PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Mara Manuela Portela DECvl, IST, 0

2 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Professor Assocado, Escola de Engenhara da Unversdade Federal de Mnas Geras, Belo Horzonte, Brasl. Mara Manuela Portela Professora Auxlar, Insttuto Superor Técnco da Unversdade Técnca de Lsboa, Portugal. (ota: o presente texto fo produzdo a partr de capítulo homónmo do lvro Hdrologa Aplcada, a ser publcado entre 0 e 0 pela Assocação Braslera de Recursos Hídrcos, ABRH. O ntuto é o de proporconar noções fundamentas de probabldades e estatístca aplcadas à hdrologa, nclundo concetos relaconados com a análse de ncertezas)

3 Índce do texto. Introdução.... Caracterzação prelmnar das ncertezas presentes nos fenómenos hdrológcos Defnções báscas ota préva Espaço de resultados ou espaço amostral Acontecmento aleatóro Complementar de um acontecmento aleatóro Combnação de acontecmentos aleatóros. Unão e ntersecção Probabldade Dependênca e ndependênca estatístcas Varáves aleatóras dscretas e contínuas Funções dstrbução de probabldade Meddas descrtvas populaconas das varáves aleatóras ota préva Valor esperado Varânca, desvo-padrão e coefcente de varação da população Coefcente de assmetra Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras dscretas ota préva Dstrbução geométrca. Período de retorno Dstrbução Bnomal. Rsco hdrológco Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras contínuas Estmação de parâmetros e de quants das dstrbuções de probabldade Procedmento geral. Método dos momentos Factores de probabldade Análse de frequênca de varáves hdrológcas ota préva Análse de frequênca com base na aprecação vsual do ajustamento (em gráfcos de probabldade). Probabldade empírca de não-excedênca Aprecação da qualdade do ajustamento e escolha do modelo dstrbutvo. Teste de Kolmogorov-Smrnov e do Qu-Quadrado Avalação das ncertezas assocadas às estmatvas de quants Correlação e regressão smples de varáves hdrológcas Pág.

4 Referêncas bblográfcas Índce de Tabelas Precptações dáras máxmas anuas, Pdma, no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Prncpas estatístcas amostras ou descrtvas, respectvas fórmulas de cálculo, sgnfcados e valores tendo por base a amostra de precptações dáras máxmas anuas da Tabela. 3 úmero de faces resultantes do lançamento smultâneo de duas moedas. 4 Prncpas modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras contínuas hdrológcas e hdrometeorológcas. 5 Prncpas característcas das dstrbuções de probabldades de varáves aleatóras contínuas hdrológcas e hdrometeorológcas. 6 Função dstrbução de probabldade, FDP, da dstrbução ormal padrão, z ( z) = π exp( z )dz Φ. 7 Expressões de cálculo dos factores de frequênca F K DIST para dversas dstrbuções. 8 Fórmulas para estmação de probabldades empírcas de não excedênca. 9 Precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava, de acordo com a Tabela. Probabldades empírcas de não-excedênca, P( x)=f(x), de acordo com a fórmula de Grngorten apresentada na Tabela 8. 0 Valores crítcos da estatístca do teste de Kolmogorov Smrnov em função da dmensão da amostra,, e do nível do sgnfcânca, α, D,α. Quants da dstrbução do Qu-Quadrado em função do número de graus de lberdade, ν, e do nível de confança, (-α), χ ν,(-α). Partções (número e lmtes) do domíno da função dstrbução de probabldade, F(x), na aplcação do teste do Qu-Quadrado em função da dmensão da amostra, (adaptada de Henrques, 990). 3 Aplcação dos testes de Kolmogorov-Smrnov, KS, e do Qu-Quadrado, χ, à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) da Tabela. 4 Intervalo de confança a 95%, para a estmatva fornecda pela le de Gumbel para a precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava (0I/0G) com a probabldade de não-excedênca de 99% (período de retorno de 00 anos). 5 Pares de valores de caudas nstantâneos, Q, e das correspondentes alturas hdrométrcas, h, relatvos a uma estação hdrométrca. b 6 Cálculo dos parâmetros da curva de vazão defnda por Q = a (h h 0 ).

5 Índce de Fguras Varabldade temporal das precptações dáras máxmas anuas (mm) no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Funções massa e acumulada de probabldades da varável aleatóra dscreta do exemplo da Tabela 3. 3 Funções densdade e acumulada de probabldades de uma varável contínua. 4 Função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua. 5 Exemplos de funções densdade (ou massa) de probabldade smétrcas e assmétrca. 6 Cheas máxmas anuas como lustração de um processo de Bernoull. 7 Esquema de desvo provsóro de um ro. 8 Modelo GEV: relação entre κ e γ. 9 Papel de probabldade da le ormal. 0 Probabldades empírcas de não-excedênca fornecdas pelas fórmulas da Tabela 8 para duas amostras, uma, com 50 elementos (à esquerda) e, outra, com 0 elementos (à dreta). Precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava, de acordo com a Tabela. Probabldades de não-excedênca, P( x)=f(x) empírcas (fórmula de Grngorten) e de acordo com as les ormal, de Gumbel e log-ormal para papes de probabldade das les ormal gráfco superor e de Gumbel gráfco nferor. Aplcação do teste de Kolmogorov-Smrnov, KS, à amostra de precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G) da Tabela. Representação gráfca do valor da estatístca do teste. 3 Intervalos de confança a 95%, para os quants fornecdos pela le de Gumbel para as precptações dáras máxmas anuas no posto udométrco de Pava (0I/0G). 4 Hstogramas das estmatvas fornecdas pelas séres sntétcas (em número de W=5000) da precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava (0I/0G) para a probabldade de não excedênca de 99%. 5 Alguns exemplos de assocações denotando correlação entre as varáves Y e. 6 Coefcentes de regressão pelo método dos mínmos quadrados. 7 Curvas de vazão para os dos possíves modelos defndos no exercíco 6. Índce de Exercícos Pág. Exercíco... 9 Exercíco... 3 Exercíco Exercíco

6 Exercíco Exercíco Exercíco 7... Exercíco 8... Exercíco Exercíco Exercíco... 3 Exercíco... 3 Exercíco Exercíco Exercíco Exercíco v

