4 Dinâmica de corpos articulados

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1 4 Dnâca de corpos artculados Contnuaos a descrção ncada no capítulo anteror dos corpos artculados co as les que rege seus oventos. 4.1 Equações de Newton-Euler se restrções Asulaçãodosoventosdecorposrígdosébaseadanosssteasde equações dferencas, Newton-Euler, que são dervadas das les de Newton da ecânca clássca: Segunda Le de Newton (Prncípo Fundaental da Dnâca) A aceleração do ovento é proporconal à força otora pressa, e é produzda na lnha reta na qual tal força fo epregada. f ṗ dp dt d(v) dv dt dt a. (4-1) Euler estendeu a Segunda Le de Newton descrevendo as rotações de u corpo rígdo e seu sstea de coordenadas local, afrando que a varação do oento angular é gual ao torque aplcado ao corpo rígdo: L dl dt. (4-2) Substtundo a equação (3-16) na equação (4-2), adconalente co a nforação que o oento de nérca J não depende do tepo no caso de corpos rígdos, chegaos na equação geral de Euler: J! +! J!. (4-3) Se escolheros os exos do corpo alnhados co os prncpas exos de nérca, J xy J xz J yz 0, obteos ua versão splfcada da equação de

2 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 51 Euler defnda aca: J xx! x +! y! z (J zz J yy ) x, J yy! y +! z! x (J xx J zz ) y, J zz! z +! x! y (J yy J xx ) z. Note que se o corpo rígdo rotaconar e torno de u dos exos prncpas, suponha que e torno do exo z,entãoovetorvelocdadeangularserádadopor!! z J zz k esetornaparaleloaooentoangularl. Destaforapodeos reescrever as equações de Euler splesente coo: J xx! x x, J yy! y y, J zz! z z. (4-4) Nesse caso, podeos representar as equações (4-1) e (4-4) e fora atrcal e obter ua únca equação que descreve a dnâca rotaconal e translaconal de u corpo rígdo, cujo referencal local concde co seu centro de assa C: J c 0!. (4-5) f 0 I 3 3 v Na equação aca I 3 3 é a a t r z d e n t d a d 3. e 3 Esta é a equação geral que descreve os oventos lvres, co o referencal do corpo no centro de assa, e rotação e torno dos exos prncpas de nérca. Supondo que o referencal do corpo não esteja no centro de assa C, usareos a equação da aceleração e u ponto artráro, equação (3-52), para obter as novas equações de Newton-Euler: f a ( v C +! (! C)) v C +! (! C) eassaequaçãodeeulerpodeserobtdafazendousodaequação(3-27): C f + C C v C (C ) (! C) (C!) + J C! +! J C! C v C (C!) + J C! +! (J C! C C!).

3 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 52 Podeos novaente defnr as equações de Newton-Euler de fora atrcal, agora co u referencal qualquer e rotação qualquer: J C C C C! +! (J C! C C!). (4-6) f C I 3 3 v! (! C) 4.2 Restrções de velocdade Consdere u sstea ultcorpos co n b corpos e n j juntas. Denote por S e S jk os referencas locas do corpo b edajunta. Assua que tenhaos apenas juntas rotaconas, sto é, de revolução. Neste caso, a restrção pede que os corpos a qual elas conecta não se desconecte durante u ovento. Fgura 4.1: Parte do dedo do odelo da ão se desconectando durante u ovento. Dado u ponto P na nterseção de dos corpos conectados por ua junta de revolução, vos na subseção que a restrção posta pela junta de revolução é equvalente a equação: P b P b l k ˆp (P ) k ˆp l(p ) (4-7) onde denotaos coo ˆp (P ) as coordenadas generalzadas da posção do ponto P no referencal do corpo b,analogaenteparaocorpob l,e restrção da junta de revolução dada por: k é a a t r z d e (4-8)

