O que heterocedasticidade? Heterocedasticidade. Por que se preocupar com heterocedasticidade? Exemplo de heterocedasticidade.

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1 Heterocedastcdade y = β 0 + β + β + β k k + u O que heterocedastcdade? Lembre-se da hpótese de homocedastcdade: condconal às varáves eplcatvas, a varânca do erro, u, é constante Se sso não for verdade, ou sea, se a varânca de u é dferente para dferentes valores de s, então os erros são heterocedástcos : pense no gasto das famílas com almentação em função da renda; à medda que a renda aumenta, aumenta a varânca dos gastos em almentação de heterocedastcdade f(y ) 3 E(y ) = β0 + β Por que se preocupar com heterocedastcdade? MQO contnua não tendencoso e consstente, mesmo sem a hpótese de homocedastcdade Mas os erros-padrão dos coefcentes estmados serão vesados se há heterocedastcdade Se os erros-padrão são vesados, não podemos utlzar as estatístcas t, F e LM usuas 3 4 Varânca com heterocedastcdade O para o caso da regressão lnear smples, ˆ β = β + Var ( ˆ β ) = ( ( u ( ( Um estmador váldo, quandoσ σ,é uˆ σ, e, onde (, onde uˆ é o resíduo de MQO = 5 Varânca com heterocedastcdade (cont) Para a regressão lnear múltpla, um estmador váldo Varˆ ( ˆ β ) ( ˆ β ) da Var regressão de com heterocedastcdade é rˆ uˆ = ndependentes, e resíduos dessa regressão, onde rˆ é o ésmo resíduo da em todas as outras varáves é a soma dos quadrados dos 6

2 Erros-padrão robustos Agora que temos uma estmatva consstente da varânca, sua raz quadrada será uma estmatva do erro-padrão Tas erros-padrão são chamados de erros-padrão robustos Às vezes a varânca estmada é corrgda pelos graus de lberdade, pela multplcação por n/(n k ) Quando n, essa correção faz pouca dferença Erros-padrão robustos (cont) É mportante lembrar que esses errospadrão robustos têm ustfcatva apenas assntótca com amostras pequenas, as estatístcas t s obtdas com os erros-padrão robustos não terão dstrbução próma da t, e as nferêncas não serão corretas No Gretl há a opção de se calcular tas erros-padrão robustos 7 8 Teste de heterocedastcdade Queremos testar se H 0 : Var(u,,, k ) = σ, que é equvalente a H 0 : E(u,,, k ) = E(u ) = σ Se assumrmos que a relação entre u e é lnear, podemos testar uma restrção lnear Logo, para u = δ 0 + δ + + δ k k + v, sso sgnfca testar: H 0 : δ = δ = = δ k = 0 (modelo é homocedástco) 9 O teste de Breusch-Pagan Não observamos o erros, mas podemos utlzar suas estmatvas: os resíduos da regressão por MQO Após fazer a regressão dos quadrados dos resíduos em todos os s, podemos utlzar o R para obter um teste F ou LM A estatístca F é smplesmente a estatístca F da sgnfcânca da regressão: F = [R /k]/[( R )/(n k )], que tem dstrbução F k, n k A estatístca LM é LM = nr, que tem dstrbução χ k 0 Banco de dados Hprcegdt Verfcar a heterocedastcdade em uma equação smples de preços de móves Após fazer a regressão orgnal, geramos os resíduos e o quadrado destes resíduos em todos os s (Gravar Resíduos Quadrados cra uma nova varável no banco de dados chamada usq) Modelo : Estmatvas OLS usando as 88 observações -88 Varável dependente: prce Varável Coefcente Erro Padrão estatístca-t p-valor const -,7703 9,475-0,7386 0,46 lotsze 0, , ,0 0,008 *** sqrft 0,778 0, ,75 <0,0000 *** bdrms 3,855 9,005,5374 0,795 Méda da varável dependente = 93,546 Desvo padrão da varável dependente = 0,73 Soma dos resíduos quadrados = Erro padrão dos resíduos = 59,8335 R não-austado = 0,6736 R austado = 0,66066 Estatístca-F (3, 84) = 57,460 (p-valor < 0,0000) Verosmlhança-Logarítmca = -48,877 Crtéro de nformação de Akake = 973,755 Crtéro Bayesano de Schwarz = 983,664 Crtéro de Hannan-Qunn = 977,747

3 Modelo : Estmatvas OLS usando as 88 observações -88 Varável dependente: usq Varável Coefcente Erro Padrão estatístca-t p-valor const -55,79 359,48 -,6944 0,09390 * lotsze 0,05 0,07009,8380 0,00569 *** sqrft,6904,46385,55 0,58 bdrms 04,76 996,38,0455 0, Méda da varável dependente = 347,3 Desvo padrão da varável dependente = 7094,38 Soma dos resíduos quadrados = 3,6775e+009 Erro padrão dos resíduos = 666,65 R não-austado = 0,604 R austado = 0,3046 Estatístca-F (3, 84) = 5,3389 (p-valor = 0,0005) Verosmlhança-Logarítmca = -896,986 Crtéro de nformação de Akake = 80,97 Crtéro Bayesano de Schwarz = 8,88 Crtéro de Hannan-Qunn = 805,96 P-valor bao, forte evdênca contra a hpótese nula LM = 88(0,60)=4,09 P-valor =~0,008 4 O teste de Whte O teste de Breusch-Pagan rá detectar formas de heterocedastcdade lneares O teste de Whte permte não-lneardades por utlzar quadrados e produtos cruzados de todos os s Basta computar a estatístca F ou LM para testar se todos os, e h são conuntamente sgnfcatvos Problema: se mutos regressores, usa mutos graus de lberdade Forma alternatva do teste de Whte Suponha que o valores austado por MQO, ŷ, é função de todos os s Logo, ŷ será função dos quadrados e produtos cruzados e, portanto,ŷeŷ serão proes para todos os, e h ; então: Faça a regressão dos resíduos ao quadrado emŷeŷ e use o R para obter a estatístca F ou LM Agora o teste é para apenas restrções 5 6 Modelo 5: Estmatvas OLS usando as 88 observações -88 Varável dependente: lprce Varável Coefcente Erro Padrão estatístca-t p-valor const -,9704 0,6584 -,995 0,04967 ** llotsze 0, ,0388 4,3877 0,00003 *** lsqrft 0,7003 0, ,5403 <0,0000 *** bdrms 0, ,07533,344 0,8308 Méda da varável dependente = 5,6338 Desvo padrão da varável dependente = 0, Soma dos resíduos quadrados =,8656 Erro padrão dos resíduos = 0,84603 R não-austado = 0,64965 R austado = 0,6304 Estatístca-F (3, 84) = 50,437 (p-valor < 0,0000) Verosmlhança-Logarítmca = 5,8607 Crtéro de nformação de Akake = -43,73 Crtéro Bayesano de Schwarz = -33,8 Crtéro de Hannan-Qunn = -39,