7 v

8 . Introdução Os fenómenos naturas, nomeadamente, hdrológcos contêm ncertezas que lhes são nerentes sendo que exstem duas fontes para tas ncertezas: () a aleatoredade natural assocada às possíves ocorrêncas (ou realzações) de um certo fenómeno; e () e as mperfeções e/ou nsufcêncas do conhecmento humano sobre os processos que determnam tas ocorrêncas. As ncertezas do prmero tpo ou aleatóras podem ser expressas em termos da maor ou menor varabldade de uma ou mas das varáves (ou grandezas mensuráves) assocadas ao fenómeno em estudo. As ncertezas do segundo tpo resultam da nterpretação mperfeta ou mprecsa da realdade subjacente ao referdo fenómeno, por parte dos modelos teórcos e/ou físcos utlzados para o caracterzar. As ncertezas aleatóras não podem ser reduzdas ou modfcadas porque são ntrínsecas à varabldade dos fenómenos em observação. Em geral, essas ncertezas apenas podem ser parcalmente estmadas pelo padrão da varabldade exbdo pelas amostras referentes a realzações desses fenómenos ou das varáves que nele ntervêm. Já as ncertezas que decorrem das lmtações do conhecmento humano acerca dos menconados fenómenos podem ser reduzdas, seja pela obtenção de dados e de nformação adconas, seja pela especfcação de novos modelos teórcos (ou físcos) mas conformes com a realdade. Em ambos os casos, os concetos e métodos da teora de probabldades e da estatístca consttuem conhecmentos ndspensáves para ldar com as ncertezas e para as nterpretar (Ang e Tang, 007). As consequêncas que as ncertezas acarretam no projecto e no planeamento de estruturas e sstemas de engenhara, em geral, e de engenhara de recursos hídrcos, com partcular ênfase, são muto mportantes. De facto, num contexto de ncerteza, o projecto e o planeamento de estruturas e sstemas de aprovetamento e de controlo de recursos hídrcos envolvem rscos, os quas envolvem probabldades de ocorrênca de certos acontecmentos crítcos e das suas respectvas consequêncas, e, fnalmente, a formulação de processos de tomada de decsões. De modo deal, a tomada de uma decsão, por exemplo, quanto às dmensões do descarregador de superfíce de uma barragem, devera levar em consderação: () a probabldade de que, ao longo da vda útl do empreendmento, o caudal máxmo para o qual fo projectado seja ultrapassado pelas caudas de chea que efectvamente se constate ser necessáro descarregar; () as possíves consequêncas da eventual subestmação do caudal de projecto; e () a formulação de planos de tomada de decsões assentes em soluções de compromsso entre avalações quanttatvas dos rscos, custos e benefícos das dversas soluções alternatvas estudadas. Assm, num quadro completo e raconal de tomada de decsões relaconadas com o projecto e o planeamento de nfra-estruturas e de sstemas de recursos hídrcos, é precso levar em consderação as ncertezas assocadas aos fenómenos hdrológcos ntervenentes. A teora de probabldades e a estatístca consttuem um campo de saber e fornecem ferramentas adequadas para nterpretar as característcas de alguns desses fenómenos e para equaconar parte da ncerteza que lhes possa estar assocada. o presente documento sstematzaram-se alguns dos concetos daquela teora mas relevantes e frequentemente ntervenentes em estudos do âmbto da engenhara dos recursos hídrcos, com ênfase para a hdrologa. Pretendendo-se que se trate de um documento ddáctco, foram ncluídos exemplos e exercícos de aplcação de modo a tornar mas explíctos aqueles concetos.

9 . Caracterzação prelmnar das ncertezas presentes nos fenómenos hdrológcos As ocorrêncas de mutos dos fenómenos relevantes no âmbto da engenhara dos recursos hídrcos, nclundo a componente de hdrologa, contêm ncertezas aleatóras, que não podem ser prevstas com absoluta precsão. Em geral, esses fenómenos são caracterzados por uma ou mas varáves mensuráves na natureza (ou em laboratóro), de modo normalzado e sstemátco. Sob as mesmas condções de observação, os dados ou regstos de uma mesma varável podem apresentar valores muto dferencados entre s, alguns com menor frequênca e outros com maor. A varabldade dos dados apresenta um certo padrão, o qual exemplfca apenas uma realzação ou amostra da varação ntrínseca do fenómeno natural a que se referem tas dados. Consdere a amostra de precptações dáras máxmas anuas, Pdma, apresentadas na Tabela, relatva ao posto udométrco de Pava (0I/0G) (localzado na baca hdrográfca do ro Tejo) no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Recorda-se que tal amostra é consttuída por um valor por ano hdrológco, a máxma precptação em 4 h em cada ano. Como é do conhecmento geral, em Portugal o ano hdrológco decorre entre de Outubro e 30 de Setembro. Tabela Precptações dáras máxmas anuas, Pdma, no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Ano Pdma Ano Pdma Ano Pdma Ano Pdma Ano Pdma hdrológco (mm) hdrológco (mm) hdrológco (mm) hdrológco (mm) hdrológco (mm) 9/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / O padrão de varabldade temporal das precptações dáras máxmas anuas apresentadas na anteror tabela pode ser vsualzado pelo dagrama de sére temporal ou dagrama cronológco da Fgura (a) e, de forma mas elaborada, pelo hstograma da Fgura (b). Para construr o hstograma da Fgura (b) obtveram-se as ocorrêncas ou as frequêncas absolutas com que os sucessvos valores da precptação estão compreenddos entre os lmtes de dferentes ntervalos de classe para o que foram consderadas classes com ampltude de.5 mm. O resultado, em cada classe, do quocente entre a correspondente frequênca absoluta e o número total de valores da amostra ou dmensão da amostra,, a saber no exemplo da Fgura,

10 =94, é a frequênca relatva nesse ntervalo de classe (exo prncpal das ordenadas no dagrama do lado dreto), que, na fgura, fo expressa em percentagem. Para fxar o número de ntervalos de classe do hstograma adoptou-se a regra de Sturges, ou seja, IC = + 3.3log0( ), na qual IC denota o número recomendado daqueles ntervalos e tem o sgnfcado antes explctado. (a) Dagrama da sére temporal ou dagrama cronológco Precptação dára máxma anual, Pdma (mm) Ano cvl de níco do ano hdrológco (b) Hstogramas amostral e teórco de frequêncas relatvas e densdade de probabldade Frequênca relatva (%) Densdade de probabldade (%) Hstograma amostral Hstograma teórco e densdade de probabldade Precptações dáras máxmas anuas (mm) Fgura Varabldade temporal das precptações dáras máxmas anuas (mm) no posto udométrco de Pava (0I/0G), na baca hdrográfca do ro Tejo, no período de 94 anos hdrológcos, entre 9/ e 004/05. Suponha-se agora que, tendo em vsta um problema de análse de cheas, se pretenda estmar o caudal de ponta de chea para a precptação dára máxma anual de 03 mm, superor a qualquer valor da amostra da Tabela. Com base uncamente nessa amostra, poder-se-a conclur que, não tendo ocorrdo no passado um valor dessa ordem de grandeza, sera mprovável que o mesmo se realzasse no futuro, especalmente estando-se em presença de uma amostra consderavelmente longa. Em contrapartda, poder-se-a admtr que, não obstante esta últma constatação, se a amostra tvesse maor dmensão ou se respetasse a outro ntervalo de tempo, eventualmente contera valores guas ou mesmo superores a 03 mm. Para averguar se poderão ou não ocorrer valores para além dos contdos numa dada amostra é necessáro obter, de algum modo, o padrão completo de varabldade da varável a que se refere essa amostra (ou seja, o hstograma de um número nfnto de observações da mesma) através de um função teórca de dstrbução de probabldade ou, de modo equvalente, da correspondente função teórca de densdade de probabldade, para o que é necessáro estabelecer os modelos matemátcos que exprmem essas funções, com estmação, a partr da amostra, dos respectvos parâmetros. Um exemplo de uma dessas funções, no caso em menção, referente à le de Gumbel de dos parâmetros (objecto do tem 4), está ndcado na Fgura (b) pela curva a vermelho que, lda em correspondênca com o exo secundáro das ordenadas (exo de densdade de probabldade), representa a função densdade de probabldade de tal le. A mesma curva lda em correspondênca com o exo prncpal das ordenadas (exo de frequênca relatva) traduz o hstograma teórco, também de acordo com a menconada le. 3

