A Teoria dos Jogos é devida principalmente aos trabalhos desenvolvidos por von Neumann e John Nash.

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1 Teoria dos Jogos. Introdução A Teoria dos Jogos é devida principalente aos trabalhos desenvolvidos por von Neuann e John Nash. John von Neuann (*90, Budapeste, Hungria; 957, Washington, Estados Unidos). John Forbes Nash (*928, Bluefield, West Virgina, Estados Unidos). A Teoria dos Jogos trata co situações de toada de decisão e que dois ou ais oponentes possue objetivos conflitantes. Exeplos típicos são:. Capanhas publicitárias para produtos concorrentes. 2. Planejaento de estratégias de guerra para exércitos iniigos. E u jogo, dois oponentes (jogadores) pode ter u núero finito ou infinito de alternativas ou estratégias. Associado co cada par de estratégias há u valor de pagaento (payoff) que u jogador paga para seu oponente. Estes jogos são conhecidos coo Jogos de Soa Zero e Dois Jogadores porque o ganho de u jogador é igual à perda do outro. Co os conceitos citados acia, o jogo pode ser resuido e teros dos payoff para u único jogador, ua vez que os payoff pode ser positivos (ganhar e o oponente perder) e negativos (perder e o oponente ganhar). Adotando os dois jogadores coo A e B co e n estratégias, respectivaente, o jogo pode ser representado por ua atriz de payoff para o jogador A coo: Notas de Aula - Fernando Nogueira

2 B B 2... B n A p p 2... p A 2 p 2 p p 2 : : : : : A p p 2... p n A representação atricial acia indica que se A usa ua estratégia i e B usa ua estratégia j, o payoff para A é p ij e conseqüenteente o payoff para B é -p ij. Exeplo : A atriz de payoff de u jogo de "par ou ipar" para o jogador A que apostou e "par" é dada por: B B 2 n o par de dedos n o ipar de dedos A n o par de dedos - A 2 n o ipar de dedos - A atriz acia ostra que se o jogador A colocar u núero par de dedos (estratégia A ) e o jogador B colocar tabé u núero par de dedos (estratégia B ), o jogador A irá ganhar, pois o jogador A apostou e par. Se o jogador A colocar u núero par de dedos (estratégia A ) e o jogador B colocar u núero ipar de dedos (estratégia B 2 ), o jogador A irá ganhar -, ou seja, A irá perder e B irá ganhar. 2. Solução Ótia de Jogos de Soa Zero e Dois Jogadores A solução ótia de u Jogo de Soa Zero e Dois Jogadores seleciona ua ou ais estratégias para cada jogador tal que qualquer udança e ua estratégia escolhida não elhora o payoff para o outro jogador. Estas soluções pode estar na fora de ua única estratégia ou várias estratégias isturas de acordo co probabilidades pré-deterinadas. Exeplo 2: Duas copanhias, A e B, vende duas arcas de vacina para gripe. Copanhia A pode anunciar o seu produto no rádio (estratégia A ), na televisão (estratégia A 2 ) ou no jornal (estratégia A ). A Copanhia B pode anunciar o seu produto no rádio (estratégia B ), na televisão (estratégia B 2 ), no jornal (estratégia B ) ou ala direta (estratégia B 4 ). Dependendo da criatividade e da intensidade dos anúncios, cada copanhia pode ganhar ua porção do ercado da outra copanhia. A atriz de payoff abaixo resue a porcentage de ercado ganho ou perdido pela copanhia A. B B 2 B B 4 Min Linha A A Maxiin A Max Coluna Miniax Notas de Aula - Fernando Nogueira 2

