co pelo enos u flho hoe Consdere, por exeplo, u espaço aostral coposto por 4n faílas, cada ua co 2 flhos, totalzando 8n flhos da segunte fora: n faílas te dos flhos hoens, 2n faílas te u hoe e ua ulher e n faílas te 2 flhas ulheres. Consdere os eventos: flho é hoe e faíla te pelo enos u flho hoe Te-se que 0,5 3n/4n 3/4 P ( Independênca Entre Dos Eventos Dos eventos e são estatstcaente ndependentes quando Independênca Entre Dos Eventos noção de ndependênca é partcularente portante quando e são abos aores do que zero Nessas condções, resulta edataente da defnção de probabldade condconal que cada ua das condções a segur é equvalente à defnção de ndependênca 38 39

10 Independênca Entre Dos Eventos É nteressante observar que Se e são estrtaente postvos ( > 0 e e são eventos utuaente exclusvos Então e NÃO SÃO estatístcaente ndependentes Sendo, te - se 0 e portanto 0 Logo, se os eventos e são ndependentes e utuaente exclusvos Então pelo enos u deles te probabldade nula Exeplo de Probabldade Condconal Escolha aleatóra se reposção de ua população de n eleentos, 2,..., n, toan- se ua aostra ordenada. consderando que o prero eleento é o eleento, qual é a probabldade de que o segundo eleento sea o eleento? 40 4 Exeplo de Probabldade Condconal n( n n ( n Isso expressa o fato de que a segunda escolha é feta sobre ua população de n eleentos, todos co a esa probabldade. De ua fora geral: E u experento de escolhas sucessvas, ndependente das preras r escolhas, na escolha de núero r+, as n r opções restantes tê probabldade /(n r. Partção do Espaço de ostras U conunto de eventos { },,..., n consttu ua partção do espaço de aostras Ω quando satsfaz as duas condções a segur 2 n U Ω,,, K, n ( Os eventos que copõe ua partção são utuaente exclusvos e, quando undos, engloba todo o espaço de aostras 42 43

11 Ω Partção do Espaço de ostras 2 4 Teorea da Probabldade Total Consdere u evento e ua partção do espaço de aostras { },,...,.. Para essa partção e esse evento te-se que 3 5 ou anda Deonstração Teorea da Probabldade Total Ω U Ω Teorea da Probabldade Total Deonstração U Tendo e vsta que a nterseção é dstrbutva e relação à unão, te-se que U( ( ( K ( ( Coo,,, pos { } é ua partção, então 46 47

12 Teorea da Probabldade Total Deonstração (cont Logo, os teros da unão ( são utuaente exclusvos e, portanto 48 Regra de ayes 49 Consdere ua partção { },,..., do espaço de aostras, co > 0 para todo.. Sea anda,, u evento co > 0. Utlzando a defnção de probabldade condconal ( (2 Pelo teorea da probabldade total (3 Regra de ayes Substtundo (2 e (3 e ( Essa expressão é conhecda coo Regra de ayes, K, s probabldades são conhecdas coo probabldades a pror s probabldades são conhecdas coo probabldades a posteror Exeplo Suponha ua população de seres huanos dvdda e subpopulações H, H 2,... dsuntas dvsão segundo algu crtéro qualquer coo faxa etára, grupo étnco etc. Sea H a probabldade de u ndvíduo pertencer a H Sea H a probabldade de u ndvíduo pertencente a H ser canhoto.. Qual é a probabldade de u ndvíduo qualquer ser canhoto? 2. Sabendo que u ndvíduo é canhoto, qual é a probabldade dele pertencer ao grupo H? 50 5

13 . P Exeplo ( H H (Teorea da probabldade total 2. H H ( H (Regra de ayes H H P 52