11 Embora o estudo e o ajuste de modelos paramétrcos sejam tratados apenas em tens subsequentes, anota-se, desde já, que a probabldade de ocorrer uma precptação dára máxma anual superor a 03 mm segundo a le de Gumbel com parâmetros estmados a partr da amostra apresentada na Tabela, é de 0.5%, ou seja, embora pequena, não é nula. A anteror probabldade pode ser entendda como sgnfcando que, em méda, nos próxmos 00 anos, poderá ocorrer uma dessas precptações em um ano qualquer. Poder-se-a dar o caso de o crtéro de projecto requerer uma precptação mas excepconal, por exemplo, susceptível de ocorrer em qualquer um dos próxmos 000 anos. Uma precptação de projecto tão elevada assegurara condções de dmensonamento certamente mas robustas. Contudo, convém sublnhar, que, por regra, a decsão de adoptar um crtéro de projecto mas excepconal mplca, por um lado, maores custos de construção e, por outro lado, rsco de falha ou mesmo de colapso menor. A opção por um dado valor de projecto, para além de reflectr eventuas condconalsmos legas (tas como normas ou regulamentos), deve decorrer de uma análse de custos/benefícos e rscos, avalados tendo em conta o horzonte da vda útl esperada para a estrutura hdráulca em cujo dmensonamento ntervém, a par com as consequêncas da falha/colapso dessa estrutura. Um processo complementar para caracterzar de modo sntétco a varabldade de uma sére temporal de uma varável hdrológca, como a apresentada na Tabela, utlza as desgnadas estatístcas amostras ou estatístcas descrtvas que não são mas do que meddas numércas, calculadas a partr da amostra, que descrevem as característcas essencas do hstograma, tas como a abcssa de seu centro geométrco, a dspersão com que os pontos amostras se dstrbuem em torno do valor central e a eventual assmetra entre as caudas nferor e superor do dagrama. A Tabela contém o resumo das prncpas estatístcas amostras, as fórmulas de cálculo dessas estatístcas e, especfcamente para a amostra de precptações dáras máxmas anuas da Tabela, os respectvos valores numércos. Explctam-se, anda, os sgnfcados das estatístcas enquanto descrtores da forma do hstograma. As prncpas meddas de tendênca central são a méda, a moda e a medana. A prmera corresponde à abcssa do centro geométrco do hstograma, enquanto a moda é o valor mas frequente da amostra e é dada pela abcssa da maor ordenada do polígono de frequêncas. Este polígono é formado pela junção dos pontos médos dos topos dos rectângulos que consttuem o hstograma, para o que é necessáro consderar duas classes adconas, uma em cada extremdade, ambas com ordenadas nulas. Por sua vez, a medana de uma amostra classfcada por ordem crescente {x (), x (),, x () } tal que x () é nferor ou gual a x (+) corresponde ao elemento de ordem (+)/, se é ímpar, ou à méda artmétca entre os elementos de ordens (/) e [(/)+], se é par. Uma das prncpas meddas de dspersão é a varânca, a qual é dada pela méda dos quadrados das dferenças entre os elementos amostras e a respectva méda, multplcada pelo factor /(-) para corrgr o chamado vés. A raz quadrada da varânca é o desvo-padrão, sendo que o quocente entre este desvo e a méda recebe a desgnação de coefcente de varação, grandeza admensonal muto útl para comparar as dspersões relatvas de dferentes varáves. Outra grandeza admensonal de grande utldade para a análse estatístca de varáves hdrológcas é o coefcente de assmetra, calculado conforme também ndcado na Tabela. Relatvamente a tal coefcente, anota-se que, no caso de acontecmentos hdrológcos extremos, a soma das dferenças cúbcas entre os elementos da amostra e a respectva méda é 4

12 frequentemente postva, em consequênca de os valores mas elevados estarem muto mas afastados da méda do que os valores que lhe são nferores. Como estão em causa dferenças ao cubo, resulta um coefcente de assmetra postvo. É este o caso do hstograma da Fgura (b) e de tantos outros hstogramas de amostras de varáves hdrológcas, o que torna necessáro o estudo de dstrbuções de probabldade capazes de reproduzr essa assmetra, como, por exemplo a de Gumbel a que se refere a curva de densdade de probabldade representada naquela fgura. Contudo, pode dar-se o caso de uma amostra exbr um coefcente de assmetra, quer nulo, sendo o correspondente hstograma smétrco, quer negatvo, traduzdo, neste caso, por uma cauda nferor do hstograma relatvamente mas prolongada/estendda do que a cauda superor. Tabela Prncpas estatístcas amostras ou descrtvas, respectvas fórmulas de cálculo, sgnfcados e valores tendo por base a amostra de precptações dáras máxmas anuas da Tabela. Desgnação Tpo otação Fórmula cálculo ou conceto Interpretação Méda Moda Medana ou º quartl º quartl 3º quartl Ampltude nterquarts Momento central de ordem r Tendênca central Tendênca central Tendênca central Cauda nferor Cauda superor MO MD ou Q Q Q 3 = = x Elemento da amostra com maor frequênca 50% dos valores ordenados abaxo e 50 % acma Medana dos 50% menores valores Medana dos 50% maores valores Abcssa do centro geométrco do hstograma Abcssa da maor ordenada do polígono de frequêncas Abcssa que dvde ao meo a área do hstograma Abcssa que dvde em 5-75% a área do hstograma Abcssa que dvde em 75-5% a área do hstograma Ampltude entre as Dspersão AIQ AIQ = Q 3 Q abscssas Q 3 e Q Varânca Dspersão Desvo- -padrão - ' ' r m r m r = ( x ) = ' S S = m Dspersão S S = S Potênca r da méda dos desvos em relação à méda Méda dos desvos quadrátcos, em relação à méda Raz quadrada do desvo quadrátco médo Valor para a amostra da Tabela 39.5 mm 40. mm 36.4 mm 34. mm 38.4 mm 4. mm mm 7. mm Coefcente de varação Dspersão CV S Desvo-padrão expresso CV = em fracção da méda Coefcente de assmetra Assmetra g g = ' 3 m ( )( )( S ) 3 Coefcente admensonal.49 Coefcente de curtose Curtose k k ' ( + ) m4 = 4 ( ) ( ) ( 3) ( S ) 3 ( + ) ( ) ( 3) Coefcente admensonal (achatamento).699 5