3 A solução do jogo é baseada no princípio da "Melhor entre as Piores". Se a copanhia A escolher a estratégia A, então, independente da estratégia que B escolha, o pior que pode acontecer é A perder % do seu ercado para B. Isto é representado pelo valor ínio dos eleentos da atriz na linha. Siilarente, se A escolher a estratégia A 2, o pior que pode acontecer é A ganhar 5% do ercado de B, e se A escolher a estratégia A, o pior que pode acontecer é A perder 9% do seu ercado para B. Estes resultados são listados na coluna "Min Linha" da atriz. Para obter a "Melhor entre as Piores", a copanhia A escolhe a estratégia A 2 por que esta representa o valor áxio entre os valores ínios (Maxiin). Ua vez que a atriz de payoff é para A, o critério "Melhor entre as Piores" para as estratégias da copanhia B requer deterinar o valor ínio entre os valores áxios (Miniax). A solução ótia do jogo então seleciona as estratégias A 2 e B 2, isto é, abas as copanhias deve anunciar seus produtos na televisão. O payoff será a favor da copanhia A, porque seu ercado irá ganhar 5% do ercado de B. Neste caso, é dito que o valor do jogo é 5 (5%) e que A e B estão usando ua Estratégia Pura ou Estratégia Doinante cuja solução é u ponto de sela. A solução de ponto de sela garante que nenhua copanhia está tentando selecionar ua estratégia elhor. Se B escolher outra estratégia (B, B ou B 4 ), a copanhia A pode ficar co a estratégia A 2, a qual garante que B irá perder ais ercado para A (6% ou 8%). Dá esa fora, A não quer usar ua estratégia diferente (A ou A ) ua vez que se A escolher a estratégia A, B pode escolher a estratégia B e ganhar 9% do ercado de A. O raciocínio análogo é verdadeiro para A escolher a estratégia A. Exeplo : Dois políticos A e B, estão e capanha concorrendo a ua vaga de senador. É necessário fazer o planejaento para os dois dias finais da capanha. Os dois políticos pretende gastar estes dois dias finais e duas cidades: São Paulo e Rio de Janeiro. Cada político pode gastar u dia e cada cidade ou então gastar dois dias e São Paulo ou dois dias no Rio de Janeiro. Resuindo, as estratégias fica: A = político A gastar u dia e São Paulo e u dia no Rio de Janeiro A 2 = político A gastar dois dias e São Paulo A = político A gastar dois dias no Rio de Janeiro B = político B gastar u dia e São Paulo e u dia no Rio de Janeiro B 2 = político B gastar dois dias e São Paulo B = político B gastar dois dias no Rio de Janeiro A atriz de payoff abaixo resue o núero (e ilhares) de votos ganhos (valores positivos) ou perdidos (valores negativos) para o político A. B B 2 B Min Linha A Maxiin A A Max Coluna Miniax Notas de Aula - Fernando Nogueira

4 Ao contrário do exeplo anterior, o valor Maxiin (-2) é diferente do valor Miniax (2), portanto, não existe ua solução de Ponto de Sela, conseqüenteente não existe ua Estratégia Doinante. Este fato é facilente verificado: para o político A, a elhor estratégia (a que ele perderá enos votos) independente da estratégia utilizada pelo político B é a estratégia A (gastar u dia e cada cidade) e co isso perder 2 il votos na pior das hipóteses. No entanto, a elhor estratégia para o político B é a estratégia B (gastar dois dias no Rio de Janeiro) e co isso perder 2 il votos na pior das hipóteses. Poré, as estratégias A e B resulta e u ganho de 2 il votos para o político A e conseqüenteente ua perda de 2 il votos para o político B. Coo o político B é racional, ele pode antecipar este resultado e udar sua estratégia para B 2 (A está co estratégia A ) ganhando então 2 il votos. Prevendo isto, o político A pode udar sua estratégia para A 2 (B está co estratégia B 2 ) ganhando assi, 4 il votos. Dando continuidade a análise, o político B então pode udar sua estratégia para B (A está co estratégia A 2 ) é ganhar il votos. Então, A pode udar sua estratégia novaente para A (B está co estratégia B ) e então ganhar 2 il votos. Nota-se neste instante que a estratégia inicial foi retoada, configurando assi u ciclo. Para jogos onde o valor Maxiin é diferente do valor Miniax a solução é dita Instável e portanto, não há ua Estratégia Doinante. De fato, o que acontece co jogos que não possue Estratégia Doinante é que sepre quando a estratégia de u jogador é previsível, o seu oponente poderá toar vantage desta inforação para elhorar a sua toada de decisão. Co isso, ua característica essencial para u planejaento racional de u jogo deste tipo é que nenhu jogador deveria estar habilitado a deduzir a estratégia que o seu oponente irá usar. Portanto, neste caso, ao invés de aplicar algu critério conhecido para deterinar ua única estratégia que será definitivaente usada, faz-se necessário escolher estratégias alternativas aceitáveis geradas sobre algu tipo de base randôica. Pode-se afirar então, que o valor v deste jogo estará entre o valor Maxiin v e Miniax v. Isto é: v v v (). Jogos co Estratégias Mistas Toda vez que u jogo não possuir ua solução e u ponto de sela, faz-se necessário designar ua distribuição de probabilidade sobre cada conjunto de estratégias. Mateaticaente, fica: x i = probabilidade do jogador A usar a estratégia i (i =,2,...,) (2) y j = probabilidade do jogador B usar a estratégia j (j =,2,...,n) () onde: e n são os núeros de estratégias do jogador A e B, respectivaente. Assi, o jogador A deve especificar seu plano de jogo designando valores para x, x 2,..., x e o jogador B designando valores para y, y 2,..., y n. Coo x i e y j são edidas de Notas de Aula - Fernando Nogueira 4