4 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 53 Podeos forular a esa restrção co as velocdades dos corpos. Dferencando a equação (4-7), obteos que a restrção põe que as velocdades dos corpos no referencal da junta seja guas, dexando lvre apenas a coordenada da velocdade angular! z correspondente a rotação e torno do exo z: k ˆv k ˆv bl, (4-9) AvelocdadenopontoP é a d o t a d a c o o a v e l o c d a d e d o c o r p b o naquele oento, analogaente para P bl. As velocdades dos referencas dos corpos ˆv e ˆv bl relatvas ao referencal da junta são obtdas pelo uso das atrzes adjuntas, vstas na seção 3.5. Então, seja a transforação de coordenadas do referencal do corpo b b S S jk dada por b O 0 1 para o referencal da junta (4-10) aadjuntaassocadaatransforação,eportantoaudançadereferencal da velocdade do referencal do corpo ao referencal da junta é dada coo ˆv Ad ˆv O 0 ˆv. (4-11) Procedendo analogaente para o corpo b l, podeos reescrever nossa equação de restrção e função das velocdades dos corpos coo: k O 0 ˆv k Ad ˆv k O bl bl 0 bl k Ad bl ˆv bl 0 k (Ad ˆv Ad bl ˆv bl ) 0. bl ˆv (4-12) Procedendo de fora seelhante para cada ua das n j juntas do sstea ereescrevendoeuaúncaequaçãoatrcalteos: Gˆv b 0. (4-13) Chaaos a atrz G de atrz de restrção de velocdades do sstea. Seja nr k onúeroderestrçõesdajunta.dadoqueonúerototalde restrções do sstea, nr, égualaosoatóronr n j k1 nr k, aatrzg possu nr lnhas e 6 n b colunas. Note que elnaos as desnecessáras lnhas nulas da atrz G, que corresponde as coordenadas lvres do sstea.

5 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 54 Aequação(4-13)nosdzqueuvetorvelocdadegeneralzadoˆv que satsfaça essa restrção, pertence ao espaço nulo da atrz G. Ora,seG possu nl lnhas lnearente ndependentes e nc colunas, e se nc nl é g u a l a o n ú e r o de graus de lberdade do sstea, então teos que o espaço nulo de G é u subespaço de oventos pertdo do sstea e sua densão é exataente gual ao núero de grau de lberdade do sstea. Fgura 4.2: Exeplos de Moventos adssíves de u laço de 4 e 9 corpos, respectvaente. j 2 Na lustração 4.2, coo as juntas são de revolução, ou seja j0 j 1 j 3,entãocadajuntarestrngeosoventosdoscorposconectadospela esa a rotação e torno da sua noral. Para cada par de corpos, a noral da junta que os conecta é deternada pelo produto vetoral das dreções destes corpos. Coo todos os corpos pertence a u plano, então todos os oventos adssíves do odelo tabé se restrnge a esse eso plano. Fgura 4.3: Transforações de velocdade para juntas no laço de 4 corpos. Para o laço lustrado na fgura (4.3), a equação (4-13) é dada por: j 0 Ad j 0 b j 0 Ad j 0 b 3 j 0 Ad j 1 b 0 j1 Ad j 1 b j 2 Ad j 2 b 1 j2 Ad j 2 b j 3 Ad j 3 b 2 j3 Ad j 3 b 3 ˆv b0 ˆv b1 ˆv b2 ˆv b (4-14) 0 0