13 Em complemento dos elementos precedentes referentes à análse prelmnar de dados hdrológcos, recomenda-se a consulta do capítulo do lvro de aghettn e Pnto (007), sendo que tal lvro se encontra dsponível na sua versão completa, medante acesso à segunte URL: A prátca profssonal assocada à engenhara dos recursos hídrcos exge a formulação de modelos matemátcos com o objectvo de representar/caracterzar os processos físcos e, assm, possbltar a tomada de decsões, por exemplo, quanto ao planeamento e ao projecto dos sstemas para aprovetamento e/ou controlo das dsponbldades hídrcas de superfíce. o essencal, tas modelos podem ser determnístcos e não determnístcos, sendo que, naquele prmero tpo se ncluem os modelos empírcos e os fscamente baseados, e, no segundo tpo, os modelos probablístcos e os estocástcos, Quntela e Portela (00). Uma vez que os modelos são representações mperfetas e aproxmadas da realdade, as estmatvas e as prevsões a que conduzem estão necessaramente sujetas a mprecsões e, portanto, contêm ncertezas. Como antes menconado, essas ncertezas decorrem da nsufcente montorzação e/ou conhecmento assocado ao processo físco em causa e, sempre que possível, devem se consderadas em smultâneo com as ncertezas aleatóras, ntrínsecas do processo, para assegurar uma completa caracterzação das ncertezas e das suas mplcações nos actos de tomada de decsões de engenhara (Ang e Tang, 007). Algumas dessas ncertezas podem ser reduzdas pela aqusção de dados adconas e/ou pela formulação de modelos alternatvos, expectavelmente mas aptos a representar o fenómeno em estudo. Ao pretender-se caracterzar as precptações dáras máxmas anuas no posto de Pava (0I/0G) a que se refere a Tabela medante adopção da le de probabldades de Gumbel, conforme antes consderado, ntroduz-se, necessaramente uma smplfcação na nterpretação do processo natural que produz tas precptações que, porventura, poderam ser melhor descrtas por uma outra função de dstrbução de probabldade ou mesmo por uma combnação de váras dessas funções. Mesmo que a dstrbução de Gumbel consttuísse a verdadera síntese matemátca do processo físco conducente àquelas precptações, tal dstrbução possu parâmetros, cujas estmatvas são obtdas a partr de uma amostra com dmensão sempre muto lmtada face à nfntude do unverso de onde provém, pelo que aqueles parâmetros necessaramente dferem dos verdaderos, embora desconhecdos, parâmetros do unverso. Em consequênca das anterores ncertezas, ao afrmar-se que à precptação dára máxma anual de 03 mm (ou seja, ao quantl de 03 mm) está assocada a probabldade de excedênca de 0.5%, está smplesmente a falar-se de um valor esperado, ou seja, de um valor médo em torno do qual se pode construr um ntervalo de valores que conterá o verdadero e desconhecdo valor do quantl, com uma certa confança, por exemplo, de 95%. A nclusão destas e de outras ncertezas na prátca da engenhara de recursos hídrcos requer alguns fundamentos da teora de probabldades e estatístca que a segur se descrevem. 6

14 3. Defnções báscas 3.. ota préva Apresentam-se a segur algumas defnções báscas e os prncpas fundamentos que enquadram as aplcações da teora de probabldades e estatístca à hdrologa. 3.. Espaço de resultados ou espaço amostral O espaço de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados elementares, mutuamente exclusvos e colectvamente exaustvos de uma experênca aleatóra. Em geral, denota-se esse conjunto por Ω dstngundo-se entre espaços numeráves e não numeráves e entre espaços fntos e nfntos. Um acontecmento é um qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplos: () Ω :{número de das chuvosos num ano} { 0,,,..., 365} espaço amostral numerável e fnto; () Ω :{número de das consecutvos sem chuva} { 0,,,... } espaço amostral numerável e nfnto; () Ω 3 :{precptação dára máxma anual no posto udométrco de Pava {P; P R + } espaço amostral não numerável e nfnto Acontecmento aleatóro Um acontecmento aleatóro é uma stuação específca que se pretende que ocorra cada vez que se realza uma experênca aleatóra. Um acontecmento aleatóro pode ser um elemento ou um subconjunto do espaço amostral Ω. Exemplos: () A:{méda da precptação nos das com chuva no posto udométrco de Pava (0I/0G) no ano hdrológco de 96/7}; () B:{número anual de das com chuva no posto udométrco de Pava (0I/0G) durante a década de 980 a 990} Complementar de um acontecmento aleatóro O complementar, E c, de um acontecmento aleatóro, E, é o acontecmento que ocorre quando não ocorre E. O complementar é, portanto, o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a Ω e que não pertencem a E. Exemplo: Se a experênca aleatóra consstsse na contagem do número anual de das com chuva no posto udométrco de Pava a que se refere a Tabela e se, para o ano hdrológco de 96/7, resultasse no evento de 8 das com chuva, ter-se-a E c :{0,,,..., 80, 8, 83, 84,..., 365}. 7