5 probabilidade estas variáveis deve ser obrigatoriaente não-negativas e as suas soatórias x = i e y j =. n j= Os planos (x, x 2,..., x ) e (y, y 2,..., y n ) são denoinados Estratégias Mistas. Exeplo 4: A esa atriz de payoff para o exeplo co estratégias istas ( x ) (, x 2, x =,,0) e ( y ) (, ) 2 2, y 2, y = 0,. 2 2 B : y = 0 B 2 : y 2 = 2 B : y = 2 A : x = A 2 : x 2 = A : x = Estes planos significa que o jogador A está dando ua chance igual (co probabilidade ) de escolher a estratégia pura A 2 ou A 2, poré descartando a estratégia A. Dá esa fora o jogador B está dando ua chance igual (co probabilidade ) de 2 escolher a estratégia pura B 2 ou B, poré descartando a estratégia B. O payoff esperado pode ser deterinado coo: payoff para o jogador A = p n ij j= x y i j (4) onde: p ij é o payoff se o jogador A utilizar a estratégia i e o jogador B utilizar a estratégia j. Teorea Miniax: Se estratégias istas são peritidas, o par de estratégias istas que é ótio de acordo co o critério Miniax fornece ua solução estável co v = v = v, de tal aneira que nenhu jogador pode elhorar sua situação udando sua estratégia. O payoff esperado para o exeplo 4 (calculado através de (4)) resulta e v =. 4 Esta edida não revela nada sobre o risco envolvido e jogar o jogo, as indica o valor que o payoff édio irá tender se o jogo for jogado várias vezes. Ebora o conceito de estratégias istas torne-se bastante intuitivo se o jogo é repetido várias vezes, este requer algua interpretação quando o jogo é jogado apenas ua vez. Neste caso, usando ua estratégia ista ainda envolve selecionar e usar ua única estratégia pura (randoicaente selecionada a partir da distribuição de probabilidade especificada). O objetivo da Teoria dos Jogos é deterinar a estratégia ótia para cada jogador, sendo o jogo de estratégia pura ou ista. Este objetivo pode ser alcançado através de Prograação Linear. Notas de Aula - Fernando Nogueira 5

6 4. Resolução por Prograação Linear Sendo p ij x i o payoff esperado do jogador A utilizar as suas estratégias quando o jogador B utiliza a sua estratégia j, as probabilidades ótias ou planos (x, x 2,..., x ) do jogador A pode ser deterinadas resolvendo o seguinte problea Maxiin: ax in pix i, pi2x i,..., p xi in x i x + x x = x i,i =,2,..., (5) No entanto: v in pix i, pi2x i,..., p i i i = = = = in x i (6) De 5) e 6) deduz-se que: pij x i v, j =,2,..., n (7) Co isso, o problea para o jogador A pode ser escrito coo: Maxiize z = v v pijx i, j =,2,..., n x + x x = x i, i =,2,..., v livre (8) As probabilidades ótias ou planos (y, y 2,..., y n ) do jogador B pode ser deterinadas resolvendo o seguinte problea Miniax: A expressão (7) desepenha o papel de iniizar v, ua vez que v será sepre enor que p ijx i. Assi, a função-objetivo pode apenas axiizar v, ua vez que a expressão (7) iniiza v, estando de acordo co o critério MaxMin. Notas de Aula - Fernando Nogueira 6

7 n n n in ax pjy j, p 2 jy j,..., p yi j= j= y + y y n = y j, j =,2,..., n j y j (9) De aneira análoga ao problea do jogador A, o problea do jogador B pode ser escrito coo: Miniize z = v n v p ijy j, i =,2,..., j= y + y y n = y j, j =,2,..., n v livre (0) Coparando as expressões e (8) e e (0), percebe que o problea do jogador B é o dual do problea do jogador A e vice-versa. Exeplo 5: A esa atriz de payoff do exeplo 2. B B 2 B B 4 Min Linha A A A Max Coluna O problea para o jogador A fica: Maxiize z = v () Notas de Aula - Fernando Nogueira 7