6 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 55 Observaos que nesse caso a atrz G não terá posto áxo, pos o últo bloco de lnhas é conação lnear dos três preros. Esse fenôeno será tratado na seção Forças das juntas elástcas Consdere o eso sstea ultcorpos da subseção 3.5.2, e denote por ˆfjk aforçatranstdapelajunta (ver na fgura 4.4). A força da junta e cada u dos corpos que ela conecta é gual e ódulo e dreção, poré possu sentdo oposto. Fgura 4.4: Sentdo das forças correspondentes a cada junta j, 1, 2, 3. Se para cada osso b denotaos por F j+ oconjuntodetodasasjuntas que conté o corpo b coo sucessor, e de odo seelhante, F j oconjuntode todas as forças que conté o corpo b coo antecessor, então a força resultante ˆf sobre o corpo b será: ˆf ˆfb ˆfb. (4-15) F j+ F j Obvaente o sentdo da força dependerá de u referencal, usualente oreferencaldajunta,edeuaorentaçãoadotada.deforaanálogaaoque fo feto na subseção 4.2, usaos as atrzes adjuntas para fazer a conversão da força no referencal da junta para o referencal do corpo. Observe que agora, ao nvés de usar as coordenadas sujetas à restrção, deve-se usar apenas as coordenadas pertdas, sto é, aquelas dreções e que as forças pode atuar. Para sto, podeos defnr atrzes copleentares às atrzes de restrção de velocdade, e as chaareos de atrzes de restrção de forças das juntas f. Coo as atrzes de restrção de forças são copleentares as atrzes de restrção de velocdades, o núero de lnhas das atrzes de restrção de

7 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 56 forças é exataente gual ao total de graus de lberdade do sstea. No caso das juntas rotaconas, por exeplo, as atrzes de restrção de forças serão dadas por: f k ou elnando as lnhas nulas, Ao aplcaros f k (4-16) f k (4-17) e u vetor de posções generalzadas obteos que a únca coordenada lvre corresponde a rota ção e torno z, assundo exo que este exo é o noral ao plano dos corpos conectados pela junta. Logo, a equação (4-15) pode ser reescrta coo: ˆf Ad b F j+ ( f ) Tˆfjk F j Ad b ( f ) Tˆfjk, (4-18) onde a força ˆf jk é o v e t o r d e f o r ç a g e n e r a l z a d a r e s t r t a a s d r e ç õ e s l v r e s d a d a s pela junta,edesdeque: obteos ˆf Ad j T k ( f F j+ f Ad F j+ Ad b Ad j T k ) Tˆfjk T ˆfjk F j F j Ad T ( f ) Tˆfjk. f Ad T ˆfjk. (4-19) (4-20) Procedendo de fora análoga para todos os corpos do sstea, e reescrevendo as n b equações de ua únca fora atrcal, podeos defnr a atrz R, talque: ˆfb R Tˆfj. (4-21)

8 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 57 Fgura 4.5: Transforações de velocdade forças das juntas para os corpos no laço de 4 corpos. por: Para o laço de 4 corpos lustrado na fgura 4.5, a equação (4-21) é dada ( f j 0 Ad j 0 b 0 ) T ( f j 1 Ad j 1 b 0 ) T ( f j 1 Ad j 1 b 1 ) T ( f j 2 Ad j 2 b 1 ) T ( f j 2 Ad j 2 b 2 ) T ( f j 3 Ad j 3 ( f j 0 Ad j 0 b 3 ) T 0 0 ( f j 3 Ad j 3 b 2 ) T b 3 ) T T ˆfj0 ˆfb0 ˆfj1 ˆfb1 ˆfj2 ˆfb2 ˆfj3 ˆfb3 (4-22) Observe que coo sepre estaos adotando juntas de revolução, tereos n b equações (4-21). A partr da relação (4-19), podeos verfcar que a atrz R tabé converte velocdades espacas do corpo, ˆv b,evelocdadesangulares das juntas,. Defato, Ad j T k ( f ) T T f Ad (4-23) e daí, assundo novaente juntas rotaconas por splcdade, teos: z f Ad ˆv. (4-24) Se exstr forças de aortecento cˆf b no sstea podeos obtê-las faclente no referencal do corpo b, bastando apenas aplcar a atrz R para realzar as devdas conversões: cˆfb R T CRˆv b. (4-25) Na equação aca (4-25), a atrz C é u a a t r z d a g o n a l c u j o s eleentos da dagonal prncpal são as constantes de aortecento de cada