15 3.5. Combnação de acontecmentos aleatóros. Unão e ntersecção Unão A unão de dos acontecmentos A e B, representada por A B, é o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B ou a ambos. Por exemplo, se A se refere aos anos em que, em dada estação hdrométrca, ocorreram caudas nstantâneos superores a 80 m 3 /s e B aos anos em que a máxma precptação dára num posto udométrco stuado na baca hdrográfca daquela estação hdrométrca fo superor a 40 mm, então A B representa os elementos de A ou B ou de ambos. Intersecção A ntersecção de dos acontecmentos A e B, representada por A B, é o conjunto formado pelos elementos que smultaneamente pertencem a A e a B. o exemplo anteror, a ntersecção de A com B desgna os anos em que smultaneamente ocorreram caudas nstantâneos superores a 80 m 3 /s e máxmas precptações dáras superores a 40 mm. Se a ntersecção de A com B é um conjunto vazo, ou seja, se A B=, então os acontecmentos não ocorrem smultaneamente, recebendo a desgnação de acontecmentos mutuamente exclusvos, ncompatíves ou dsjuntos. Qualquer acontecmento e o seu complementar, A e A c, consttuem exemplos de acontecmentos dsjuntos Probabldade Uma vez defndos o espaço amostral e os acontecmentos aleatóros, pode assocar-se uma probabldade a cada um desses acontecmentos, podendo entender-se por tal uma medda relatva da sua possbldade de ocorrer, compreendda entre os valores extremos de 0 (mpossbldade de ocorrênca ou acontecmento mpossível) e de (certeza de ocorrênca ou acontecmento certo). Segundo a defnção mas usual, a probabldade de um acontecmento A de um espaço amostral Ω, P(A), é um número não negatvo que deve satsfazer os seguntes axomas: (a) 0 P(A) ; (b) P(Ω)=; e (c) para qualquer sequênca de acontecmentos mutuamente exclusvos E, E,... E, a probabldade da unão desses acontecmentos é gual à soma das respectvas probabldades ndvduas, ou seja, Ρ( U E ) = Ρ( ). = E = Dos anterores axomas, decorrem os seguntes coroláros: P(A c )=-P(A) P(Ø)=0 Se A e B são dos acontecmentos do espaço amostral Ω e A B, então P(A) P(B). Desgualdade de Boole (ou lmte da unão): se A, A,..., A k são acontecmentos defndos num espaço amostral, então, Ρ( U A ) Ρ( ). = A = 8

16 Regra da adção de probabldades: se A e B são dos acontecmentos do espaço amostral Ω, então, Ρ ( A B) = Ρ( A) + Ρ( B) Ρ( A B) Dependênca e ndependênca estatístcas Um acontecmento A depende estatstcamente de B se o facto de B ocorrer altera a probabldade de A ocorrer. este caso, a probabldade de que o acontecmento A ocorra, dado que o acontecmento B ocorreu, é referda como probabldade condconal de A dado B e P(A B) = P A B P B. Ao denotada por P(A B). Em termos formas, é calculada por ( ) ( ) contráro, se a probabldade de ocorrênca do acontecmento A não é afectada pela ocorrênca P (A B) = P A, então A é dto estatstcamente ndependente de B sendo a de B, ou seja, se ( ) probabldade da ocorrênca smultânea dos acontecmentos A e B dada por P(A B)=P(A).P(B). Exercíco Consdera-se que dos acontecmentos naturas podem produzr a ruptura de uma dada barragem stuada numa regão pouco montorzada do ponto de vsta hdrológco e sujeta a tremores de terra: a ocorrênca de um caudal de ponta de chea superor ao caudal de projecto do descarregador de superfíce (acontecmento A) e o colapso estrutural devdo a um tremor de terra (acontecmento B). Admtndo que as probabldades anuas dos anterores acontecmentos são, respectvamente, P(A)=0.0 e que P(B)=0.0, estme a probabldade da barragem romper num ano qualquer. Solução: A ruptura da barragem pode ser devda a uma chea, a um tremor de terra ou à acção conjunta dos dos acontecmentos; tratando-se, portanto, de um acontecmento composto pela unão dos acontecmentos A e B, a respectva probabldade é dada por Ρ ( A B) = Ρ(A) + Ρ(B) Ρ(A B), sendo que não se conhece Ρ ( A B). o ( ) ) pressuposto de que, mesmo que exsta alguma dependênca estatístca entre A e B, Ρ ( A B) deverá apresentar um valor muto baxo e atendendo à desgualdade de Boole, resulta, de modo conservador, que Ρ A B Ρ(A) + Ρ(B = =0.03. Admtndo-se que os acontecmentos A e B são ndependentes, obter-sea ( A B) = Ρ(A) + Ρ(B) P(A) P(B) = Ρ Varáves aleatóras dscretas e contínuas Seja E uma experênca aleatóra e Ω o respectvo espaço amostral. Por varável aleatóra entende-se uma função que assoca a cada elemento s Ω um número x(s). Para melhor explctar o sgnfcado de, consdere-se a experênca E: {lançamento smultâneo de duas moedas dstnguíves entre s} cujo espaço amostral é Ω:{ff, cc, fc, cf}, onde f smbolza face ou cara, e c coroa. Se a varável for defnda como o número de faces / caras decorrentes da menconada experênca, os seus valores possíves são os ndcados na Tabela 3. Tabela 3 úmero de faces resultantes do lançamento smultâneo de duas moedas. Acontecmento Valores da varável aleatóra Probabldade de ocorrênca A:{ff} x= 0.5 B:{cc} x=0 0.5 C:{fc} x= 0.5 D:{cf} x= 0.5 9

17 Em condções normas de realzação da experênca, os acontecmentos A, B, C e D são consderados equprováves, ou seja, P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=0.5. As probabldades de que a varável aleatóra assuma cada um dos seus possíves valores são: P(=)=P(A)=0.5, P(=0)=P(B)=0.5 e P(=)=P(C D)=P(C)+P(D)=0.50; observe-se que os acontecmentos C e D são dsjuntos e, em consequênca, P ( C D) = 0. este exemplo, a varável aleatóra apenas pode assumr valores postvos e nteros, em conformdade com as possíves realzações da experênca E, no espaço amostral Ω. Em geral, a notação usada para expressar a probabldade de uma varável aleatóra assumr um dado valor x é P( = x) = p ( x) ou smplesmente P( x) = p( x) =. Varável aleatóra dscreta Uma varável aleatóra dscreta pode assumr somente valores nteros, correspondendo a espaços amostras fntos ou nfntos, porém susceptíves de serem enumerados, ou seja, espaços amostras numeráves. o caso da experênca E:{lançamento smultâneo de duas moedas dstnguíves entre s} a que se refere a Tabela 3, sendo o número de caras obtdas num lançamento, é uma varável aleatóra dscreta. Varável aleatóra contínua Uma varável aleatóra contínua pode assumr qualquer valor real num dado ntervalo, correspondendo a espaços amostras fntos ou nfntos, porém não numeráves. Exemplfcandose, consdere a experênca A:{medção da precptação dára num dado posto udométrco}. A varável aleatóra representatva da precptação dára máxma anual nesse posto é uma varável aleatóra contínua pos, teorcamente, pode assumr qualquer valor real entre 0 e, embora com dferentes probabldades. 0