8 v 8x 6x 2 + 2x v + 2x 5x 2 4x v 9x 6x 2 + 9x v + x 8x 2 5x x + x + x = 2 x, x 2, x v livre O código para o Lindo, encontra-se abaixo: MAX v SUBJECT TO REST) v - 8 X - 6 X2 + 2 X <=0 REST2) v + 2 X - 5 X2-4 X <=0 REST) v - 9 X - 6 X2 + 9 X <=0 REST4) v + X - 8 X2-5 X <=0 REST5) X + X2 + X = END FREE v O problea para o jogador B (dual) fica: Miniize z = v v 8y + 2y 2 9y + y v 6y 5y 2 6y 8y v + 2y 4x 2 + 9y 5y y + y 2 + y + y4 = y, y 2, y, y 4 v livre (2) O código para o Lindo, encontra-se abaixo MIN v SUBJECT TO REST) v - 8 Y + 2 Y2-9 Y + Y4 =>0 REST2) v - 6 Y - 5 Y2-6 Y - 8 Y4 =>0 REST) v + 2 Y - 4 Y2 + 9 Y - 5 Y4 =>0 REST4) Y + Y2 + Y + Y4 = END FREE v Coo era de se esperar, este jogo possui ua solução de ponto de sela ou estratégia pura, co isso o plano ótio para o jogador A é: ( x, x 2, x ) = ( 0,,0 ) () Notas de Aula - Fernando Nogueira 8

9 e o plano ótio para o jogador B é: ( y, y 2, y, y 4 ) = ( 0,,0,0 ) (4) O valor v do jogo é 5 (v = 5%). Os resultados apresentados e () e (4) estão de acordo co resultados obtidos no exeplo, ou seja, o jogador A deve utilizar soente a sua segunda estratégia (A 2 ) e desprezar as deais assi coo o jogador B, que deve utilizar tabé soente a sua segunda estratégia (B 2 ) e desprezar as deais. Exeplo 6: A esa atriz de payoff do exeplo. B B 2 B Min Linha A A A Max Coluna O problea para o jogador A fica: Maxiize z = v v 0x 5x 2 2x v + 2x 4x 2 x v 2x + x 2 + 4x x + x 2 + x = x, x 2, x v livre (5) O código para o Lindo, encontra-se abaixo: MAX v SUBJECT TO REST) v - 0 X - 5 X2-2 X <=0 REST2) v + 2 X - 4 X2 - X <=0 REST) v - 2 X + X2 + 4 X <=0 REST4) X + X2 + X = END FREE v O problea para o jogador B fica: Notas de Aula - Fernando Nogueira 9

10 Miniize z = v v 0y + 2y 2 2y v 5y 4y 2 + y v 2y x 2 + 4y y + y 2 + y = y, y 2, y v livre (6) O código para o Lindo, encontra-se abaixo: MIN v SUBJECT TO REST) v - 0 Y + 2 Y2-2 Y =>0 REST2) v - 5 Y - 4 Y2 + Y =>0 REST) v - 2 Y - Y2 + 4 Y =>0 REST4) Y + Y2 + Y = END FREE v Coo era de se esperar, este jogo não possui ua solução de ponto de sela ou estratégia pura, co isso o plano ótio para o jogador A é: 7 4 (, x, x ) =,, 0 x 2 (7) e o plano ótio para o jogador B é: (, y, y ) = 0,, y (8) O valor v do jogo é 2. A contribuição fundaental da Teoria dos Jogos é que esta fornece ua etodologia para forulação e análise dos probleas apresentados e situações siples. Entretanto, existe ua grande lacuna entre o que a teoria pode tratar e a coplexidade da aioria das situações copetitivas reais. 5. Leitura Copleentar Quanto ais gente, elhor Por Raul Marinho - Colunista Você S/A Notas de Aula - Fernando Nogueira 0