4 Modelo 6: Estmatvas OLS usando as 88 observações -88 Varável dependente: usq Varável Coefcente Erro Padrão estatístca-t p-valor const 5, ,345,5088 0,3507 yhat -,709,6333 -,469 0,4546 yhatsqr 0,4535 0,0099,437 0,5436 Méda da varável dependente = 0,0359 Desvo padrão da varável dependente = 0, Soma dos resíduos quadrados = 0,45874 Erro padrão dos resíduos = 0,07996 R não-austado = 0, R austado = 0, Estatístca-F (, 85) =,7375 (p-valor = 0,83) Verosmlhança-Logarítmca = 06,99 Crtéro de nformação de Akake = -07,98 Crtéro Bayesano de Schwarz = -00,549 Crtéro de Hannan-Qunn = -04,987 LM=88(0,039) P-valor 0,78 9 Mínmos quadrados Embora sea possível estmar os erros-padrão robustos para os estmadores de MQO, se soubermos alguma cosa sobre a forma específca da heterocedastcdade, poderemos obter estmadores mas efcentes que os de MQO Como devemos especfcar a natureza da heterocedastcdade, o processo de estmação é mas trabalhoso A déa básca é transformar o modelo em outro cuos erros seam homocedástcos 0 de mínmos quadrados Suponha que a heterocedastcdade sea dada por Var(u ) = σ h() h() é uma função das varáves eplcatvas e determna a forma da heterocedastcdade, ou sea, como a varânca dependerá de h() > 0, pos a varânca é postva e h() é conhecda O parâmetro populaconal σ não é conhecdo, mas pode ser estmado através do uso dos dados de mínmos quadrados Neste caso, a varânca do erro é proporconal ao nível de renda Quanto maor o nível de renda, maor a varânca do termo de erro, ou sea, maor a varabldade da poupança de mínmos quadrados Como usamos a nformação sobre o formato da heterocedastcdade para estmar os parâmetros do modelo e fazer nferênca? Modelo orgnal heterocedástco: de mínmos quadrados E(u / h ) = 0, pos h é apenas uma função de, e Var(u / h ) = σ Logo, se dvdrmos toda a equação por h, teremos um modelo com erros homocedástcos Temos que transformar esta equação de forma que os erros vrem homocedástcos 3 4 4

5 de mínmos quadrados Podemos obter os estmadores de tal forma que as propredades de efcênca destes estmadores MQO seam melhores do que no modelo anteror com presença de heterocedastcdade No eemplo da poupança: O novo modelo satsfaz as hpóteses do modelo lnear clássco Mínmos quadrados generalzados A estmação da equação transformada por MQO é um eemplo de mínmos quadrados generalzados, MQG (ou GLS, em nglês) MQG será BLUE neste caso MQG é gual aos mínmos quadrados, MQP (ou WLS, em nglês) onde cada resíduo ao quadrado é ponderado pelo nverso da Var(u ) 5 6 Mínmos quadrados (cont) A déa é mnmzar a soma dos quadrados por /h Dá-se menos peso para as observações com maor varânca MQO é ótmo se conhecermos Var(u ) Mas, em geral, não a conhecemos MQG Factível Quando não conhecemos a forma da heterocedastcdade, precsamos estmar h( ) Em geral, ncamos com uma hpótese fleível, tal como: Var(u ) = σ ep(δ 0 + δ + + δ k k ) Precsamos, então, estmar os δ s 7 8 MQGF (cont) Nossa hpótese mplca que u = σ ep(δ 0 + δ + + δ k k )v, onde E(v ) = ; então se E(v) = : ln(u ) = α 0 + δ + + δ k k + e, onde E(e) = e e é ndependente dos s Agora, podemos substtur u por û, e estmar a equação por MQO MQGF (cont) A estmatva de h é obtda porĥ= ep(ĝ); o peso será o nverso dessa estmatva Resumndo: Faça a regressão por MQO da equação orgnal, salve os resíduos, û, eleve-os ao quadrado e tre o log Faça a regressão de ln(û ) em todas as varáves ndependentes o obtenha o valor austado ĝ Faça a regressão por MQP utlzando /ep(ĝ) como ponderador

6 Observações sobre MQP Lembre-se que utlza-se MQP apenas por efcênca, pos MQO contnua não tendencoso e consstente As estmatvas serão dferentes devdo a erros amostras, mas se forem muto dferentes, então alguma outra hpótese de Gauss-Markov também deve estar sendo volada 3 6