Departamento de Informática. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Modelagem Analítica. Disciplina: Variável Aleatória

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1 Departamento de Informátca Dscplna: do Desempenho de Sstemas de Computação Varável leatóra Prof. Sérgo Colcher Varável leatóra eal O espaço de amostras Ω fo defndo como o conjunto de todos os possíves resultados de uma eperênca Os elementos de Ω não são necessaramente numércos Mas é quase sempre nteressante que Ω tenha uma respresentação numérca Pode-se assocar a cada ponto ω Ω um número real (ω) Uma função que mapea os pontos de Ω em é denomnada uma varável aleatóra (v.a) real. Copyrght by TeleMída Lab. Varável leatóra eal Ω ω Fenômeno Eperênca Varável leatóra Medda de Probabldade 0 Defnção Varável leatóra eal Uma v.a. real é uma função : Ω ω sto é, tal que ) os conjuntos ) P({ ω Ω : ( ω) = }) = 0 P({ ω Ω : ( ω) = }) = 0 = { ω Ω : ( ω) } ; são eventos váldos para qualquer número real 3 4

2 Varável leatóra eal Ω ω Fenômeno Eperênca Varável leatóra Medda de Probabldade? Como P( Varável leatóra eal { ω:(ω) } eas da segunte manera é um evento, uma probabldade ao subconjunto { : }) = P( { ω:(ω) }) é possível atrbur { : } dos Isto garante que qualquer ntervalo I de está também assocado a uma probabldade Varável leatóra eal Ω ω Fenômeno Eperênca I V.. Dscreta V.. Contínua V.. Msta Tpos de V..s Medda de Probabldade 0 7 8

3 V.. Dscreta Dz-se que uma v.a. é dscreta quando o seu contradomíno Ω é um conjunto de pontos solados (fnto ou nfnto, porém numerável). Isto sgnfca que Ω = {,, } partr dessa defnção é possível verfcar a estênca de eventos cujo conjunto contém apenas um elemento: Como a cada valor da v.a. assoca-se se uma medda de probabldade, pode- se escrever que P ω Ω : ( ω) = = p ; =,, ({ }) com a condção p = O conjunto {p, p,...} é a dstrbução de probabldade da v.a dscreta. Não confundr com a Função Dstrbução de Probabldade (FDP) que será apresentada mas adante. V.. Contínua Uma v.a. cujo contradomíno Ω é contínuo, é uma v.a. contínua. Ω é agora um conjunto não numerável e se a probabldade assocada a cada Ω for maor que zero, será volada a condção aomátca de que P(Ω)= Neste caso, é mas aproprado defnr uma medda de probabldade assocada a ntervalos, de tal forma que a função p, defnda em Ω, é tal que, para qualquer ntervalo I P ( I) = p ( ) d I 9 0 V.. Contínua Uma v.a. contínua satsfaz a condção P( = ) = 0 É mportante ressaltar a dferença entre evento vazo e evento com probabldade zero Por eemplo, para uma v.a. contínua, o evento { = } } tem probabldade zero mas não é vazo pos contém o ponto. V.. Msta Uma v.a.,, cujo contradomíno Ω é não numerável, mas que contém um subconjunto (fnto ou nfnto numerável) no qual cada um de seus pontos tem probabldade maor que zero é denomnado de v.a. msta.

4 Função Dstrbução de Probabldade (FDP) Função Dstrbução de Probabldade (FDP) também conhecda como Função de Dstrbução Cumulatva (FDC) assocada a uma v.a. real é a função defnda por F : F ( ) = P( ) Lembre que na defnção de v.a. fo egdo que os subconjuntos { } fossem eventos Eemplo Consdere o epermento de lançar um dado com ses faces f, =,, 6, onde os resultados de todas as faces são equprováves Seja,, uma varável aleatóra real, com o segunte mapeamento: Ω Esboçar a FDP de : F () f ( f ) = 3 4 Eemplo Consdere o epermento de lançar um dado com ses faces f, =,, 6, onde os resultados de todas as faces são equprováves Seja,, uma varável aleatóra real, com o segunte mapeamento: Ω f ( f ) = ( 3) Propredades das FDPs Esboçar a FDP de : F () 5 6

5 Eemplo Uma v.a. tem FDC dada por F y (Y) Forma Geral da FDP Toda Função Dstrbução de Probabldade F () pode ser escrta como F ( ) = C ( ) + D ( ) Desejamos obter. F y (0).. v. P(0<y ) P(5 y 0) P(y=0) Y onde C é uma função contínua e D é um somatóro de funções degrau D ( ) = P( = ) u( ) 7 9 Função Densdade de Probabldade (f.d.p.) Propredades da f.d.p. Para uma v.a. com F.D.P F, defne-se como f.d.p. a função f dada por ( ) df ( ) f = d Quando a v.a. é dscreta, tem-se df ( ) f( ) = d d P( = ) u( ) = d f ( ) = P( = ) δ( ) função que descreve P( = ) é denomnada de função de massa de probabldade (f.m.p.). ) f ( Y ) dy = F ( ) F ( Y ) = F ( ) 0

6 Propredades da f.d.p. Propredades da f.d.p. ) f ( Y ) dy = ) f ( ) 0 F ( Y ) = 0 = F ( ) é não decrescente 3 Propredades da f.d.p. Eemplo v) I f ( ) ( ) d = P I Por eemplo, para I = (a,b] Uma v.a.. tem FDC dada por F y (Y) P( ( a, b]) = F ( b) F ( a) b = f ( ) d f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d = b a a f ( ) d a b. Esboçar a fdp f y (Y). partr do gráfco de (), calcular a. F y (0) b. P(y>0) c. P(5 y 0) Y 4 5

7 Contínuas Eemplo de Dstrbuções Unforme Eponencal Gaussana (ou Normal) Dscretas ernoull nomal Geométrca Posson Eemplo: Dstrbução Unforme Uma v.a. é dta unformemente dstrbuída no ntervalo [a,b] quando sua f.d.p é dada por a b b a f( ) = 0 caso contráro F () b a f () a b a b 6 7 Dstrbução Normal (Gaussana) Dstrbução Eponencal f ( ) = e σ π ( µ ) σ f ( ) µ = 0 σ = 0, 5 µ = 0 σ = µ = σ = 3 λ λe, 0 λ f ( ) = λe u( ) = 0, < 0 F ( ) = f ( Y ) dy = 0 y λe λy dy λ λ e, 0 F ( ) = ( e ) u( ) = 0, < 0 8 9

8 Dstrbução Eponencal Dstrbução Eponencal f -λ ( ) = λ e λ = F ( ) = e λ λ = Valor Esperado O valor esperado E é um operador real, defndo sobre o espaço Y das varáves aleatóras reas, que assoca a cada v.a. o número real E[] tal que Eemplo: Valor Esperado de v.a. Unforme a b b a f( ) = 0 caso contráro Y E[ ] f ( ) d = O valor esperado é também chamado de méda 3 33

9 Eemplo: Valor Esperado de v.a. Gaussana Valor Esperado de v.a. Dscreta f( ) = e σ π ( µ ) σ Valor Esperado de v.a. Eponencal Varânca e Desvo Padrão λ λe, 0 λ f ( ) = λe u( ) = 0, <