X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha)

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1 Estatístca p/ Admnstração II - Profª Ana Cláuda Melo Undade : Probabldade Aula: 3 Varável Aleatóra. Varáves Aleatóras Ao descrever um espaço amostral de um expermento, não especfcamos que um resultado ndvdual necessaramente seja um número. Por exemplo, ao descrever uma peça manufaturada, podemos empregar apenas as categoras defetuosa e não defetuosa. Também, ao observar a temperatura durante o período de horas, podemos smplesmente regstrar os valores no gráfco (curva traçada das temperaturas ocorrdas. Entretanto, poderemos atrbur o valor (um às peças perfetas e o valor (zero às defetuosas. Poderemos regstrar a temperatura máxma do da, ou a temperatura mínma, ou a méda das temperaturas máxma e mínma (Meyer, 983. Estas quantdades cujos valores são determnados pelos resultados de um expermento aleatóro E são chamadas de VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (v.a. Defnção: Sejam E um expermento aleatóro e Ω o espaço amostral assocado a este expermento. Uma varável aleatóra é uma função, que assoca a Ω, (sto é, a cada w Ω, um nº real, (w. Ver Fgura. Ω R( ω (ω Fgura Ex.: Consderemos o expermento aleatóro: extraem-se duas bolas, sem reposção, de uma urna que contém: bolas brancas (B e 3 vermelhas (V. Vamos defnr a v.a. como: = o nº de bolas vermelhas obtdas nas duas extrações. Portanto os valores possíves que a v.a. pode assumr são: =, se ocorre BB, (duas bolas brancas =, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha =, se ocorre : VV (duas bolas vermelhas

2 . Tpos de Varáves As varáves aleatóras podem ser de dos tpos: dscretas ou contínuas. Uma v.a. é dta dscreta quando ela assume somente valores num conjunto enumerável de pontos do conjunto real. Ela é uma v.a. contínua se for do tpo que pode assumr qualquer valor em um ntervalo real.. Varáves Aleatóras Dscretas Uma varável aleatóra dscreta, é uma função defnda sobre um espaço amostral Ω que assume apenas valores x, x, x 3,..., x n nteros fntos ou nfntos enumeráves. Dstrbução de Probabldade da Varável Aleatóra Dscreta Seja uma v.a. defnda num espaço amostral Ω, tal que: (Ω = {x, x, x 3,..., x n }. Podemos defnr a probabldade da v.a. assumr o valor x, ( =,,..., n, a qual escreve-se P( = x ou f(x. Esta função f, que a cada x do conjunto (Ω, assoca sua probabldade de ocorrênca, é chamada de DISTRIBUIÇÃO (ou FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DA V.A., e pode ser expressa por uma tabela, um gráfco ou uma fórmula. A dstrbução dada por P( = x, satsfaz as seguntes condções: a P( x, x n b P ( x = = Ex.: Consderemos uma urna com bolas vermelhas e brancas, de onde se extraem sem reposção duas bolas. Tínhamos que a v.a. fo defnda como: = nº de bolas vermelhas obtdas nas duas extrações. Portanto: (Ω = {,, }. Construndo o dagrama da árvore termos o segunte: Resultados (Ω BB BV VB VV x - Probabldades / / / / Assm temos: P( = = P(BB = / P( = = P(BV ou VB = / + / = / P( = = P(VV = /

3 Desta forma, a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE desta v.a., (em esquema de tabela, será: x P(x / / / Ex.3: Consderemos o lançamento de uma moeda honesta duas vezes. Seja a v.a. Y, defnda como: Y = o nº de caras obtdas nos dos lançamentos. Y = {,, }. Portanto temos: Resultados (Ω C C C C CC C C y - Probabldades / / / / Assm : P(Y = = P( C C = / P(Y = = P(C C ou C C = / + / = / P(Y = = P(C C = / Desta forma, a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE desta v.a. Y, (em esquema de tabela, será: x P(x / / / Valor Esperado de Varáves Aleatóras Dscretas Defnção: Se x, x, x 3,..., x n são os possíves valores da v.a. dscreta, e P(x, P(x, P(x 3,..., P(x n são as respectvas probabldades então o valor esperado, (ou esperança matemátca ou méda, de, denotado por E( ou µ x, é defndo por: = n = x.p( x Ex.: Consderemos novamente o exemplo da urna com bolas vermelhas e brancas, de onde se extraem sem reposção duas bolas. A v.a. é defnda como: = nº de bolas vermelhas obtdas nas duas extrações. Portanto: (Ω = {,, }. O valor esperado ou méda da v.a. será: = = Ex.5: Consderemos novamente o exemplo do lançamento de uma moeda honesta duas vezes. Seja a v.a. Y, defnda como: Y = o nº de caras obtdas nos dos lançamentos. Y = {,, }. Portanto temos: 3