9 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 58 junta. 4.4 Espaço de oventos possíves Oestudodoespaçovetoralforadopelosoventospossívesdoscorpos e de coo obter ua base para o eso são tarefas crucas para dnâca de ultcorpos. Os oventos realzados pelos corpos deve satsfazer as restrções postas pelas juntas que os conecta. Isto é, deve satsfazer as equações de restrção expressas pela atrz G, Gˆv b 0. (4-26) OespaçonulodaatrzderestrçõesG, stoé,osvetoresvelocdadesˆv b que satsfaze estas equações, fora o espaço de oventos possíves para os corpos, que chaaos de subespaço de oventos pertdos Espaço nulo de atrz de restrções Se u sstea ultcorpos co restrções se cclos possu equações de restrção e n varáves, o núcleo da atrz G( n) te densão n f n, que corresponde ao grau de lberdade do sstea, coo vsto na seção 4.2. Suponha que os vetores lnearente ndependentes k, k 1...n f,onden f corresponde ao grau de lberdade ctado aca, fora a base ortonoral do núcleo da atrz G. U ovento pertdo ˆv pelo sstea, pode ser escrtos coo ua conação lnear dos vetores k : ˆv c c c nf nf, (4-27) onde c k R, k 1...n f. Reescrevendo esta equação de fora atrcal, ntroduzos a atrz N de densão (6 n b n f ),onden b é o n ú e r o d e corpos do sstea, que será forada pelos vetores da base do núcleo de G: ˆv Nv nf nf 6nb 1 6nb nbnf c 1 c 2 c nf. (4-28) onde v [c 1,c 2,...,c nf ] T.

10 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 59 Fgura 4.6: Subespaço de oventos possíves de ua junta esférca. Fgura 4.7: Subespaço de oventos possíves de ua junta de revolução. Podeos consderar coo exeplo o caso de ua junta esférca presa e u ponto fxo P. O subespaço de oventos possíves consste na esfera centrada e P,vejafgura4.6. De fato, coo 3en 6, teos que o grau de lberdade do sstea é g u a l a 3. D e f o r a a n á l o g a p a r a u c o r p o c o n e c t a d o p o r u a j u n t a d e revolução (fgura 4.7) tabé fxada no ponto P,teosque 5, e n 6, portanto, o grau de lberdades é 1, e o subespaço de oventos consste no círculo novaente centrado e P Métodos nuércos para deternar o núcleo Vaos relatar dos étodos propostos na lteratura para se obter o núcleo da atrzg: o étodo baseado na Decoposção e Valores Sngulares (SVD) ebaseadonadecoposçãoqr,vejaolvrodogolub(10). Decoposção e Valores Sngulares (SVD) escrta coo: AatrzG( n) pode ser G USV T, (4-29) onde U e V são atrzes ortogonas, de densões, en n, respectvaente, e S é ua atrz retangular dagonal de densão n. Defnan n coo o íno entre e n e r n n n.aatrzs é d e c o p o s t a e duas atrzes S 1 ( n n ),dagonalcoosvaloressngulares,es 2 ( r) cujos eleentos são todos nulos. Chaando por d, 1...n,oseleentosdadagonaldeS, então: d, 1... n n,serãoosvaloressngularesnãonulos, d 0, para n n n,cason n.

11 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 60 Fgura 4.8: Método SVD. AatrzV tabé é decoposta e duas subatrzes V 1 (n n n) e V 2 (r, n). Ass as lnhas de V que corresponde aos eleentos d 0da atrz S, stoé,aslnhasdev 2, fora ua base ortonoral para o núcleo de G. Ouseja, eportantopodeosdefnrn V T 2. GV T 2 0. (4-30) Decoposção QR. G T e Dada ua atrz G ( n), oétodoqrdecopõe G T Q R. (4-31) onde Q é ua atrz ortogonal (n n), e R é u a a t r z r e t a n g u l (n a r ). Note que denotaos a atrz retangular por R para evtar confusão co a atrz de restrção de forças R da seção 4.3. Assua que n >, e denote por r n. AatrzQ é d e c o p o s t a n a s a t r z Qe s 1 (n ) e Q 2 (n r), enquantoa R pode ser decoposta e ua atrz trangular superor R 1 ( ), euaatrznuladedensão(n r). Então: G R T Q T QG R T. (4-32) Portanto, coo GQ 2 0, deduzos que Q 2 gera o espaço nulo da atrz G, edaín Q 2.Paraocasode > n, asoluçãoseguedeuaanálseanáloga ao que fo feto aca. Fgura 4.9: Método QR.