18 4. Funções de dstrbução de probabldade As funções de dstrbução de probabldade são funções que descrevem o comportamento de uma varável aleatóra, dscreta ou contínua. Assm, para caracterzar as probabldades assocadas aos possíves valores de varáves aleatóras,, do tpo dscreto, P( = x) = p ( x), utlzam-se as desgnadas funções de probabldade ou funções massa de probabldade, fmp. Qualquer fmp tem de satsfazer as seguntes condções: () (x) p 0, x ;e p. () ( x) =, x A soma das ordenadas de uma fmp relatvas aos sucessvos valores de x, conduz à desgnada função acumulada de probabldades, FAP ou seja, F (x) = Ρ x = p x = p x,. A Fgura lustra as duas anterores funções ( ) ( ) ( ) x x tendo por base o exemplo da Tabela 3. x x (x) p.0 F (x) = p (x) x 0 x Fgura Funções massa e acumulada de probabldades da varável aleatóra dscreta do exemplo da Tabela 3. Se a varável aleatóra puder assumr qualquer valor real, ou seja, se for do tpo contínuo, a função equvalente à fmp é denomnada por função densdade de probabldade, fdp. Esta função não negatva, em geral denotada por f (x) ou smplesmente por f(x), está exemplfcada na Fgura 3, representando o caso lmte de um polígono de frequêncas para uma amostra de tamanho nfnto e, portanto, com as ampltudes dos ntervalos de classe a tender para zero. É mportante notar que, contraramente à função fmp relatva ao caso dscreto, a fdp num dado ponto x 0, f(x 0) não fornece a probabldade de para o argumento x 0 e, sm, a ntensdade com que a probabldade de ocorrerem valores menores ou guas do que x 0 se altera na vznhança desse argumento.

19 f (x) F (x) x a b b Ρ( a < x b) = f ( x) dx = F ( b) F ( a) a a b Fgura 3 Funções densdade e acumulada de probabldades de uma varável contínua. A área entre dos lmtes a e b, defndos no exo das abcssas representatvo dos possíves valores da varável aleatóra contínua,, fornece a probabldade de a varável estar compreendda entre esses lmtes, como lustrado na Fgura 3. Portanto, para uma fdp f (x), é válda a equação: b ( a < < b) = Ρ( a b) = f (x) dx = F (b) F (a) = F(b) F(a) Ρ...() a Consequentemente, ao fazer-se convergr o lmte nferor da anteror ntegração, a, para o correspondente lmte superor, b, a representação da área do gráfco entre aqueles lmtes tende, por assm dzer, para uma recta no plano real com área, por prncípo, nula. Conclu-se, portanto, que, para uma varável aleatóra contínua, P(=x)=0. Em correspondênca com o caso dscreto, a função acumulada de probabldade, também smplesmente desgnada por função dstrbução de probabldade, FDP, de uma varável aleatóra contínua, representada por F (x) ou smplesmente por F(x), fornece a probabldade assocada a valores nferores ou guas ao argumento x, ou seja, a probabldade de não-excedênca de x, Ρ ( x). Inversamente, a fdp correspondente pode ser obtda pela dferencação de F (x), em relação a x. Tal como no caso dscreto, a FDP de uma varável aleatóra contínua é uma função não decrescente, sendo váldas as expressões F (- )=0 e F (+ )=.

20 Exercíco Consdere que a Fgura 4 representa a função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua caudal médo dáro máxmo anual (m 3 /s), numa dada estação hdrométrca. Determne: (a) P(<00 m 3 /s); (b) P(>300 m 3 /s). f (x ) y x Fgura 4 Função densdade de probabldade da varável aleatóra contínua. z Solução: (a) Se f (x) é uma função densdade de probabldades, a área do trângulo deve ser gual a. Assm, (400y)/=, o que resulta em y=/00. Logo, P( 00 m 3 /s), correspondente à área do trângulo até a abcssa 00, é (00y)/=0.5. (b) P(>300), ou [- P( 300)], corresponde à área do trângulo à dreta da abcssa 300. A ordenada z pode ser calculada por semelhança de trângulos, ou seja, (y/z)=300/00, o que resulta em z=/600. Logo, P(>300)=

21 5. Meddas descrtvas populaconas das varáves aleatóras 5.. ota préva A população de uma varável aleatóra corresponde ao unverso ou espaço amostral dos todos os seus possíves resultados, cujas frequêncas de ocorrêncas podem ser sntetzadas por uma fmp p (x) ou por uma fdp, f (x), consoante é uma varável aleatóra dscreta ou contínua, respectvamente. Em ambos os casos e de modo equvalente às estatístcas descrtvas de uma amostra extraída daquela população, objecto do tem, as característcas de forma das funções p (x) ou f (x) podem ser sntetzadas por meo de meddas descrtvas populaconas. Tas meddas são obtdas através de médas, ponderadas por p ( x ) ou f (x), de funções da varável aleatóra e ncluem o valor esperado, a varânca e o coefcente de assmetra, entre outras. 5.. Valor esperado O valor esperado ou a esperança matemátca de é o resultado da soma de todos os valores possíves da varável aleatóra, ponderados por p (x) ou por f (x). O valor esperado, denotado por E[], equvale à méda populaconal, µ, ndcando, portanto, a abcssa do centro de massa ou centróde das funções p (x) ou f (x), pelo que tem as mesmas undades de. A defnção formal de E[] é dada por: E [ ] µ = x p( x ) x =...() para o caso dscreto; e por E [ ] µ = x f ( x) + para o caso contínuo. = dx...(3) O valor esperado pode ser entenddo como um operador matemátco e ser generalzado para qualquer função g() da varável aleatóra, conforme expresso pelas equações (4) e (5) para dscreta ou contínua, respectvamente. E g( ) = g x p x x...(4) [ ] ( ) ( ) [ g( ) ] g( x) f ( x) + E = dx...(5) As prncpas propredades do operador valor esperado E(.) são: E[c]=c, para c constante. E[cg()]=cE[g()], para c constante e g() com o sgnfcado antes apresentado. E[c g () ± c g ()]=c E[g ()] ± c E[g ()], para c e c constantes e g () e g () funções de. E[g ()] E[g ()], se g () g (). 4