4 E(Y n = y.p( y = E(Y = = = = Varânca de Varáves Aleatóras Dscretas Seja o segunte exemplo: Vamos consderar a v.a., com dstrbução dada conforme tabela abaxo - - P(x /5 /5 /5 /5 /5 Portanto a v.a. é dscreta e tem méda, E( = (-./5 + (-./5 +./5 +. /5 +./5 = Consderemos agora a v.a. Y dada por Y =.. Então a tabela abaxo dá a dstrbução e méda de Y: y - - P(y /5 /5 /5 /5 /5 Logo E(Y =. Observando as dstrbuções das v.a. e Y, notamos que elas têm a mesma méda, E( = E(Y =, e que são smétrcas ao redor deste valor, (o ponto. Porém, pode-se notar anda que, a v.a. Y é mas espalhada ao redor deste ponto zero, do que a v.a., (ou equvalentemente: está mas concentrada ao redor do do que Y. Ver grafcamente. Uma medda de DISPERSÃO dos valores assumdos por uma v.a., ao redor de sua méda, é dada pela VARIÂNCIA desta varável aleatóra, (ou pelo desvo padrão. Defnção: Seja uma v.a. dscreta, com méda E(. Então, a varânca da v.a. é defnda por: V( = E( [ E( ] onde = n = x P( = x Outras notações, para a varânca de uma v.a.,: Var(, σ ou σ (, ou smplesmente σ quando não susctar dúvdas. Defnção: O Desvo Padrão de uma v.a. com méda E(, é defndo como a raz quadrada postva de V(. Portanto, o desvo padrão de será: σ = Var(

5 As notações usuas para o desvo padrão, além desta usada, (σ, ou σ( ou smplesmente σ, quando não susctar dúvdas. Ex.6: Consderemos a v.a. dada no exemplo anteror. Tínhamos que E( =. Calculemos a varânca e o desvo padrão desta v.a.. Prmero, devemos calcular E( para aplcarmos a fórmula da varânca. x P(x x.p(x /5 /5 /5 /5 8/5 /5 = Portanto, E( = /5 =. Logo, Var( = E( [E(] = =. E o desvo padrão será σ = =,. Então, Var( = E( [ E( ] Var( = (/ - (/3 = / /9 = /8. Varáves Aleatóras Contínuas Há expermentos que envolvem varáves cujos valores resultam de algum processo de mensuração que podem assumr um número não enumerável de valores num determnado ntervalo de varação. Suponha que o contradomíno de (R seja formado por um número fnto não enumerável de valores, dgamos todos os valores de no ntervalo x, da form: ;,;,;...,9888;,9999..;,. Como os valores possíves de são não enumeráves, não podemos realmente falar do -ésmo valor de, e, por sso, P( = x se torna sem sentdo. O que faremos é substtur a função p defnda somente para x, x,... por uma função f defnda para todos os valores de, x. Função Densdade de Probabldade (fdp Seja uma v.a. contínua. A função densdade de probabldade f(x é uma função que satsfaz as seguntes condções: a f(x para todo x R x 5

6 b f ( x dx = R x c Além dsso defnmos, para q.q. b b. a < em R x, P(a < < b = f ( x dx = P( b P( a a Ex.: Se f(x = x, para x <, e zero fora desse ntervalo, vemos que f(x, qualquer que seja x, e a área sob o gráfco de f é untára (verfque Fgura. Logo, a função f pode representar a função densdade de uma varável aleatóra contínua. Fgura Aqu, a P( x < ½ é gual à área do trângulo de base ½ e altura. Logo a probabldade em questão é P( < ½ = ½.( ½. = ¼. Valor Esperado de Varáves Contínuas Defnção: Se x, x, x 3,..., x n são os possíves valores da v.a. contínua, e P(x, P(x, P(x 3,..., P(x n são as respectvas probabldades então o valor esperado, (ou esperança matemátca ou méda, de, denotado por E( ou µ x, é defndo por: = x. f ( x dx Ex.7: Consderando o mesmo exemplo onde f(x = x, para x <, temos que = x.f ( x dx = x.x dx = Varânca de Varáves Contínuas x 3 3 = /3 Defnção: Seja uma v.a. dscreta, com méda E(. Então, a varânca da v.a. é defnda por: 6

7 V( = E( [ E( ] onde = n = x P( = x Outras notações, para a varânca de uma v.a.,: Var(, σ ou σ (, ou smplesmente σ quando não susctar dúvdas. Defnção: O Desvo Padrão de uma v.a. com méda E(, é defndo como a raz quadrada postva de V(. Portanto, o desvo padrão de será: σ = Var( As notações usuas para o desvo padrão, além desta usada, (σ, ou σ( ou smplesmente σ, quando não susctar dúvdas. No caso de varáves aleatóras contínuas, temos: Var( = E( [ E( ] onde E( = x. f ( x dx Ex.9: Consderando o mesmo exemplo onde f(x = x, para x <, temos que para calcular a Var(, temos que prmero achar E( E( Então, = x. f ( x dx Var( = = E( x.x dx = x [ E( ] = / Var( = (/ - (/3 = / /9 = /8 7

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