12 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal Laços No caso de odelos se laço o étodo QR nos dá dretaente a densão e a base do espaço nulo de G.Paraodeloscolaços,observaosqueocálculo da densão do espaço nulo requer cautela. Os laços adcona equações lnearente dependentes na G, e ass auenta a densão do seu espaço nulo, ver exeplo 4.3 da seção 4.2. A atrz R do étodo QR possu eleentos nulos e sua dagonal prncpal, sto é, e R 1 da fgura 4.9, e a quantdade destes eleentos nulos é o que copleenta a densão de N. Portanto,se nz for o núero de zeros que consta na dagonal prncpal de R 1,entãoos r + nz vetores colunas de Q 2 fora o espaço nulo de G. Analogaente, para o caso do SVD. Fgura 4.10: Exeplo de laços odelados co 4, 16 e 8 corpos, respectvaente. As lustrações na fgura 4.10 corresponde aos esqueletos de u laço sétrco de 4 corpos e de 16 corpos, e fnalente de u laço não-sétrco de 8 corpos. Na tabela 4.1 relataos os detalhes obtdos e tas testes: Modelo #ne de R 0 D. de G d(n) Laço S Laço S Laço Não-S Tabela 4.1: Testes co odelos de laços para cálculo do espaço nulo N da atrz de restrção G. Na tabela 4.1 o te #ne de R sgnfca o núero de eleentos da dagonal de R, e D. de G corresponde a densão da atrz G.

13 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal Análse Modal A Análse Modal deterna as característcas vbraconas de odelos, utlzando apenas nforações físcas de sua estrutura, coo assa e coefcentes de rgdez e aortecento. As soluções dos ssteas odas são copostas pelos odos noras eafrequênca angular natural. Osodosnorasconsste e u padrão de osclação onde todos os eleentos do sstea rão vbrar co a esa frequênca natural. Esta seção é baseada no trabalho de Kry et al. (18). Vaos analsar novaente as equações que rege os oventos de cada corpo do sstea, poré agora e odelos artculados. Consdere o sstea lustrado na fgura Fgura 4.11: Sstea de coordenadas locas de corpos e juntas Equações cneátcas Teos então n b corpos, de assas,conectadosporn j juntas. Denotaos por S b os referencas dos corpos, S j os referencas das juntas, e nj núero de juntas pertencentes a u corpo b.aequaçãodeoventodeu corpo b no própro referencal do corpo é dada por: o ˆv ˆf ˆv nj k1 ˆfb. (4-33) ˆfb é a f o r ç a n o r e f e r e n c a l d o c bo r equvalente p o a força da junta,eˆf é a força resultante do soatóro das forças ˆf b. Consdere que o sstea está lvre de forças externas, e ass restrngos as forças que nfluenca nos corpos