22 Exercíco 3 Calcule o valor esperado para a função massa de probabldades especfcada pela Fgura. Solução: A aplcação da equação () resulta em E[]=µ = = que, de facto, é o centróde da função massa de probabldades. Exercíco 4 Consdere uma varável aleatóra contínua, cuja função densdade de probabldade é dada por f (x) = θ exp( x θ), para x 0 e θ 0, tratando-se, portanto, da dstrbução de probabldade exponencal, que, de facto, é uma famíla de curvas, a depender do valor numérco do parâmetro θ. essas condções: (a) calcule o valor esperado de ; (b) supondo que o valor numérco de θ é gual a, calcule a probabldade assocada a valores da varável aleatóra superores a 3, ou seja, P ( > 3) ; e (c) supondo que θ=, calcule a medana da varável aleatóra exponencal. Solução: (a) Para a dstrbução em questão, E [ ] = µ = x f ( x) dx = ( x θ) exp( x θ) ser resolvda por partes, ou seja, = ( θ) exp( x θ) dx v = exp( x θ) 0 0 dx. Esta ntegração pode dv e u = x du = dx. Resulta, assm, udv = uv ] 0 vdu = x exp( x θ) ] θ exp( x θ) ] = θ. Portanto, para a forma paramétrca exponencal, o valor esperado, ou seja, a méda da população µ é gual ao parâmetro θ; por outras palavras, a abcssa do centróde da função densdade de probabldade, fdp, exponencal é θ. (b) A probabldade pedda é calculada por P 3 = P 3 = F 3 F x é a função dstrbução de probabldade, FDP, dada por ( > ) ( ) ( ) em que ( ) F ( x) ( θ) exp( x θ) dx e cuja solução é ( x) = exp( x θ) = x 0 P ( 3) = + exp( 3 ) = 0. 3 P( x) = P( x) = F ( x) = Invertendo-se a função F ( x), obtém-se x( F) θln( F) exercíco, a medana é x ( 0.50) = ln( 0.50) =. 39. F. Para os dados do exercíco, >. (c) A medana é o valor de x que corresponde a =. Para os dados do 5.3. Varânca, desvo-padrão e coefcente de varação da população A varânca da população de uma varável aleatóra, representada por Var[] ou por σ, é defnda como sendo o momento central de segunda ordem, ou µ, e corresponde à medda populaconal mas frequentemente utlzada para caracterzar a dspersão das funções massa, p (x), ou densdade, f (x) de probabldade. Obtém-se, assm: Var [ ] σ = µ = E ( µ ) [ ] = E[ ( E[ ] ) ] =...(6) Expandndo o quadrado contdo na anteror equação e usando as propredades do operador esperança matemátca, resulta: Var [ ] σ = µ = E[ ] E[ ] ( ) =...(7) Logo, a varânca populaconal de uma varável aleatóra é gual ao valor esperado do quadrado dessa varável menos o quadrado do valor esperado de, ou seja, o quadrado da méda de. A varânca de tem as mesmas undades de e as seguntes propredades: Var[c]=0, para c constante. Var[c]=c Var[]. Var[c+d]=c Var[], para d constante. 5

23 De modo equvalente às estatístcas descrtvas amostras, o desvo-padrão da população σ é a raz quadrada (postva) da varânca, σ, possundo, portanto, as mesmas undades de. Defne-se, gualmente, uma medda relatva admensonal da dspersão de p (x) ou f (x) por meo do coefcente de varação populaconal CV, dado por: CV σ =...(8) µ Exercíco 5 Calcule a varânca, o desvo-padrão e o coefcente de varação para a função massa de probabldade especfcada pela Fgura. Solução: A aplcação da equação (7) requer o cálculo de E[ ] para o qual resulta E [ ] = x p (x = =.5. Atendendo a que, de acordo com o exercíco 3, E[]=µ =, ) obtém-se para a equação (7), Var [] = σ =.5-.0 =0.5. O desvo padrão é, portanto, σ = 0.7 e o coefcente de varação, CV = 0.7/.0= Coefcente de assmetra O coefcente de assmetra γ de uma varável aleatóra é uma grandeza admensonal defnda por 3 3 ( σ ) 3 [( µ ) ] ( σ ) 3 µ E γ = =...(9) O numerador do segundo membro da equação (9) é o momento central de ordem 3, ou seja, é o valor esperado do cubo dos desvos da varável aleatóra em relação à respectva méda µ, podendo ser postvo, negatvo ou nulo. Se tal numerador e, consequentemente, o coefcente de assmetra, forem nulos, a função densdade (ou massa) de probabldade será smétrca. Se os valores de superores à méda µ estverem relatvamente muto mas afastados do que os nferores, os cubos dos desvos postvos rão prevalecer sobre os negatvos e o coefcente γ será postvo, confgurando uma função densdade (ou massa) com assmetra postva. Caso contráro, ter-se-á uma função densdade (ou massa) de probabldade com assmetra negatva. A Fgura 5 lustra três funções densdades de probabldade: uma smétrca, portanto, com o coefcente de assmetra nulo, outra com assmetra postva gual a γ=.4 a e a tercera com a assmetra negatva de γ=-.4. Outras meddas, como os momentos de ordens superores a 3 e o coefcente de curtose, embora consttuam mportantes complementos para a caracterzação da forma das funções densdade (ou massa) de probabldade, encontram aplcações menos frequentes na modelação de varáves aleatóras hdrológcas. Ao letor nteressado em aprofundar os seus conhecmentos sobre estes tópcos, recomenda-se a consulta dos lvros de Rao e Hamed (000) e Hoskng e Walls (997). 6

24 fdp Coef. assmetra nulo Coef. assmetra de.4 Coef. assmetra de x Fgura 5 Exemplos de funções densdade (ou massa) de probabldade smétrcas e assmétrca. 7

25 6. Modelos de dstrbução de probabldades de varáves aleatóras dscretas 6.. ota préva Um modelo de dstrbução de probabldades é uma forma matemátca abstracta capaz de representar, de modo concso, as varações contdas numa amostra de uma varável aleatóra. Um modelo de dstrbução de probabldades também é uma forma paramétrca, ou seja, é um modelo matemátco contendo parâmetros, cujos valores numércos o defnem completamente e o partcularzam para uma dada amostra de uma varável aleatóra. Uma vez estmados os valores numércos desses parâmetros, o modelo de dstrbução de probabldades passa a caracterzar o comportamento plausível da varável aleatóra a que respeta aquela amostra podendo, como tal, ser utlzado para nterpolar ou extrapolar probabldades e/ou quants não contdos na mesma. Os prncpas modelos de varáves aleatóras dscretas que encontram aplcações em hdrologa estão relaconados com repetções ndependentes dos chamados processos de Bernoull. Estes modelos são as dstrbuções geométrca e bnomal que a segur se descrevem de modo sucnto. 6.. Dstrbução geométrca. Período de retorno Por prova de Bernoull entende-se a experênca aleatóra em que somente dos resultados dcotómcos são possíves: sucesso ou falha, sm ou não, 0 ou, postvo ou negatvo são exemplos. Tal conceto serve de base a váras dstrbuções teórcas. Suponha-se que a escala temporal assocada a uma determnada varável aleatóra fo dscretzada em ntervalos com ampltude defnda, por exemplo, em ntervalos anuas. Suponhase também que, em cada ntervalo de tempo, possa ocorrer um únco sucesso, com probabldade p, ou uma únca falha, com probabldade (-p), e que essas probabldades não são afectadas pelas ocorrêncas anterores, nem afectem as ocorrêncas posterores. O processo composto pela anteror sequênca de repetções ndependentes de uma prova de Bernoull consttu uma sucessão de provas de Bernoull. Para melhor lustrar a aplcação dos processos de Bernoull à hdrologa, consdere que o caudal médo dáro correspondente ao extravasamento/transbordamento de uma secção transversal de um curso de água é Q 0, conforme se esquematza na Fgura 6. Consdere, anda, que, em tal secção, o regme fluval se encontra em regme natural (ou seja, não é nfluencado pelo Homem), que se dspõe na mesma de regstos contínuos durante anos de caudas médos dáros - sére completa de caudas médos dáros e que, para analsar as condções de transbordamento da secção, se consttu a sére de caudas médos dáros máxmos anuas max formada em cada ano pelo máxmo caudal médo dáro nesse ano, Q sére reduzda de max Q, com dmensão, representada na Fgura 6. Em qualquer ano, com, o sucesso, max em termos de transbordamento, é dado pelo acontecmento S:{ Q > Q 0 }, sendo a falha' o max acontecmento complementar F:{ Q Q 0 }. Tratando-se de um problema de génese de cheas num trecho fluval em regme natural, é váldo admtr que a probabldade de ocorrênca de um sucesso (ou de uma falha ), em um ano qualquer, não é afectada pelas ocorrêncas em anos anterores e em nada afecta as ocorrêncas em anos posterores. Supondo que a probabldade max anual do acontecmento { S : Q > Q 0 } é gual a p, verfca-se, assm, o preenchmento de todos os requstos para consderar essa sequênca ndependente como um processo de Bernoull. 8