11 Grandes gurus da adinistração coo Ra Chara dize que o elhor lugar para se aprender a fazer negócios é na feira. Concordo, as acrescentaria que tabé se pode aprender co o caelô, o pipoqueiro e co todo undo que lida diretaente co o freguês coprando e vendendo. Estes profissionais pode nos ostrar na prática coo as teorias do undo dos negócios funciona de verdade. Observando o coportaento de u sorveteiro na praia, pode-se chegar a conclusões interessantes sobre estratégia de localização co base na Teoria dos Jogos. Mais do que isso, é possível concluir novos aspectos sobre nossa própria localização: por que é vantajoso orar e trabalhar e ua cidade grande coo São Paulo? Iagine ua praia relativaente pequena, co uns 00 etros, onde seus freqüentadores encontra-se espalhados igualente na areia. Neste cenário, iagine-se u sorveteiro que chega à praia onde já se encontra u concorrente vendendo o eso produto co o eso preço que o seu. Coo o outro sorveteiro está sozinho, ele está be no eio da praia. Onde você irá estacionar o seu carrinho de sorvetes e onde você acha que seu concorrente o fará? A prieira vista, parece que o ais óbvio é cada u ficar a ua distância de 00 etros do fi da praia e deles esos. Esta seria ua estratégia de útua cooperação, onde cada u dos vendedores teria u terço da praia praticaente exclusiva e u terço dividido eqüitativaente. Eles estaria posicionados da elhor fora para que qualquer banhista possa chegar até eles andando o ínio possível. Mas se você já teve a oportunidade de presenciar ua situação parecida co esta na realidade, provavelente você notou os dois sorveteiros juntos no eio da praia. Será que eles faze isso para poder ficar conversando? Ou será que esta é realente a elhor alternativa? Na verdade, eles fica juntos no eio da praia porque este é o único Equilíbrio de Nash possível no sistea. E Teoria dos Jogos, o Equilíbrio de Nash é atingido quando cada jogador faz o elhor possível e função do que seus concorrentes faze. Voltando a iaginar-se sorveteiro: se o seu concorrente ficasse a 00 etros do fi direito da praia, o elhor que você poderia fazer seria se posicionar logo à sua esquerda. Desta fora, você abrangeria dois terços da praia contra u terço para ele. Seria a sua deserção, vantajosa frente à cooperação dele. No oento seguinte, poré, seu concorrente se overia ais para o centro, logo à sua esquerda. Dali a pouco, seria você que iria para a esquerda dele e, oentos depois, abos estaria juntos no eio da praia. E ua sucessão de deserções de parte a parte, você e seu concorrente iria ficar be no centro da praia, dividindo a clientela eio a eio. Repare que é uito cou encontrar postos de gasolina, floriculturas e bancos localizados u e frente ao outro. Isto acontece pelo eso otivo: Equilíbrio de Nash. A questão da localização do carrinho de sorvete tabé pode ser entendida coo ua estratégia de localização profissional. Recenteente, a revista Você S.A. publicou ua pesquisa sobre as elhores cidades para fazer carreira onde São Paulo foi apontada coo a prieira colocada. Coincidenteente, São Paulo tabé é a cidade ais próxia da aior parte do ercado nacional e teros de concentração de PIB. Pode-se dizer que São Paulo é exataente o eio da praia, o lugar onde é ais vantajoso você estar se quiser atingir o aior núero de pessoas possível e auentar sua exposição pessoal. Mas São Paulo é a cidade onde se encontra a aior concorrência profissional do Brasil. Meso assi, é considerada a elhor cidade para fazer carreira, o que é ua aparente contradição. Por que não fazer carreira e ua pequena cidade do interior, para onde quase ningué vai? Siplesente porque isto representaria ir para o canto da praia. Notas de Aula - Fernando Nogueira

12 Você conquistaria ua clientela local, se dúvida, as que fica no centro divide a quase totalidade do ercado. Coo o abiente de negócios brasileiro é be ais coplexo que ua praia, este raciocínio te que ser entendido levando-se e conta inúeras outras particularidades, desde o rao de atividade e que se trabalha até questões de qualidade de vida que cada cidade oferece. Mas o jogo do sorveteiro é, se dúvida, u exercício interessante para refletir sobre posicionaento profissional. FONTE: Hiller & Lieberan, CAP. 4 e Taha, CAP. 4.4 Notas de Aula - Fernando Nogueira 2

13 Exercícios - Teoria dos Jogos qualquer erro, favor enviar e-ail para ) Considere o Jogo tendo a seguinte atriz de Payoff. B B 2 B B 4 A 5 0 A A a) Este Jogo é de Estratégia Pura ou Mista? Por quê? b) Qual o plano ótio para o jogador A e para o jogador B? 2) Escreva a atriz de Payoff para o "jogo do sorveteiro" descrito no ite 5. Resolva o problea. Respostas.a) Mista, porque não apresenta ponto de sela..b) (, x, x ) ( ) x 2 = (, y, y, y ) ( ) y 2 4 = 2) Matriz de Payoff para o sorveteiro A. As estratégias são (considerando a orige da praia o canto esquerdo) ficar a 00, 50 e Min Linha Maxiin Max Coluna Miniax estratégia ótia: sorveteiro A ficar a 50 etros e sorveteiro B ficar a 50 etros (equilíbrio de Nash é encontrado e u ponto de sela: jogo de estratégia doinante). Notas de Aula - Fernando Nogueira

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