14 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 63 apenas coo as forças elástcas das juntas. Estas por sua vez, são provocadas pelos deslocaentos dos corpos que as conecta. Isto é, assua que a junta,cocoefcentedergdezk jk conecte os corpos b e b. Para u dado ntervalo de tepo t, odeslocaentodoscorposb e b pode ser aproxados por ˆv t e ˆv t, respectvaente.lebrandoquea força elástca é dada por: ˆf k ˆp, (4-34) co ˆp correspondendo ao deslocaento espacal do corpo, teos que a força da junta e seu própro referencal pode ser expressa coo a soa: ˆfjk f k jk (Ad ˆv b ) t f k jk (Ad ˆv b ) t. (4-35) Observe que Ad ˆv b t nos dá o deslocaento do corpo b e coordenadas da junta. Fgura 4.12: Forças das juntas e 1 do odelo do cavalo Fora atrcal Assundo que as equações são escrtas no referencal do corpo, podeos reescrever a equação (4-33) coo ˆv nj k1 f Ad b ˆfjk. (4-36) Podeos estender a expressão da força de ua únca junta para as n j juntas do sstea, co a observação que a atrz de restrção de forças R, transfora velocdades no referencal do corpo e velocdades no referencal da junta, confra equação (4-24), através da equação atrcal ˆfj KRˆv b t. (4-37)

15 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 64 Aequaçãodooventodoscorposdestesstea,usandoreferencas locas, pode ser escrta por M ˆv b R T KR (ˆv b t) (4-38) onde M é a a t r z d a g o n a l d e a s s a s d e c a d a c o r Kp o, é a e a t r z d a g o n a l de constantes de rgdez de cada junta. Entretanto, esse ovento é restrto pelas juntas. Essa restrção é dada por ˆv b ker(g), ouseja ˆv b N ˆp b, (4-39) onde ˆp corresponde a velocdade e coordenadas reduzdas adssíves. Observe que ˆp ˆv b t. Alé dsso, projetaos tabé a equação (4-38) e coordenadas reduzdas e ass podeos defnr novas atrzes M N T MN e K N T R T KRN, talque M ˆp b Kˆp b. (4-40) Vê-se co facldade que a atrz M é n v e r s í v e l, v s t o q u e a a t r z d e assa do sstea M é dagonal co as entradas da dagonal prncpal sepre postvas, e que as colunas de N fora ua base ortogonal do espaço nulo de G. Este problea pode ser soluconado para pequenas vbrações deternando os autovalores eautovetoresu de M 1 K. AatrzK pode não ter posto copleto, e portanto obtereos autovetores assocados a autovalores nulos. U caso típco onde sto acontece é quando o odelo não possu oventos vbraconas, por exeplo, quando apenas realza ua translação Modelo odal Se G te densão ( n) então coo solução do problea de autovalores de (4-40) tereos ua atrz U(n f,n f ), onde n f n, talquecada coluna corresponde aos autovetores u que nos dá o odo noral. Cadau são vetores de posção de cada corpo do sstea e coordenadas reduzdas. Ao projetaros os autovetores u no espaço nulo de G, Nu (4-41) obteos vetores R 6n b,ondenb é o n ú e r o d e c o r p o s d o s s t e a. A c a d a 6l, l 0,...n b coponentes de teos u vetor posção l R 6 do corpo b l do odelo e coordenadas adssíves, ou seja, posções que satsfaze as restrções postas. Isto é,

16 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 65 x0 y0 z0 x 0 y 0 0 z 0 1 xnb 6 nb. ynb znb x nb y nb z nb. co G 0. (4-42) Os autovalores odo noral, logo sstea. fornece as correspondentes frequêncas para cada R n f. Ao par {U, } chaaos Modelo Modal do Solução por Análse Modal Co estas nforações, ua possível solução da equação (4-40) que descreve o coportaento dos corpos é dada por: Na equação (4-43) aca,, µ e ˆp(t) µ sn(2 t + ). (4-43) são vetores de frequêncas, apltudes e fases, respectvaente. As apltudes e as fases pode ser obtdas pelos dados ncas, ou eso pode ser atrbuídos para confgurar u ovento desejado. Para deternar as frequêncas dos oventos fazeos a substtução da solução (4-43) na equação (4-40): M µ sn(2 t + ) K µ sn(2 t + ) M ˆp(t) K ˆp(t) ˆp(t) M 1 K ˆp(t) (4-44) edaí,afrequêncaserádadapor: 4 2 2, 2. (4-45)