26 max Q τ τ max Q τ k Q 0 sucesso falha Q Índce de ano Fgura 6 Cheas máxmas anuas como lustração de um processo de Bernoull. A varável aleatóra dscreta Y correspondente à dstrbução geométrca refere-se ao número ntero de experêncas (ou ntervalos dscretos de tempo) necessáros para que um únco sucesso ocorra. Portanto, se o valor da varável é Y=y, sto sgnfca que ocorreram (y-) falhas antes da ocorrênca do sucesso, exactamente, na y-ésma tentatva. As funções massa e acumulada da dstrbução geométrca são dadas pelas seguntes equações: p y ( y) = p( y) = p ( p), y =,,3,... e 0 < p Y < y ( y) F(y) = p ( p), y =,,3,...,...(0) FY =...() = nas quas a probabldade anual de ocorrênca de um sucesso, p, representa o únco parâmetro da dstrbução. Demonstra-se que valor esperado de uma varável geométrca, resultado da soma nfnta de termos, decorrente da aplcação da equação (), é E [ Y] =...() p ou seja, quando o número de repetções (ou ntervalos dscretos de tempo) tende para nfnto, o valor médo de uma varável geométrca é o nverso da probabldade de sucesso p. Introduza-se, neste ponto, um conceto de grande mportânca em hdrologa, que é o de período de retorno. Para tanto, consdere-se que, nas condções da Fgura 6, a varável τ desgna o número de anos entre sucessos (transbordamentos) consecutvos. Adoptando-se para orgem da escala de tempos o ano do prmero sucesso, a Fgura 6 ndca que seram necessáros τ =3 max anos para uma nova ocorrênca do acontecmento S:{ Q = 4 > Q 0 }. A partr do segundo sucesso, τ = ano e assm sucessvamente até τ k =5 anos. Se, por hpótese, =50 anos e se nesse período de tempo tvessem ocorrdo 5 sucessos, depreender-se-a que o número de anos que, em méda, 9

27 separara as ocorrêncas de caudas superores a Q 0 sera de τ =0 anos, sgnfcando que o caudal Q 0 é superado com a frequênca anual méda de a cada 0 anos. É fácl verfcar que a varável τ se enquadra ntegralmente na defnção de uma varável aleatóra dscreta geométrca e que, portanto, a ela se podem assocar as característcas populaconas defndas pelas equações (0), () e (). Em partcular, pode defnr-se o período de retorno, denotado por T e expresso em anos, como o valor esperado da varável geométrca τ. Com essa defnção e usando a equação (), resulta: T = E[ τ] =...(3) p O período de retorno, T, não se refere, portanto, a um tempo cronológco. De facto, T é uma medda da tendênca central dos tempos cronológcos. Por outras palavras, o período de retorno, T, assocado a um certo acontecmento de referênca de um processo de Bernoull necessaramente defndo numa base temporal anual, corresponde ao número médo de anos necessáros para que o acontecmento ocorra num ano qualquer desses anos e é gual ao nverso da probabldade de esse acontecmento ocorrer num ano qualquer desses anos, ou seja, é gual ao nverso da probabldade anual de ocorrênca desse acontecmento. Em hdrologa, o conceto de período de retorno é vulgarmente utlzado, por exemplo, no estudo probablístco de acontecmentos máxmos anuas, tas como caudas nstantâneos ou dáros máxmos anuas ou, anda, precptações máxmas anuas com dada duração. Tas varáves aleatóras são contínuas e, portanto, têm o seu comportamento defndo por funções densdade de probabldade genercamente desgnadas por f ( x). Se, para uma dessas varáves, denotada por, se defnr um quantl de referênca x T, de modo que o sucesso seja a ocorrênca de valores superores a x T, então, o período de retorno, T, assocado a esse quantl de referênca á dado pelo número médo de anos necessáro para que o acontecmento {>x T } ocorra uma vez, num qualquer desses anos. De acordo com a equação (3), resulta que o período de retorno corresponde ao nverso de P(>x T ), ou seja, ao nverso de [ F ( x T )]. Exercíco 6 Consdere a stuação descrta no exercíco, na qual a varável se refere ao caudal médo dáro máxmo anual (m 3 /s). Determne: (a) o período de retorno para x=300 m 3 /s; e (b) o caudal médo dáro máxmo anual com o período de retorno T=50 anos. Solução: (a) Estando-se em presença de uma varável defnda numa base anual é váldo aplcar a noção de período de retorno. Atendendo a que tal período é dado pelo nverso da probabldade de excedênca e tendo-se estmado no exercíco que P(>300)=0.083 resulta que o período de retorno assocado a esse caudal é de T=/0.083=.05 anos. (b) Ao período de retorno de T=50 anos corresponderá um caudal x 50 compreenddo entre 300 e 400 m 3 /s já que P(>x 50 )=[- P( x 50 )]=0.0. De entre as possíves vas de resolução do problema, optou-se por atender à equação da recta que passa pelos pontos (00; /00) e (400; 0) dada por f (x)=f(x)=-x/60000+/50. De acordo com o pretenddo, a área do trângulo com base dada pelo segmento de recta defndo pelas abcssas x 50 e 400 e com altura dada por f(x 50 )=-x 50 /60000+/50 é gual a 0.0, ou seja (400-x 50 )(-x 50 /60000+/50)/=0.0. A anteror equação do segundo grau tem duas raízes, uma maor do que 400 m 3 /s e que, portanto, está fora do domíno de defnção de, e a outra de sensvelmente x 50 =35 m 3 /s e que consttu a solução do problema. esse ponto, o valor de f (x) é de aproxmadamente , verfcando-se que se obtém de facto para a área do trângulo (400-35)/=0.0. 0

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