17 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 66 Note que os odos noras, por sere projetados no espaço nulo da G, e consequenteente e seu doíno, estão e coordenadas do referencal de cada corpo. Sendo ass, para u certo odo noral apple, cujafrequêncaefaseserão denotados por apple e apple,respectvaente,ooventodocorpob relatvo ao seu referencal local é descrto pela expressão: ˆp(t) µ apple apple sn(2 apple t + apple ) + ˆp(0), (4-46) co ˆp(0) R 6 sendo o vetor contendo a posção de equlíbro generalzada do corpo b e seu própro referencal. Isto porque o ovento vbraconal oscla e torno de sua posção de equlíbro. Fgura 4.13: Àesquerdalustraosocavaloesuaposçãodeequlíbroeà dreta co as patas da frente reposconadas por u ovento de archa. Afgura4.13(a)daesquerdalustraocavaloesuaposçãodeequlíbro eafguraàdreta4.13(b)oostracoaspatasdafrentereposconadas por u ovento de archa correspondendo ao odo noral de frequênca Hz Sobreposção de odos noras Podeos vsualzar o conjunto de odos noras obtdos do sstea, coo ua base de oventos naturas. Pela lneardade do sstea é possível obter u outro ovento qualquer fazendo ua conação lnear desta base de oventos naturas. Então, novaente para u corpo b pode-se deternar as posções generalzadas do eso e qualquer nstante de tepo t pela expressão: ˆp(t) n apple1 µ apple apple sn(2 apple t + apple ) + ˆp(0). (4-47) E (4-47), n consste no núero de odos noras do sstea.

18 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 67 Na fgura 4.14, lustraos os oventos gerados por dos odos noras do odelo do Surf. O trgéso odo noral sula o coportaento de ua archa, onde as pernas dobra alternadaente, veja no bloco as à esquerda da lustração. Já no bloco à dreta, lustraos o segundo odo noral, onde podeos ver o Surf exendo alguns dedos das ãos. Fgura 4.14: Ilustração do trgéso e segundo odos noras. O trgéso odo é lustrado no quadro as à esquerda, enquanto no quadro à dreta podeos ver o segundo odo noral. Fazendo a conação de abos odos relatados aca, obteos o Surf archando e co os dedos anda e ovento, veja fgura Fgura 4.15: Conação dos odos 2 e 30 do odelo do Surf Edção de oventos Observe que alterações nos coportaentos dos corpos pode ser fetas apenas adconando novos teros µ apple Nu apple,coucoefcenteµ apple pequeno nãonulo. Por exeplo, poderíaos adconar u odo do Surf balançando a cabeça (ver fgura 4.16) ao ovento lustrado e 4.15.

19 Anação 3D e Tepo Real co Análses Harôncas e Modal 68 Fgura 4.16: Modo adconal onde o odelo balança a cabeça. Desta fora, é possível escolher e ua paleta de oventos naturas, os oventos as adequados para a aplcação co o ntuto de construr novos oventos. Deve-se levar e conta que as posções de equlíbro possue grande nfluênca nos oventos crados, já que a osclação dos corpos sepre acontece e torno da posção de equlíbro. Fgura 4.17: Na fgura 4.17(a) lustraos o cavalo e ua posção de equlíbro, e na fgura 4.17(b) à dreta, ostraos a pata osclando e torno de ua nova posção de equlíbro. Ao udar a posção de equlíbro do cavalo lustrada na fgura 4.17(a) à esquerda, obteos que o corpo reposconado tabé uda seu coportaento para osclar e torno da nova posção de equlíbro, coo veos e 4.17(b) à dreta. As posções as claras corresponde a posção de equlíbro nas duas fguras. Alé dsso, as conações das constantes apple e apple atrbuídas a cada odo noral apple apla a dversdade de oventos possíves, auentando a apltude dos oventos ou fazendo-os coeçar e u nstante de tepo dferente.